NUMERIK ANALIZ-76-100

kullamlacak olan temel matematik ile ilgili bazı tamm ve teoremler verilecektir. Bu tammve teoremlergenelolarak nümerikanaliz dersleri için çok önemlidir. Özellikle sürekli fonksiyonlar ile ilgili temel özellikler.

1.1.Önbilgiler

1.1 Önbilgiler

l.Tanım.Her 6>0 sayısınakarşılıkbir 8(&»0 sayısı,

0<l

x

-

xo

l<8(c

)

eşitsizliğini sağlayan tüm x ler için

If(x)-LI <6

olacak şekilde varsa, o zaman L sayısına f(x) fonksiyonunun Xo noktasındaki limiti denir ve

olarak yazılır.

limf(x) =L

x-+xo

f(x) xo-o Xo xo+o ŞekilL. x L+6 .

ı.

L

-s

Burada, x noktasının reel eksen üzerinde Xo noktasına iki yönde yaklaşması

gözden kaçmamalıdır. Yani ·x noktası reel eksen üzerinde Xo noktasına soldan

veya sağdan yaklaşabilir. Eğer limit Xo noktasında varsa her iki yönden de

yaklaşmakla hep bu L sayısı bulunur.

2.Tanım. f(x) ,

X

cJR detanımlı bir fonksiyon ve Xo E

X

olsun. f(x)

fonksiyonunun Xo noktasında sürekli olması için gerekli veyeterli koşulun

olmasıdır. Eğer f(x) , her

x

E

X

için sürekli ise, f(x)'e X üzerinde süreklidir denir ve f(x) EC(X) şeklinde gösterilir.

3.Tanım. {xn}:=ı reel veyakompleks değerli bir dizi olsun. Her s> O için

IX

n -xi < s olacak şekilde yalnız e bağlı pozitif n> N(e) sayısı varsa, {xn}:=ı dizisi x Leyakınsaktır denir.

L.Teorem. Eğer f(x) , Xc JR de tanımlı bir fonksiyon ve Xo EX ıse,

aşağıdaki ifadeler birbirine denktir:

(a). f(x) , Xo noktasında süreklidir;

(b). Eğer, X deki herhangi bir {xJ

:

=

1

dizisi Xo noktasına yakınsıyorsa,

(1.3) olur.

4.Tanım. Eğer f(x) , Xo noktasını içeren bir açık aralıkta tanımlı bir

fonksiyon ise, f(x) fonksiyonunun Xo noktasındaki türevi

(1.4)

ifadesiyle tanımlanır ve I'(xo) ile gösterilir. Bir fonksiyonun X kümesinin her noktasında türevi varsa, bu fonksiyona X kümesinde türevlenebilir denir.

I'(xa) türevi, f(x) fonksiyonunun (xo,/(xo)) noktasındaki teğetinin eğimine eşittir.

y

y=f(x)

x

Şekil 2.

2.Teorem. Eğer f(x) fonksiyonu Xo noktasında türevlenebilirse, f(x) 'fonksiyonu Xo noktasında süreklidir.

aralığında diferensiyellenebilen ve aralığın uçlannda aynı değerleri alan, (f(a)

=

f(b), y

=

f(x) fonksiyonu için öyle bir CE(a,b) noktası vardır ki, f'(c)

=

O olur.

f(x

a b x

Şekil 3.

4.Teorem (Ortalama Değer Teoremi). f(x) fonksiyonu, [a,b] kapalı

aralığında sürekli ve

(

a

,

b)

açık aralığında diferensiyellenebilir ise f'(c)

=

f(b) - f(a)

b-a

(1.5)

olacak şekilde en az bir CE (

a,

b)

vardır.

y

b

x

a c

Şekil 4.

5.Teorem (Ekstrem Değer Teoremi). f(x) kapalı ve sınırlı bir

ve minimum değerlerini [a,b] aralığında alır. Yani [a,b] aralığındaki her xE[a,b] için

(1.6) olacak şekilde Cı,C2 E [

a,

b] noktalan vardır.

6.Teorem (İntegraller için Ortalama Değer Teoremi). g(x) , [a,b] kapalı aralığında integrallenebilen pozitif veya negatif bir fonksiyon olsun. Eğer,

f(x) , [a,b] kapalı aralığında sürekli ise bu durumda bir cE[a,b] için

b b

f

f(x)g(x)dx

=

f(c)

f

g(x)dx (1.7)

a a

olur.

Eğer, g(x) =1 olarakalınırsa, 6.Teorem f(x) fonksiyonunun [a,b] kapalı aralığındaki ortalama değerine karşılık gelir. Yani, g(x) =1 için

1 b f(c)

=

b-a

f

f(x)dx a (1.8) olur. a c Şekil 5. b x

7.Teorem (Genelleştirilmiş Rolle Teoremi). f(x) fonksiyonu, [a,b] kapalı aralığında sürekli ve

(a,

b)

açık aralığında

n

defa diferensiyellenebilir ve

f(xo) =f(xı) = ...=f(xJ =

°

ise, fnı(c) =

°

olacak şekilde en az bir CE(a,b) vardır.

8.Teorem (Sürekli Fonksiyonlar için Ara Değer Teoremi). f(x) fonksiyonu [a,b] kapalı aralığında sürekli olsun. Eğer K, f(a) ve f(b) değerleri arasında herhangi bir sayısı ise, bu durumda f(e) =K olacak şekilde bir e E(a,b) vardır. (Bakınız Şekil 6).

ı.Örnek. xS- 2x3 +3x2 -1 =Odenkleminin [0,1] aralığında bir çözümünün olduğunu gösteriniz.

Çözüm. f(x) =x5 - 2x3 +3x2 -1 fonksiyonu [0,1] aralığında sürekli olduğundan ara değer teoremi uygulanırsa,

.

f (

0)= - k Q:: :l=.f ( olur. Bu demektir ki öyle bir x E(0,1) vardır ki bu x değeri ıçın

xS - 2~ +3x2 -1 =Oolur: ~ f(a) K (b,f(b» Şekil 6. b x f(b

a

c

9.Teorem (Taylor Teoremi). n

>

Obir tamsayı ve

ı

=

nın [a,b] kapalı aralığında sürekli ve (a,b)açık aralığında türevlenebilir olduğunu kabul

edelim. Bu takdirde Xo E[a, b] olmak üzere her x E[a, b] için

.olacak şekilde x ile Xo arasında bir ,;(x) vardır. Burada, (1.10) ve R (x)

=

fn+ı) (,;(x» (x-x )n+ı n (n+1)! O (1.11)

Formülleri ile verilir. Pn(x) ye n.mertebeden Taylor polinomu ve Rn(x) ifadesine de kalan terim yada hata terimi denir.

2.Örnek. f(x)

=

cosx, fonksiyonunun Xo

=

O noktasında ikinci ve üçüncü

mertebeden Taylor polinomunu bulunuz. Yaklaşık olarak oos(O.Ol) değerini hesaplayınız.

çözüm. f(x) =cosx fonksiyonu JR-de sürekli olduğundan n> O ıçın Taylor Teoremini uygulayalım: n=~için

cos x

=

1-

.

!

..

x2

+

.

!

..

x3 sin ç (x)

2

6

elde edilir. Burada ç(x), O ile x arasında birsayıdır. Elde ettiğimiz Taylor Polinomunda

x

=

0.01 yazarsak,

cos(O.Ol)

=

1-.!..(0.01)2 +.!..(O.Oli sinç(x).

2

6

=

0.99995 +(0.166)

x

ıo

-

6 sin,;(x)

x

::..ı 1

Y

=

pı (x)

=

1- 2x2

Şekil 7.

Burada 0< ç(x) < 0.01 dir. sinç(x) fonksiyonunun alabileceği en büyük değer 1 olacağından,

i

sinç(x)

1<

1 olarak alınırsa virgülden sonra altı ondalık basamak doğrulukla, cos(O.OI)

=

0.999950bulunur. Eğer standart trigonometrik tablo kullanılırsa, cos(O.OI) =0.9999500004 olduğu görülür.

Şimdi de

n

= 3 için Taylor polinomunu yazalım

_..

_c

. Bu durumda, 1t 6 1

cosx

=

l--x2 +_x4 cosç(x)

2 24 .

elde edilir. 0< ç(x) <0.01 dir. Böylece yine n=2 için elde ettiğimiz Taylor polinomunu elde ederiz, fakat hata terimi,

1_1 X4COSç(X)I:s;-1 (0.01)4(1)~4.2xl0-ıo

24 24

~'Ck\\\\\\'C\\\ı. Bu \\eger 'laylor pounomunôa yerıne yazılırsa, cos(O.Ol) 'in gerçek değerine çok yakın bir değer elde edilir.

3.Örnek.

..

J105

sayısının yaklaşık değerini bulunuz.

çözüm. f(x)

=

J;

,

X

=

105 ve Xo

=

100 olarak alıp n

=

1 için Taylor

Buradan Taylor polinomu

ı

Pı(x)

=

f(xo)

+

c-

(x-xo) 2",xo olarak elde edilir, verilen değerler yerine yazılırsa, .

Pı(lOS)=10+ ~(LOS -100) 2,,100 1 =10+ -4 =10.25

olarak bulunur. Yapılan hata ise

şeklindedir. Burada

ç

(x) E(ı 00,105). Verilen değerler yerine yazılırsa,

Rı

(105)

= _

.

25 8~ç(X)3

elde edilir. Yaptığımız hatayı, (100,105) aralığında yapabileceğimiz en büyük

hata olarak seçersek (çünkü

ç

(x) E(100,105)dir),

-25 = 25 < 25 = 25 =_1_·=0.003 8~ç(xY 8~ç(X)3 8.Jı003 8x ıooo 320

olur. Böylece,

"'105:::::10.25

+

0.003 =10.253

4.Örnek. (1.1y/5sayısı, virgülden sonra dört ondalık basamak doğrulukla hangi aralıkta bulunur.

çözüm. f(x)=(1+xY(s, x=O.1 ve xo =0 olarak alıp n=2 için Taylor Teoremini uygulayalım.

dir. Buradan Taylor polinomu

1 . 4 2

P (x)

=

f(x )+ (x - x )- (x - x )

2 o 5(1+xo)4Is o 2!x25(1+xO)9IS o

dir. Verilen değerler yerine yazılırsa,

!;((1.1Y;S)=1.000+_1_(0.1-0)- 4 (0.1-0)2 =1.0208 5(1) 2!x 25(1)

elde edilir. Yapılan hata,

Rı

=~

f"'(ç(x))(X-xo)3 3!

~~ 36 (x-x

Y

- 3! 1251(1 +ç(X)Y4 o

dir. Burada, .; (x), O ile O.

ı

arasında bir sayıdır. Böylece, verilen değerler yerine yazılırsa, Rı =~ 36 (0.1-0)3 3!1251(1+ç(X)Y4 . 36 (0.1)3 =---125 6

=

0.000048

bulunur. Buradan verilen (1.ly/5 sayısının yaklaşık değeri, 1.0208- 0.000048 < (1.1y/5 < 1.0208+ 0.000048

1.020752 < (1.ı)!15 < 1.020848 olarak elde edilir.

Taylor Teoremindeki kalanthata) terimi i(x) fonksiyonunun (n+1). mertebeden türevin integrali cinsinden de ifade edilebilir.

10.Teorem. n ~ Obir tamsayı ve

r:

nin [a, b] kapalı aralığında sürekli ve (a,b) açık aralığında diferensiyellenebilir olduğunu kabul edelim. Bu takdirde Xo E[a,b] olmak üzere her x E[a,b] için

f(x)

=

p,,(x) +Rn(x) (1.12) olacak şekilde x ile Xo arasında bir ~(x) vardır.

Burada,

(1.13)

ve

Rn(x)=~

rx

i<n+ıl(t)(x~tYdt

n!

Jxo

(1.14)

formülleri ile verilir.

Alıştırmalar

1.

i

(x)

=

1- e"+(e- 1) sine(Jr/2)x) olsun.

if

(x) türev fonksiyonunun

[0,1] aralığında en az bir defa sıfır olabileceğini gösteriniz.

2. x3 =e" sin x denkleminin [1,4] aralığında en az bir çözümünün

olduğunu gösteriniz.

i(x) =(x-a)(x-b)

4. i(x)

=

(x-1)tanx+xsin/'Z"X olsun. [0,1] aralığındaki bazı x değerleri için I'(x) =O olduğunu gösteriniz.

5. i (x)

=

xsin mx- (x- 2)Inx olsun. [1,2] aralığındaki bazı x değerleri

için

1'

(

x)

=

O olduğunu gösteriniz.

6. I(x)

=

(x-2)sinxln(x+2) olsun. [-1,3] aralığındaki bazı x değerleri için I'(x) =O olduğunu gösteriniz.

7. Ara değer ve Rolle teoremlerini kullanarak

i

(x)

=

x3 +2x +k

fonksiyonunun grafiğinin x-eksenini k değeri ne olursa olsun yalmz bir kez kestiğini gösteriniz.

8. f(x)

=

e" cos x fonksiyonunu Xo

=

O noktasında dördüncü mertebeden

Taylor serisine açınız. Bu açılımı kullanarak yaklaşık olarak i(tr /16)

değerini ve yapılan hatayı hesaplayınız.

9. f(x) =ex2 fonksiyonunu Xo

=

1noktasında dördüncü mertebeden Taylor serisine açımz. Bu açılımı kullanarak yaklaşık olarak

i

(1.1) değerini bulunuz veyapılan hatayı hesaplayınız.

10. [a,b]aralığındaki x değerleri için

fonksiyonunun minimum değerinin -(b:..- a) /2 olduğunu gösteriniz.

1

ı

.

Ortalama değer teoremini kullanarak

i

sina - sinb

iQ

a- b

i

olduğunu gösteriniz. Bu sonucu kullanarak

i

sina+ sinb

iQ

a+b

i

olduğunu gösteriniz.

12. Xo

=

tr /4 ıçın Taylor polinomunu kullanarak cas 42° yı 10-6

doğrulukla hesaplayınız.

1

3.

Xo

=

1için Taylor polinomunu kullanarak ln(1.1) değerini ve yapılan

İÇİNDEKİLER

ÖNSÖZ ... iii

1. GİRİŞ ... 1

1.1 Mühendislik Problemlerinin Çözümü ... 1

1.2 Programlama Dilleri ve Hazır Yazılımlar... 4

1.2.1 Excel ... 11

1.2.2 Matlab ... 12

1.2.3 Mathematica ... 13

1.3 Sayısal Hesaplama ve Hatalar ... 14

1.3.1 Bağıl hata ... 14 1.3.2 Mutlak hata ... 15 1.3.3 Yaklaşım hatası ... 16 1.3.4 Kesme hatası ... 18 1.3.5 Yuvarlatma hatası ... 22 1.4 Bölüm Soruları ... 27

2. EŞİTLİKLERİN KÖKLERİNİN BULUNMASI ... 29

2.1 Grafik Yöntemler ... 31

2.2 Aralık Yarılama Yöntemi ... 32

2.3 Kiriş yöntemi (Yer Değiştirme) ... 39

2.4 Basit iterasyon yöntemi ... 44

2.5 Newton-Raphson yöntemi ... 50

2.6 Programlar ... 54

3. DOĞRUSAL DENKLEM TAKIMLARININ ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ ... 55

3.1 Matrisler ve Matrislerle İlgili İşlemler ... 58

3.1.1 Alt ve üst üçgen matris ... 59

3.1.2 Birim ve Köşegen matris ... 60

3.1.4 Transpoze matris ... 61 3.1.5 Simetrik matris ... 62 3.1.6 Kofaktör matris ... 62 3.1.7 Ek matris ... 64 3.1.8 Ters matris ... 64 3.1.9 Ortogonal Matris ... 64 3.1.10 Matrislerde Toplama ... 64 3.1.11 Matrislerde Çarpma ... 66

3.2 Ters matris alarak denklem takımlarının çözümü... 67

3.3 Gramer yöntemi. ... 71

3.4 Gauss Eleme yöntemi. ... 76

3.4.1 Pivotlama ... 84

3.5 Gauss Jordan yöntemi... 91

3.6 Ayrıştırma Yöntemi ... 96

3.7 Gauss Siedel yöntemi. ... 104

4. DOĞRUSAL OLMAYAN DENKLEM TAKIMLARININ ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ ... 113

4.1 İki değişkenli eşitlikler (Newton Raphson) ... 115

4.2 Üç değişkenli eşitlikler (Newton Raphson) ... 117

4.3 Basit İterasyon Yöntemi ... 123

4.4 Programlar ... 127

5. SONLU FARK TABLOLARI ... 129

5.1 İleri yön sonlu farklar ... 134

5.2 Geri yön sonlu farklar ... 140

5.3 Merkezi Farklar ... 145

6. ENTERPOLASYON ... 151

6.1 İleri yön Sonlu Fark Enterpolasyon ... 153

6.2 Geri Yön Enterpolasyon ... 157

6.4 Lagrange enterpolasyon... 163

6.4.1 İki nokta için Lagrange enterpolasyon ... 164

6.4.2 İkiden fazla nokta için Lagrange enterpolasyon ... 165

6.5 Ters Enterpolasyon ... 172

6.6 İki boyutlu Lagrange enterpolasyon ... 175

7. SAYISAL TÜREV ... 179

7.1 Geri yön sayısal türev ifadesi ... 180

7.2 İleri yön sayısal türev ifadesi ... 181

7.3 Merkezi yön sayısal türev ifadesi ... 182

7.4 Taylor Serisiyle Sayısal Türev ... 186

7.4.1 Çok Noktalı Türev Bağıntıları ... 188

7.5 Enterpolasyon Bağıntısıyla Sayısal Türev (Gregory-Newton) ... 191

7.6 Bessel Bağıntısı İle Sayısal Türev ... 192

7.7 Programlar ... 195

8. SAYISAL ENTEGRAL ... 199

8.1 Trapez (yamuk) yöntemi. ... 207

8.2 Simpson Yöntemi. ... 215

8.2.1 Simpson 1/3 Kuralı(2.dereceden polinom) ... 215

8.2.2 Simpson 3/8 Kuralı(3.dereceden polinom) ... 221

8.3 Belirsiz Katsayılarla Sayısal Entegral ... 228

8.4 İki Katlı Entegrallerin Sayısal Çözümleri... 233

8.5 Programlar ... 237

9. EĞRİ UYDURMA ... 241

9.1 En Küçük Kareler Yöntemi. ... 242

9.1.1 En Küçük Kareler Yöntemi ile Doğru Uydurma... 244

9.1.2 En Küçük Kareler Yöntemi ile 2. Dereceden Polinom Uydurma ... 245

9.2 Üstel Dağılımlı Verilere En Küçük Kareler Yönteminin Uygulanması... 251

9.3 Rasyonel Dağılımlı Verilere En Küçük Kareler Yöntemiyle

Eğri Uydurma ... 255

9.4 Çok Değişkenli Doğrusal Eğri Uydurma ... 260

9.5 Programlar ... 264

10. BAYAĞI DİFERANSİYEL DENKLEMLER ... 271

10.1 Bayağı Diferansiyel Denklemlerin Çözümleri ... 275

10.2 Taylor Serisi Yöntemi ... 279

10.3 Euler ve Düzeltilmiş Euler Yöntemi ... 284

10.4 Runge-Kutta Yöntemleri ... 295

10.4.1 İki Adımlı Runge-Kutta Yöntemi ... 296

10.4.2 Dört Adımlı Runge-Kutta Yöntemi ... 303

10.4.3 Runge-Kutta-Fehlberg Yöntemi ... 307

10.4.4 Çok Adımlı Yöntemler ... 311

10.4.4.1 Adams Yöntemleri ... 312

10.4.4.2 Entegral Yöntemleri(Newton-Cotes) ... 320

10.4.4.3 Milne Yöntemi ... 323

10.4.5 Çok Değerli Yöntemler ... 326

10.5 Yüksek Mertebeden Bayağı Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümleri ... 335

10.5.1 Taylor Serisi Yöntemi ... 336

10.5.2 Düzeltilmiş EulerYöntemi ... 338

10.5.3 Runge-Kutta Yöntemi ... 342

10.5.4 Adams-Moulton Yöntemi ... 347

10.6 Eşitliklerin Yakınsama Zorlukları ... 350

10.7 Sınır Değer Problemleri ... 353

10.7.1 Kestirme Düzeltme Yöntemi(Shooting) ... 353

10.8 Programlar ... 364

11. KISMİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ ... 371

11.1 Eliptik Tip Kısmi Diferansiyel Denklemler ... 373

11.3 Kısmi Türevli İfadelerin İterasyonla Çözümleri ... 389

11.3.1 Gauss Seidel Yöntemi ... 389

11.3.2 SOR Yöntemi ... 393

11.3.3 Poisson Eşitliklerinin İterasyonla Çözümleri ... 396

11.4 Türev Sınır Şartı Altında Çözüm ... 398

11.5 Düzensiz Sınırlı geometrik Sistemlerin Çözümü... 403

12. PARABOLİK TİP KISMİ TÜREVLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ ... 407

12.1 Açık Çözüm Yöntemi ... 410

12.2 Crank-Nicolson Yöntemi... 415

12.3 Theta (θ) Yöntemi ... 418

12.4 İki ve Üç Boyutlu Parabolik Tip Kısmi Türevli İfadeler ... 419

12.5 Programlar ... 420 13. ÇÖZÜLMÜŞ PROBLEMLER ... 425 13.1 Problem 1 ... 425 13.2 Problem 2 ... 427 13.3 Problem 3 ... 428 13.4 Problem 4 ... 430 13.5 Problem 5 ... 432 13.6 Problem 6 ... 433 13.7 Problem 7 ... 434 13.8 Problem 8 ... 436 13.9 Problem 9 ... 438 13.10 Problem 10 ... 438 13.11 Problem 11 ... 439 13.12 Problem 12 ... 441 Kaynaklar ... 449 Dizin .... ...

3

___________________________________________________________

DOĞRUSAL DENKLEM

TAKIMLARININ ÇÖZÜM

YÖNTEMLERİ

3. _{DOĞRUSAL DENKLEM TAKIMLARININ ÇÖZÜM} YÖNTEMLERİ

Eşitliklerin köklerinin bulunmasına ilişkin daha önceki bölümde bir denklemin denkliği sağlayan ve fonksiyonu f(x)=0 yapan değerin nasıl bulunacağına dair yöntemlerden bahsedildi. Burada bu eşitliklerin birden fazla denklemden oluşması durumunda bu eşitlikleri sağlayan değerlerin nasıl bulunacağı gösterilecektir. Denklem takımlarının çözümü için genelde bilinmeyen sayısınca eşitlik vardır. Böylece (n) adet bilinmeyeni bulunan (n) tane denklemi aşağıdaki şekilde tanımlayabiliriz.

f1(x1, x2, x3, ...,xn)=0 (3.1a)

f2(x1, x2, x3, ...,xn)=0 (3.1b)

...

fn(x1, x2, x3, ...,xn)=0 (3.1c)

Bu eşitliklerin genel ifadesi olan yukarıdaki şekilden anlaşılacağı üzere bu denklemlerde x1, x2, ..., xn olarak gösterilen bilinmeyenlerin belirlenmesi

denklemlerin hepsinin beraber çözümünü gerektirir. Daha sonraki alt bölümlerde gösterileceği gibi bu denklemlerde bilinmeyenlerin birbirinden farklı katsayılarının bir de bilinmeyenlerin çarpanları dışında sabit değerlerin bulunması mümkündür. Sabit katsayılar, sabitler ve bilinmeyenlerden oluşacak şekilde yukarıdaki eşitlikler (3.1a)- (3.1n) yeniden düzenlenecek olursa aşağıdaki şekilde gösterilebilir.

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 (3.2a)

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 (3.2b)

...

an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn (3.2n)

Denklem sayıları az olduğu zaman çözüm için özel yöntemler kullanmak gerekmeyebilir. Bunların en basitleri bilinmeyenleri denklemlerden sırasıyla çekerek bir sonraki denklemde yerine koymak ve çözmek çok tercih edilen bir yoldur. Ancak denklem sayılarının artması elle çözmeyi hem zorlaştırmakta hem de hata yapma ihtimalini artırmaktadır. Bu nedenle diğer bir çok uygulamada olduğu gibi bu durumda da bilgisayar kullanmak kaçınılmaz gibi gözükmektedir.

Bu tür denklemlerin ilk bakışta fiziksel yorumlarını yapmak ve neleri temsil ettiklerini anlamak güç olabilir. Bu problemi düşünen kişinin hangi konulara yatkın olduğuna, branşına bağlı olarak anlatılmasında yarar vardır. Ancak her dalda uygun örnekler bulunmayabileceği düşünülerek burada mühendislerin çoğunun yatkın olduğu basit bir problem üzerinde konunun fiziği gösterilmeye çalışılmıştır.

Şekil 3.1 Doğrusal denklem takımlarının fiziksel anlamı.

Yukarıdaki Şekil 3.1’de gösterilen bir su şebekesinde gösterilen H1, H2

ve H3 noktalarında tüketim miktarları zaman zaman değişmekte ve bu değerler

sistemden çekilmesi gereken toplam su miktarını göstermektedir. Bu üç nokta birbirlerine iki yönlü olarak bağlıdırlar. Suyun kayıpsız bu noktalara ulaştığı düşünülerek her noktada kütlenin korunumu prensibinin geçerli olduğunu yani

A1,u1 A2,u2 A3,u3 A4,u4 H1 H₂ H3

denklem takımının çözümünden denklemlerin bilinmeyenleri olan dört hız değerlerinin bulunmasıdır.

3.1 _{Matrisler ve Matrislerle İlgili İşlemler}

Matrisler satır ve sütunlardan oluşan iki boyutlu dizilere denilmektedir. Matrisler tek satır veya tek sütundan meydana geldiğinde buna vektör veya tek boyutlu dizi adı verilmektedir. Matrislerle ilgili işlemler gelecek konuların içerisinde çok sıkça karşımızı çıkmasından ve bunlarla ilgili işlemlerin çok kısa bir şekilde tekrar edilmesinde konu gereği yarar olacağı düşüncesiyle buraya konuldu. Matrisler genelde köşeli parantezler içerisindeki isimleriyle [A] şeklinde gösterilirler. Matrisler bir satırdan veya bir sütundan oluşuyorsa bunlara sırasıyla satır matrisi veya sütun matrisi veya doğrudan vektör denilmektedir. Satır sayısı bir olan[A] satır matrisi aşağıdaki gösterimlerle tanımlanabilir.

)

n

,...,

2

,

1

i

(

A

i

=

(3.5)

[ ] [

]

n 1 n 2 1

a

....

a

a

a

A

=

− (3.6)

Sütun sayısı bir olan bir olan [B] sütun matrisi satır matrisinde olduğu gibi aşağıdaki şekilde gösterilebilir.

)

n

,...,

2

,

1

i

(

B

_i

=

_(3.7)

[ ]

            = n 2 1 b ... b b B (3.8)

Satır ve sütun sayıları birden fazla olan diziye ise doğrudan matris denilmektedir. Matrisin satır sayısı (n) ve sütun sayısı (m) olarak tarif edildiğinde genelde nxm boyutunda matris olarak söylenir. Bilgisayar ortamındaki kullanımlarda satır veya sütun matrisler tek boyutlu dizi matrisler ise iki boyutlu dizi olarak bilinir. Aşağıdaki satır indisi (i) ve sütun indisi(j) olarak gösterilen nxm boyutundaki iki boyutlu dizi veya matris gösterilmiştir.

[

]

(

)

(

j 1,2,...,m

)

n ,..., 2 , 1 i A_i,j = = (3.9)

[ ]

                = nm 3 n 2 n 1 n m 3 33 32 31 m 2 23 22 21 m 1 13 12 11 a ... a a a ... ... ... ... ... a ... a a a a ... a a a a ... a a a A (3.10)

Fiziksel olaylarla ilgili tanımlamalarda ve gösterimlerde matrisler genelde kare matris olarak karşımıza çıkar. Satır sayısı(n) ve sütun sayısı(m) olan bir matriste Matrisin satır ve sütun saylarıyla ilgili aşağıdaki tanımlamalar yazılabilir.

n = m olduğunda matris kare matris n ≠≠≠≠ m olduğunda dikdörtgen matris n=1 satır ve m>1 sütun ise satır matris, n>1 satır ve m=1 sütun ise sütün matris 3.1.1 _{Alt ve üst üçgen matris}

Matrislerde satır sayısının sütun sayısına eşit olduğu elemanların oluşturduğu ve matrisin sol üst köşesinden sağ alt köşesine doğru elemanların bulunduğu diziye matrisin köşegeni denilir. Köşegen üstündeki elemanların tamamı sıfıra eşitse alt üçgen matris ve matrisin köşegeni altındaki elemanları tamamı sıfıra eşitse üst üçgen matris olarak bilinir. Aşağıda sırasıyla alt ve üst üçgen matris gösterimi yapılmıştır.

[ ]

_A a a a a a a a_i a_i a_i a_ij =                 11 21 22 31 32 33 1 2 3 0 0 0 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... (3.11)

[ ]

_A a a a a a a a a a a j j j ij =                 11 12 13 1 22 23 2 33 3 0 0 0 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... (3.12)

3.1.2 _{Birim ve köşegen matris}

Birim matris köşegeni üzerindeki elemanlarının tamamı bire eşit olan matrise denilir. Birim matris çoğu zaman [I] sembolüyle gösterilir. Birim matris matrislerle ilgili işlemlerde matematikteki bir sayısının fonksiyonuna benzer bir özellik gösterir. Aşağıda tanıma uygun olarak birim matris gösterimi yapılmıştır.

[ ]

_{A =}                 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... (3.13)

Köşegen matris ise sadece köşegeni üzerinde değer bulunan diğer elemanlarının tamamı sıfıra eşit olan matrise denilmektedir. Aşağıda tanıma uygun olarak köşegen matris gösterimi yapılmıştır.

[ ]

_A a a a a_ij =                 11 22 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... (3.14) 3.1.3 _{Bant matris}

Matris elemanlarının köşegen etrafında belli bir disipline göre dizilmesinden ve matris köşegenin bu belli mesafe dışındaki matris elemanları sıfıra eşitse bu oluşumdaki matrise bant matris veya bant yapısında matris

denilir. Aşağıda bant matris yapısında bir matris gösterilmiştir. Köşegen etrafındaki elemanların sayısına bant genişli denilmektedir. Aşağıda gösterilen matriste bant genişliğinin beş olduğu görülmektedir.

[ ]

_A a a a a a a a a a a a a a a a a a a_{i j} a_{i j} a_i = − − − − − 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 1 3 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... , , , , , j i j i j i j i j a a a a − − − −                           1 1 2 1 (3.15) 3.1.4 _{Transpoze matris}

Bir matrisin satır ve sütunlarını değiştirerek elde edilen yeni matrise önceki matrisin transpozu denilir. Transpoz matris [A]T ile gösterilir. Simetrik bir matrisin transpozu yine kendisine eşittir.

[ ]

_{A =}           1 2 3 4 5 6 7 8 9 (3.16)

[ ]

_A T =           1 4 7 2 5 8 3 6 9 (3.17)

Okutulan bir [A] matrisinin okutup transpozunu alarak [B] matrisine taşıyan bir taslak program örneği aşağıda verilmiştir. Bu taslak programda iki matris kullanılmıştır. Ancak tek matris kullanılarak aynı matris içerisine transpozu alınmış olan matris taşınabilirdi. İkinci durumda ilk matris değişmiş olacak ve orijinal matrisin kaybolacağı unutulmamalıdır.

İki Matris Kullanarak Aynı matris içerisine INPUT n, m DO i=1,n DO j=1,m INPUT a( i,j) END DO END DO DO i=1,n DO j=1,m b(i,j)=a(i,j) END DO END DO INPUT n, m DO i=1,n DO j=1,m INPUT a( i,j) END DO END DO DO i=1,n DO j=i,m x=a(i,j) a(i,j)=a(j,i) a(j,i)=x END DO END DO 3.1.5 _{Simetrik matris}

Bir matrisin transpozu kendisine eşitse o matris simetrik matristir. Yani birebir karşılıklı aynı numaralı satır elemanları sütun elemanlarına eşitse bu matrise simetrik matris denilmektedir. Bir başka gösterimle [Ai,j=Bj,i

(i=1,2,..,n), (j=1,2,...,n)]olan matris simetriktir.

[ ]

_A T =           1 2 3 2 5 6 3 6 9 (3.18) 3.1.6 _{Kofaktör matris}

Bir matrisin herhangi bir elemanının bulunduğu satır ve sütün silinerek elde edilen matrisin işaretli determinantı o elemanın kofaktörü veya minörü olarak tanımlanmaktadır. Bu işlem bütün elemanlar için tekrarlanır ve yerlerine konulursa elde edilen yeni matris kofaktör matris olarak bilinmektedir.

[ ]

_A a a a a a a a a a =           1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 , , , , , , , , , (3.19)

[A] matrisinin i.satır ve j.sütün elemanını (ai,j) ile göstererek bu elemanın kofaktör matrisi aşağıdaki algoritma ile hesaplanabilir.

1. (a_i,j)’nin bulunduğu satır ve sütün silinir.

2. Geri kalan matrisin işaretli determinantı hesaplanır. 3. Böylece (a_i,j)’nin kofaktörü(minörü, M_i,j) bulunmuş olur.

Bir diğer şekilde ai,j Kofaktörünü bulmak için aşağıdaki eşitlik kullanılabilir.

Kofaktör (a_i,j) = (-1) i+j . M_{i,j (3.20)}

Bu işlem adımları bütün elemanlar için tekrar edilerek hesaplamalar sonucunda yine aynı satır ve sütun sayısına sahip yeni bir matris elde edilmiş olur. Bu yeni matris hesaplamadan önceki matrisin kofaktör matrisidir. Kofaktör matrisi bulurken her eleman için bir determinant hesaplaması yapılmaktadır. Matrisin determinantının hesaplaması bu bölüm içerisinde ilerleyen bölümlerde gösterilecektir. Eşitlik (3.20) kullanılarak bir matrisin kofaktör matrisi aşağıdaki şekilde adım adım hesaplanabilir.

(a1,1) = (-1)1+1 . M1,1 (3.21) Kofaktör (a1,1)=(-1)1+1

a

a

a

a

2 2 2 3 3 2 3 3 , , , , (3.22) Kofaktör (a2,1)=(-1)2+1 a a a a 1 2 1 3 3 2 3 3 , , , , (3.23)

Böyle devam edilerek matrisin bütün elemanları için aynı işlemler yapılarak aşağıda gösterildiği gibi bulunan değerler yerlerine konularak Kofaktör A matris elde edilir.

Kofaktör

[ ]

A K f a K f a K f a K f a K f a K f a K f a K f a K f a =           . .( ) . .( ) . .( ) . .( ) . .( ) . .( ) . .( ) . .( ) . .( ) ,1 , , ,1 , , ,1 , , 1 1 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 (3.24)

3.1.7 _{Ek matris}

Kofaktör matrisin satır ve sütunlarının yer değiştirilmesinden yani kofaktör matrisin transpozu alınarak elde edilen yeni matrisine ek matris denilmektedir.

Ek matris [A] ={K.fak.[A] }T (3.25)

3.1.8 _{Ters matris}

Bir matrisin ek matrisinin yine aynı matrisin determinantına bölünmesi ile elde edilen yeni matrise o matrisin ters matrisi denilir. Ters matris [A]-1 şeklinde gösterilir ve aşağıdaki eşitlik (3.26) ile hesaplanır.

[ ]

A

.

Det

A

.

Ek

A

−1

=

_(3.26) 3.1.9 _{Ortogonal Matris}

Genellikle eksen dönüşümlerinde kullanılan bu matris tanımlamasında bir matrisin ortogonal olabilmesi için matrisin transpozunun o matrisin tersine eşit olması gerekir. Bu durum sağlanıyorsa o matrise ortogonal matris denilir.

[A] = [A]-1 (3.27)

3.1.10 _{Matrislerde Toplama}

Matrislerde toplama işlemi aynı boyutlardaki iki matris üzerinde gerçekleştirilir ve aynı konumdaki elemanlarının toplanmasıyla yapılır. Aşağıdaki eşitlik (3.28) ile verilen [A] ve [B] matrislerini toplayacak olursak karşılıklı aynı elemanların toplanmasından elde edilen aynı büyüklükteki yeni [C] matrisi aşağıdaki eşitlik (3.29) şeklinde bulunur.

[ ]

_A a a a a a a a a a

=

          1 1 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 ,1 , , ,1 , , ,1 , , ,

[ ]

B b b b b b b b b b

=

          1 1 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 ,1 , , ,1 , , ,1 , , (3.28)

[ ] [ ] [ ]

          + + + + + + + + + = + = 3 , 3 3 , 3 2 , 3 2 , 3 1 , 3 1 , 3 3 , 2 3 , 2 2 , 2 2 , 2 1 , 2 1 , 2 3 , 1 3 , 1 2 , 1 2 , 1 1 , 1 1 , 1 b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A C (3.29)

Matrislerde toplama işlemine ilişkin taslak program örneği aşağıda verilmiştir. Bu taslak programda matrislerin okuma işlemi de verilmiştir. Ancak aynı listede ancak ikinci kutucukta verilen programda ise gönderilen iki matrisin toplamını yaparak sonucu ana programa gönderen bir taslak alt program verilmiştir.

Matrislerin Okuma ve

Toplama Taslak programı

İki Matrisin Toplamını Yapan Alt Program Taslağı

INPUT n, m DO i=1,n DO j=1,m

INPUT a( i,j),b( i,j) c(i,j)=a(i,j)+b(i,j) END DO END DO Procedure Mtopla(a,b,c,m,n) DO i = 1, n DO j = 1, m

c(i, j) = a(i, j) + b(i, j) END DO

END DO End Procedure

Program 3.1 İki matrisin toplamını bulan program ve alt program örneği (Visual Basic).

Dim a(10, 10), b(10, 10), c(10, 10) As Single Dim n, m As Integer

Private Sub Form_Load()

n = Val(InputBox("Satır Sayısını giriniz")) m = Val(InputBox("Sütun Sayısını giriniz")) Show For i = 1 To n For j = 1 To m Msg = "(" + Str(i) + "," + Str(j) + ") giriniz" a(i, j) = Val(InputBox("A" + Msg)) b(i, j) = Val(InputBox("B" + Msg)) Next Next Mtopla End Sub

Public Sub Mtopla()

Show

For i = 1 To n For j = 1 To m c(i, j) = a(i, j) + b(i, j) Print c(i, j);

Next Print Next

3.1.11 _{Matrislerde Çarpma}

Matrislerin birbirleriyle çarpılabilmesi için, birinci matrisin satır elemanlarıyla ikinci matrisin sütunları çarpılarak çarpım sonucu elde edilir.

_[Ai,j

]

ve

[Bm,n] gibi iki matrisin

çarpma işleminin gerçekleşebilmesi için (j=m) olmalıdır. Çarpma işlemi sonucunu [C] gibi bir matriste toplayacak olursak aşağıdaki eşitlik (3.30) ile tanımlayabiliriz. Bu eşitliğin açınımı devamındaki eşitlik (3.31) ile verilen matrislerin çarpımı şeklinde eşitlik (3.32) ile gösterilmiştir.

∑

= = n 1 k j , k k , i j , i a .b c (3.30)

[ ]

_A a a a a a a a a a

=

          1 1 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 ,1 , , ,1 , , ,1 , , ,

[ ]

B b b b b b b b b b

=

          1 1 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 ,1 , , ,1 , , ,1 , , (3.31)

[ ]

_C

[ ] [ ]

_{A B} C a b a b a b C a b a b a b C a b a b a b C a b a b a b C a b a b a b C = ⇒ = + + = + + = + + = + + = + + . ,1 ,1 ,1 , ,1 , ,1 , ,1 , , , , , , ,1 , , , , , ,1 ,1 ,1 , ,1 , ,1 , ,1 , , , , , , 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 3 3 2 1 3 1 1 3 1 2 2 3 1 3 3 3 2 2 1 2 2 2 2 3 3 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 = + + = + + = + + = + +                               a b a b a b C a b a b a b C a b a b a b C a b a b a b 2 1 3 2 2 2 3 2 3 3 3 3 3 1 3 2 2 3 3 3 3 2 3 1 2 3 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 1 3 3 2 2 3 3 3 3 3 ,1 , , , , , ,1 ,1 ,1 , ,1 , ,1 , ,1 , , , , , , ,1 , , , , , (3.32)

Matrislerde bölme işlemi yoktur. Ancak matris herhangi bir sayıya bölünebilir. İki matrisin çarpılmasına ilişkin (n)x(m) boyutundaki [A] matrisi ile (m)x(k) boyutundaki [B] matrisinin çarpımı için program deyimleri aşağıda gösterilmiştir.

Procedure Mcarp(a,b,c,n,m,k) DO i=1, n DO j=1, k T=0.0 DO s=1 TO m T = T + a(i,s)*b(s,j) ENDDO c(i,j)=T ENDDO ENDDO END Procedure

3.2 _{Ters matris alarak denklem takımlarının çözümü}

Daha önce söz edildiği gibi mühendislikte bir çok problem karşımıza denklem veya denklemler şeklinde çıkar. Bu denklemlerin veya bir başka deyişle denklem takımlarının çözümü için çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. Bu yöntemlerin çalışma şekilleri, çözüm algoritmaları ve bazılarının program deyimleri ilerleyen bölümlerde anlatılmaktadır. Ancak bu bölümde çözümü yapılacak denklemler doğrusal denklemlerdir. Bu denklemlerin genel yapıları bilinmeyen sayısınca denklemden oluşan eşitliklerdir. Bu eşitliklerin genel tanımı ve matris şeklinde yazılışları aşağıda şekilde gösterilebilir.

a11x1+a12x2+a13x3=b1 (3.33a) a21x1+a22x2+a23x3=b2 (3.33b) a31x1+a32x2+a33x3=b3 (3.33c) a a a a a a a a a x x x b b b 1 1 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 1 2 3 1 2 3 ,1 , , ,1 , , ,1 , , .                     =           (3.34) [A] . [X] = [B] (3.35)

Burada eşitlik (3.34) deki [A] matrisi ile [X] matrisinin çarpımı eşitlik (3.33) deki denklemlerin sol tarafını veren matrisin elemanları olduğu görülür. Zaten birinci denklem [B] matrisinin ilk elemanına, ikinci denklem ikinci elemanına, üçüncü denklem ise üçüncü elemana eşit olduğu ise iki matrisin

eşitliği karşılıklı elemanlarının eşitliğinden çıkarılabilir. Böylece eşitlikler (3.33a) –(3.33c) eşitlik (3.34) veya eşitlik (3.35) ile gösterilebilir.

Denklemlerin matris şeklindeki gösterimleri olan (3.35) numaralı

eşitliğin her iki tarafı [A] matrisinin tersi olan [A]-1 ile çarparak matrislerle ilgili kurallar kapsamında cebirsel işlemler yapıldığında bilinmeyen matrisi aşağıdaki şekilde elde edilebilir.

[A] -1 [A] . [X] = [A] -1 [B] (3.36)

[I] . [X] = [A] -1 [B] (3.37) [X] = [A] -1 [B] (3.38)

[ ]

A

A

.

Ek

A

−1

₌

(3.39)

Bu durumdan anlaşılacağı denklem takımının çözümü için katsayılar matrisi olarak bilinen [A] matrisinin ;

a. Determinantının alınması ve bulunan determinantının sıfırdan farklı olması (|A|≠0),

b. Tersinin [A]-1 bulunması gerekmektedir.

Katsayılar matrisinin determinantını almak için şimdilik elemanların açınımından hareketle aşağıdaki şekilde bulabiliriz.

A a a a a a a a a a a a a a a a = + − + 1 2 2 2 3 3 2 3 3 _{1 2} 2 2 3 3 3 3 1 3 2 2 2 3 3 2 ,1 , , , , _, ,1 , ,1 , , ,1 , ,1 , (3.40)

|A|= a_1,1(a_2,2a_3,3-a_2,3a_3,2)-a_1,2(a_2,1a_3,3-a_3,1a_2,3)+a_1,3(a_2,1.a_3,2-a_3,1.a_2,2) (3.41)

Örnek 3.1.

Aşağıda verilen denklemlerde bilinmeyenler olan x₁, x₂ ve x₃ değerlerini ters matris yöntemini kullanarak bulunuz?

2x1 - 3x2 + 2x3 = -11

3x1 - 2x2 - x3 = -1

Çözüm :

Verilen denklem takımındaki eşitlikler matris şeklinde ifade edilecek olursa, katsayılar matrisi, bilinmeyenler vektörü ve eşitlik vektörü aşağıda gösterildiği gibi düzenlenebilir.

[A] . [X] = [B]





















−

−

=









































−

−

−

−

1

8

11

x

x

x

.

1

2

3

2

1

1

2

3

2

3 2 1

Ters matris yöntemi ile çözümde katsayılar matrisinin tersi [A]-1, determinantı |A| ve ek matrisi gerektiğinden öncelikle bunların hesaplanması gereklidir. |A| = 2[1(-1)-(-2).(-2)] -(-3)[1(-1)-3(-2)] +2[1(-2)-3(1)] = 2(-1-4) + 3(-1+6) +2(-2-3) = 2(-5) + 3(5) +2(-5) |A|= -5 Kofaktör a₁₁ = (-1)1+1 . M₁₁ =(-1)2.(-5) = -5 “ a₁₂ = (-1)1+2 . M₁₂ =(-1)2.(+5) =-5 “ a₁₃ = (-1)1+3 . M₁₃ =(-1)4.(-5) = -5 “ a₂₁ = (-1)2+1 . M₂₁ =(-1)3.(+7) = -7 “ a₂₂ = (-1)2+2 . M₂₂ =(-1)4.(-8) = -8 “ a₂₃ = (-1)2+3 . M₂₃ =(-1)5.(+5) = -5 “ a₃₁ = (-1)3+1 . M₃₁ =(-1)4.(+4) = +4 “ a₃₂ = (-1)3+2 . M₃₂ =(-1)5.(-6) = +6 “ a₃₃ = (-1)3+3 . M₃₃ =(-1)6.(+5) = +5

Kofaktö

r

[ ]

A

=

−

−

−

−

−

−





















5

5

5

7

8

5

4

6

5

Ek matris kofaktör matrisin traspozuna eşit olduğundan yukarıdaki son bulunan matrisin transpozu alınarak aşağıda gösterilen ek matris elde edilebilir. Böylece ters matrisi bulmak için gerekli olan iki büyüklük bulunmuş olur.

[ ]





















−

−

−

−

−

−

=

5

5

5

6

8

5

4

7

5

A

.

Ek

[ ]

[ ]





















−

−

−

=





















−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

=

−

1

1

1

2

.

1

6

.

1

1

8

.

0

4

.

1

1

5

/

5

5

/

5

5

/

5

5

/

6

5

/

8

5

/

5

5

/

4

5

/

7

5

/

5

A

A

.

Ek

A

1

Bilinmeyenler matrisi {

[X] = [A] -1 [B]} şeklinde bilindiğinden ters matris ile eşitlik matrisi çarpılarak eşitlik matrisi veya bir başka deyişle eşitlik vektörü bulunmuş olur.





















−

=





















+

+

−

+

+

−

+

+

−

=





















−

−





















−

−

−

=





















2

3

1

1

8

11

2

.

1

8

.

12

11

8

.

0

2

.

11

11

1

8

11

.

1

1

1

2

.

1

6

.

1

1

8

.

0

4

.

1

1

x

x

x

.

3 2 1 x x x 1 2 3 1 3 2           = + + −           . Buradan x1=1, x2=3 ve x3=-2 olduğu görülür.

Program 3.2 Doğrusal denklem takımını MATLAB kullanarak Ters matris yöntemi ile çözümü.

Aşağıda katsayılar matrisi [A] giriliyor.

>> A=[5 2 1; 1 2 1; 2 1 4] A =

5 2 1 1 2 1 2 1 4

Aşağıda eşitlik vektörü [B] giriliyor.

>> B=[12;8;16]

B = 12 8 16

Ters matris yönteminin matris formunda bilinmeyenin ifadesi >> X=inv(A)*B X = 1 2 3 3.3 Gramer yöntemi

Bu yöntem daha ziyade az sayıda denklemden oluşan denklem sistemlerinin çözülmesinde kullanılmaktadır. Yöntemde determinantlar kullanıldığından öncelikle determinantların hesaplanması gerekmektedir. Determinantların hesaplanması matrislerle ilgili işlemler bölümünde bahsedildiğinden burada yöntemin nasıl uygulandığından söz edilecektir. Ancak bilinmeyen sayısının artması durumunda determinant hesabı için aşağıda bu yöntemin anlatımını takiben bir taslak program ve program verilecektir. Yöntem genel olarak katsayılar matrisinde bilinmeyenin bulunduğu sütuna eşitlik vektörü getirilerek oluşan matrisin determinantının, katsayılar matrisi determinantına bölünmesinden ibarettir.

Denklem takımının genel yazım

formatı içerisinde üç bilinmeyenli üç denklem ele alınarak yöntemin

uygulanı

ş

ının genel formatını a

ş

a

ğ

ıda gösterilmi

ş

tir.

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 (3.42a)

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 (3.42b)

Denklemler matris formunda yazılışı : a a a a a a a a a x x x b b b 1 1 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 1 2 3 1 2 3 ,1 , , ,1 , , ,1 , ,

.









































=





















(3.43)

Bilinmeyenlerin ayrı ayrı eşitlikler şeklinde hesaplanması :

x b a a b a a b a a A 1 1 1 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 = , , , , , , , x a b a a b a a b a A 2 1 1 1 3 2 2 2 3 3 3 3 3 = ,1 , ,1 , ,1 , , x a a b a a b a a b A 3 1 1 2 1 2 2 2 2 3 3 2 3 = ,1 , ,1 , ,1 , (3.44)

şeklinde yazılabilir. Denklem sayısının artması hesaplanacak determinant sayısının artması anlamına gelecektir. Bu yöntemin uygulanmasında determinant hesaplanmasının önemli olduğu görülmektedir. Bu nedenle aşağıda (nxn) boyutlarındaki bir matrisin determinant hesabı için taslak program ve program deyimleri aşağıda verilmiştir.

Procedure Det(a,n,det) DO k = 1,n - 1 DO i = k + 1, n

p = a(i, k) / a(k, k) DO j = k + 1, n

a(i, j) = a(i, j) - p * a(k, j) ENDDO

ENDDO ENDDO det = 1 DO i = 1, n det = det * a(i, i) ENDDO

Program 3.3 determinant hesaplamasına ilişkin program(Visual Basic).

Private Sub Form_Load() Dim a(100, 100) As Double Form1.Show

n = InputBox("Kare matrisin boyutunu (n) giriniz...") For i = 1 To n

For j = 1 To n

a(i, j) = Val(InputBox("a(" & (i) & (",") & (j) & ") değerini giriniz.."))

Next j: Next i Call deter(a, n, det) Print "Determinant="; det End Sub

Public Sub deter(a, n, det) For k = 1 To n - 1

For i = k + 1 To n p = a(i, k) / a(k, k) For j = k + 1 To n a(i, j) = a(i, j) - p * a(k, j) Next j: Next i: Next k det = 1

For i = 1 To n det = det * a(i, i) Next i

End Sub

Örnek 3.3.

Aşağıdaki denklem sisteminde x₁, x₂ ve x₃ değerlerini gramer yöntemiyle bulunuz?

3x1 + 5x2 + x3 = -1

5x1 + x2 + 2x3 = 2

x1 + 3x2 + 5x3 = -5

Çözüm :

Öncelikle denklem takımının çözümüne gramer yöntemini uygulamak için katsayılar matrisini oluşturup bu matrisin determinantı bulunmalıdır.





















−

−

=









































5

2

1

x

x

x

.

5

3

1

2

1

5

1

5

3

3 2 1 A a a a a a a a a a a a a a a a

= +

−

+

1 2 2 2 3 3 2 3 3 1 2 2 2 3 3 3 3 1 3 2 2 2 3 3 2 ,1 , , , , , ,1 , ,1 , , ,1 , ,1 ,

3

1

1

5

1

5

1

2

5

5

5

3

2

1

3

A

=

+

−

+

|_{A| = 3[1(5)-3(2)] - 5[5(5)-1(2)] + 1[5(3)-1(1)]} = - 3–115+14 = -104

Bilinmeyenler olan x

₁

, x

₂

ve x

₃

ise,

846

.

0

104

88

A

5

3

5

2

1

2

1

5

1

x

₁

=

−

−

=

−

−

=

538

.

0

104

56

A

5

5

1

2

2

5

1

1

3

x

₂

=

−

−

=

−

−

=

846

.

0

104

88

A

5

3

1

2

1

5

1

5

3

x

₃

=

−

−

=

−

−

=

_{olarak bulunur.}

Gramer yönteminde dikkat edildiğinde pay kısmındaki matrisin içerisine bilinmeyenin konumuna göre eşitlik vektörü taşınarak determinantı alınmaktadır. Bu yöntemin bilgisayara uyarlanması eşitlik vektörü taşınması ve sonra determinantların bölümünden ibarettir. Böylece determinant hesaplamasına ait bir taslak program aşağıdaki kutuda verilmiştir. Bu taslak programın, matrisin bozulmaması için katsayılar matrisinin geçici bir matrise taşınması, vektörün matris içerisinde uygun sütuna yerleştirilmesinin ve

program içerisinde bu alt programların kullanımlarıyla beraber Gramer yönteminin bilgisayar programı listesi Program 3.3.’de verilmiştir.

Determinant hesaplamasına ait taslak program Procedure Deter(a,n,det)

DO k = 1,n - 1 DO i = k + 1, n

p = a(i, k) / a(k, k) DO j = k + 1, n

a(i, j) = a(i, j) - p * a(k, j) ENDDO

ENDDO ENDDO det = 1 DO i = 1, n det = det * a(i, i) ENDDO

END Procedure

Gramer yönteminin uygulanmasında denklem sayısının artması pek sorun oluşturmamakla birlikte, işlem gören determinantların boyutu artacaktır. Bu da bilgisayar zamanının biraz artması anlamına gelmektedir. Denklem çözüm yöntemleri arasında tercih yapmak gerektiğinde daha az işlemli ve dolayısıyla kesme ve yuvarlatma hataları aza indirilmiş bir çözümün tercihi söz konusu olabilir.

Program 3.4 Gramer yönteminin uygulanmasına ilişkin program(Visual Basic).

Private Sub Form_Load()

Dim a(50, 50), b(50), g(50, 50) As Single Form1.Show

n = Val(InputBox("Kare matrisin boyutunu (n) giriniz...")) For i = 1 To n: For j = 1 To n

a(i, j) = Val(InputBox("a(" & (i) & (",") & (j) & ")giriniz ")) Next j:

b(i) = Val(InputBox("b(" & (i) & ") değerini giriniz..")) Next i

Call tog(a, g, n) Call deter(a, n, deta) For k = 1 To n Call toa(a, g, n) Call vdeg(a, b, n, k) Rem ---

Call deter(a, n, detb)

Print " X(" & (k) & ")= "; detb / deta Next k

Public Sub deter(a, n, det) For k = 1 To n - 1

For i = k + 1 To n p = a(i, k) / a(k, k) For j = k + 1 To n a(i, j) = a(i, j) - p * a(k, j) Next j: Next i: Next k det = 1

For i = 1 To n det = det * a(i, i) Next i

End Sub

Public Sub vdeg(a, b, n, c) For i = 1 To n

a(i, c) = b(i) Next i End Sub

Public Sub tog(a, g, n) For i = 1 To n: For j = 1 To n g(i, j) = a(i, j)

Next j: Next i End Sub

Public Sub toa(a, g, n) For i = 1 To n: For j = 1 To n a(i, j) = g(i, j)

Next j: Next i End Sub

3.4 _{Gauss Eleme yöntemi}

Bu yöntem ana düşünce olarak bilinmeyenlerin katsayılar matrisinin birer birer sıfıra indirgenmesi esasına dayanmaktadır. Denklem takımını öncelikle matris formunda ifade etmek ve arkasından bu katsayılar matrisinin bazı elemanlarını sıfırlayarak matrisi alt üçgen veya üst üçgen matris şekline getirmektir. Daha sonra denklemler içerisinde bazılarında bilinmeyen sayıları azalmış dolayısıyla bunların elde edilmesi kolaylaşmıştır. Bilinmeyen sayısı az olandan başlayarak geriye doğru gidilerek bilinmeyenlerin tamamı sırasıyla elde edilirler. Doğrusal denklem takımları çözümünü daha başında bilinmeyenleri bir denklemden çekerek diğer denklemlerde yerine koyarak bilinmeyenleri doğrudan katsayılar cinsinden elde etmek mümkündür. Bu cebirsel yaklaşımı aşağıdaki denklem takımı, eşitlik (3.45a)-(3.45c), için uygulamaya çalışalım.

1 3 13 2 12 1 11

x

a

x

a

x

b

a

+

+

=

_(3.45a) 2 3 23 2 22 1 21

x

a

x

a

x

b

a

+

+

=

_(3.45b) 3 3 33 2 32 1 31

x

a

x

a

x

b

a

+

+

=

(3.45c)

Burada birinci eşitlikten birinci bilinmeyeni, ikinci eşitlikten ikinci bilinmeyeni çekerek üçüncü eşitlikte yerlerine koyarak elde edilen son eşitlikten üçüncü bilinmeyeni çekersek son eşitlik katsayılar cinsinden elde edilmiş olur.

11 3 13 2 12 1 1

a

x

a

x

a

b

x

=

−

−

22 3 23 1 21 2 2

a

x

a

x

a

b

x

=

−

−

33 2 32 1 31 3 3

a

x

a

x

a

b

x

=

−

−

Şekil 3.2 yerine koyarak eşitlikleri elemenin şekilsel ifadesi.

Üç bilinmeyenli bir denklem sisteminde eşitliklerin birbirlerinin fonksiyonu olduğunu düşünerek Şekil 3.2’deki gösterimin alternatifi olarak aşağıdaki gibi bir tanımlama da yapılabilir. Böylece üçüncü bilinmeyen(x3)

sadece katsayıların ve eşitlik vektöründeki sabitlerin fonksiyonudur. Böylece hemen hesaplanabilir. Geriye doğru gidildiğinde ikinci bilinmeyen(x2),

katsayılar ve üçüncü bilinmeyenin fonksiyonu olduğundan ve bunlar bilindiğinden bu da bu aşamada hesaplanabilir. Bu şekilde devam edildiğinde birinci bilinmeyende benzer şekilde bulunabilir. Denklem sayısı çok olduğunda benzer sistem çalıştırılabilir ancak elle çalıştırılması ve katsayılar ve eşitlik vektörü değerleri cinsinden ifade edilmesi cebirsel olarak çok güçtür. Ancak matris formunda ifade edilerek eleme yoluna gitmek aşağıda gösterileceği üzere çok daha uygulaması kolay gibi gözükmektedir.

)

b

,

a

,

a

,

a

,

x

,

x

(

f

x

₁

=

_{2 3 11 12 13 1 (3.46)}

)

b

,

b

,

a

,

a

,

a

,

a

,

a

,

a

,

x

(

f

x

₂

=

_{3 11 12 13 21 22 23 1 2 (3.47)}

)

b

,

b

,

b

,

a

,

a

,

a

,

a

,

a

,

a

,

a

,

a

,

a

(

f

x

₃

=

_{11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 2 3 (3.48)}

Eşitlik (3.45a)- (3.45c) ile gösterilen denklem takımı matris formunda aşağıdaki eşitlikler (3.49) ve (3.50) şeklinde yazılabilirler. Şimdi katsayılar matrisi ve eşitlik vektörü aşağıdaki iki aşamalı işlem adımları ardışık olarak kullanılarak elemeye tabi tutulurlar.

1

[ ][ ] [ ]

_A

_.

_X

=

_B

_(3.49)

a

a

a

a

a

a

a

a

a

x

x

x

b

b

b

1 1 2 1 3 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 1 2 3 1 2 3 ,1 , , ,1 , , ,1 , ,

.









































=





















(3.50)

a)

Denklemlerden herhangi birisinin her iki tarafını bir sayı ile çarpmak ve bölmek denklemi bozmaz.

b)

Denklemlerin birbirleriyle toplanması veya çıkarılmalarından bağımsız olmayan bir başka denklem elde edilebilir. Bu işlemler uygulanarak yok etme veya diğer bir deyişle eleme işlemi gerçekleştirilir.

Bilinmeyenlerin ileriye doğru elenmesi işlemine ve katsayılar matrisinin üst üçgen matris şekline getirilmesine aşağıdaki iki adım işlemi uygulayarak ulaşabiliriz.

Adım 1 : Birinci satır (eşitlik vektörü dahil) a₁₁ ile bölünür.

              = =                           = = 3 2 1 1 , 1 1 3 2 1 3 , 3 2 , 3 1 , 3 3 , 2 2 , 2 1 , 2 3 , 1 2 , 1 3 , 1 2 , 1 1 , 1 2 , 1 b b a b x x x . a a a a a a a a a a 1

α

α

β

(3.51)

Adım 2 : Birinci satır a₂₁ ile çarpılıp sonra ikinci satırdan çıkarılır. Böylece a₂₁

sıfırlanmış olur. Aynı şekilde birinci satır a₃₁ ile çarpılıp sonra üçüncü satırdan çıkarılır. Böylece a₃₁ sıfırlanmış olur.

          − − =                     − − − − − − 1 1 , 3 3 1 1 , 2 2 1 3 2 1 3 , 1 1 , 3 3 , 3 2 , 1 1 , 3 2 , 3 1 , 3 1 , 3 3 , 1 1 , 2 3 , 2 2 , 1 1 , 2 2 , 2 1 , 2 1 , 2 3 , 1 2 , 1 . a b . a b x x x . . a a . a a 1 . a a . a a . a a 1 . a a 1

β

β

β

α

α

α

α

α

α

(3.52)

          =                     ' 3 ' 2 1 3 2 1 ' 3 , 3 ' 2 , 3 ' 3 , 2 ' 2 , 2 3 , 1 2 , 1 b b x x x . a a 0 a a 0 1

α

α

β

(3.53)

Şimdi yukarıdaki iki adımda uygulanan aynı işlemleri sıfır olmayan kolonların bulunduğu ve boyutu bir küçülmüş 2x2 boyutundaki matrise de uygulandığında matrisin köşegeni altındaki diğer iki elemanı da sıfırlanmış olur.

Adım 1 : ikinci satır (eşitlik vektörü dahil) a'₂₂ile bölünür.

            = =                       = ' 3 2 ' 2 , 2 ' 2 1 3 2 1 ' 3 , 3 ' 2 , 3 3 , 2 ' 2 , 2 ' 3 , 2 ' 2 , 2 ' 2 , 2 3 , 1 2 , 1 b a b x x x . a a 0 a a a a 0 1

β

β

α

α

α

(3.54)

Adım 2 : Üçüncü satır şu anda bire eşit olan a'₂₂ çarpılıp sonra üçüncü satırdan

çıkarılır.           − =                     − − 2 , 3 2 ' 3 2 1 3 2 1 2 , 3 2 , 3 ' 3 , 3 ' 2 , 3 ' 2 , 3 3 , 2 3 , 1 2 , 1 a . b x x x . a . a a . 1 a 0 1 0 1

β

β

β

α

α

α

α

(3.55)           =                     '' 3 2 1 3 2 1 '' 3 , 3 3 , 2 3 , 1 2 , 1 b x x x . a 0 0 1 0 1

β

β

α

α

α

(3.56)

Şimdi sıfırlama işlemi için sadece son satır kalmıştır. Ancak burada sıfırlama değil sadece Adım 1 uygulanarak köşegen üzerindeki elemanı olan

'' 3 , 3

a

kendisine ve aynı zamanda eşitlik vektörünün de sonuncu elemanı olan b₃'' elemanı

a

₃''_,3 bölünerek istenilen üst üçgen matris elde edilmiş olur. Böylece son elde edilen matrisin köşegen üzerindeki elemanları bir ve köşegen altındaki elemanlar ise sıfır olmuş oldu.

1 0 1 0 0 1 1 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3

α

α

α

β

β

β

, , , .                     =          

x

x

x

(3.57)

Bilinmeyenler yukarıdaki eşitlik (3.57)’de sonuncu satırdan yukarıya doğru gidilerek elde edilebilir. Buradan görüleceği üzere sonuncu satırda üçüncü bilinmeyen doğrudan eşitlik vektörünün sonuncu elemanına eşittir. Yukarıya doğru ilerlendiğinde bir önce bulunan bilinmeyenler de kullanılarak bütün bilinmeyenler elde edilmiş olur.

x3= β3 (3.58a)

x2 = β2 - α23.x3 (3.58b)

x1= β1 - α₁₂.x2 – α13.x3 (3.58c)

Denklem sayısı artığında bulunan bu son değerleri bulmak zorlaşacaktır. Ancak bu yöntemler bilgisayar ortamları için elverişli olduklarından geriye doğru bilinmeyenleri elde etmek için aşağıdaki genel terimi verilen ifade hesaplanarak elde edilebilir.

xn = βn (3.59)

[

_{i n 1,n 2,...,1}

]

x . x n 1 i j j j , i i =

∑

= − − + =

α

_(3.60)

Gauss eleme yönteminde katsayılar matrisi üst üçgen matris şekline getirilirken köşegen üzerindeki elemanlar bire eşit olacak şekilde eleme yapıldı. Ancak köşegen üzerindeki elemanları sıfır yapmadan yani yukarıdaki adımların uygulanmasında birinci adımı uygulamadan ikinci adımda küçük bir değişiklikle de üst üçgen matris oluşturulabilirdi.

1 3 13 2 12 1 11x a x a x b a + + = _(3.61a) 2 3 23 2 22 1 21x a x a x b a + + = _(3.61b) 3 3 33 2 32 1 31x a x a x b a + + = _(3.61c)