DAFTAR PUSTAKA
[1] Apkarian, P., P. Gahinet, G Becker. (1995), Self-scheduled H∞ Control of Linear Parameter-varying Systems : a Design Exemple, Automatica, 31, 1251-1261.
[2] Banjerdpongchai, D., (1997), Parametric Robust Controller Synthesis Using Linear Matrix Inequalities, Ph.D Dissertation, Stanford University.
[3] Boyd, S., L. El-Ghaoui, (1994), Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, SIAM Philadelphia.
[4] Boyd, S., J. Dattorro., (2003), Alternating Projections, Stanford University, Autumn. [5] Combettes, P.L., H.J. Trussell., (1990), Method of Successive Projections for Finding a
Common Point of Sets in Metric Spaces, Journal of Optimization Theory and Applications, 67, 487-507.
[6] Gahinet, P., (1994), A Linear Matrix Inequality Approach to H∞ Control, International Juornal of Robust and Nonlinear Control, 4, 421-448.
[7] Gahinet, P., A. Nemirovski., A.J. Laub., M. Chilali., (1995), LMI Control Toolbox, The MathWork Inc.
[8] Goddard, P.J., (1995), Performance-Preserving Controller Approximation, Ph.D Dissertation, Trinity College Cambridge.
[9] Grigoriadis, K.M., R.E Skelton. (1995), Low-order Control Design for LMI Problems Using Alternating Projection Methods, Automatica, 32, 1117-1125.
[10] Grigoriadis, K.M., (1995), Optimal H∞ Model Reduction via Linear Matrix Inequalities : Continous and Discrete-time Cases, Systems and Control Letters, 26, 321-333.
[11] Gubin., L.G, B.T. Polyak., E.V. Raik., (1966), The Method of Projections for Finding The Common Point of Convex Sets, Moscow.
[12] Packard, A., (1994), Gain Scheduling via Linear Fractional Transformations, Systems and Control Letters, 22, 79-92.
[13] Sanchez-Pena, R.S., M Sznaier, (1998), Robust Systems Theory and Application, John Wiley&Sons, Inc.
[14] Skelton, R.E., T. Iwasaki, K.M. Grigoriadis., (1998), A Unified Algebraic Approach to Linear Control Design, Taylor and Francis.
[15] Widowati, (2005), Reduksi Orde Model dan Pengendali untuk System Linear dengan Parameter Berubah-Ubah, Disertasi S3, Institut Teknologi Bandung.
[16] Wu, F. (1995), Control of Linear Parameter Varying Systems, Ph.D. Dissertation, Department of Mechanical Engineering, University of California at Berkeley, CA. [17] Wu, F. (1996), Induced L2-norm Model Reduction of Polytopic Uncertain Linear
Systems, Automatica, 32, 1417-1426.
[18] Wu, F. (1997), Induced L2-Norm Control for LPV Systems with Bounded Parameter
Variation Rates, International Journal of Nonlinear and Robust Control. [19] Zaanen, A.C., (1953), Linear Analysis, North-Holland Publishing Co.
[20] Zhou, K., J.C. Doyle. (1998), Essentials of Robust Control, Prentice Hall International. [21] Zhou, K., P. Khargonekar. (1988), An Algebraic Riccati Equation Approach to H∞
Lampiran : Kekonvergenan Barisan Alternating Projection pada Himpunan yang tak Semuanya Konveks
1. Proyeksi dan Beberapa Sifat Himpunan
Diberikan ruang Hilbert
(
H,)
, Q⊂H tak kosong. Proyeksi dari titik x∈ ke Hhimpunan Q diberikan oleh PQ
( )
x =inf{
x−y y∈Q}
. Definisi 1.a. Himpunan Q dikatakan proximinal jika setiap titik di H mempunyai paling sedikit satu proyeksi pada Q.
b. Himpunan Q dikatakan himpunan Chebyshev jika setiap titik di H mempunyai tepat satu proyeksi di Q.
c. Himpunan Q dikatakan kompak terbatas (boundedly compact) jika irisannya dengan sembarang bola tertutup adalah kompak.
d. Himpunan Q dikatakan approximately compact jika untuk setiap x∈ dan H
setiap barisan
{ }
0
n n
y
≥ dari titik-titik di Q sedemikian sehingga
{
}
0n n
x y
≥
− konvergen ke PQ
( )
x , memiliki subbarisan yang konvergen ke sebuah titik di Q.2. Pemetaan Set-Valued dan Pemetaan Proyeksi Siklik Definisi 2.
Diberikan H1 dan H ruang Hilbert. Kelas dari sub himpunan tak kosong tutup dari 2
i
H dinotasikan dengan 2Hi. Pemetaan set-valued dari 1
2
ke 2H
H adalah fungsi T yang mengawankan setiap titik x∈H1 dengan himpunan
( )
2
di 2H
Definisi 3.
Pemetaan set-valued T dikatakan upper semicontinous pada titik x0 di H jika untuk 1
setiap lingkungan buka V dari T x
( )
0 terdapat lingkungan buka U dari x0 sedemikian sehingga T x( )
⊂ untuk semua V x U∈ .Pemetaan set-valued T dikatakan upper semicontinous jika T upper semicontinous pada setiap x∈H1.
Jika T upper semicontinous maka himpunan
{
( )
x y, ∈H1×H y2 ∈T x( )
}
adalah tutuppada ruang hasil kali ruang Hilbert H1×H2. Definisi 4.
a. Operator proyeksi pada himpunan Chebyshev Q⊂ H adalah fungsi πQ dari H ke Q yang memetakan semua titik x ke hasil proyeksi tunggal di Q.
b. Operator proyeksi pada himpunan proximinal Q⊂ H adalah pemetaan set-valued
Q
Π yang didefinisikan sebagai
( )
{
}
: 2 Q Q Q X x y Q y P x Π → ∈ = a (1) Teorema 1.Pemetaan Proyeksi Π pada sub himpunan approximately compact yang tak kosong
Q⊂ H adalah upper semicontinous. Definisi 5.
Diberikan Γ =
{
Q1,...,Qm}
koleksi terurut dari himpunan proximinal di ruang Hilbertyang didefinisikan sebagai pemetaan set-valued dari H ke 2H
. Maka, pemetaan komposisi Π = Π1o o... Πm disebut pemetaan proyeksi siklik dari Γ .
Teorema 2.
Pemetaan proyeksi siklik dari sembarang koleksi terurut yang berhingga dari himpunan approximately compact yang tak kosong dalam ruang Hilbert H adalah pemetaan yang upper semicontinous dari H ke 2H
.
3. Kekonvergenan Lokal Barisan Alternating Projection Definisi 6.
Diberikan pemetaan proyeksi siklik dari koleksi terurut himpunan proximately
{
Q1,...,Qm}
Γ = di ruang Hilbert H. Maka, untuk setiap titik x0∈ barisan H alternating projection (relatif terhadap Γ dan x ) adalah barisan 0
{ }
0 n n x ≥ dengan
( )
1 n n x + ∈Π x untuk semua n∈ .Dengan kata lain, untuk y proyeksi dari m x pada 0 Q , maka m ym−1 adalah proyeksi dari ym pada Qm−1, dan seterusnya dan proyeksi dari y2 pada Q adalah 1
1
x .
Definisi 7.
Diberikan Γ =
{
Q1,...,Qm}
koleksi terurut himpunan proximinal di ruang Hilbert H dengan 1 m i i Q Q ==
I
tak kosong. Misalkan Π adalah pemetaan proyeksi siklik dari Γ dan Y adalah himpunan titik-titik di Q1− sedemikian sehingga langkah iterasi Qdimungkinkan gagal utuk mereduksi PQ
( )
x , yaitu
{
'( )
( )
'( )
}
1 Q Q
Radius atraksi dari Γ didefinisikan sebagai
inf
{
( )
}
jika+ untuk yang lain
Q P x x Y Y ⎧ ∈ ≠ ∅ ⎪ = ⎨ ∞ ⎪⎩ ρ (2)
Region atraksi dari Γ didefinisikan sebagai
R= ∪ ∈Q
{
x Q P1 Q( )
x < ρ (3)}
Dari definisi diatas, diperoleh dua akibat berikut :
a. PQ
( )
x' <PQ( )
x , ∀ ∈ −x R Q, ∀ ∈Πx'( )
x (4) b. Π( )
x ⊂ R, ∀ ∈ (5) x RDefinisi 8.
Diberikan Γ =
{
Q1,...,Qm}
koleksi terurut dari himpunan proximinal di ruang HilbertH dengan 1 m i i Q Q =
=
I
tak kosong. Misalkan R adalah region atraksi dari Γ dan Π adalah pemetaan proyeksi siklik dari Γ . Titik x0∈ disebut titik atraksi dari Γ Hjika untuk setiap barisan alternating projection
{ }
0
n n
x
≥ terdapat bilangan bulat
nonnegatif v sedemikian sehingga xv∈ . Bilangan bulat nonnegatif terkecil v yang R
memenuhi hal diatas disebut indeks atraksi dari barisan alternating projection yang berkaitan.
Dari definisi 8, (4) dan (5) didapat jika x titik atraksi dan 0
{ }
0
n n
x
≥ adalah barisan
alternating projection dengan indeks atraksi v, maka barisan
{
Q( )
}
n v
P x
≥ adalah
barisan tak naik dan
Dengan kata lain, ekor dari setiap barisan alternating projection yang dimulai dari titik atraksi terletak pada region atraksi. Lebih lanjut, dari (4) berakibat bahwa semua titik tetap dari Π di R menjadi himpunan solusi. Jadi, jika semua himpunan adalah himpunan approximately compact dalam definisi 8, limit dari setiap barisan
alternating projection yang konvergen yang dimulai dari titik atraksi adalah titik solusi. Hal ini termuat dalam teorema berikut.
Teorema 3.
Diberikan Γ =
{
Q1,...,Qm}
koleksi terurut dari himpunan approximately compact di ruang Hilbert H dengan1 m i i Q Q =
=
I
tak kosong dan terbatas dan Q kompak terbatas. 1Misalkan x adalah titik atraksi dari Γ , 0
{ }
0
n n
x
≥ sembarang barisan alternating
projection. Maka,
{ }
0
n n
x
