BAB
BAB
IX
IX
:
:
ARUS
ARUS
DIFUSI
DIFUSI
DAN
DAN
RAPAT
RAPAT
ARUS
ARUS
9.1. Proses Difusi Elektron dan Hole
9.1. Proses Difusi Elektron dan Hole
Difusi Pembawa Muatan (Elektron dan Hole ) Difusi Pembawa Muatan (Elektron dan Hole )
Hukum Ficks merumuskan difusi sebagai fluksi, F, (dari partikel elektron atau Hukum Ficks merumuskan difusi sebagai fluksi, F, (dari partikel elektron atau hole)
hole) proporsional tproporsional terhadap gradien erhadap gradien in konsin konsentrasi.entrasi.
Dimana konsentrasi dan D adalah koefisien difusi, maka fluksi F didefinisikan Dimana konsentrasi dan D adalah koefisien difusi, maka fluksi F didefinisikan sebagai sebagai F F == −− DDηη ∇∇n n (9.1)(9.1) == Rapat
Rapat arus arus difusi difusi elektron elektron dan dan hole hole (flux (flux partikel partikel dikalikan dikalikan -/+q -/+q ) ) dapatdapat diekspresikan sebagai berikut ,
diekspresikan sebagai berikut ,
J
Jpp difdif = qD= qDpp ∇ ∇ p ((hole)p ((hole) (9.2)(9.2) J
Jnn difdif = qD = qDnn ∇ ∇ n (elektron)n (elektron) (9.3)(9.3)
Rapat arus difusi total : Rapat arus difusi total : J
9.2. Transpor Pembawa Muatan
9.2. Transpor Pembawa Muatan
Pergerakan pembawa muatan dalam semikonduktor menghasilkan arus Pergerakan pembawa muatan dalam semikonduktor menghasilkan arus listrik. Pergerakan pembawa muatan disebabkan medan listrik, oleh aplikasi listrik. Pergerakan pembawa muatan disebabkan medan listrik, oleh aplikasi sumber tegangan eksternal. Kita refer mekanisme transport sebagai drift sumber tegangan eksternal. Kita refer mekanisme transport sebagai drift pembawa muatan. Sebagai tambahan, pembawa muatan (carrier) bergerak dari pembawa muatan. Sebagai tambahan, pembawa muatan (carrier) bergerak dari suatu daerah ke daerah lain dimana kerapatan pembawa muatan tinggi di suatu suatu daerah ke daerah lain dimana kerapatan pembawa muatan tinggi di suatu daerah ke daerah dimana kerapatan pembawa muatan rendah. Mekanisme daerah ke daerah dimana kerapatan pembawa muatan rendah. Mekanisme transport ini akibat enerji thermal dimana pembawa muatan bergerak random. transport ini akibat enerji thermal dimana pembawa muatan bergerak random. Mekanisme transport ini disebut Difusi pembawa muatan. Arus total di Mekanisme transport ini disebut Difusi pembawa muatan. Arus total di semikonduktor jumlah dari
semikonduktor jumlah dari arus Driftarus Drift dan dan arus Difusiarus Difusi..
Medan listrik terpasang ke suatu semikonduktor, menghasilkan gaya Medan listrik terpasang ke suatu semikonduktor, menghasilkan gaya elektrostatik yang mempercepat pembawa muatan dan akhirnya mencapai elektrostatik yang mempercepat pembawa muatan dan akhirnya mencapai kecepatan rata-rata konstan, akibat tumbukan dengan kisi-kisi yang kecepatan rata-rata konstan, akibat tumbukan dengan kisi-kisi yang menghasilkan vibrasi kisi-kisi phonon-optik. Figur merit yang membandingkan menghasilkan vibrasi kisi-kisi phonon-optik. Figur merit yang membandingkan antara kecepatan terhadap medan listrik terpasang, dikenal sebagai
antara kecepatan terhadap medan listrik terpasang, dikenal sebagai MobilitasMobilitas.. Kecepatan elektron (dan hole) mencapai saturasi pada medan listrik tinggi, Kecepatan elektron (dan hole) mencapai saturasi pada medan listrik tinggi, akibat tumbukan dengan kisi-kisi, menghasilkan vibrasi kisi-kisi moda phonon akibat tumbukan dengan kisi-kisi, menghasilkan vibrasi kisi-kisi moda phonon optik dengan enerji maksimum. Terdapat mekanisme scattering tambahan ketika optik dengan enerji maksimum. Terdapat mekanisme scattering tambahan ketika pembawa muatan mengalir di permukaan suatu semikonduktor mengakibatkan pembawa muatan mengalir di permukaan suatu semikonduktor mengakibatkan mobilitas yang lebih rendah akibat mekanisme scaterring di permukaan atau mobilitas yang lebih rendah akibat mekanisme scaterring di permukaan atau antar-muka (interface).
antar-muka (interface).
Difusi pembawa muatan diakibatkan gradient pembawa muatan. Gradien Difusi pembawa muatan diakibatkan gradient pembawa muatan. Gradien tersebut karena variasi konsentrasi doping terhadap ruang (jarak) dalam tersebut karena variasi konsentrasi doping terhadap ruang (jarak) dalam semikonduktor atau akibat adanya gradient thermal (temperatur).
Kedua mekanisme transport pembawa muatan saling berhubungan karena partikel (elektron, hole) dengan mekanisme scattering yang sama. Relasi
antara Mobilitas dan Konstanta Difusi dikenal sebagai Relasi Einstein.
=
; =
9.2.1. Drift Pembawa Muatan
Pergerakan suatu pembawa muatan (carrier), dipacu oleh adanya medan listrik di suatu semikonduktor, E diilustrasikan dalam gambar 9.2. Medan listrik menyebabkan pembawa muatan bergerak dengan kecepatan rata2, v.
Gambar 9.2 Drift suatu pembawa muatan akibat aplikasi medan listrik
Dengan menganggap bahwa seluruh pembawa muatan dalam semikonduktor bergerak dengan kecepatan rata2 yang sama, arus dapat diekspresikan sebagai muatan total dalam semikonduktor dibagi dengan waktu yang diperlukan untuk travel (tv) dari suatu elektroda ke ektroda yang lain, yang berjarak L. Atau :
(9.4)
Rapat arus, J, da[at dituliskan sebagai fungsi dari konsentrasi (kerapatan muatan) :
(9.5)
Bila seluruh pembawa muatan adalah elektron yang bermuatan negatip, rapat arus adalah sama dengan,
(9.6a)
Sementara untuk pembawa muatan positip
(9.6b)
Dimana n dan p adalah konsentrasi elektron dan hole d i semikonduktor,.
Perlu dicatat bahwa pembawa muatan tidak mengikuti alur pergerakan yang lurus searah medan listrik, tetapi terpantul-pantul di antara kisi-kisi atom semikonduktor, dan secara konstan berubah arah dan kecepatan akibat scattering. Perilaku transpor elektron ketika tidak ada medan listrik, elektron bergerak dengan enerji thermal. Secara termodinamika, elektron dalam keadaan non-degenerate dan non-relativistik, adalah gas elektron dengan enerji thermal kT /2 per partikel perderajat kebebasan. Kecepatan thermal tipikal pada temperatur kamar adalah 107 cm/s, yang mana melebihi kecepatan drift tipikal di semikonduktor. Pergerakan muatan dalam kisi-kisi semikonduktor dalam keadaan tidak ada dan adanya medan listrik ditunjukan dalam Gambar 9.3. dibawah,
Gambar 9.3: Pergerakan random suatu pembawa muatan dalam semikonduktor dengan dan tanpa adanya medan listrik E,
Dalam keadaan tidak ada medan listrik, pembawa muatan dalam semikonduktor menunjukan gerak acak (random), dimana pembawa muatan bergerak acak secara cepat (lincah) dan senantiasa berubah arah. Saat medan listrik terpasang, pergerakan random tetap terjadi, tetapi dijumlahkan, secara rata2 net pergerakan berlawanan arah medan listrik E. Untuk hole pergerakannya searah medan listrik E.
Menganalisis pergerakan pembawa muatan dengan menganggap kecepatan rata2 pembawa muatan, ̅. Menerapkan hukum Newton, kita dapat menyatakan percepatan suatu pembawa muatan proporsional terhadap aplikasi gaya Newton :
(9.7)
Gaya terdiri atas perbedaan antara gaya elektrostatik dan gaya akibat scattering dimana terjadi perubahan (loss) momentum. Scattering ini sama dengan momentum dibagi waktu rata2 antara dua scattering (tumbukan), tc, sehingga :
(9.8)
Dimana suatu partikel dengan muatan q
Mengkombinasikan kedua relasi menghasilkan suatu ekspresi untuk kecepatan rata2 partikel :
(9.9)
Kita hanya mempertimbangkan keadaan steady-state dimana partikel telah diakselerasi dan mencapau suatu kecepatan rata2 yang konstan. Dalam keadaan tersebut, kecepatan adalah proporsional denga medan listrik dan suatu parameter yaitu, mobilitas. Kita mendefinisikan mobilitas sebagai
rasio antara kecepatan terhadap medan listrik :
(9.10)
Mobilitas partikel dalam semikonduktor akan tinggi bila massanya ringan dan waktu relaksasi antara tumbukan lama.
Arus drift dideskripsikan di persamaan (9.6), dapat dituliskan kembali sebagai fungsi mobilitas, menghasilkan:
(9.11)
(untuk elektron) dan untuk hole :
(9.12)
Dalam penurunan ini, kita hanya mengikutsertakan massa partikel, m. Tetapi adanya efek potensial periodik atom kisi-kisi semikonduktor, massa adalah massa efektip m*, bukan masa partikel bebas (elektron, m= m0 ). Sehingga mobilitas dapat didefinsikan :
(9.13)
Contoh 9.1 Gallium arsenide tidak di-dop(SI GaAs) memiliki mobilitas 8,800 cm2/V-s. Hitung waktu antara dua tumbukan (waktu relaksasi). Hitung jarak yang ditempuh antara dua tumbukan (disebut juga ‘mean free path’). Gunakan kecepatan rata2 107 cm/s.
Solusi Waktu antara 2 tumbukan, tc, diperoleh dari:
Dimana mon]bilitas diubah dulu ke dalam satuan MKS . Mean free path, l, sama dengan :
9.2.2. Scattering Ketidakmurnian (Impurity scattering)
Berubahnya kecepatan dan momentum pembawa muatan adalah akibat tumbukan dengan atom2 ketidakmurnian dalam semikonduktor. Atom2 tersebut adalah ’scattering center’ efektip terjadi karena terioniasi sebagai akseptor dan donor. Jumlah scattering akibat gaya elektrostatik antara pembawa muatan dan dopant yang terionisasi tergantung waktu interaksi dan jumlah pembawa muatan. Konsentrasi pembawa muatan yang lebih tinggi menghasilkan mobilitas yang lebih rendagh disamping ketergantungan antara waktu interaksi terhadap temperatur. Waktu interaksi dihubungkan langsung terhadap kecepatan relatip pembawa muatan dan ketidakmurnian. Kecepatan thermal meningkat dengan temperatur ambien, sehingga waktu interaksi menurun, Karena itu, tingkat scattering menurun, menghasilkan mobilitas yang meningkat terhadap temperatur. Dalam orde pertama, mobilitas akibat ketidakmurnian memiliki relasi terhadap temperatur dan konsentrasi ketidakmurnian (donor/akseptor yang terionisasi) sebagai T 3/2/NI,
dimana NI adalah konsentrasi ketidakmurnian yang terionisasi.
9.2.3. Scattering Kisi2 (Lattice scattering).
Scattering akibat vibrasi kisi2 meliputi absorpsi dan emisi phonon akustik atau/dan phonon optik. Phonon merupakan gelombang mekanikal yang berpropagasi melalui Kristal semikonduktor. Karena kerapatan phonon dalam suatu material meningkat dengan temperatur, waktu scattering akibat mekanisme ini akan menjadi lebih pendek menyebabkan menurunnya mobilitas. Kalkulasi teoritis menunjukan mobilitas di semikonduktor
non-polar semiconductor, seperti Silicon and Germanium, didominasi oleh interaksi phonon akustik. Mobilitas yang diperoleh menjadi proporsional dengan T -3/2, sementara mobilitas akibat scattering phonon optik akan proporsional dengan T -5/2. Dari hasil eksperimen ketergantungan temperatur mobilitas semikonduktor Ge(rmanium), Si(likon) dan Ga(llium) As(rsenide) ditunjukan dalam Tabel 9.1 .
Table 9.2. Ketergantungan temperatur mobilitas di Germanium, Silikon and Galium Arsenide akibat phonon scattering
9.3.1. Ketergantungan mobilitas pembawa muatan terhadap Doping
Mobilitas elektron dan hole di Si pada temperatur kamar di gambar 9.3. 9.3. Mobilitas pembawa muatan (pembawa muatan: elektron, hole)
Mobilitas pembawa muatan adalah parameter sifat (properties) material yang utama, karena menentukan konduktivitas dan resistivitas material (semikonduktor). Mobilitas, sebagaimana telah dibahas sebelum ini, secara kwalitatif logis dapat memiliki ketergantungan terhadap doping. Pertama, ketergantungan mobilitas terhadap konsentrasi doping dan hubungannya konduktivitas dan resistivitas terhadap doping. Kemudian dikenalkan konsep ‘Resistansi Sheet’ dan perhitungannya.
Gambar 9.3. Mobilitas elektron and hole terhadap konsentrasi doping Si.
Mobilitas elektron dan hole memiliki ketergantungan terhadap doping yang sama. Untuk konsentrasi doping yang rendah, mobilitas hampir konstan terhadap konsentrasi doping, hanya dibatasi oleh scattering phonon. Pada konsentrasi doping yang lebih tinggi, mobilitas menurun akibat scattering ketidakmurnian (atom-atom dopant yang terionisasi). Mobilitas aktual tergantung terhadap tipe doping. Gambar 9.3 adalah untuk Si di-dop phosphorous dan boron.
Mobilitas pembawa muatan minoritas juga tergantung kepada total konsentrasi pembawa muatan (carrier). Mobilitas pembawa miatan minoritas di-aproksimasi oleh mobilitas pembawa muatan mayoritas dalam suatu semikonduktor dengan konsentrasi ketidakmurnian yang sama.
Mobilitas pada suatu harga konsentrasi doping diperoleh dari ekspresi empiris
dimana min, max, a and Nr adalah ‘fitting’ parameter. Parameter untuk
Silikon di-dop Arsenik, Phosphorous dan Boron diberikan dalam Tabel 9.2
berikut.
Table 9.4 : Parameter fitting untuk menghitung mobilitas sebagai fungsi konsentrasi doping.
Mobilitas dari perhitungan menggunakan persamaan empiris dan fitting parameter Tabel 9.3. untuk berbagai konsentrasi doping.
Tabel 9.5 : Mobilitas di silikon untuk berbagai doping dan konsentrasi
9.3.2. Konduktivitas dan Resistivitas
Konduktivitas suatu material didefinisikan sebagai rapat arus, J, dibagi medan listrik, E, terpasang. Karena rapat arus sama dengan produk total muatan (qn-untuk elektron atau qp – untuk hole) dan kecepatan penbawa, dapat diekspresikan sebagai suatu fungsi medan listrik melalui mobilitas. Total rapat arus drift oleh elektron dan hole,
(9.15)
(9.16)
Resistivitas didefinisikan sebagai inverse konduktivitas, sebagai berikut,
(9.17)
Resistivitas dari perhitungan di-ekspresikan diatas dalam Gambar 9.4.
Gambar 9.4 Resistivitas Silikon tipe-n and tipe-p vs konsentrasi doping
9.2.3. Resistansi Lembaran (Sheet resistance)
Konsep resistansi lembaran (sheet resistance) digunakan untuk karakterisasi baik wafer maupun lapisan epitaksi yang sudah di-dop, karena memudahkan untuk mengukur ‘sheet resistance’ daripada resistivitas material. ‘Sheet resistance’ suatu lapisan yang ter-dop seragam dengan resistivitas, , dan ketebalan, t, diberikan dalam relasi :
Dimana satuan resistansi ‘sheet’ adalah Ohms, direferensikan sebagai Ohms per square. Konsep ‘sheet resistansi’ (Rsh atau R menunjukan
resistansi suatu material dengan panjang, L, and lebar W, dimana dimensi ini ditentukan dulu. Hubungan antara resistansi R dengan Rsh (R) dengan
mengalikan dan membagi sebagai berikut,
(9.19)
Dimana jumlah dari persegi panjang sama sisi, , adalah sama dengan jumlah dibagi dengan lebar. Gambar 9.5. menunjukan suatu contoh
resistansi ‘sheet’ wafer Si dengan tebal 14 mil dengan tipe-n dan tipe-p.
Gambar 9.5. Resistansi ‘sheet’ (Sheet resistance) versus konsentrasi ‘doping’ suatu semikonduktor Si tebal 14 mil tipe-n dan tipe–p.
Contoh 9.9 Sepotong semikonduktor Silicon didop dengan Arsenik (Nd = 1017 cm-3) dengan panjang 100 mm, lebar 10 mm dan 1 mm. Hitung resistansi sampel dengan mengontak ke-2 ujung silinder.
Solusi Resistivitas silinder Si :
Dimana mobilitas diperoleh dari Tabel 9.3. Resistansi kemudian sama dengan :
Cara lain dengan pertama menghitung resustansi ‘sheet’, Rsh:
Dari sini kemudian dihitung resistansi R sebagai berikut :
Kemudian kita meng-generalisasi-kan konsep resistansi ‘sheet’ ke suatu lapisan semikonduktor layer dengan doping tidak merata (non-uniform) sebagai profil hasil proses doping Difusi atau implantasi ion doping, tergambar di Gambar 9.6 berikut,
Gambar 9.6 Distribusi doping riel (Non-uniform doping).
Profil doping dari proses Difusi atau/dan implantasi ion dalam suatu substrat tip-n yang didop secara uniform. Kedalaman junction metalurgikal, x j, terjadi ketika konsentrasi kedua doping adalah sama. Resistansi lembaran (sheet resistance) di bagian dengan lebar, dx, sebagai berikut :
(9.20)
Dimana kedua parameter material semikonduktor, mobilitas hole,
p(x), dan konsentrasi hole, p(x), tergantung kepada posisi. Resistansi sheet dari seluruh lapisan adalah resistansi parallel dari seluruh lembar potongan dengan lebar dx antara nol dan x j, menghasilkan :(9.21)
Dimana is adalah mobilitas rata2 dari lapisan yang di-dop. x+dx
9.4. Kecepatan saturasi
Hubungan linear antara kecepatan rata2 pembawa muatan dan medan listrik terpasang tidak terjadi lagi pada medan listrik yang tinggi. Ketika medan listrik meningkat, kecepatan rata2 pembawa muatan dan enerji pembawa muatan juga meningkat. Ketika enerji pembawa muatan meningkat melampaui enerji phonon optik, probabilitas untuk emisi phonon optik meningkat mendadak. Mekanisme ini menghasilkan saturasi kecepatan pembawa muatan (elektron, hole) dalam keadaan meningkatnya medan listrik. Untuk pembawa muatan di Silikon dan material (semikonduktor) yang tidak memiliki ban enerji yang lebih tinggi dimana elektron dapat berpindah, kecepatan fungsi terhadap medan listrik, dan meningkat secara monotonis seperti terlihat di Gambar 9.7 dibawah
Gambar 9.7: Relasi kecepatan-medan listrik untuk a) material tanpa ban enerji (konduksi) yang dapat ditempati, seperti Si atau Ge, b) material dengan ban enerji yang lebih tinggi yang dapat ditempati, seperti GaAs.
Untuk material tersebut hubungan kecepatan vs medan listrik dideskripsikan sebagai :
(9.22)
Kecepatan maksimum yang dapat diperoleh, vsat, adalah kecepatan saturasi.
Analysis yang lebih kompleks untuk materials seperti GaAs and InP, yang mengikutsertakan minima ban konduksi yang terdekat. Elektron berasal dari G minimum dipercepat oleh medan listrik tinggi dan memperoleh enerji cukup untuk tereksitasi dari minima ban X atau L. Karena rapat states di minima X and adalah sangat tinggi karena effective massa efektip yang lebh tinggi, probabilitas electron kembali ke minimum G karena jumlah ‘states’ tersedia lebih kecil. Karena itu elektron tetap di minima yang lebih tinggi selama medan listrik melebihi medan listrik maksimum (puncak). Jadi kecepatan pertama meningkat dengan medan listrik, tetapi setelah pembawa muatan (carrier) tereksitasi ke ban minimum yang lebih tinggi dengan massa efektif lebih berat, mobilitas dan kecepatan rata2 menurun.
Hal ini ditunjukan dengan jelas puncak (maksimum) ban kurva kecepatan vs medan listrik, E, diperlihatkan dalam Gambar, 9.7b. Kurva kecepatan-medan listrik menunjukan karakteristik kecepatan puncak (maksimum), vpeak, di medan listrik puncak, Epeak, sebagai fitur parameter tambahan disamping mobilitas, m, and kecepatan saturasi, vsat.
Estimasi pertama terhadap kecepatan saturasi, vsat, suatu material diperoleh dengan menghitung kecepatan pembawa muatan ketika mencapai enerji sama dengan enerji phonon optik.
(9.23)
Sementara persamaan ini menyediakan estimasi kasar tentang kecepatan saturasi sebenarnya, tren kurva memperlihatkan secara kwalitatip benar.. Material dengan massa efektip mass dan enerji phonon optik. Enerji phonon optik yang tinggi kemungkinan besar mempunyai kecepatan saturasi yang tinggi. Material dengan ban minima mutipel dapat memiliki kecepatan saturasi, vsat, agak rendah, relatip terhadap kecepatan puncak, bila pembawa muatan di minima lebih tinggi, massa efektipnya lebih tinggi (berat).
9.5. Difusi Pembawa Muatan (Carrier diffusion)
Difusi pembawa muatan (elektron dan/atau hole) yang memperoleh enerji thermal, kT , menyebabkan pembawa muatan bergerak acak (random) dalam keadaan tidak ada medan listrik. Pergerakan acak pembawa muatan tidak menghasilkan net arus mengalir didalam suatu material dengan konsentrasi pembawa muatan yang sama, akibat setiap pembawa muatan yang meninggalkan suatu lokasi, secara rata-rata digantikan oleh
pembawa muatan yang lain.
Tetapi bila suatu terdapat gradien pembawa muatan maka akan terjadi proses difusi, yang menyebabkan net aliran arus yang semula nol oleh
gerak acak pembawa muatan, sekarang terjadi arus akibat proses difusi pembawa muatan. Pembawa muatan berdifusi dari daerah konsentrasi tinggi ke daerah konsentrasi yang lebih rendah. Proses difusi walaupun dapat dianalogikan dengan difusi larutan gula dari larutan gula yang pekat ke larutan gula yang lebih encer melalui membran, tetapi proses difusi akan berhenti bilamana konsentrasi dalam dua daerah tersebut sama setelah beberapa waktu. Di bagian bab ini kita akan menurunkan persamaan arus akibat proses difusi, dan kemudian kombinasinya dengan arus drift untuk memperoleh total arus Drift dan Difusi.
9.4. Arus Difusi
Penurunan arus berdasarkan pembawa muatan temperature non-zero (0 Kelvin) memiliki thermal enerji, kT /2 per derajat kebebasan. Ini adalah enerji thermal yang mendorong proses difusi. Pada T = 0K tidak ada proses difusi.
Kita harus memahami bahwa secara acak (random) alamiah dari enerji thermal membutuhkan penanganan statistik terhadap pembawa muatan. Sebagai pengganti kita menggunakan nilai rata-rata untuk mendeskripsikan proses. Metode ini dijustifikasi dengan dasar bahwa metode statistic yang yang lebih rinci menghasilkan hasil yang sama. Untuk lebih menyederhanakan penurunan, kita akan menurunkan arus difusi dalam 1-dimensi di semikonduktor dimana elektron hanya bergerak hanya dalam satu arah (misal di arah–x atau-y).
Sekarang kita mengenalkan harga rata2 terhadap variabel-variabel, yaitu, kecepatan thermal, vth, selang waktu (waktu relaksasi), tc, dan ‘mean free path’, l. Kecepatan thermal adalah kecepatan rata-rata pembawa muatan
mengalir dari arah yang searah atau berlawanan. Ketiga harga rata2 ini memiliki relasi sebagai berikut:
(9.24)
Perhatikan keadaan digambarkan dibawah ini (gambar 9.8)
Gambar 9.8. Profil konsentrasi pembawa muatan yang digunakan untuk menurunkan persamaan arus difusi.
Terlihat perubahan konsentrasi pembawa muatan terhadap posisi-x di dalam semikonduktor, sehingga konsentrasi pembawa muatan sebagai fungsi-x, n(x). Perhatikan kerapatan (konsentrasi) pembawa muatan yang berjarak satu ‘mean free path’ (jarak yang ditempuh elektron /hole dari suatu tumbukan ke tumbukan berikutnya) dari x = 0, dimana pembawa muatan (elektron/hole) yang datang di x = 0, berasal dari x = -l atau x = l.
Fluksi
di x = 0 akibat pembawa muatan yang berasal dari x = -l dan bergerak dari kiri ke kanan akan sama dengan :(9.25)
Dimana faktor 1/2 adalah akibat hanya sebagian pembawa muatan yang bergerak ke kiri sementara setengahnya lagi bergerak ke kanan. Fluksi pada
x = 0 akibat pembawa muatan yang bersumber di x = +l dan bergerak dari kanan ke kiri adalah sama dengan,
(9.26)
Fluksi total pembawa muatan bergerak dari kiri ke kanan pada x = 0 sama dengan :
(9.27)
Dimana fluksi akibat pembawa muatan bergerak dari kanan ke kiri dikurangi fluksi akibat pembawa muatan bergerak dari kiri ke kanan. Dengan asumsi ‘mean free path’ adalah kecil kita dapat menyatakan perbedaan dalam konsentrasi pembawa muatan dibagi jarak antara x = -l dan x = l sebagai derivatif (diferensial) dari konsetrasi pembawa muatan,
(9.28)
Arus akibat difusi elektron sama dengan fluksi pembawa muatan dikalikan muatan suatu elektron yaitu,
(9.29)
Kita sekarang menggantikan produk dari kecepatan thermal, vth, dan ‘mean free path’, l, dengan suatu parameter yang disebut sebagai, Konstanta Difusi (diffusion constant), Dn, sehingga Rapat Arus Difusi diekspresikan,
(9.30)
Demikian juga untuk hole, Rapat Arus Difusi Hole,
(9.31)
Mobilitas. Pertama, sepertinya tidak terlihat hubungan sama sekali antara keduanya karena gaya gerak pembawa muatan (drift dengan difusi) sangat jelas berbeda, Difusi disebabkan enerji thermal sementara drift disebabkan medan listrik terpasang eksternal. Akan tetapi suatu parameter esensial dalam analisis, yaitu waktu relaksasi (selang waktu antara satu tumbukan dengan tumbukan berikutnya, elektron dengan atom
kisi-kisi),
, harus tidak tergantung terhadap apa yang menyebabkan pergerakan pembawa muatan.Kita sekarang dapat mengkombinasikan antara kecepatan, ‘mean free path’ dan waktu tumbukan (waktu relaksasi), dengan ekspresi sebagai berikut,
(9.32)
Berdasarkan hokum thermodinamika dimana elektron memiliki enerji thermal sama dengan, kT /2, untuk setiap derajat kebebasan (degree of freedom), dimana dalam satu dimensi diekspresikan,
(9.33)
Menggunakan persamaan 9.2 dan 9.3 dalam produk kecepatan thermal dan ‘mean free path’ sebagai suatu fungsi mobilitas pembawa muatan :
(9.34)
Menggunakan definisi konstanta difusi, diperoleh ekspresi hubungan dengan mobilitas elektron datau hole dibawah ini
(9.35)
(9.36)
Contoh 9.10 Konsentrasi hole dalam suatu wafer Silikon tipe-p (Nd = 1017 cm-3) menurun secara linear dari 1014 cm-3 ke 1013 cm-3 antara x = 0 dan x = 1 mm. Hitung rapat arus difusi hole
Jawaban Rapat arus difusi hole sama dengan :
Dimana konstanta difusi dihitung menggunakan relasi Einstein:
dan mobilitas hole dalam suatu tipe-n diperoleh dari Tabel 9.3 sebagai mobilitas hole di suatu material tipe-p dengan konsentrasi doping yang sama.
9.4.1. Arus Total
Total rapat arus elektron diperoleh dengan menjumlahkan kedua macam arus, arus drift dan arus difusi menghasilkan :
(9.37)
Dan demikian juga untuk hole :
(9.38)
Arus total current adalah jumlah dari arus elektron dan hole dikalikan dengan luas, A, tegak lurus terhadap arah dari arah aliran arus,
9.4.2. Enerji Quasi-Fermi
Ketika drift atau difusi pembawa muatan terjadi, semikonduktor tidak berada kesetimbangan thermal lagi (non-thermal equilibrium). Sehingga kita tidak bias menggunakan enerji Fermi yang konstan. Karena itu kita menggeneralisasi konsep enerji Fermi energy dengan membolehkan enerji Fermi untuk berubah disepanjang material dengan level enerji Fermi yang
berbeda, yaitu enerji Quasi-Fermi,
Fn
andFp
, untuk electron dan hole. Level quasi Fermi berdasarkan distribusi elektron dan hole yang masih dapat di-approksimasi dengan fungsi distrbusi yang sama, Tetapi elektron sudah tidak dalam keadaan thermal equilibrium terhadap hole. Persamaan untuk pembawa muatan elektron dan hole masing-masing dibawah ini,(9.40)
(9.41)
Intrepretasi fisik quasi-Fermi level diklarifikasi dengan memasukan persamaan (9.36) dan (9.37) ke dalam ekspresi untuk Rapat arus elektron dan hole, (9.33) and (9.34):
(9.42)
(9.43)
Yang mana dapat disederhanakan dengan menuliskan kembali gradien enerji intrinsik sebagai fungsi medan listrik menggunakan (6.8), kedalam
Rapat Arus Difusi :
(9.44)
(9.45)
Dari persamaan ini, kita menyimpulkan gradien enerji quasi-Fermi adalah gaya total yang berlaku terhadap pembawa muatan termasuk gaya akibat medan listrik terpasang.
