KORELASI ALJABAR DAN GEOMETRI
DALAM PEMBELAJARAN
Edi Sutomo
e-mail : edisutomo1985@gmail.com
twitter : @ed_1st
Abstrak
Untuk berpikir aljabar, seseorang harus mampu memahami pola, hubungan dan fungsi, mewakili dan menganalisis situasi matematika dan struktur menggunakan simbol-simbol aljabar, menggunakan model matematika untuk mewakili dan memahami hubungan kuantitatif, dan menganalisis perubahan dalam berbagai konteks. Salah satu hambatan dalam aljabar adalah bagaimana untuk mewakili ekspresi menggunakan simbol – simbol. Operasi-operasi dasar yang berlaku pada aritmetika dan aljabar juga berlaku pada geometri. Dalam ilmu matematika terdapat salah satu cabang yang mengkorespondensi dan menghubungkan persamaan matematika secara aljabar dengan tempat kedudukan secara geometrik sehingga diperoleh suatu permecahan masalah geometri yang lebih sistematis dan tegas. Pendekatan pembelajaran yang banyak digunakan untuk mempelajari geometri secara umum dan terkait dengan geometri analitik adalah teori Van Hiele.
Kata Kunci : Aljabar, Geometri, Geometri Analitik
1. Pendahuluan
Pengajaran matematika adalah suatu pokok pengajaran yang mempunyai pengaruh besar dalam bidang studi yang lain. Namun seringkali siswa mengalami kesulitan dalam mengaplikasikan matematika (khususnya yang paling mendasar yaitu aljabar) ke bidang studi lain, seperti fisika, kimia, akuntansi, ekonomi, dan bidang studi lain yang berhubungan dengan matematika. Aljabar tidak bisa dilepaskan dengan pembelajaran aritmatika, geometri dan beberapa cabang kajian yang terdapat pada bidang studi matematika itu sendiri.
Menurut Gagne, dalam belajar matematika siswa akan memperoleh dua objek yaitu objek langsung dan objek tak langsung, Suherman [7]. Objek-objek langsung dalam pembelajaran matematika meliputi fakta, konsep, operasi (skill), dan prinsip, sedangkan objek tak langsung dalam pelajaran matematika dapat berupa kemampuan menyelidiki dan memecahkan masalah, belajar mandiri, bersikap positif terhadap matematika, serta mengerti bagaimana seharusnya belajar. Pembagian objek langsung matematika oleh Gagne menjadi fakta, konsep, prinsip, dan operasi (skill) dapat dimanfaatkan dalam proses pembelajaran matematika dengan alasan bahwa materi matematika memang terkategori seperti itu sehingga proses pembelajaran matematika di kelas menjadi lebih efektif dan efisien.
Begle seperti yang terdapat dalam Hudojo [3] menyatakan bahwa sasaran atau objek penelaahan matematika adalah fakta, konsep, operasi, dan prinsip. Fakta matematika berupa konveksi-konveksi (perjanjian) yang diungkap dengan simbol-simbol tertentu, Soedjadi [6]. Konsep merupakan suatu ide abstrak yang memungkikan kita dapat menggelompokkan objek kedalam contoh dan non contoh, Suherman [7]. Objek matematika yang kompleks, dapat berupa gabungan beberapa konsep, beberapa fakta, yang dibentuk melalui operasi dan relasi yang disebut sebagai prinsip, Soedjadi [6].
Matematika tersusun oleh objek-objek abstrak yang dilengkapi dengan berbagai simbol. Keabstrakan objek matematika diperkaya dengan konsep-konsep yang beraneka ragam. Kekayaan konsep-konsep dalam matematika dikembangkan dengan berbagai manipulasinya. Objek-objek abstrak dalam matematika ada yang mudah dipelajari namun ada juga yang sebaliknya. Salah satu cabang matematika yang cukup fundemantal adalah aljabar yang sering dianggap sebagai kajian yang abstrak dan sulit.
Standar aljabar menekankan hubungan antara kuantitas, termasuk fungsi, cara untuk mewakili hubungan matematika, dan analisis perubahan. Hubungan fungsional dapat dinyatakan dengan menggunakan notasi simbolis, yang memungkinkan ide-ide matematika yang kompleks untuk diungkapkan secara singkat.
Dalam aljabar, simbol dapat digunakan untuk mewakili generalisasi.
Misalnya, + 0 = adalah representasi simbolis bagi gagasan bahwa ketika nol
ditambahkan dengan bilangan manapun tetap sama. Mempelajari dan mewakili
hubungan juga merupakan bagian penting dari aljabar. "Bahasa aritmatika
berfokus pada jawaban sedangkan bahasa aljabar berfokus pada hubungan."
Proses berpikir aljabar dapat diamati ketika siswa menyelesaikan masalah aljabar
dan mungkin dipengaruhi oleh minat belajar pada matematika, Kieran [4]. Bahasa
aritmatika fokus pada jawaban siswa sedangkan bahasa aljabar fokus pada
hubungan masing-masing kuantitas.
Menurut Piaget, Carin & Sund [1] ; Dahar [2] perkembangan kognitif
seseorang tediri dari empat tahap secara berurutan, yaitu (a) tahap sensori motor
dalam rata-rata usia sekitar 0-2, tahap ketika anak belajar tentang sekeliling
mereka dengan menggunakan indera dan kemampuan motor mereka (b) tahap
praoperasional dalam rata-rata usia sekitar 2-7 tahun, tahap ketika anak-anak
belajar melambangkan segala sesuatu dalam pikiran (c) tahap operasional konkrit
dalam rata-rata usia sekitar 7-11 tahun, tahap ketika anak-anak mengembangkan
kemampuan bernalar logis dan (d) tahap operasional formal dalam rata-rata usia
sekitar 11 tahun keatas, tahap ketika seseorang dapat menghadapi situasi hipotesis
dengan abstrak dan dapat bernalar logis.
Dari tahapan taraf berfikir diatas merupakan tahapan berfikir konkrit menuju
ke tahap abstrak. Masa transisi dari tahap berpikir konkrit menuju tahap berpikir
Untuk menerapkan teori perkembangan Piaget dalam mempelajari aljabar cara yang paling efektif menerapkan adalah mengembangkan pendekatan yang dapat membantu meningkatkan kemampuan berpikirnya, misalnya dengan menggunakan metode demonstrasi dan eksperimen. Penggunaan model-model konkrit atau analogi untuk membantu siswa memahami konsep-konsep abstrak juga dapat digunakan sebagai sarana implementasi teori Piaget dalam pembelajaran.
Seperti diuraikan diatas bahwa standar aljabar menekankan hubungan antara kuantitas, termasuk fungsi, cara untuk mewakili hubungan matematika, dan analisis perubahan. Disini diperlukan visualisasai struktur aljabar agar lebih mudah dipahami oleh siswa.
2. Aljabar
Matematika yang diajarkan di sekolah-sekolah dapat dibagi ke dalam empat bagian utama, yaitu matematika, aljabar, geometri dan kalkulus, Sucker [5]. Keempat bagian matematika itu masing-masing disebut subbidang studi. Jadi ada subbidang studi aritmatika, subbidang studi aljabar, subidang studi geometri, dan sub bidang studi kalkulus.
Aritmetika yang banyak dikenal dengan nama berhitung telah mulai diajarkan sejak SD. Obyek-obyek dasar aritmetika adalah bilangan-bilangan asli yang membentuk sistem bilangan asli 1,2,3, … . Bilangan asli yang disebut juga bilangan bulat positif adalah bilangan yang digunakan untuk menghitung banyaknya suatu obyek, misalnya banyaknya orang, pohon, kursi, dan sebagainya. Himpunan bilangan asli kemudian diperluas menjadi himpunan bilangan bulat … , −2, −1,0,1,2, … yaitu dengan menambahkan bilangan nol dan bilangan bulat negatif. Bila yang ditambahkan kepada himpunan bilangan asli hanya bilangan nol, maka himpunan bilangan yang terbentuk disebut himpunan bilangan cacah 0,1,2,3, … . Seterusnya dengan menambah bilangan pecah, bilangan irrasional, bilangan khayal, maka perluasa himpunan bilangan bulat menghasilkan himpulan bilangan rasional, himpunan bilangan real, dan himpunan bilangan kompleks.
persamaan sehingga aljabar sering disebut Arimetika umum (generalized arithmetics). Perbedaan antara aritmetika dengan aljabar adalah bahwa pada
aritmetika hanya mengoperasikan bilangan tertentu, sedangkan dalam aljabar disamping bilangan tertentu juga mengoperasikan lambang-lambang yang menyatakan bilangan. Secara umum obyek aljabar disebut bentuk aljabar. Sebuah bentuk aljabar dapat merupakan sebuah bilangan, sebuah lambang huruf yang menyatakan bilangan, atau kombinasi bilangan dengan huruf, misalnya 3,5, , , 3 + , 5 + dan sebagiannya. Jika dua bentuk aljabar dihubungkan oleh tanda sama
dengan, maka diperoleh sebuah relasi yang disebut persamaan, misalnya = 3 + . Demikian pula jika dua bentuk aljabar dihubungkan dengan tanda tidak sama, maka diperoleh sebuah relasi yang disebut pertidaksamaan, misalnya pada relasi ≠ 3 + , tercakup dua kemungkinan pengertian yaitu lebih dari 3 + atau kurang 3 + yang masing-masing dikembangkan dengan
> 3 + dan < 3 + . Beberapa bentuk aljabar dapat membentuk suatu relasai yang disebut fungsi. Contoh fungsi yang sederhana secara umum dilambangkan dengan= ( ) yang menyatakan bahwa nilai variabel
bergantung kepada nilai variabel . Relasi dalam bentuk fungsi memegang peranan yang penting dalam matematika terapan yaitu untuk membentuk model- model matematika.
3. Geometri
Berbeda halnya dengan aritmetika dan aljabar, obyek-obyek utama yang dibahas oleh geometri adalah titik dan garis. Sebuah titik hanya menyatakan sebuah posisi, jadi tidak memiliki ukuran panjang dan lebar. Demikian pula sebuah garis tidak memiliki penampang, garis hanya dapat diukur panjangnya. Oleh karena itu, titik dan garis hanya ada sebagai ide. Operasi-operasi dasar yang berlaku pada aritmetika dan aljabar juga berlaku pada geometri. Di samping operasi-operasi itu, pada geometri kita mengenal operasi-operasi perpindahan tempat yang disebut translasi dan rotasi, serta operasi perubahan bentuk yang disebut transformasi.
objek yang tidak secara eksplisit didefinisikan secara jelas) termasuk garis dan bidang. Meskipun titik, garis, bidang dan ruang merupakan undefined term, akan tetapi terdapat beberapa pengertian yang menghubungkan nya dengan objek-objek yang cukup familier dan mengidentifikasikannya pada representasi yang standar yang cukup membantu dalam mempelajari geometri.
Geometri menempati posisi khusus dalam kurikulum matematika menengah, karena banyaknya konsep-konsep yang termuat di dalamnya. Dari sudut pandang psikologi, geometri merupakan penyajian abstraksi dari pengalaman visual dan spasial, misalnya bidang, pola, pengukuran dan pemetaan. Sedangkan dari sudut pandang matematik, geometri menyediakan pendekatan-pendekatan untuk pemecahan masalah, misalnya gambar-gambar, diagram, sistem koordinat, vektor, dan transformasi.
Geometri merupakan lingkungan untuk mempelajari struktur matematika. Sucker [5] mengemukakan bahwa (1) geometri adalah cabang matematika yang mempelajari pola-pola visual, (2) geometri adalah cabang matematika yang menghubungkan matematika dengan dunia fisik atau dunia nyata, (3). geometri adalah suatu cara penyajian fenomena yang tidak tampak atau tidak bersifat fisik, dan (4). geometri adalah suatu contoh sistem matematika.
Pada dasarnya geometri mempunyai peluang yang lebih besar untuk dipahami siswa dibandingkan dengan cabang matematika yang lain. Hal ini karena ide-ide geometri sudah dikenal oleh siswa sejak sebelum mereka masuk sekolah, misalnya garis, bidang dan ruang.
4. Relasi Aljabar dan Geometri
Dalam ilmu matematika terdapat salah satu cabang yang mengkorespondensi dan menghubungkan persamaan matematika secara aljabar dengan tempat kedudukan secara geometrik sehingga diperoleh suatu permecahan masalah geometri yang lebih sistematis dan tegas.
pada pengertian hasil secara aljabar. Khususnya jika bilangan dikaitkan dengan konsep pokok geometri. Sebagai contoh, panjang suatu segmen garis atau sudut antara dua garis. Jika garis dan titik secara geometrik diketahui, maka bilangan yang menyatakan panjang atau besar sudut antara dua garis pada hakekatnya hanyalah nilai pendekatan dari suatu pengukuran.
Tetapi metode aljabar memandang bilangan itu sebagai perhitungan yang eksak (bukan sebuah pendekatan). Secara geometri, suatu garis yang titik-titiknya dikaitkan dengan bilangan-bilangan real disebut garis bilangan. Skala yang dijelaskan pada garis bilangan disebut koordinat garis. Bilangan yang menyatakan suatu titik yang diberikan disebut koordinat titik tersebut, dan titik itu disebut grafik dari bilangan, berangkat dari hal dasar ini munculah apa yang disebut dengan koordinat kartesius dan polar.
Dalam sistem koordinat tegak lurus setiap pasangan berurutan dari bilangan real dinyatakan dengan satu dan hanya satu titik pada bidang koordinat, dan setiap titik pada bidang koordinat berkorespondensi satu dan hanya satu pasangan berurutan dari bilangan real, koordinat titik-titik yang ditentukan dengan cara ini, seringkali dikenal sebagai koordinat Cartesius, sebagai penghormatan terhadap matematikawan dan filosof asal Perancis yang bernama René Descartes yang hidup dari 1596 sampai 1650. Satu hal yang perlu dicatat adalah dua garis sumbu koordinat tidak perlu harus berpotongan secara tegak lurus. Namun demikian jika kedua sumbu berpotongan miring, hasil-hasil secara aljabar menjadi lebih rumit.
Gambar 1. Sumbu koordinat Kartesius
Pada koordinat kertesius dalam 3 dimensi pada dasarnya hanya menambahkan parameter dalam persamaan, sehingga terdapat 3 garis yang berpotongan tegak lurus yaitu , dan yang dikenal sebagai sumbu koordinatnya.
Selain koordinat cartesius terdapat juga sistem koordinat polar. Letak suatu titik dalam koordinat polar ditentukan oleh dua besaran yaitu jari-jari dan sudut
. Jari-jari menyatakan jarak antara suatu titik dengan titik asal 0 sumbu koordinat, dan menyatakan sudut yang dibentuk oleh sumbu polar dengan garis hubung antara titik asal dengan suatu titik tersebut.
Gambar 2. Sumbu koordinat Polar
Pada sistem koordinat polar terdapat hubungan dengan koordinat siku-siku yaitu = cos dan y= sin . Koordinat bola didefinisikan sebagai koordinat yang memiliki 3 titik koordinat dua sudut ∅ dan dan satu jarak (ƞ). Ketiga sumbu koordinat ini disebut juga dengan Spherical Coordinates dan titik titiknya ditulis (ƞ, ∅, θ).
koordinat bola memiliki hubungan dengan koordinat siku-siku, hubungannya adalah = sin cos ∅ , = sin sin ∅ , = cos .
Dalam kaitannya dengan aljabar, berbagai persoalan aljabar bisa diselesaikan secara geometris dengan memvisualkan tertlebih dahulu fungsi atau persamaan yang ada. Ketika ingin mencari solusi atau selesaian dari sistem persamaan linear jika penyelesaian secara aljabar bisa menggunakan metode mensubstitusi maupun saling mengeliminasi persamaan dan fungsi – fungsinya. Bila diselesaikan secara geometri cukup divisualkan persamaan atau fungsi kedalam sistem koordinat yang ada dan selanjutnya diidentifikasi titik perpotongan antar kurva sebagai selesaian dari sistem persamaan yang tersedia.
5. Pendekatan Pembelajaran
Pendekatan pembelajaran yang banyak digunakan untuk mempelajari geometri adalah teori Van Hiele. Menurut Van Hiele, ada tiga unsur utama dalam pengajaran geometri, yaitu waktu, materi pengajaran, dan metode pengajaran yang diterapkan. Jika ketiga unsur ditata secara terpadu, akan dapat meningkatkan kemampuan berpikir anak kepada tahapan berpikir yang lebih tinggi.
sesuatu itu disajikan teorema atau dalil; dan (5) tahap akurasi, tahap ini merupakan tahap tertinggi dalam memahami geometri dan aljabar. Pada tahap ini anak sudah memahami betapa pentingnya ketepatan dari prinsip-prinsip dasar yang melandasi suatu pembuktian. Anak pada tahap ini sudah memahami mengapa sesuatu itu dijadikan postulat atau dalil [8].
6. Penutup
Pentingnya pendekatan yang benar dan tepat dalam proses memahami kajian aljabar menyebabkan perlunyab mengkoneksikan dan mengkolaborasi dengan cabang matematika yang lain. Geometri analitik yang merupakan cabang ilmu matematika yang merupakan kombinasi antara aljabar dan geometri. Dengan membuat korespondensi antara persamaan matematika secara aljabar dengan tempat kedudukan secara geometrik diperoleh suatu metoda pemecahan masalah geometri yang lebih sistematik dan lebih tegas.
Daftar Pustaka
[1]Carin, AA. & Sund, R.B. (1989). Teaching, Science, Through Discovery – Sixth Edition. Merril Publishing Company: Columbus. Ohio
[2]Dahar, Ratna W. (1996). Teori Belajar. Jakarta; Erlangga
[3]Hudojo,Herman.2005.Pengembangan Kurikulum dan Pembelajaran Matematika. Malang: UM Press
[4]Kieran, Carolyn. (2004). “Algebraic Thinking in the Early Grades: What Is it?”. The Mathematics Educator. 8, (1), 139-151.
[5]Sucker. Rudy 1987. Mind Tools, The Five Levels of Mathematical Realyti Boston: Houghton Mifflin Company.
[6]Soedjadi, R. (2000). Kiat Pendidikan Matematika di Indonesia: Konstatasi Keadaan Masa Kini Menuju Harapan Masa Depan. Jakarta: Depdikbud.
[7]Suherman, Erman dkk. 2001. Strategi Belajar Mengajar Kontemporer. Bandung: Depdikbud.
