OSILASI

(1)

O

(2)

Osilasi

Os

Osila

ilas

si

i te

terj

rjad

adi

i bil

bila

a se

sebu

buah

ah si

sist

stem

em dig

digan

angg

ggu

u da

dari

ri po

posis

sisii

kesetimbangannya.

K

Kar

arak

akte

teris

ristik

tik ge

gerrak

ak os

osila

ilasi

si y

yan

ang

g pa

palin

ling

g dik

diken

enal

al ad

adal

alah

ah

gera

gerak tersebut b

k tersebut bersifat periodik, yaitu berulang-ulang.

ersifat periodik, yaitu berulang-ulang.

Contoh : perahu kecil yang berayun turun naik, bandul

jam yang berayun ke kiri dan ke kanan, senar gitar yang

bergetar, dll



 GG

er

erak

ak ge

gelo

lomb

mban

ang

g be

berh

rhub

ubun

unga

gan

n e

errat

at de

deng

ngan

an ge

gerrak

ak

osilasi.



Co

Cont

nto

oh

h :

: ge

gelo

lomb

mban

ang

g bu

buny

nyi

i di

diha

hasi

silk

lkan

an ol

oleh

eh ge

geta

tarran

an

(sepe

(3)

(4)

Osilasi Harmonis Sederhana:

Beban Massa pada Pegas

S

_{alah satu gerak osilasi yang sangat lazim dan sangat}

penting adalah gerak harmonis sederhana.

Apabila sebuah benda disimpangkan dari kedudukan

setimbangnya, gerak harmonik akan terjadi jika ada gaya

pemulih yang sebanding dengan simpangannya dan

simpangan tersebut kecil.

S

_{uatu sistem yang menunjukkan gejala harmonik}

sederhana adalah sebuah benda yang tertambat pada

sebuah pegas. Pada keadaan setimbang, pegas tidak

mengerjakan

gaya

pada

benda.

Apabila

benda

disimpangkan sejauh x dari setimbang, pegas mengerjakan

gaya ±kx.

x

(5)

2 2

d x

F= -kx = ma = m

dt

F _{= -k}x

Perhatikan kembali sistem benda pegas!

G

_{aya pemulih yang bekerja pada benda adalah F = - kx,}

tanda ± timbul karena gaya pegas berlawanan arah dengan

simpangan.

G_{abungkan gaya tersebut dengan hukum kedua Newton, kita mendapatkan}

2

2 d x

k

a

- ( )x

dt

m

Percepatan berbanding lurus dan arahnya berlawanan dengan simpangan. Hal ini merupakan karakteristik umum gerak harmonik sederhana dan bahkan dapat digunakan untuk mengidentifikasi sistem-sistem yang dapat menunjukkan gejala gerak harmonik sederhana.

(6)

2 2

d x

k

- ( )x

dt

m

Solusi persamaan di atas yang berbentuk osilasi harmonik sederhana adalah

X = A sin(t + ) atau X = A cos(t + ) Di mana

A  simpangan maksimum = amplitudo, =frekuensi sudut,  = fasa awal, (t + ) =

fasa,  = 2Tf = 2T/T, T = waktu yang diperlukan suatu benda untuk melakukan satu

osilasi.

F_{asa awal  bergantung pada kapan kita memilih t = 0.}

Satuan A sama dengan X yaitu meter, satuan fasa (t + ) adalah radian Satuan f adalah Hz (s-1_{) dan satuan T adalah s (detik)}

(7)

Misalkan persamaan simpangan OHS adalah X = A sin(t + ), substitusikan persamaan ini ke dalam persamaan diferensial OHS diperoleh

2 _{= k/m.}

Dalam menyelesaikan persoalan OHS secara umum kita harus mencari terlebih dahulu 3 besaran yaitu A, , dan . Setelah ke-3nya diketahui maka kita mengetahui persamaan posisi untuk osilasi, kemudian dengan cara mendeferensiasi x _{terhadap t}

kita memperoleh kecepatan dan percepatan osilasi.

2 2 2 2 x =Acos(t+) dx v = =Acos(t+) dt dv d x a = = = - Asin( ) dt dt a = - x t U

V _{berharga maksimum (A) saat} x_{= 0, pada}

saat tersebut a = 0.

a berharga maksimum (2_{A) saat} _x₌_±_A,

(8)

Osilasi Harmonis Sederhana:

Energi

Bila sebuah benda berosilasi pada sebuah pegas, energi kinetik

benda dan energi potensial sistem benda-pegas berubah terhadap

waktu.

Energi total (jumlah energi kinetik dan energi potensial) konstan.

Energi potensial sebuah pegas dengan konstanta k yang teregang

sejauh

x

_{adalah U = ½ k}

x2

_.

Energi kinetik benda (m) yang bergerak dengan laju v adalah K = ½

mv

2

_.

Energi total = ½ k

x2

_{+ ½ mv}

2

_{= ½ kA}

2

_.

Persamaan energi total memberikan sifat umum yang dimiliki OHS

yaitu berbanding lurus dengan kuadrat amplitudo.

(9)

Sebuah sistem benda pegas disimpangkan sejauh A dari posisi setimbangnya, kemudian dilepaskan. Pada keadaan ini benda dalam keadaan diam dan pegas memiliki energi potensial sebesar ½ kA2_.

Saat benda mencapai titik setimbang energi potensial pegas nol _{. Dan}

benda bergerak dengan laju maksimum vmaks, energi kinetik benda ½ mV

maks2.

Bagaimana energi pada saat pegas

tersimpangkan sejauhx? E = ½ mv

(10)

Osilasi Harmonis Sederhana:

Benda pada pegas vertikal

y_o

Perhatikan sebuah pegas yang tergantung secara vertikal!

Pada ujung pegas digantung benda bermassa m sehingga pegas teregang sepanjang y_o, sistem setimbang. Dalam hal ini ky_o = mg atau y_o = mg/k.

Benda disimpangkan sejauh y dari posisi setimbang kemudian dilepaskan!

setimbang y 2 2 2 o o 2 2 2 2 2 d F = -k y + m g = m a = m d t d ( y + y ') - k ( y + y ' ) + m g = m d t d y ' d y ' k - k y ' = m a t a u = - y ' d t d t m y Perhatikan bahwa persamaannya identik dengan sistem pegas-benda horizontal. Solusinya

(11)

(12)

B

_{andul Sederhana}



mg sin

mg cos L

Perhatikan sebuah bandul bermassa m yang digantungkan pada ujung tali sepanjang L, massa tali di abaikan dan tegangan tali T.

Benda berayun ke kiri dan ke kanan mengikuti busur lingkaran berjari-jari L. Benda setimbang dalam arah radial T = mgcos.

Dalam arah tangensial bekerja gaya mgsin, gaya ini selalu berlawanan arah dengan arah perubahan . Jadi mgsin = ma = m d2_s/dt2,_{di mana s = L.}

mgsin = m Ld2_/dt2 _p_d2_/dt2 _{= (g/L)sin}

Perhatikan persamaan d2_/dt2 _{= (g/L)sin, untuk sudut kecil sin  . Diperoleh}

(13)

Bandul

F

_isis

Perhatikan sebuah benda tegar dengan massa m! Benda dapat berputar pada titik O.

Jarak titik O ke pusat massa adalah r. Momen inersia benda adalah I

Perhatikan gaya berat yang bekerja pada pusat massa!

G_{aya dapat diuraikan menjadi 2 komponen!}

O pm r mg  mgcos mgsin

G_{aya yang menyebabkan benda berayun pada pusat massa}

adalah mgsin atau X= mgrsin (X = r x F).

Hukum Newton X = IE, di manaE = d2/dt2. Untuk sudut kecil sin  .

d2_/dt2 _{= (mgr/I), ini adalah persamaan getaran harmonik dengan}

(14)

Bandul Puntir

G_{ambar di samping memperlihatkan sebuah bandul}

puntir, yang terdiri dari benda yang digantung dengan kawat yang disangkutkan pada titik tetap. Bila dipuntir hingga sudut *, kawat akan mengerjakan sebuah torka (momen gaya) pemulih sebanding dengan *, yaitu X =

O *. Di mana O adalah konstanta puntir.

*

Jika I adalah momen inersia benda terhadap sumbu putar sepanjang kawat, hukum Newton untuk gerak rotasi memberikan

X= O* = I d2*/dt2atau d2*/dt2 = (O/I) *

Persamaan di atas adalah osilasi harmonis sederhana dengan 2 _{= (}_O_/I)

(15)

Osilasi Teredam

Pada semua gerak osilasi yang sebenarnya,energi

mekanik

terdisipasi

karena adanya suatu gaya gesekan.

Bila dibiarkan, sebuah pegas atau bandul akhirnya

berhenti berosilasi.

Bila energi mekanik gerak osilasi berkurang berkurang

terhadap waktu, gerak dikatakan

teredam

.

(16)

Osilasi Teredam

G_{rafik simpangan terhadap waktu untuk}

osilator yang teredam sedikit. G_{erak hampir}

berupa osilasi harmonik sederhana dengan amplitudo berkurang secara lambat terhadap waktu

Osilasi benda teredam karena pengaduk yang terendam dalam cairan. Laju kehilangan energi dapat bervariasi dengan mengubah ukuran pengaduk atau kekentalan cairan. Meskipun analisis terinci gaya teredam untuk sistem ini cukup rumit, kita sering dapat menyajikan gaya seperti itu dengan suatu persamaan empirik yang bersesuaian dengan hasil eksperimen dan pengolahan matematisnya relatif sederhana.

(17)

(18)

F_{rekuensi natural}

Underdamped Critically damped b: koeefisien teredam

(19)

(20)

(21)

1. Sebuah partikel memiliki simpangan x _{= 0,3 cos (2t +} _T_{/6) dengan} x _{dalam meter}

dan t dalam sekon.

a. Berapakah frekuensi, periode, amplitudo, frekuensi sudut, dan fasa awal?

b. Di manakah partikel pada t = 1 s?

c. Carilah kecepatan dan percepatan pada setiap t! d. Carilah posisi dan kecepatan awal partikel!

2. Sebuah benda 0,8 kg dihubungkan pada sebuah pegas dengan k = 400 N/m. Carilah frekuensi dan perode gerak benda ketika menyimpang dari

kesetimbangan.

3. Sebuah benda 5 kg berosilasi pada pegas horizontal dengan amplitudo 4 cm. Percepatan maksimumnya 24 cm/s2_{. Carilah}

a. Konstanta pegas

b. F_{rekunsi dan perioda gerak}

(22)

Soal

4. Sebuah benda 3 kg yang dihubungkan pada sebuah pegas berosilasi dengan amplitudo 4 cm dan periode 2 s.

a.Berapakah energi total ?

b.b. Berapakah kecepatan maksimum benda?

5. Sebuah benda bermassa 2 kg dihubungkan ke sebuah pegas berkonstanta k = 40 N/m. Benda bergerak dengan laju 25 cm/s saat berada pada posisi setimbang. a.Berapa energi total benda?

b.Berapakah frekuensi gerak?

(23)

6. Sebuah batang bermassa m dan panjang L digantung secara vertikal pada salah satu ujungnya. Batang

berosilasi di sekitar titik setimbangnya. Berapa frekuensi sudut osilasi? _(=(3g/L)1/2₎

7. Sebuah piringan tipis bermassa 5 kg dan jari-jari 20 cm digantung dengan suatu sumbu horizontal tegak lurus terhadap lingkaran melalui pinggir lingkaran. Piringan disimpangkan sedikit dari posisi setimbangnya dan