MENENTUKAN RUANG BAGIAN SIKLIS DARI SKRIPSI. Oleh: NURHIDAYATI NIM

(1)

MENENTUKAN RUANG BAGIAN SIKLIS DARI

SKRIPSI

Oleh:

NURHIDAYATI

NIM. 08610041

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM

MALANG

(2)

MENENTUKAN RUANG BAGIAN SIKLIS DARI

SKRIPSI

Diajukan Kepada:

Universitas Islam Negeri Malang Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

Oleh: NURHIDAYATI

NIM. 08610041

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM

MALANG

(3)

MENENTUKAN RUANG BAGIAN SIKLIS DARI

SKRIPSI

NIM. 08610041

Telah Disetujui untuk Diuji Malang, 13 Agustus 2012

Dosen Pembimbing I, Dosen Pembimbing II,

Wahyu H. Irawan, M. Pd Ach. Nashichuddin, M. A

NIP. 19710420 200003 1 003 NIP. 19730705 200003 1 002

Mengetahui,

Ketua Jurusan Matematika

Abdussakir, M. Pd NIP. 19751006 200312 1 001

(4)

MENENTUKAN RUANG BAGIAN SIKLIS DARI

SKRIPSI

NIM. 08610041

Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan Dinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan

Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Malang, 08 September 2012

Susunan Dewan Penguji: Tanda Tangan

1. Penguji Utama : Drs. H. Turmudi, M.Si ( )

NIP. 19571005 198203 1 006

2. Ketua Penguji : Abdul Aziz, M.Si ( )

NIP. 19760318 200604 1 002

3. Sekretaris : Wahyu H. Irawan, M.Pd ( )

NIP. 19710420 200003 1 003

4. Anggota : Ach. Nashichuddin, M.A ( )

NIP. 19730705 200003 1 002 Mengetahui dan Mengesahkan

Kajur Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

Abdussakir, M. Pd NIP. 19751006 200312 1 001

(5)

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : NURHIDAYATI

NIM : 08610041

Jurusan : Matematika

Fakultas : Sains dan Teknologi

menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya tulis ini benar-benar merupakan hasil karya saya sendiri, bukan merupakan tulisan atau pikiran orang lain yang saya akui sebagai hasil tulisan atau pikiran saya.

Apabila di kemudian hari terbukti atau dibuktikan skripsi ini hasil jiplakan, maka saya bersedia menerima sanksi atas perbuatan tersebut.

Malang, 9 Agustus 2012 Yang membuat pernyataan

NURHIDAYATI NIM. 08610041

(6)

(7)

!

"

(8)

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Syukur alhamdulillah penulis haturkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberikan segala kemudahan dan hidayah-Nya sehingga mampu menyelesaikan studi di Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang sekaligus mampu menyelesaikan penulisan skripsi dengan judul “Menentukan Ruang Bagian Siklis dari

( )”. Sholawat dan salam penulis persembahkan kepada Nabi Muhammad

SAW, berkat perjuangannya yang telah menghadirkan pencerahan untuk umat manusia dan menjadi motivasi bagi penulis untuk belajar, berusaha dan menjadi yang terbaik.

Dalam merampungkan skripsi ini, penulis berusaha dengan sebaik mungkin, namun penulis menyadari bahwa tanpa partisipasi dari banyak pihak skripsi ini tidak dapat terselesaikan. Dengan iringan do’a dan kerendahan hati penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Prof. Dr. H. Imam Suprayogo, selaku Rektor Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang.

2. Prof. Drs. Sutiman B. Sumitro, SU, D.Sc, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang. 3. Abdussakir, M.Pd selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan

Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang.

(9)

4. Wahyu H. Irawan, M.Pd dan Ach. Nashichuddin, M.A selaku dosen pembimbing skripsi ini, terima kasih atas bimbingan, saran dan seluruh masukan yang membangun sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. 5. Hairur Rahman, M.Si selaku dosen wali penulis.

6. Drs. H. Turmudi, M.Si dan Abdul Aziz, M.Si selaku penguji utama dan ketua penguji yang telah memberikan kritik dan sarannya pada penulis atas terwujudnya skripsi yang lebih baik dan berkualitas.

7. Seluruh dosen jurusan Matematika yang telah banyak memberikan ilmu dan pelajaran berharga sebagai bekal di masa depan.

8. Orang tua penulis yakni Bapak Gifari dan Ibu Ismia yang telah memberi do’a dan dukungan penuh pada penulis dalam menyelesaikan pendidikan S1 di Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang.

9. Kakak dan kakak ipar penulis (Ahmad dan Saitunil Basra), yang telah memberikan motivasi sehingga penulis terus berusaha menjadi anak, adik dan anggota keluarga yang lebih baik lagi.

10.Seluruh teman-teman Musyrifah Ma’had Sunan Ampel Al-Ali Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang, khususnya teman-teman musyrifah di kamar 1 USA (2009-2010), kamar 33 Khadijah (2010-2011), dan kamar 1 ABA (2011-2012) yang selalu setia menyemangati penulis.

11.Para sahabat penulis (Silfiyah Rohmawati, Amilatuz Zakiyah, Nurul Qomariyah, Siti Nur Kholifah, Alfi Sayyidah, Maryam, Siti Cholisna dan Yuli Rohmawati) yang telah memberikan do’a dan dukungan bagi penulis.

12.Teman-teman Matematika angkatan 2008.

(10)

13.Para pengasuh, kepala sekolah, para pengurus, dan para pengajar sekolah SMPI Al-IZZAH SIDOARJO, yang telah memberikan pengalaman mengajar bagi penulis.

14.Semua pihak yang tidak mungkin penulis sebut satu persatu, atas keikhlasan bantuan moril dan spirituil, penulis ucapkan terima kasih.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, sehingga masih membutuhkan banyak saran dan masukan dari pembaca. Semoga hasil yang tak seberapa ini dapat bermanfaat dan menambah wawasan keilmuan matematika khususnya di bidang aljabar. Aamiin.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

Malang, 9 Agustus 2012

Penulis

(11)

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL

HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN MOTTO

HALAMAN PERSEMBAHAN

KATA PENGANTAR ... viii

DAFTAR ISI ... xi ABSTRAK ... xiii ABSTRACT ... xiv ………... xv BAB I : PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang ... 1 1.2. Rumusan masalah ... 4 1.3. Tujuan Penelitian ... 4 1.4. Batasan Masalah ... 4 1.5. Manfaat Penelitian ... 5 1.6. Metode Penelitian ... 5 1.7. Sistematika Penulisan ... 7

BAB II : KAJIAN PUSTAKA 2.1. Ring ... 8

2.2. Suku Banyak (Polinom) .. ... 12

2.3. Faktorisasi Aljabar dan Teorema Sisa .. ... 13

2.4. Ring Polinomial atas F Modulo f (x) ... ... 14

2.5. Ruang Bagian SiklisdalamKode Siklis ... ... 15

(12)

BAB III : PEMBAHASAN

3.1 Ruang Bagian Siklisdari ... ... ..17

3.1.1 Ruang Bagian Siklisdari ... .... ..17

3.1.2Ruang Bagian Siklisdari ... .... ..19

3.4 Integrasi Ruang Bagian Siklis dalam Agama Islam ...59

BAB IV : PENUTUP 4.1 Kesimpulan .. ... 62 4.2 Saran ... 62 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN-LAMPIRAN xii

(13)

ABSTRAK

Nurhidayati. 2012. Menentukan Ruang Bagian Siklis dari ( ). Skripsi. Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Pembimbing : Wahyu Hengki Irawan, M.Pd. Ach. Nashichuddin, M.A.

Kata Kunci: Ruang Bagian Siklis, Polinomial, Monic.

Ruang bagian siklis merupakan bagian penting dan tidak dapat dipisahkan dengan cyclic codes (kode siklis). Kode siklis tersebut merupakan kode yang mudah diimplementasikan dan mempunyai aplikasi yang luas. Cukup banyak peneliti yang meneliti kode siklis, namun, masih minim peneliti yang meneliti ruang bagian siklis, walaupun sebenarnya ruang bagian siklis juga terdapat dalam pembahasan kode siklis. Sehingga, diperlukan penelitian lebih lanjut tentang ruang bagian siklis tersebut. Dengan menggunakan berbagai literatur yang ada dan juga dengan memahami langkah-langkah dalam membangun ruang bagian siklis, akan diteliti ruang bagian siklis hingga yaitu ruang bagian siklis dari persamaan polinomial dengan derajat polinom n pada bilangan modulo m.

Dalam membangun ruang bagian siklis dari menggunakan langkah-langkah yang sama dengan menentukan ruang bagian siklis dari

yang sebelumnya telah dibahas dalam jurnal Muhamad Zaki Riyanto yakni dengan memfaktorkan polinomial untuk dapat menentukan monicnya. Setelah

monic diketahui, maka dengan langkah-langkah sesuai literatur, ruang bagian siklis dapat ditentukan. Sehingga, dapat diketahui bahwa banyaknya ruang bagian siklis dalam persamaan polinomial adalah derajat polinom dari persamaan tersebut ditambah satu, sehingga mempunyai tepat n + 1 ruang bagian siklis, n 2,

m 2, n,m Z, m P.

(14)

ABSTRACT

Nurhidayati. 2012. To Determine Cyclic Subspace From ( ). Thesis. Department of Mathematics Faculty of Science and Technology State Islamic University Maulana Malik Ibrahim Malang

Advisor : Wahyu Hengki Irawan, M.Pd. Ach. Nashichuddin, M.A.

Key words: Cyclic Subspace, Polynomial, Monic.

Cyclic subspace is an important part and can not be separated with a cyclic codes is easy code to implement and that have broad application. A lot of researchers who examined the cyclic code, however, there is little of research that examines the cyclic subspace, even though the cyclic subspace is also explained in the discussion of cyclic codes. Thus, we need more research about cyclic subspace. By using a variety of existing literature and also by knowing the steps to construct a cyclic subspace, researcher of this thesis will do a research about cyclic subspace to ). Here, ) is cyclic subspace of polynomial equations with polynomial n modulo m.

In building a cyclic subspace of , we can use the same steps to determine the cyclic subspace of that have previously been discussed in the journal Muhamad Zaki Riyanto. That steps by factoring a polynomial to find the monic. After monic is known, then the appropriate measures literature, cyclic subspace can be determined. Thus, it can be seen that the amount of space the cyclical part of the equation is a polynomial of degree polynomial equation plus one, so have exactly n + 1 cyclic subspace, n 2, m 2, n,m Z, m P.

(15)

2012

( )

! " #$% & '

( )* + ,- & * & ./0 # "123 - & (

4 5 6"7 8 " $( 9 "2 * : ; 6"7 8 " $( < = :> : , ? ? , 3 ? ?@ A B=C * - #B ( D " ;' ;: E = C E ? FB/ E ) GH) A/ , H I J3KA L) 4 -M 15 CN O P & &C"Q L) > ( R &7%) C 9 % & & . 1 S2&(:L) J 9T71M D . +U/1 &V &V ) W?( 1* > #B HU )1 C ( & &/ & C D S2 D ? ? ? ? &? ? ? &( n ?VSV ? m )1 C (

& HU X +U/1 CO1/Y7%)

& '@ H & A? ? 3 " 1 [?5#ZJ3 6" 9> 1 &/) * J D J 1 * V9> O&:$ &

&? ? ? &( &? ? ? D@J : W 1. 3E 9 * D \ 1n + 1 ?., n 2, m 2, n,m Z, m P.

(16)

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Secara bahasa, kata ”matematika” berasal dari kata Yunani yaitu ”mathema” atau mungkin juga ”mathematikos” yang artinya hal-hal yang dipelajari. Orang belanda menyebut matematika dengan wiskunde yang artinya ilmu pasti. Sedangkan orang Arab menyebut matematika dengan ’ilmu al hisab, artinya ilmu berhitung (Abdussakir, 2007:5). Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang banyak sekali manfaatnya. Demikian juga perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi yang sangat pesat saat ini tidak lepas dari peran serta ilmu matematika. Matematika merupakan sebuah ilmu pengetahuan dasar yang dibutuhkan semua manusia dalam kehidupan sehari-hari baik secara langsung maupun tidak langsung (Rahman, 2007:1).

Dari segi wilayah kajian, matematika berawal dari ruang lingkup yang sederhana, yang hanya menelaah tentang bilangan dan ruang, namun sekarang matematika sudah berkembang dengan menelaah hal-hal yang membutuhkan daya pikir dan imajinasi tingkat tinggi (Abdussakir, 2007:6). Dengan mengenal matematika, berarti telah menegaskan bahwasanya orang-orang telah menjauhi kebodohan. Atas itu, Allah selalu memberikan petunjuk pada umatnya agar tidak terjerumus dalam lembah kebodohan. Sebagaimana dalam surat Al-Baqarah ayat 151, Allah berfirman:

(17)

“Sebagaimana (Kami Telah menyempurnakan nikmat kami kepadamu) kami Telah mengutus kepadamu Rasul diantara kamu yang membacakan ayat-ayat kami kepada kamu dan mensucikan kamu dan mengajarkan kepadamu Al Kitab dan Al-Hikmah, serta mengajarkan kepada kamu apa yang belum kamu ketahui.” (QS. Al-Baqarah:151)

Ayat di atas menegaskan bahwa dengan berpegang teguh pada Al-Kitab (Al-Qur’an), para manusia akan diajarkan berbagai hal yang belum pernah mereka ketahui sebelumnya. Hingga dengan demikian, manusia sungguh akan menemukan titik terang sebagai jalan keluar dari kebodohan.

Alam semesta memuat teori-teori dan konsep matematika, meskipun alam semesta tercipta sebelum matematika itu ada. Alam semesta serta segala isinya diciptakan Allah dengan ukuran-ukuran yang cermat dan teliti, dengan perhitungan-perhitungan yang mapan, dan dengan rumus-rumus serta persamaan yang seimbang dan rapi (Abdussakir, 2007:79). Hal ini menunjukkan bahwa Allah SWT Maha Matematis, Allah Maha Cepat dan Maha Teliti dalam masalah hitung-menghitung. Sebagaimana firman Allah dalam surat Al-Furqan ayat 2:

!

"

#

$

%&

'

( )

)

*

”Yang kepunyaan-Nya-lah kerajaan langit dan bumi, dan dia tidak mempunyai anak, dan tidak ada sekutu baginya dalam kekuasaan(Nya), dan dia Telah menciptakan segala sesuatu, dan dia menetapkan ukuran-ukurannya dengan serapi-rapinya”. (QS. Al-Furqan:2)

Juga dalam Al-Qur’an surat Maryam ayat 94 telah disebutkan bahwa :

(18)

)

+,

-./

“Sesungguhnya Allah Telah menentukan jumlah mereka dan menghitung mereka dengan hitungan yang teliti”. (QS. Maryam:94)

Serta dalam surat Maryam ayat 84:

0 %

1 !

"

#

1 2/

”Maka janganlah kamu tergesa-gesa memintakan siksa terhadap mereka, Karena Sesungguhnya kami Hanya menghitung datangnya (hari siksaan) untuk mereka dengan perhitungan yang teliti.” (QS. Maryam:84)

Tentunya dengan tidak keluar dari firman-firman Allah SWT tersebut, akan sangat bermanfaat jika terdapat suatu penelitian dan pengkajian khusus tentang matematika dan aspek-aspeknya, seperti halnya pada proses membangun ruang bagian siklis. Pendefinisian suatu ruang bagian siklis merupakan pembahasan dasar dari cyclic code (kode siklis) yang mana secara umum kode ini lebih mudah untuk diimplementasikan dan mempunyai aplikasi yang luas. Suatu linear code C disebut cyclic codes (kode siklis) jika C merupakan cyclic subspace

(ruang bagian siklis). Dari definisi tersebut, kita ketahui bahwasanya pembahasan tentang kode siklistidak akan pernah lepas dari pembahasan tentang ruang bagian siklis. Suatu ruang bagian S atas disebut cyclic subspace (ruang bagian

siklis) jika , maka , yang mana

merupakan anggota himpunan vector (Riyanto, 2006:1).

Karena penelitian terdahulu oleh Muhamad Zaki Riyanto tahun 2006 hanya membangun ruang bagian siklishingga , maka dengan berlandaskan jurnalnya yang berjudul “KODE SIKLIS”, peneliti mencoba membahas lebih lanjut terkait dengan membangun ruang bagian siklis dalam jurnal tersebut.

(19)

Peneliti mencoba menyajikan pembahasan lebih dalam membangun ruang bagian siklis yakni hingga yaitu ruang bagian siklis dari persamaan polinomial dengan derajat n pada bilangan modulo m dengan dan , , m

bilangan prima. Sehingga peneliti tertarik untuk mengangkat judul “Menentukan Ruang Bagian Siklisdari ( )”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka rumusan permasalahan yang akan dibahas yaitu bagaimana menentukan ruang bagian siklis dan berapa banyaknya ruang bagian siklisdari ?

1.3 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui dan membahas proses menentukan ruang bagian siklisserta menentukan banyaknya ruang bagian siklis dari ( ).

1.4 Batasan Masalah

Agar penulisan skripsi ini tetap terfokus pada pembahasan, maka peneliti membatasi masalah pada menentukan banyaknya ruang bagian siklis dari ( ) dengan mengambil yaitu himpunan bilangan bulat modulo m dan polinomial

dengan dan , , m bilangan prima.

(20)

1.5 Manfaat Penelitian 1. Bagi Peneliti

Penelitian ini diharapkan mampu membantu peneliti dalam mengembangkan dan mengaplikasikan pengetahuan matematika yang telah diperoleh selama di bangku perkuliahan khususnya di bidang aljabar. 2. Bagi Pembaca

Penelitian ini diharapkan mampu menambah wawasan pembaca tentang ruang bagian siklis dari , sehingga nantinya penelitian ini dapat dikembangkan pada bahasan yang lebih luas.

3. Bagi Lembaga

Sebagai tambahan bahan pustaka di bidang matematika aljabar yang dapat dimanfaatkan untuk perkembangan kedalaman ilmu pengetahuan khususnya di jurusan Matematika Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang.

1.6 Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode penelitian “Kajian Kepustakaan”. Pembahasan pada skripsi ini dilakukan dengan:

1. Mengumpulkan dan mempelajari literatur yang berupa buku-buku makalah, dokumentasi, notulen, catatan harian, internet dan lain-lain yang berkaitan dengan masalah penelitian yang akan digunakan dalam menentukan banyaknya ruang bagian siklisdari .

(21)

2. Menentukan pokok permasalahan dari literatur utama yaitu berupa proses menentukan banyaknya ruang bagian siklisdari .

3. Cara menentukan banyaknya ruang bagian siklisdari yaitu dengan langkah-langkah sebagai berikut:

a. Peneliti memberikan dengan , , m bilangan prima. b. dikenai polinom yang koefisiennya elemen .

c. Himpunan polinomial tersebut dikenai dua operasi yaitu penjumlahan dan perkalian polinomial yang akan menghasilkan ring polinomial yaitu [x].

d. Peneliti menentukan .

e. Peneliti mendefinisikan dua polinomial yang disebut kongruen atas f(x) jika h(x) dan g(x) mempunyai sisa yang sama apabila dibagi f(x). Kongruensi ini membentuk klas-klas ekuivalensi.

f. Klas-klas ekuivalensi dikenai operasi penjumlahan dan perkalian yang akan menghasilkan (R,+,*) yaitu ring polinomial atas .

g. Peneliti menentukan ruang bagian F yaitu (atau lebih khususnya yaitu ) dan juga mengambil .

h. Peneliti memfaktorkan polinomial f(x).

i. Peneliti menentukan monic yang membagi f(x). j. Peneliti membangun ruang bagian siklisdari monic.

k. Peneliti menentukan banyaknya ruang bagian siklisdari . 6

(22)

1.7 Sistematika Penulisan

Agar penulisan skripsi ini lebih terarah, mudah ditelaah dan dipahami, maka digunakan sistematika penulisan yeng terdiri dari lima bab. Masing-masing bab dibagi ke dalam beberapa subbab dengan rumusan sebagai berikut:

BAB I : PENDAHULUAN

Bagian ini meliputi: latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, batasan masalah, manfaat penelitian, metode penelitian dan sistematika penulisan.

BAB II : KAJIAN PUSTAKA

Bagian ini terdiri atas konsep-konsep (teori-teori) yang mendukung bagian pembahasan. Konsep-konsep tersebut antara lain berisi tentang dasar-dasar teori sebagai acuan dalam penulisan skripsi ini. BAB III : PEMBAHASAN

Bagian ini menguraikan semua langkah-langkah yang ada pada metode penelitian yang berisi ulasan tentang jawaban dari rumusan masalah.

BAB IV : PENUTUP

Pada bagian ini disajikan kesimpulan dan saran sebagai masukan untuk penelitian selanjutnya.

(23)

BAB II KAJIAN PUSTAKA

Pada bab ini dipaparkan teori-teori yang digunakan sebagai acuan dalam menyelesaikan permasalahan pada bab selanjutnya, serta yang berkaitan dengan pokok permasalahan yang dibahas.

2.1 Ring Definisi 2.1.1

Operasi atau komposisi * dalam sebuah himpunan tak kosong G adalah biner jika dan hanya jika , maka (Raisinghania dan Anggarwal, 1980:27).

Definisi 2.1.2

Grup adalah pasangan terurut (G,*) dimana G adalah himpunan dan * adalah operasi biner di G yang memenuhi aksioma:

a) * bersifat assosiatif yaitu a*(b*c)=(a*b)*c untuk setiap a,b,c∈G_.

b) ada elemen identitas yaitu a*e=e*a =a untuk setiap a∈G_.

c) setiap elemen mempunyai invers sedemikian sehingga

e a a a a_* −1= −1_* = .

Grup (G, *) disebut abelian (atau komutatif) jika a*b =b*a untuk setiap

G b

a, ∈ _{(Dummit dan Foote, 1991:225).}

(24)

Definisi 2.1.3

Suatu Ring (R , ∗ , •) adalah sebuah himpunan tak kosong R dengan dua operasi biner yaitu ∗ sebagai operasi pertama dan • sebagai operasi kedua, yang kedua-duanya didefinisikan pada R yang memenuhi aksioma berikut :

1. (R , ∗) adalah grup abelian. 2. Operasi • tertutup di R .

3. Operasi • bersifat assosiatif di R.

4. Operasi • bersifat distributif terhadap operasi ∗ di R baik distributif kiri maupun kanan (Dummit dan Foote, 1991:225).

Definisi 2.1.4

Suatu ring (R , ∗ , •) disebut ring komutatif (RK) jika dan hanya jika operasi kedua (operasi •) bersifat komutatif di R (Dummit dan Foote, 1991:225).

Definisi 2.1.5

Suatu ring (R , ∗ , •) disebut ring dengan elemen satuan (RS) jika dan hanya jika R

punya elemen identitas terhadap operasi kedua (operasi •) (Dummit dan Foote, 1991:225).

Suatu ring (R , ∗ , •) disebut ring komutatif dengan elemen satuan (RKS)

jika dan hanya jika operasi kedua bersifat komutatif dan R punya elemen identitas terhadap operasi kedua, dengan kata lain merupakan ring komutatif (RK) sekaligus ring dengan elemen satuan (RS).

(25)

Contoh 2.1.6

Diberikan (Z, +, x); dengan Z adalah himpunan bilangan bulat, maka berdasarkan definisi ring, diperoleh:

1. (Z , +) adalah grup abelian yaitu: a) a , b ∈ Z maka a + b ∈ Z.

b) a , b, c ∈ Z maka (a + b) + c = a + (b + c).

c) a + 0 = 0 + a = a ; 0 adalah identitas terhadap operasi +. d) a + (-a) = (-a) + a = 0 ; (-a) ∈ Z adalah invers dari a. e) a + b = b + a.

2. Operasi x tertutup di Z yaitu untuk setiap a , b ∈ Z maka a x b ∈ Z.

3. Operasi x bersifat assosiatif di Z yaitu untuk setiap a,b,c ∈ Z berlaku a x (b

x c) = (a x b) x c.

4. Operasi x bersifat distributif terhadap operasi + di Z yaitu untuk setiap

a,b,c ∈ Z berlaku a x (b + c) = (a x b) + (a x c) dan (a + b) x c = (a x

c) + (b x c).

5. Untuk tiap a ∈ Z maka a x 1 = 1 x a = a , yang berarti ada elemen identitas (yaitu 1) di Z terhadap operasi kedua (operasi x). Jadi (Z, +, x ) adalah ring dengan elemen satuan (RS).

6. Untuk tiap a,b ∈ Z maka a x b = b x a , yang berarti operasi kedua (operasi x) bersifat komutatif di Z. Jadi (Z, +, x ) adalah ring komutatif (RK).

7. Karena (Z, +, x ) adalah ring komutatif (RK) dan sekaligus ring dengan elemen satuan (RS) maka (Z, +, x ) adalah ring komutatif dengan elemen satuan (RKS).

(26)

Definisi 2.1.7

Misal (R , ∗ , •) adalah ring komutatif dengan elemen satuan (RKS)

Misal i adalah elemen identitas terhadap operasi kedua ( i elemen identitas terhadap operasi • ). Kecuali elemen identitas operasi pertama ( e ), maka semua unsur di R punya invers terhadap operasi kedua, maka RKS yang demikian ini disebut sebagai Field(Durbin, 1992: 119).

Contoh 2.1.8

Misal ={0,1,2,3,4,5,6} terhadap penjumlahan mod 7 dan perkalian mod 7. Maka untuk perkalian:

0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 2 0 2 4 6 1 3 5 3 0 3 6 2 5 1 4 4 0 4 1 5 2 6 5 5 0 5 3 1 6 4 2 6 0 6 5 4 3 2 1

Pada tabel tersebut terlihat bahwa

. Ini berarti bahwa kecuali elemen identitas operasi pertama (operasi +), maka semua unsur di Z mempunyai invers terhadap operasi kedua (operasi x) yatitu

(27)

Contoh 2.1.9

1) Himpuan semua bilangan bulat positif modulo n merupakan ring, dinotasikan dengan .

2) Himpunan semua polinomial dengan koefisiennya adalah elemen suatu field (lapangan) F atas ring R, membentuk ring yang dinotasikan dengan F[x], pada penjumlahan dan perkalian polinomial.

2.2 Suku Banyak (Polinom) Definisi 2.2.1

Bentuk dinamakan suku banyak (polinom)

dalam x yang berderajat n dimana n adalah bilangan cacah dan . Derajat suatu suku banyak dalam x adalah pangkat tertinggi dari x dalam suatu suku banyak (Idel dan Hariyono, 2005:301).

Contoh 2.2.2

1. adalah suku banyak berderajat 3, dengan koefisien adalah 6, koefisien adalah -3, kofisien x adalah 4, dan suku tetapnya -8.

2. adalah bukan suku banyak karena memuat pangkat negatif yaitu atau dengan pangkat –1 bukan anggota bilangan cacah.

(28)

Definisi 2.2.3

Suatu polinomial atas suatu field F disebut monic jika koefisien utamanya elemen di F (Durbin, 2005:160).

2.3 Faktorisasi Aljabar dan Teorema Sisa

Dalam aljabar, beberapa bilangan yang digunakan mungkin diketahui tetapi bilangan-bilangan lainnya tidak diketahui atau tidak dietntukan. Lebih tepatnya bilangan-bilangan tersebut dilambangkan dengan huruf. Misal 60h + m, tidak tahu berapa nilai h dan m, maka pernyataan tersebut disebut pernyataan aljabar (Ayres, 2004:3). Untuk memudahkan penguraian bentuk aljabar (a + b)5, (a + b)6, (a + b)7, dan seterusnya, bisa digunakan pola segitiga Pascal dan teorema sisa (khususnya pembagian khusus).

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi dengan (x-a), maka sisanya adalah s(x) = f(a). Sedangkan sisa pembagian dengan (ax-b) adalah !"#

$%. Jika suatu suku

banyak f(x) dibagi dengan (x+a), maka sisa pembaginya s(x) = f. Apabila suatu suku banyak f(x) habis dibagi (x-a), maka sisa pembaginya s(x) = f(a) = 0. Ini berarti bahwa (x-a) merupakan salah satu akar dari f(x) = 0. Rumus pembagian khusus pada teorema sisa yaitu:

1. " %" %

2. " %" %

3. & & _" _%" _%_(Idel

(29)

Contoh 2.3.1

1. " %" %

2. ' ' _" _%" _%

2.4 Ring Polinomial atas F Modulo f(x)

Diberikan sebarang polinomial tidak nol f(x) F[x] dan misalkan h(x),

g(x) F[x]. h(x) dan g(x) disebut kongruen atas polinomial modulo f(x) jika dan hanya jika f(x) membagi h(x) – g(x), yaitu h(x) dan g(x) mempunyai sisa yang sama apabila dibagi dengan f(x). Kongruensi ini membentuk relasi ekuivalensi dan membentuk partisi-partisi, dengan klas-klas ekuivalensi memuat g(x) yang dinotasikan dangan [g(x)] kemudian didefinisikan sebagai

[g(x)]={h(x):h(x)(g(x) (mod f(x))}

Diberikan R=F[x]/(f(x))={[g(x)]:g(x) F[x]}

Didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian pada klas-klas ekuivalensi sebagai berikut

[g(x)]+[h(x)]=[g(x)+h(x)] dan

[g(x)]*[h(x)]=[g(x)*h(x)]

Maka (R,+,*) merupakan ring dan disebut dengan ring polinomial atas F modulo f(x)(Riyanto, 2006:3).

(30)

2.5 Ruang Bagian Siklis dalam Kode Siklis

Kode adalah daftar kata atau simbol yang mengganti secara khusus kata lain. Kode juga merupakan blok dari simbol alphabet yang terbatas. Alphabet yang sering digunakan adalah himpunan barisan biner yaitu simbol 0 dan 1. Salah satu kelas dari kode linier adalah kode siklis. Kode siklis adalah bagian dari kode linier yang mengikuti sifat perputaran siklis. Suatu linear code C disebut cyclic codes (kode siklis) jika C merupakan cyclic subspace. Karena cyclic codes merupakan linear code, maka suatu cyclic codes mempunyai codeword 0 dan tertutup terhadap operasi penjumlahan. Dalam membangun ruang bagian siklis pada modulo 2, angka yang digunakan untuk merepresentasikan modulo 2 tersebut adalah 0 dan 1 karena lapangan atau field yang dibahas adalah himpunan bilangan bulat positif. Dan bilangan bulat positif tersebut diambil mulai dari bilangan bulat positif yang terkecil beserta bilangan nol (Riyanto, 2006:1-2).

Definisi 2.5.1

Suatu ruang bagian S atas ruang bagian F yaitu ) "*% disebut cyclic

subspace (ruang bagian siklis) jika " + % ,,

maka-" + % ,. Dengan kata lain, S merupakan suatu ruang

bagian dan untuk setiap vektor a S , setiap cyclic shift (pergeseran siklis) juga berada di dalam S (Riyanto, 2006:1).

(31)

BAB III PEMBAHASAN

Pada bab ini dibahas mengenai bagaimana menentukan cyclic subspace

dan berapa banyaknya cyclic subspace dari , yang mana n menunjukkan derajat polinom dan m menunjukkan bilangan modulo, dan dan , , m bilangan prima. Alasan mengapa n dan m dimulai dari 2 adalah karena :

1. Jika n = 0 maka dan jika n = 1 maka , dan karena derajat polinomnya 1, maka tidak dapat ditentukan ruang bagian siklisnya.

2. Jika m = 0 maka tidak akan dapat ditentukan ruang bagian siklisnya karena tidak ada pengkodean.

3. Jika m = 1 maka akan memberikan hasil tunggal karena pengkodeannya yang tunggal yaitu bilangan nol saja, sehingga tidak dapat ditentukan ruang bagian siklisnya pula.

Sesuai dengan pembahasan dalam jurnal yang merupakan referensi utama dalam skripsi ini, hal yang perlu diingat dan diperhatikan sebelum membentuk ruang bagian siklis adalah:

a. Memfaktorkan polinomial f(x) untuk menentukan monic yaitu dengan menggunakan teorema sisa (sebagaimana materi yang dijelaskan dalam BAB II).

b. Karena konstanta yang ada pada persamaan polinomial juga digunakan dalam pembentukan ruang bagian siklis, maka koefisien yang digunakan

(32)

dalam pembentukan ruang bagian siklis adalah koefisien dari variabel (dalam skripsi ini yang digunakan adalah variabel x) yang mana polinom dari variabel tersebut dikurangi 1, sehingga banyak pengkodeannya sesuai dengan derajat polinomnya.

c. Koefisien dan konstanta yang bukan bilangan bulat positif maka dianggap sebagai 0.

3.1 Ruang Bagian Siklis dari

Pada modulo 2, pengkodeannya adalah 0 dan 1.

3.1.1 Ruang Bagian Siklisdari

Diberikan dan ambil polinom dengan f(x) = . Faktorisasi monic dari f(x) adalah

Monic yang membagi f(x) adalah

Pembangunan ruang bagian siklisnya yaitu:

1.

Sehingga, hanya terdapat konstanta dalam yaitu 1. Karena derajat polinomnya 2, maka koefisien x adalah 0. Dengan demikian, akan

(33)

dibentuk ruang bagian siklis dari (01). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(00), (01), (10)}.

2.

Sehingga, koefisien x adalah 1. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (10). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(00), (10), (01)}.

3.

Sehingga, koefisien x adalah 1 dan konstantanya adalah 1. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (11). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(00), (11)} (menunjukkan identitas penjumlahan dan perkalian).

4.

Sehingga, koefisien adalah 1 dan koefisien dari x adalah 0. Karena konstantanya adalah -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Karena derajat polinomnya 2, maka koefisien dari tidak digunakan dalam membangun ruang bagian siklis. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (00). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(00)}.

Dengan pembentukan ruang bagian siklis dari beberapa monic yang ada tersebut, telah diketahui bahwa mempunyai tepat 3 ruang bagian siklis. Banyaknya ruang bagian siklis tersebut ditentukan dari ruang bagian siklis terbanyak yang dibentuk dari monic.

(34)

3.1.2 Ruang Bagian Siklisdari !

1)

Sehingga, hanya terdapat konstanta dalam yaitu 1. Karena derajat polinomnya 3, maka koefisien dari adalah 0 dan koefisien dari x adalah 0.Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (001). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis

S = {(000), (001), (100), (010)}.

2)

Sehingga, koefisien adalah 0 dan koefisien x adalah 1. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (010). Dengan definisi

ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis

(35)

3)

Sehingga, koefisien adalah 1, koefisien x adalah 1 dan konstantanya adalah 1. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (111). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(000), (111)} (menunjukkan identitas penjumlahan dan perkalian).

4)

Sehingga, koefisien adalah 1, koefisien adalah 0, dan koefisien x

adalah 0. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Karena derajat polinomnya 3, maka koefisien dari tidak digunakan dalam membangun ruang bagian siklis. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (000). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka

membangun ruang bagian siklis S = {(000)}.

3.1.3 Ruang Bagian Siklisdari "

(36)

#

$

%

&

a)

Sehingga, hanya terdapat konstanta dalam yaitu 1. Karena derajat polinomnya 4, maka koefisien adalah 0, koefisien adalah 0, dan koefisien x adalah 0. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (0001). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(0000), (0001), (1000), (0100), (0010)}.

b)

adalah 1. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (0010). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis

S = {(0000), (0010), (0001), (1000), (0100)}.

c)

(37)

bagian siklis dari (0101). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(0000), (0101), (1010)}.

d)

adalah 1. Konstantanya adalah 1. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (0011). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(0000), (0011), (1001), (1100), (0110)}.

e) #

Sehingga, koefisien adalah 1, koefisien adalah -1 maka dianggap sebagai 0, dan koefisien x adalah 1. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (1010). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka # membangun ruang bagian siklis S = {(0000), (1010), (0101)}.

f) $

adalah 0. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (0100). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka $ membangun ruang bagian siklis

S = {(0000), (0100), (0010), (0001), (1000)}.

g) %

adalah 1. Konstantanya adalah 1. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (1111). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka

(38)

membangun ruang bagian siklis S = {(0000), (1111)} (menunjukkan identitas penjumlahan dan perkalian).

h) &

Sehingga, koefisien adalah 1, koefisien adalah 0, koefisien adalah 0, dan koefisien x adalah 0. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Karena derajat polinomnya 4, maka koefisien dari tidak digunakan dalam membangun ruang bagian siklis. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (0000). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka & membangun ruang bagian siklis

S = {(0000)}.

3.1.4 Ruang Bagian Siklisdari '

Diberikan # dan ambil polinom dengan f(x) = # . Faktorisasi monic dari f(x) adalah

#

(39)

a.

Sehingga, hanya terdapat konstanta dalam yaitu 1. Karena derajat polinomnya 5, maka koefisien adalah 0, koefisien adalah 0, koefisien adalah 0, dan koefisien x adalah 0. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (00001). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(00000), (00001), (10000), (01000), (00100), (00010)}.

b.

Sehingga, koefisien adalah 0, koefisien adalah 0, koefisien adalah 0, dan koefisien x adalah 1. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (00010). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(00000), (00010), (00001), (10000), (01000), (00100)}.

c.

Sehingga, koefisien adalah 1, koefisien adalah 1, koefisien adalah 1, dan koefisien x adalah 1. Konstantanya adalah 1. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (11111). Dengan definisi

S = {(00000), (11111)} (menunjukkan identitas penjumlahan dan perkalian).

(40)

d. #

Sehingga, koefisien #_{adalah 1, koefisien} _{adalah 0, koefisien} adalah 0, koefisien adalah 0, dan koefisien x adalah 0. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Karena derajat polinomnya 5, maka koefisien dari #_{tidak digunakan dalam membangun} ruang bagian siklis. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (00000). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka

Dengan pembentukan ruang bagian siklis dari beberapa monic yang ada tersebut, telah diketahui bahwa # mempunyai tepat 6 ruang bagian siklis. Banyaknya ruang bagian siklis tersebut ditentukan dari ruang bagian siklis terbanyak yang dibentuk dari monic.

3.1.5 Ruang Bagian Siklisdari (

Diberikan $ dan ambil polinom dengan f(x) = $ . Faktorisasi monic dari f(x) adalah

$

#

(41)

%

&

a.

Sehingga, hanya terdapat konstanta dalam yaitu 1. Karena derajat polinomnya 6, maka koefisien #_{adalah 0, koefisien} _{adalah 0,} koefisien adalah 0, koefisien adalah 0, dan koefisien x adalah 0. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (000001). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(000000), (000001), (100000), (010000), (001000), (000100), (000010)}.

b.

Sehingga, koefisien #_{adalah 0, koefisien} _{adalah 0, koefisien} adalah 0, koefisien adalah 0, dan koefisien x adalah 1. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (000010). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis

S = {(000000), (000010), (000001), (100000), (010000), (001000), (000100)}.

c.

Sehingga, koefisien #_{adalah 0, koefisien} _{adalah 0, koefisien} adalah 0, koefisien adalah 0, dan koefisien x adalah 1. Konstantanya adalah 1. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (000011). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun 26

(42)

ruang bagian siklis S = {(00000), (000011), (100001), (110000), (011000), (001100), (000110)}.

d.

Sehingga, koefisien #_{adalah 0, koefisien} _{adalah 1, koefisien} adalah 0, koefisien adalah 1, dan koefisien x adalah 0. Konstantanya adalah 1. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (010101). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(000000), (010101), (101010)}.

e. #

Sehingga, koefisien #_{adalah 0, koefisien} _{adalah 0, koefisien} adalah 0, koefisien adalah 1, dan koefisien x adalah 0. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (000100). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka # membangun ruang bagian siklis S = {(000000), (000100), (000010), (000001), (100000), (010000), (001000)}.

f. $ #

Sehingga, koefisien #_{adalah 1, koefisien adalah -1 maka dianggap} sebagai 0, koefisien adalah 1, koefisien adalah -1 maka dianggap sebagai 0, dan koefisien x adalah 1. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (101010). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka $ membangun ruang bagian siklis S = {(000000), (101010), (010101)}.

(43)

g. % #

Sehingga, koefisien #_{adalah 1, koefisien} _{adalah 1, koefisien} adalah 1, koefisien adalah 1, dan koefisien x adalah 1. Konstantanya adalah 1. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (111111). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka % membangun ruang bagian siklis S = {(000000), (111111)} (menunjukkan identitas penjumlahan dan perkalian).

h. & $

Sehingga, koefisien $_{adalah 1, koefisien} #_{adalah 0, koefisien} adalah 0, koefisien adalah 0, koefisien adalah 0, dan koefisien x

adalah 0. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Karena derajat polinomnya 6, maka koefisien dari $_{tidak digunakan} dalam membangun ruang bagian siklis. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (000000). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka & membangun ruang bagian siklis S = {(000000)}.

Dengan pembentukan ruang bagian siklis dari beberapa monic yang ada tersebut, telah diketahui bahwa $ mempunyai tepat 7 ruang bagian siklis. Banyaknya ruang bagian siklis tersebut ditentukan dari ruang bagian siklis terbanyak yang dibentuk dari monic.

3.1.6 Ruang Bagian Siklisdari )

Diberikan % dan ambil polinom dengan f(x) = % . Faktorisasi monic dari f(x) adalah

% $ #

(44)

$ #

a.

Sehingga, hanya terdapat konstanta dalam yaitu 1. Karena derajat polinomnya 7, maka koefisien $_{adalah 0, koefisien} #_{adalah 0,} koefisien adalah 0, koefisien adalah 0, koefisien adalah 0, dan koefisien x adalah 0. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (0000001). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(0000000) ,(0000001), (1000000), (0100000), (0010000), (0001000), (0000100), (0000010)}.

b.

adalah 1. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (0000010). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(0000000), (0000010), (0000001), (1000000), (0100000), (0010000), (0001000), (0000100)}.

(45)

c. $ #

adalah 1. Konstantanya adalah 1. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (1111111). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(0000000), (1111111)} (menunjukkan identitas penjumlahan dan perkalian).

d. $ # %

Sehingga, koefisien %_{adalah 1, koefisien} $_{adalah 0, koefisien} # adalah 0, koefisien adalah 0, koefisien adalah 0, koefisien adalah 0, dan koefisien x adalah 0. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Karena derajat polinomnya 7, maka koefisien dari % tidak digunakan dalam membangun ruang bagian siklis. Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari (0000000). Dengan definisi ruang

bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis

S = {(0000000)}.

Dengan pembentukan ruang bagian siklis dari beberapa monic yang ada tersebut, telah diketahui bahwa % mempunyai tepat 8 ruang bagian siklis. Banyaknya ruang bagian siklis tersebut ditentukan dari ruang bagian siklis terbanyak yang dibentuk dari monic.

3.1.7 Ruang Bagian Siklisdari

(46)

Untuk n ganjil

* * ₊

a.

Sehingga, hanya terdapat konstanta dalam yaitu 1. Karena derajat polinomnya n, maka koefisien-koefisien dari persamaan tersebut:

,-. /0/. * 121314

5

,-. /0/. 121314

Dengan demikian, akan dibentuk ruang bagian siklis dari ({0 sebanyak (n - 1)}1). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(0 sebanyak n), ({0 sebanyak (n - 1)}1 yang disikliskan)}.

b.

Sehingga, koefisien-koefisien dari persamaan tersebut:

,-. /0/. * 121314

(47)

,-. /0/. 121314

Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari ({0 sebanyak mulai koefisien dari * _{hingga koefisien }10). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka} membangun ruang bagian siklis S = {(0 sebanyak n), ({0 sebanyak mulai koefisien dari * _{hingga koefisien }10 yang disikliskan)}.}

c. * * ₊

,-. /0/. * 121314

5

,-. /0/. 121314

Konstantanya adalah 1. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari ({1 sebanyak (n - 1)}1). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(0 sebanyak n), ({1 sebanyak (n - 1)}1) yang disikliskan)} yang mana ruang bagian siklis yang terbangun tersebut menunjukkan identitas penjumlahan dan perkalian.

d. * * ₊

Sehingga, koefisien - koefisien dari persamaan tersebut:

,-. /0/. 121314 ,-. /0/. * 121314 ,-. /0/. * ₁₂₁₃₁₄ 5 ,-. /0/. 121314 32

(48)

Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Karena derajat polinomnya n, maka koefisien dari tidak digunakan dalam membangun ruang bagian siklis. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari ({0 sebanyak (n - 1)}0). Maka, membangun ruang bagian siklis S = {({0 sebanyak (n - 1)}0)}.

Untuk n genap

* * ₊

#

$ * * +

% * * +

&

a.

Sehingga, hanya terdapat konstanta dalam yaitu 1. Karena derajat polinomnya n, maka koefisien-koefisien dari persamaan tersebut:

,-. /0/. * 121314

(49)

,-. /0/. 121314 ,-. /0/. 121314

Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari ({0 sebanyak (n - 1)}1). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = { (0 sebanyak n), ({0 sebanyak (n - 1)}1 yang disikliskan) }.

b.

,-. /0/. * 121314

5

,-. /0/. 121314

Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari ({0 sebanyak mulai koefisien dari * _{hingga koefisien }10). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka} membangun ruang bagian siklis S = {(0 sebanyak n), ({0 sebanyak mulai koefisien dari * _{hingga koefisien }10 yang disikliskan)}.}

c.

,-. /0/. * 121314 ,-. /0/. * 121314 5 ,-. /0/. 121314 ,-. /0/. 121314 34

(50)

Konstantanya adalah 1. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari ({0 sebanyak mulai koefisien dari * _{hingga koefisien }11). Dengan} definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis

S = {(0 sebanyak n), ({0 sebanyak mulai koefisien dari * _hingga koefisien }11 yang disikliskan)}.

d. * * ₊

,-. /0/. * 121314 ,-. /0/. * 121314 ,-. /0/. * 121314 ,-. /0/. * ₁₂₁₃₁₄ 5 ,-. /0/. 121314 ,-. /0/. 121314

Konstantanya adalah 1. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari ( 010101 dan seterusnya hingga sebanyak n (banyak derajat polinom) ). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(0 sebanyak n), (010101 dan seterusnya hingga sebanyak n yang disikliskan)}.

e. #

,-. /0/. * 121314

(51)

,-. /0/. 121314

Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari ({0 sebanyak mulai koefisien dari * _{hingga koefisien }100). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka} # membangun ruang bagian siklis S = {(0 sebanyak n), ({0 sebanyak mulai koefisien dari * _{hingga koefisien }100 yang disikliskan)}.}

f. $ * * + * * +

,-. /0/. * ₁₂₁₃₁₄

,-. /0/. * 121314 1,1 2/1 16 0.71 1/

5

,-. /0/. 121314 1,1 2/1 16 0.71 1/

,-. /0/. 121314

Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari ( 101010 dan seterusnya hingga sebanyak n (banyak derajat polinom) ). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka $ membangun ruang bagian siklis S = {(0 sebanyak n), (101010 dan seterusnya hingga sebanyak n yang disikliskan)}.

g. % * * + * * +

(52)

,-. /0/. * 121314

5

,-. /0/. 121314

Konstantanya adalah 1. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari ( 111111 dan seterusnya hingga sebanyak n (banyak derajat polinom) ). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka $ membangun ruang bagian siklis S = {(0 sebanyak n), (111111 dan seterusnya hingga sebanyak n)} (menunjukkan identitas penjumlahan dan perkalian).

h. & * * +

,-. /0/. 121314 ,-. /0/. * 121314 ,-. /0/. * 121314 5 ,-. /0/. 121314 ,-. /0/. 121314

Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Karena derajat polinomnya n, maka koefisien dari tidak digunakan dalam membangun ruang bagian siklis. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (0 sebanyak n). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka & membangun ruang bagian siklis S = {(0 sebanyak n)}.

(53)

Dengan menyimpulkan hasil pembentukan ruang bagian siklis dari beberapa monic yang ada pada beberapa polinom diatas, kita ketahui bahwa baik

n ganjil ataupun n genap pada mempunyai tepat n + 1 ruang bagian siklis, untuk . Banyaknya ruang bagian siklis tersebut ditentukan dari ruang bagian siklis terbanyak yang dibentuk dari monic.

3.2 Ruang Bagian Siklisdari !

Pada modulo 3, pengkodeannya adalah 0,1, dan 2.

3.2.1 Ruang Bagian Siklisdari !

a.

Sehingga, hanya terdapat konstanta dalam yaitu 1. Karena derajat polinomnya 2, maka koefisien-koefisien dari persamaan tersebut yaitu koefisien x adalah 0. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (01). 38

(54)

Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(00), (01), (10)}.

b.

Sehingga, koefisien x adalah 1. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (10). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka

membangun ruang bagian siklis S = {(00), (10), (01)}.

c.

Sehingga, koefisien x adalah 1 dan konstantanya adalah 1. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (11). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(00), (11)} (menunjukkan identitas penjumlahan dan perkalian).

d.

Sehingga, koefisien adalah 1 dan koefisien dari x adalah 0. Karena konstantanya adalah -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Karena derajat polinomnya 2, maka koefisien dari tidak digunakan dalam membangun ruang bagian siklis. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (00). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka

(55)

3.2.2 Ruang Bagian Siklisdari ! !

a.

Sehingga, hanya terdapat konstanta dalam yaitu 1. Karena derajat polinomnya 3, maka koefisien dari adalah 0 dan koefisien dari x adalah 0.Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (001). Dengan definisi

S = {(000), (001), (100), (010)}.

b.

Sehingga, koefisien adalah 0 dan koefisien x adalah 1. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (010). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(000), (010), (001), (100)}.

(56)

c.

Sehingga, koefisien adalah 1 dan koefisien x adalah 1. Konstantanya adalah 1. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (111). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis

S = {(000), (111)} (menunjukkan identitas penjumlahan dan perkalian).

d.

adalah 0. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Karena derajat polinomnya 3, maka koefisien dari tidak digunakan dalam membangun ruang bagian siklis. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (000). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(000)}.

3.2.3 Ruang Bagian Siklisdari " !

(57)

#

$

%

&

a.

Sehingga, hanya terdapat konstanta dalam yaitu 1. Karena derajat polinomnya 4, maka koefisien adalah 0, koefisien adalah 0, dan koefisien x adalah 0. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (0001). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(0000), (0001), (1000), (0100), (0010)}.

b.

adalah 1. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (0010). Dengan definisi

S = {(0000), (0010), (0001), (1000), (0100)}.

c.

adalah 0. Dan konstantanya adalah 1. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (0101). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(0000), (0101), (1010)}.

(58)

d.

adalah 1. Konstantanya adalah 1. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (0011). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka

membangun ruang bagian siklis S = {(0000), (0011), (1001), (1100), (0110)}.

e. #

Sehingga, koefisien adalah 1, koefisien adalah -1 maka dianggap sebagai 0, dan koefisien x adalah 1. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (1010). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka # membangun ruang bagian siklis S = {(0000), (1010), (0101)}.

f. $

adalah 0. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (0100). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka $ membangun ruang bagian siklis S = {(0000), (0100), (0010), (0001), (1000)}.

g. %

adalah 1. Konstantanya adalah 1. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (1111). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka

membangun ruang bagian siklis S = {(0000), (1111)} (menunjukkan identitas penjumlahan dan perkalian).

(59)

h. &

Sehingga, koefisien adalah 1, koefisien adalah 0, koefisien adalah 0, dan koefisien x adalah 0. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Karena derajat polinomnya 4, maka koefisien dari tidak digunakan dalam membangun ruang bagian siklis. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (0000). Dengan definisi

ruang bagian siklis, maka & membangun ruang bagian siklis

S = {(0000)}.

3.2.4 Ruang Bagian Siklisdari ' !

Diberikan # dan ambil polinom dengan f(x) = # . Faktorisasi monic dari f(x) adalah

#

(60)

a.

Sehingga, hanya terdapat konstanta dalam yaitu 1. Karena derajat polinomnya 5, maka koefisien adalah 0, koefisien adalah 0, koefisien adalah 0, dan koefisien x adalah 0. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (00001). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(00000), (00001), (10000), (01000), (00100), (00010)}.

b.

Sehingga, koefisien adalah 0, koefisien adalah 0, koefisien adalah 0, dan koefisien x adalah 1. Karena konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (00010). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka

membangun ruang bagian siklis S = {(00000), (00010), (00001), (10000), (01000), (00100)}.

c.

Sehingga, koefisien adalah 1, koefisien adalah 1, koefisien adalah 1, dan koefisien x adalah 1. Konstantanya adalah 1. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (11111). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(00000), (11111)} (menunjukkan identitas penjumlahan dan perkalian).

d. #

Sehingga, koefisien #_{adalah 1, koefisien} _{adalah 0, koefisien} adalah 0, koefisien adalah 0, dan koefisien x adalah 0. Karena

(61)

konstantanya -1, maka konstantanya dianggap sebagai 0. Karena derajat polinomnya 5, maka koefisien dari #_{tidak digunakan dalam membangun} ruang bagian siklis. Sehingga akan dibentuk ruang bagian siklis dari (00000). Dengan definisi ruang bagian siklis, maka membangun ruang bagian siklis S = {(00000)}.

Dengan pembentukan ruang bagian siklis dari beberapa monic yang ada tersebut, telah diketahui bahwa # mempunyai tepat 6 ruang bagian siklis. Banyaknya ruang bagian siklis tersebut ditentukan dari ruang bagian siklis terbanyak yang dibentuk dari monic.

3.2.5 Ruang Bagian Siklisdari ( !

Diberikan $ dan ambil polinom dengan f(x) = $ . Faktorisasi monic dari f(x) adalah

$

#

$

%

&