PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Kolera merupakan infeksi usus oleh bakteri Vibrio cholerae yang babkan seorang individu menderita diare akut, dehidrasi tinggi dan dapat menye-babkan shock. Kolera termasuk jenis penyakit yang menyebar dengan cepat dan jangkauan yang luas. Bahkan wabah yang paling besar pernah terjadi hingga melin-tasi beberapa benua (Stine dan Morris, 2014). Di antara wabah yang paling dikenal dunia berdasarkan area dan tahun terjadinya, antara lain Orissa 1999, Dhaka 2006, Zimbabwe 2008, Haiti 2010 dan Kenya 2010.
Kolera menarik perhatian dunia secara global karena berpotensi epidemik dan bahkan pandemik (epidemik yang mendunia). Pandemik ketujuh, atau pande-mik terakhir, bermula di Indonesia pada tahun 1961 kemudian menyebar ke Asia, Afrika, Eropa dan Amerika Latin hingga tahun 2010 (Harris dkk., 2012). Durasi dan periode pandemik kolera yang pertama hingga ke tujuh disajikan dalam dia-gram di bawah ini.
Gambar 1.1 Durasi dan periode pandemik kolera (Mandal dkk., 2011)
Setiap tahun WHO mencatat angka kasus kolera yang terjadi di sejumlah negara. Berikut data angka kasus kolera yang tercatat di sejumlah negara dari tahun 2000 hingga 2013.
Gambar 1.2 Data angka kasus kolera dari beberapa negara tahun 2000-2013 (WHO, 2014)
Data di atas hanya diambil di sebagian negara di dunia dan dari penderita yang melaporkan kasusnya. WHO memperkirakan angka kasus kolera dari seluruh penjuru dunia dapat mencapai 1,4 hingga 4,3 juta kasus per tahun. Sack dkk. (2011) menyatakan masih terdapat kemungkinan muncul pandemik kolera yang baru.
Berdasarkan jumlah kasus yang tidak sedikit, perlu dipelajari bagaimana penularan kolera dapat dengan mudah menginfeksi penduduk. Diketahui bahwa patogen penyebab kolera, Vibrio cholerae, memiliki dua siklus kehidupan, yaitu di dalam tubuh inang (manusia) dan di dalam air. Oleh karena itu, penyakit kolera memiliki mekanisme penularan yang cukup kompleks.
Perpindahan penyakit kolera dapat melalui dua jalur, yaitu individu ke indi-vidu dan air ke indiindi-vidu. Penularan dari indiindi-vidu ke indiindi-vidu sering terjadi terutama melalui kontak langsung dengan tangan yang terkontaminasi patogen (Lamond dan Kinyanjui, 2012). Sementara penularan dari air ke individu dapat terjadi melalui hal-hal berikut: individu meminum air terkontaminasi patogen, individu mengon-sumsi makanan laut mentah atau tidak dimasak dengan sempurna, serta individu yang mengonsumsi buah dan sayuran yang dicuci dengan air terkontaminasi (WHO, 2004).
Berdasarkan uraian di atas diperoleh bahwa jumlah kasus kolera tidak sedi-kit, kolera dapat menyebar dengan cepat dan jangkauan yang luas, serta mekanisme penularannya melalui beberapa jalur. Selain itu untuk kondisi saat ini, kolera masih dalam kekhawatiran menimbulkan pandemik yang baru. Dari uraian tersebut maka dalam penelitian ini akan dibentuk dan dianalisa model matematika penyakit kolera sehingga dapat diketahui dinamika penyakit dan kemungkinan penyebaran penya-kit.
1.2. Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian latar belakang masalah di atas, rumusan masalah dalam penelitian ini adalah:
1. Bagaimanakah model matematika untuk penyakit kolera?
2. Bagaimana analisa model tersebut terkait perilaku solusi di sekitar titik ekui-librium?
3. Bagaimana analisa dalam menentukan bilangan reproduksi dasar model ter-sebut?
1.3. Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan penelitian ini adalah:
1. Membentuk model matematika penyakit kolera
2. Menganalisa model dengan menyelidiki perilaku solusi disekitar titik ekuili-brium.
3. Mengetahui tingkat penyebaran penyakit kolera dan parameter-parameter yang menyebabkan epidemik dengan cara menentukan bilangan bilangan repro-duksi dasar.
4. Melakukan simulasi model matematika penyakit kolera Manfaat yang diperoleh dari penelitian ini antara lain:
1. Memberikan gambaran secara umum dinamika penyakit kolera yang terjadi di suatu area. Hasil tersebut dapat digunakan sebagai acuan dalam meres-pon wabah kolera yang terjadi, baik yang tertular karena individu terinfeksi maupun dari air yang terkontaminasi patogen.
2. Secara umum manfaat penelitian ini adalah dapat memberikan sumbangan terhadap perkembangan ilmu pengetahuan serta untuk menambah wawasan pengetahuan dalam bidang matematika terapan.
1.4. Tinjauan Pustaka
Terdapat beberapa penelitian sebelumnya yang memodelkan penyebaran pe-nyakit kolera. Sebagian di antaranya langsung meneliti kolera itu sendiri, sementara sebagian lainnya meneliti model waterborne diseases (penyakit yang menular me-lalui air) dan kolera termasuk di dalamnya.
Codeco (2001) membentuk model matematika kolera berbentuk SIB. S me-wakili subpopulasi rentan, I meme-wakili subpopulasi terinfeksi dan B meme-wakili kon-sentrasi patogen dalam air. Dalam penelitiannya, Codeco hanya memperhatikan
penularan penyakit dari air terkontaminasi ke individu. Dengan mengkombinasikan semua jenis infeksi menjadi single kompartemen, Codeco mengasumsikan penyakit tidak fatal dan semua jenis infeksi memiliki dinamika yang sama. Selain itu, Code-co juga menggunakan asumsi ukuran inokulum (patogen atau bagian dari patogen yang menyebabkan infeksi) hanya mempengaruhi kemungkinan terjadinya koloni-sasi usus kecil dan tidak mempengaruhi virulensi patogen (drajat kemampuan suatu patogen untuk menyebabkan penyakit). Penelitian kali ini juga akan mengadopsi beberapa asumsi tersebut.
Tien dan David (2010) mengkonstruksi model untuk waterborne diseases berbentuk SIW R, dengan W mewakili konsentrasi patogen di dalam air. Disebut-kan bahwa kolera termasuk ke dalam waterborne diseases yang dimaksud sehingga model dapat digunakan untuk kolera. Dalam penelitian ini selain dari air ke indivi-du, model juga memperhatikan penularan kolera dari individu ke individu. Setelah menganalisa model SIW R, Tien dan David lebih banyak membahas perbandingan model SIW R dengan model SIR.
Pada tahun 2011, Shuai dan Driessche menganalisa kestabilan global model matematika penyakit kolera dengan memperhatikan tingkat infeksi penyakit yang berbeda. Oleh karena itu dalam penelitian ini mulai terbentuk model kolera dengan multiplekompartemen terinfeksi. Akan tetapi model dibentuk secara umum dengan mengasumsikan terdapat n tingkat infeksi. Simulasi diberikan dengan mengambil kasus jika n sama dengan 1 dan 2.
Selanjutnya, Wang dan Jinde (2014) menganalisa model untuk waterborne diseases. Dalam penelitian tersebut, model juga memperhatikan dua jalur perpin-dahan penyakit serta jumlah tahapan infeksi. Model berbentuk SInW R yang dapat digunakan untuk mengetahui dinamika penyebaran penyakit yang menular melalui air seperti kolera, giardia dan rotavirus.
Untuk penelitian dalam tesis ini merupakan penyempurnaan dan penerap-an model waterborne diseases dari Tien dpenerap-an David (2010), serta Wpenerap-ang dpenerap-an Jinde (2014) jika diaplikasikan untuk penyakit kolera. Oleh karena itu dalam
peneliti-an ini diawali dengpeneliti-an penyelidikpeneliti-an terkait penyakit kolera, seperti tahappeneliti-an infeksi dan hal-hal lain yang berpengaruh selama infeksi. Penyelidikan dilakukan dengan mengkaji jurnal penelitian maupun buku medis.
Angka kasus kolera di sejumlah negara diambil dari WHO (2013). Penje-lasan seputar penyakit kolera merujuk pada Marteau (1999), Kusnadi (2003), Sack (2004), Puspandari (2008), Waldor dan Keusch (2010), Symington (2011), Harris (2012), serta Stine dan Morris (2014). Penelitian oleh Watanabe dkk. (1970) khusus untuk mengetahui tahapan kolera. Penelitian oleh Bourgeois (2014) dan Vaz (2012) untuk mengetahui masa inkubasi kolera. Sementara bagaimana cara penularan ko-lera, di ambil dari WHO (2004), serta Lamond dan Kinyanjui (2012).
Untuk mengetahui karakteristik bakteri V.cholerae, peneliti menggunakan sumber dari Hunter (1997), Amelia (2005), Abrams (2013) dan Budd (2013). Untuk mendiskripsikan biotype kolera digunakan Clark (1998) dan Mandal (2011).
Respon immun di dalam tubuh merujuk pada McCutcheon (1957), Bellan-ti (1993), Subowo (1993), Stephenson (2001), Ryan dan Projan (2003), Parham (2005), serta Abbas dan Andrew (2009). Kent dan Hart (1987) serta Dorland (2004) untuk mendifinisikan beberapa istilah medis. Sementara Rampatige (2014) untuk menjelaskan keakuratan dari data autopsi.
Dalam penentuan bilangan reproduksi dasar, peneliti merujuk pada Dries-sche dan Watmough (2008). Sementara pembahasan teori reaktivitas spesies kimia, peneliti merujuk pada Hidayati (2007). Untuk pengambilan nilai parameter pada Bab IV, referensi yang digunakan adalah Mwasa dan Tchuenche (2011), Shuai dan Driessche (2011), Misra dan Singh (2012), serta Posny (2015).
Selanjutnya terkait landasan teori matematika berikut digunakan beberapa buku. Teori suputar fungsi di ambil dari Arya (1979) dan Trench (2013). Teo-ri mengenai matTeo-riks merujuk pada Berman (1994), Meyer (2000), Szidarovszky (2002) dan Zhang (2010). Teori kekonvekan merujuk pada Hadley (1963), Baza-raa (2006) dan Boyd (2009). Kestabilan titik ekuilibrium merujuk pada Luenber-ger (1979), Verhulst (1985), Khalil (1992), Arrowsmith (1992), Perko (2001) dan
Aryati (2013). Sementara determinan Hurwitz merujuk pada Pease (1965).
1.5. Metode Penelitian
Penelitian dilakukan berdasarkan studi literatur yakni mempelajari jurnal maupun buku yang berkaitan dengan penyakit kolera dan model matematikanya. Sebelum membentuk model, berbagai informasi dan fakta terkait kolera dikum-pulkan sehingga dapat ditentukan parameter serta asumsi untuk menyederhanakan model. Kolera dipelajari dari berbagai sumber seperti jurnal penelitian, buku medis dan hasil konsultasi dengan seorang ahli kesehatan (dokter).
Setelah terkumpul asumsi dan parameter yang diperlukan, mulai dibentuk model. Sistem persamaan diferensial yang diperoleh dalam pemodelan diilutrasi-kan dalam bentuk diagram transfer lalu dilakudiilutrasi-kan analisis. Dalam melakudiilutrasi-kan ana-lisis terhadap sistem, karena diperlukan landasan teori sebagai alat untuk mencapai tujuan penelitian maka dikumpulkan terlebih dahulu definisi maupun teorema yang diperlukan. Setelah landasan teori terkumpul, analisis dapat dilakukan.
Sistematika dalam menganalisis model mengacu pada rumusan masalah yang telah disusun. Diawali dengan menentukan titik ekuilibrium bebas penyakit mau-pun endemik, lalu penyelidikan sifat kestabilan masing-masing titik ekuilibrium. Di tengah proses pembahasan tersebut, ditentukan pula bilangan reproduksi dasar un-tuk mengetahui ambang batas terjadinya wabah penyakit. Pada akhir pembahasan diberikan simulasi dan penarikan kesimpulan hasil penelitian.
1.6. Sistematika Penulisan
Penyusunan tesis ini dibagi menjadi empat bab yaitu Pendahuluan, Dasar Teori, Pembahasan, Simulasi dan Penutup.
Bab I (Pendahuluan) terdiri dari enam bagian yaitu Latar Belakang Masa-lah, Rumusan MasaMasa-lah, Tujuan dan Manfaat Penelitian, Tinjauan Pustaka, Metode penelitian dan Sistematika Penulisan.
Bab II (Dasar Teori) terdiri dari sejumlah definisi, teorema dan contoh. Da-sar Teori dibagi menjadi tujuh subbab yaitu Fungsi Diferensiabel Kontinu, Sis-tem Persamaan Diferensial, Titik Ekuilibrium, Kestabilan Titik Ekuilibrium, Fungsi Konveks, M-Matriks dan Bilangan Reproduksi Dasar. Bagian teorema tidak turut dicantumkan pembuktian karena dapat ditemukan pada sumber rujukan yang terte-ra.
Bab III (Hasil dan Pembahasan) memuat suatu analisis dari model penyakit kolera. Bab ini terdiri dari tiga subbab yaitu Penyakit Kolera, Model dengan Si-ngle Kompartemen Terinfeksi dan Model dengan Multiple Kompartemen Terinfek-si. Pembahasan pada masing-masing model diawali dengan pembentukan model, keterbatasan solusi, eksistensi titik ekuilibrium bebas penyakit dan bilangan rep-roduksi dasar, eksistensi titik ekuilibrium endemik, dan diakhiri dengan kestabilan titik ekuilibrium.
Bab IV (Simulasi) memuat simulasi dari model penyakit kolera baik dengan single maupun multiple kompartemen terinfeksi. Sementara Bab terakhir, yaitu Bab V (Penutup), memuat kesimpulan dari hasil penelitian yang diperoleh dan saran untuk penelitian selanjutnya.
