Deret Kompleks

5.

5. DERET

DERET KOMPLEKS

KOMPLEKS

Seper

Seperti halnyti halnya dalam bilanga dalam bilangan riil, an riil, dalam bildalam bilangan komangan kompleks jugpleks juga dikenala dikenal istilah barisan dan deret kompleks serta sifat-sifat kekonvergenannya. Hal penting istilah barisan dan deret kompleks serta sifat-sifat kekonvergenannya. Hal penting dalam bab ini yaitu setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam

dalam bab ini yaitu setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat (deretderet pangkat (deret Taylor, deret Macaurin atau deret aurent!. Sebelumnya, perlu pengertian barisan Taylor, deret Macaurin atau deret aurent!. Sebelumnya, perlu pengertian barisan dan deret bilangan kompleks, deret

dan deret bilangan kompleks, deret pangkat, dan jari-jari kekonvergenanan. Setelahpangkat, dan jari-jari kekonvergenanan. Setelah membaca "ab #, mahasis$a diharapkan dapat %

membaca "ab #, mahasis$a diharapkan dapat % 

 memenngegertrti i dedefifinnisisi i babaririssan an dadan n dedereret t papanngkgkat at bebesesertrta a sisifafatt kekonvergenannya.

kekonvergenannya. 

 Menyajikan fungsi analitik dalam deret Taylor, deret Macaurin atauMenyajikan fungsi analitik dalam deret Taylor, deret Macaurin atau deret aurent.

5.1 Barisan dan Deret Bilangan Kompleks

5.1.1 Barisan Bilangan Kompleks

Defnisi

Barisan

Bilangan

Kompleks

"arisan bilangan kompleks %

• merupakan fungsi yang memetakan setiap bilangan bulat

positif n dengan suatu bilangan kompleks.

&otasi barisan bilangan kompleks %

n

 z   _atau

{

 z _n

}

=

{

 z ₁, z ₂, z ₃,,z _n

}

, _n≥1.

Kekonverg

enan

Barisan

• "arisan  z _n konvergen jika ada  z 

∈

C   sehingga

 z   z _n

n→∞

=

lim _.

• 'ika

∀

ε 

>

0,

∃

n₀

∈

 N   sehingga  z _n − z  <ε   untuk

0 n n≥ _.

Contoh 1

Tunjukkan barisan , 1,2, ) 1 ( 2

+

−

₂

=

−

=

n n  z  n n konvergen ke -2. Penyelesaian :











=

−

=

+

−

=

−

=

−

−

=

−

+

−

=

∞ → ∞ → ∞ → ∞ →

 genap

n

n

 ganjil 

n

n

n

 z

n n n n n n

,

2

1

2

lim

,

2

1

2

lim

)

1

(

2

lim

lim

2 2 2 Jadi lim_→∞ n

=

−

2 n

 z 

.

Seperti halnya dalam barisan bilangan riil, pada bilangan kompleks berlaku beberapa teorema berikut.

 Teorema

5.1

Jika  z_n

=

 x_n

+

iy_n  dengan  x_n

∈

ℜ

dan  y_n

∈

ℜ

, maka  z n

konvergen ke  z = a+ib  _{jika dan hanya jika}  x_{n   konvergen ke}

a

 dan  yn  konvergen ke b.



 Teorema

5.2

Jika  z n  dan wn  berturut-turut konvergen ke

 z

 dan

w

, dan

c

 konstanta kompleks, maka

1.  z n +wn  konvergen ke  z +w. 2. c z n  konvergen ke c z . .  z n wn  konvergen ke  z w. !. n  z  1   konvergen ke  z  1

  asalkan  z n

≠

0  dan  z 

≠

0  untuk setiap

n

.



"iberikan deret bilangan kompleks

∑

∞ =1 n

n

 z  _{dengan suku-suku deret yaitu}

 , , , _{2 3} 1  z  z   z  . #isalkan, 1 1 z 

S 

=

merupakan jumlah suku pertama 2

1 2  z z

S 

=

+

merupakan jumlah dua suku pertama 3

2 1

3  z  z z

S 

=

+

+

merupakan jumlah tiga suku pertama



n

n  z  z z

S 

=

+

+



+

2

1 merupakan jumlah

n

 suku pertama $ilangan S  menyatakan jumlah deret di atas apabila S n S 

nlim

→

∞

=

. Jadi deret

∑

∞ =1 n

n

 z 

konvergen ke S  jika dan hanya jika S n S 

nlim

→

∞

=

, dan ditulis  z  S 

n n =

∑

∞ =1 .

 Teorema

5.3

"iberikan deret bilangan kompleks

∑

∞

=1 n

n

 z   _dengan  z_n

=

 x_n

+

iy_n,  x_n dan  yn bilangan riil, maka berlaku si%at-si%at berikut :

1.

∑

∞ =1 n n  z   _konvergen

⇔

∑

∞ =1 n n  x  _dan

∑

∞ =1 n n  y  _konvergen. 2.

∑

∞ =1 n n  z   _konvergen

⇒

lim

=

0

∞

→

n n  z . .

∑

∞ =1 n n

 z    _konvergen ⇒ _{terdapat bilangan riil}

 _M 

_sehingga

 N  n  M   z _n ≤ ,∀ ∈ _. !.

∑

∞ =1 n n  z   _konvergen

⇒

∑

∞ =1 n n  z   _{konvergen .}

_

Seperti dalam deret bilangan riil, kekonvergenan deret

∑

∞ =1 n

n

 z    _{dapat diuji dengan}

beberapa uji kekonvergenan berikut. 1.

∑

∞ =1 n n  z   _konvergen

⇒

lim

=

0 ∞ → n n  z  . 0 lim

≠

∞ → n n  z 

⇒

∑

∞ =1 n n  z   _divergen. 2.

∑

∞ =1 n n  z   konvergen ⇒

∑

∞ =1 n n  z   _{konvergen mutlak.}

∑

∞ =1 n n  z   _{konvergen dan}

∑

∞ =1 n n  z   _divergen

⇒

∑

∞ =1 n n  z   _{konvergen bersyarat.} .

∑

∞ =1 n n  z   _{konvergen mutlak}

⇒

∑

∞ =1 n n  z   _konvergen. !. &ji $anding n n b  z  ≤   dan

∑

∞ =1 n n b  konvergen

⇒

∑

∞ =1 n n  z   _konvergen.

n n z  a

≤

  dan

∑

∞ =1 n n a  _divergen

⇒

∑

∞ =1 n n  z   divergen. '. (atio Test  L  z   z  n n n = + ∞ ← 1

lim

⇒

         = > <

∑

∑

∞ = ∞ =  gagal  uji  L divergen  z   L mutlak  konvergen  z   L n n n n , 1 , 1 , 1 1 1 ). (oot Test  L  z  n n n = ∞ ←

lim

⇒

         = > <

∑

∑

∞ = ∞ =  gagal  uji  L divergen  z   L mutlak  konvergen  z   L n n n n , 1 , 1 , 1 1 1 *. "eret +eometri $entuk umum :

∑

=

+

+

+

 ∞ = 2 1 1 q q q n n

  Jika q <1 _{maka deret konvergen.}

  Jika q ≥1 maka deret divergen.

. "eret p $entuk umum :

∑

=

+

+

+

 ∞ =  p  p n  p n 3 1 2 1 1 1 1

  Jika  p <1 _{maka deret konvergen.}

  Jika  p ≤1 _{maka deret divergen.}

5.2 Deret Pangkat

Bentuk

Deret

Pangkat

)eret pangkat dalam  z 

 −

 z 0 berbentuk %



+

−

+

−

+

=

−

∑

∞₌ 2 0 2 0 1 0 0 0 ) ( ) ( ) ( z   z  a a  z   z  a  z  z  a n n n

denga dengan

 z

bilangan kompleks,  z 0  bilangan kompleks sebarang

yang disebut pusat deret, a0,a1,a2,



  konstanta kompleks

yang disebut koefisien deret.

*pabila  z 0

=

0 diperoleh bentuk khusus dari suatu deret pangkat dalam

 z

 yaitu



+

+

+

=

∑

∞ = 2 2 1 0 0  z  a  z  a a  z  a n n n

+ntuk setiap deret pangkat n

n n  z  z  a ( ₀) 0 −

∑

∞ =

  terdapat bilangan tunggal  ρ   _dengan

∞ ≤ ≤ ρ 

0   _{yang dinamakan jari-jari kekonvergenan deret. Sedangkan}  z − z 0 = ρ 

 Teorema

5.4

Misal diberikan deret pangkat

n n n  z  z  a ( ₀) 0 −

∑

∞ = . 'ika  ρ  = + ∞ → 1 lim n n n _a a

, dengan 0≤ρ ≤∞  maka  ρ   adalah jari-jari

kekonvergenan.



 Teorema

5.5

Misal diberikan deret pangkat

n n n  z  z  a ( ₀) 0 −

∑

∞ = . 'ika _→∞

=

 ρ  n n n

a

1

1

lim

  _{, dengan 0≤ρ ≤∞  maka  ρ   adalah}

jari-jari kekonvergenan.



Si%at jari-jari kekonvergenan deret pangkat.

1. Jika  ρ =0 _{maka deret konvergen hanya di}  z  = z _{0 pusat deret.}

2. Jika 0

<

ρ 

<

∞

 maka deret konvergen mutlak atau konvergen  untuk setiap

 z

dengan  z − z 0 < ρ  dan deret divergen untuk setiap

 z

 dengan  z − z 0 > ρ .

. Jika  ρ 

=

∞

 _{maka deret konvergen mutlak atau konvergen  untuk setiap}

 z

dengan  z − z 0 <∞.

Contoh 2

Tentukan pusat dan jari-jari kekonvergenan deret

∑

∞ =1 3 n n n  z  . Penyelesaian : #isal 1₃ n

a_n

=

 , pusat deret yaitu  z 0

=

0.

1

1

3

3

lim

)

1

(

1

1

lim

lim

₃ 2 3 3 3 1

=

+

+

+

=

+

=

=

∞ → ∞ → + ∞ →

_n

n

n

n

n

n

a

a

n n n n n  ρ 

leh karena itu %

• deret konvergen pada  z  <1 • deret divergen pada  z  >1

*pabila  z  =1, maka

∑

∑

∑

∞ = ∞ = ∞ = = = 1 3 1 3 1 3 1 n n n n n n n  z  n  z   (merupakan

deret p dengan  p >1!, dan

∑

∞ =1 3 n n n  z  konvergen . Sehingga

∑

∞ =1 3 n n n  z   konvergen pada  z  =1.

'adi,  z  =1 konvergen pada  z  ≤1 dan divergen pada

1

>  z  _.

5.3 Deret Talor dan Ma!La"rin

Suatu %ungsi   f  ( z ) _{tidak dapat direpresentasikan dalam dua deret pangkat}

dengan pusat deret yang sama. *pabila   f  ( z ) dapat dinyatakan dalam deret pangkat dengan pusat  z 0, maka deret tersebut tunggal. Setiap %ungsi analitik dapat

disajikan dalam deret pangkat. /pabila   f  ( z ) analitik di dalam lingkaran C   maka

) ( z 

  f    _{dapat disajikan dalam deret Taylor atau deret Macaurin bergantung pada}

pusat deretnya.

C 

0

r    f  ( z ) analitik di dalam C 

 z ₀

Gambar 5.1  0ingkaran C  dengan pusat deret  z 0

Deret

 Taylor

'ika   f  ( z ) analitik di dalam lingkaran C  yang berpusat di  z ₀

dan berjari-jari r 0  ( lihat ambar #./ !, maka untuk setiap titik

 z

 di dalam C  berlaku

(

)

n n n  z   z  n  z    f    z    f    z    f   ₀ 1 0 ) ( 0 ! ) ( ) ( ) (

=

+

∑

−

∞ = . (#./!

Persamaaan '.1 disebut deret Taylor dari   f  ( z )  _{di sekitar titik}

0

 z  .

Deret

a!"aurin

'ika pada persamaan (#./!,  z ₀

=

0 _{maka untuk setiap titik}

 z

_di

dalam C  berlaku n n n  z  n   f     f    z    f  

∑

∞ =

+

=

1 ) ( ! ) 0 ( ) 0 ( ) ( . (#.0!

Persamaan '.2 disebut deret #a0aurin dari   f  ( z )_.

$eberapa ontoh deret #a0aurin.

1.

∑

∞ =

=

+

+

+

+

=

0 3 2 ! ! 3 ! 2 1 n n  z  n  z   z   z   z  e   ,  z  < ∞ 2.

∑

∞ = +

+

−

=

−

+

−

=

0 1 2 5 3 ! ) 1 2 ( ) 1 ( ! 5 ! 3 sin n n n n  z   z   z   z   z    ,  z  < ∞ .

.

∑

∞ = − = − + − = 0 2 4 2 ! ) 2 ( ) 1 ( ! 4 ! 2 1 cos n n n n  z   z   z   z 

_

 ,  z  < ∞_. !.

∑

∞ =

=

+

+

+

+

=

−

0 4 2 1 1 1 n n  z   z   z   z   z    ,  z  <1. '.

∑

∞ =

−

=

−

+

−

+

−

=

+

0 4 3 2 ) 1 ( 1 1 1 n n n  z   z   z   z   z   z   ,  z  <1.

Contoh 3

_{Tentukan deret Taylor untuk}

 z   z 

  f  ( )

=

1  di sekitar  z ₀ =1. Penyelesaian :

Titik singular   f  ( z )  yaitu  z 

=

0. "ibuat lingkaran C   dengan pusat  z ₀ =1 dan jari-jari 1 C :  z −1 =1_{, sehingga}   f  ( z )

analitik di dalam C . 1 ) 1 ( ) ( z ₀

=

f  

=

  f   1 ) 1 ( ' . 1 ) ( '  z  = −  z −2 ⇒   f   = −   f   2 ) 1 ( ' ' . 2 ) ( ' '  z 

=

 z −3

⇒

  f  

=

  f   6 ) 1 ( ' ' ' . 6 ) ( ' ' '  z 

=

−

 z −4

⇒

  f  

=

−

  f   

#enggunakan persamaan '.1 diperoleh deret Taylor :

1 1 , ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ) ( z  = −  z − +  z − 2 −  z − 3 + z − <   f   

Cara lain :  menggunakan deret #a0aurin 

(

1

)

, 1 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 ) ( 3 2 0

<

−

+

−

−

−

+

−

−

=

−

−

=

−

+

=

=

∑

∞ =  z   z   z   z   z   z   z   z    f   n n n 

5.#

Deret La"rent

 /pabila   f  ( z ) tidak analitik di  z 0, tetapi   f  ( z )  analitik untuk setiap

 z

di

dalam annulus  R2 <  z − z 0 < R1

, maka

  f  ( z ) dapat diekspansi dalam deret 0aurent.

Deret

"aurent

'ika   f  ( z )

_{analitik di dalam annulus}

 R1 <  z − z 0 < R2

,

dan

C 

 sebarang lintasan tertutup sederhana di dalam

annulus

 R1 <  z − z 0 < R2

yang mengelilingi

 z 0

, maka

untuk setiap

 z

  di dalam

 R1 <  z − z 0 < R2

,

  f  ( z )

  dapat

dinyatakan sebagai

∑

∑

∞ = ∞ =

−

+

−

=

1 0 0 0

)

(

)

(

)

(

n n n n n n

 z

 z

b

 z

 z

a

 z

 f 

 

_(#.0!

dengan

 , 2 , 1 , 0 , ) ( ) ( 2 1 1 0

=

−

=

∫ 

₊ dz  n  z   z   z    f   i a C  n n π  

,

3

,

2

,

1

,

)

(

)

(

2

1

1 0

=

−

=

∫ 

_{− +}

dz 

n

 z 

 z 

 z 

  f  

i

b

C  n n π 

1ersamaan (#.0! sering ditulis dengan

∑

∞ −∞ = − = n n n  z  z  c  z    f  ( ) ( ₀)

(#.2!

dengan

, 0, 1, 2, ) ( ) ( 2 1 1 0

±

±

=

−

=

∫ 

₊ dz  n  z   z   z    f   i c C  n n π 

3uas kanan persamaan (#.0! dan (#.2! disebut deret

aurent

  f  ( z )

 _{dalam annulus}

 R1 <  z − z 0 < R2

. 

 /pabila   f  ( z ) analitik untuk  z − z 0 < R2, maka

! ) ( ) ( ) ( 2 1 ₀ 1 0

n

 z 

  f  

dz 

 z 

 z 

 z 

  f  

i

a

n C  n n

=

−

=

∫ 

₊ π 

 

dan

0

)

(

)

(

2

1

1 0

=

−

=

∫ 

_{− +} C  n n

dz 

 z 

 z 

 z 

  f  

i

b

π 

,

sehingga persamaan (#.0! menjadi deret Taylor

n

n n  z   z  n  z    f    z    f   ( ) ! ) ( ) ( ₀ 0 0

−

=

∑

∞ =

.

'adi deret Taylor merupakan kejadian khusus dari deret aurent.

Contoh

4

Tentukan deret #a0aurin dan deret 0aurent dari

) 2 ( ) 1 ( 1 ) ( − − =  z   z   z    f   Penyelesaian : ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) 2 ( ) 1 ( 1 ) ( − + − − = − − =  z   z   z   z   z    f  

Titik singular   f  ( z ) _yaitu

 _z 

=

₁

 _dan z 

=

_2.

"ibuat annulus 1< z  < 2_{, sehingga dapat diperoleh deret #a0aurin}

untuk  z  <1 _{dan deret 0aurent untuk} 1< z  < 2 _dan  z  > 2_.

a. "eret #a0aurin untuk  z  <1_.

) ( z 

1 , 2 2 1 1 2 1 1 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 0 1 0

<

−

=

















−

−

−

=

−

+

−

−

=

∑

∑

∞ = + ∞ =  z   z   z   z   z   z   z   z    f   n n n n n

b. "eret 0aurent untuk 1< z  < 2_.

) ( z    f    _{analitik untuk} 1< z  < 2_. ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) (

−

+

−

−

=

 z   z   z    f   .  z   z   z   z   z   z   z   z  n n n n

<

−

=

<

















 

 

 



 

 

−

=

















−

−

=

−

−

∑

∑

∞ = + ∞ = 1 , 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0

∑

∑

∞ = + ∞ =

<

−

=

<

















 

 

 



 

 

−

=

















−

−

=

−

0 1 0 2 , 2 1 2 , 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 n n n n n  z  z  z  z  z  z   Jadi, . 2 1 , 2 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) 2 ( ) 1 ( 1 ) ( 0 0 1 1

−

<

<

−

=

−

+

−

−

=

−

−

=

∑

∞

∑

= ∞ = + + z   z   z   z   z   z   z   z    f   n n n n n

. "eret 0aurent untuk  z  > 2_. ) ( z    f    _{analitik untuk}  z  > 2_. ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) (

−

+

−

−

=

 z   z   z    f   .

1

,

1

1

1

,

1

1

1

1

1

1

1

1

0 1 0

>

−

=

<

















 

 

 



 

 

−

=

















−

−

=

−

−

∑

∑

∞ = + ∞ =

 z

 z

 z

 z

 z

 z

 z

 z

n n n n

∑

∑

∞ = + ∞ =

>

−

=

<

















 

 

 



 

 

−

=

















−

−

=

−

0 1 0 2 , 2 1 2 , 2 1 2 1 1 1 2 1 n n n n n  z  z  z  z  z  z  z  z   Jadi,

. 2 , 2 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) 2 ( ) 1 ( 1 ) ( 0 0 1 1

−

>

−

=

−

+

−

−

=

−

−

=

∑

∞_{=  z}  +

∑

∞_{=  z}  + z   z   z   z   z   z    f   n n n n n

#ingkasan

Setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat (deret Taylor, deret Macaurin atau deret aurent! bergantung pada pusat deretnya.

Soal$soal

1. Tentukan jari-jari kekonvergenan deret

a. n n i  z  n n n ) ( 1 3 2 2 2

+

 

 

 

 



 

 

−

+

∑

∞ = b.

∑

∞ = + + 0 1 2 ! ) 1 2 ( n n n  z 

2. Tentukan deret Taylor dari %ungsi berikut dengan pusat deret  z 0.

a. 2 1 ) (

+

=

 z   z    f    ,  z ₀

=

1

+

i b.  z   z    f  ( )

=

1 ,  z ₀

=

2

+

3i c.  z  i  z   z    f  

=

+

−

=

, 1 3 4 1 ) ( ₀

. kspansikan %ungsi berikut dalam deret 0aurent dengan pusat deret  z 0.

a.

1

1

)

(

₂

+

=

 z

 z

 f 

 ,  z ₀

=

i b. 2 2 ) 1 ( 1 ) (  z   z   z    f  

+

=

,  z 0

=

0 c.  z  i i  z  i  z   z    f  

=

−

+

+

+

=

₂ , 0 ) ( 1 ) (

!. Tentukan deret #a0aurin dan deret 0aurent dari

a. ₂ 1 1 ) (  z   z    f  

−

=

b. ₄ 1 4 ) (  z   z    f  

−

=

c. 1 1 ) (

−

+

=

 z   z   z    f