1.
PENGERTIAN MESIN TURING DAN CONTOH-CONTOH MESIN TURINGMesin Turing adalah model yang sangat sederhana dari komputer. Secara esensial, mesin Turing adalah sebuah finite automaton yang miliki sebuah tape tunggal dengan panjang tak terhingga yang dapat membaca dan menulis data. Mesin Turing menggunakan notasi seperti ID-ID pada PDA untuk menyatakan konfigurasi dari komputasinya. Stack pada PDA memiliki keterbatasan akses. Elemen yang dapat diakses hanya elemen yang ada pada top stack. Pada Mesin Turing, memori akan berupa suatu tape yang pada dasarnya merupakan array dari sel-sel penyimpanan.
Visualisasi dari sebuah mesin Turing diberikan oleh gambar berikut:
Mesin terdiri dari sebuah finite control, yang dapat berada dalam sebuah himpunan berhingga dari state. Terdapat sebuah tape yang dibagi ke dalam kotak-kotak atau sel-sel. Setiap sel dapat menampung sebuah dari sejumlah berhingga dari simbol. Pada awalnya, input yang merupakan string dari simbol dengan panjang berhingga dipilih dari input alphabet, ditempatkan pada tape. Sel-sel tape yang lain, perluasan secara infinite ke kiri dan ke kanan, pada awalnya menampung simbol khusus yang dinamakan blank. Blank bukan sebuah input symbol, dan mungkin terdapat simbol tape yang lain disamping input symbol dan blank. Terdapat sebuah tape head yang selalu ditempatkan pada salah satu dari sel-sel tape. Mesin turing dikatakan men-scan sel tersebut. Pada awalnya, tape head berada pada sel paling kiri yang menampung input. Sebuah pergerakan mesin Turing adalah sebuah fungsi dari state dari finite control dan tape symbol yang di-scan.
Dalam satu pergerakan, mesin Turing akan:
• Merubah state. Next state dapat sama dengan current state.
• Menulis sebuah tape symbol dalam sel yang di-scan. Tape symbol ini mengganti symbol apapun yang ada dalam sel tersebut. Secara opsional, simbol yang dituliskan dapat sama dengan simbol yang sekarang ada dalam tape.
• Memindahkan tape head ke kiri atau ke kanan. Notasi formal Mesin Turing
Mesin Turing dijelaskan oleh 7-tuple: M = (Q, S, G, d, q0, B, F)
Komponen-komponennya adalah:
• Q: Himpunan berhingga dari state dari finite control.
• S: himpunan berhingga dari simbol-simbol input.
• G: Himpunan dari tape symbol. S merupakan subset dari G.
d: Fungsi transisi. Argumen d(q, X) adalah sebuah state q dan sebuah tape symbol X. Nilai dari d(q, X), jika nilai tersebut didefinisikan, adalah triple (p, Y, D), dimana:
• p adalah next state dalam Q
• Y adalah simbol, dalam G, ditulis dalam sel yang sedang di-scan, menggantikan simbol apapun yang ada dalam sel tersebut.
• D adalah arah, berupa L atau R, berturut-turut menyatakan left atau right, dan menyatakan arah dimana head bergerak.
q0: start state, sebuah anggota dari Q, dimana pada saat awal finite control ditemukan.
B: simbol blank. Simbol ini ada dalam G tapi tidak dalam S, yaitu B bukan sebuah simbol input. F: himpunan dari final state, subset dari Q.
ID digunakan untuk mengetahui apa yang mesin Turing kerjakan. ID direpresentasikan oleh string X1X2X3… Xi-1qXiXi+1 … Xn, dimana:
– q adalah state dari TM
– Tape head men-scan simbol ke-i dari kiri.
– X1X2 …Xn adalah bagian dari tape di antara nonblank pada sel paling kiri dan paling kanan.
Pergerakan TM M = (Q, S, G, d, q0, B, F) dinyatakan oleh notasi ├ atau ├. ├*M atau ├* digunakan untuk menunjukkan nol, satu atau lebih pergerakan dari TM.
Anggap d(q, Xi) = (p, Y, L), yaitu pergerakan selanjutnya adalah ke kiri. Maka X1X2… Xi-1qXiXi+1 … Xn
├ X1X2… Xi-2pXi-1 YXi+1 … Xn
Pergerakan ini menyatakan perubahan ke state p. Tape head sekarang diposisikan di sel i-1. Jika i = n dan Y = B maka simbol B yang ditulis pada Xn berhubungan dengan urutan tak hingga dari blank-blank yang mengikuti dan tidak muncul dalam ID selanjutnya. Dengan demikian
X1X2 …Xn-1 q Xn├ X1X2… Xn-2p Xn-1 Terdapat dua pengecualian:
– Jika i=1, maka M bergerak ke blank ke bagian kiri dari X1. Dalam kasus ini, qX1X2 …Xn├ pBYX2… Xn
– Jika i = n dan Y = B maka simbol B yang ditulis pada Xn berhubungan dengan urutan tak hingga dari blank-blank yang mengikuti dan tidak muncul dalam ID selanjutnya. Dengan demikian
X1X2 …Xn-1 q Xn├ X1X2… Xn-2p Xn-1
Anggap d(q, Xi) = (p, Y, R), yaitu pergerakan selanjutnya adalah ke kanan. Maka X1X2… Xi-1qXiXi+1 … Xn ├ X1X2… Xi-1 YpXi+1 … Xn
Tape head telah bergerak ke sel i+1. Terdapat dua pengecualian:
– Jika i = n, maka sel ke-i+1 menampung sebuah blank, dan sel tersebut bukan bagian dari ID sebelumnya. Dengan demikian
X1X2 … Xn-1 qXn├ X1 X2… Xn-1YpB
– Jika i = 1 dan Y = B maka simbol B yang ditulis pada X1 berhubungan dengan urutan tak hingga dari blank-blank dan tidak muncul dalam ID selanjutnya. Dengan demikian
qX1X2 …Xn├ pX2… Xn
Diagram Transisi untuk Mesin Turing
Diagram transisi terdiri dari sebuah himpunan dari node-node yang menyatakan state-state dari Mesin Turing .sebuah arc dari state q ke state p diberi label oleh satu atau lebih item dengan bentuk X/Y D, dimana X dan Y adalah tape symbol, dan D adalah arah, kiri (L) atau kanan (R). Bahwa bila d(q, X) = (p, Y, D) diperoleh label X/Y D pada arc dari q ke p. Dalam diagram arah D dinyatakan dengan tanda ¬ untuk “left” dan ® untuk “right”. Start state ditandai dengan kata “start” dan sebuah panah yang masuk ke dalam state tersebut. Final state ditandai dengan putaran ganda.
Contoh:
Mesin Turing berikut menghitungan fungsi , yang dinamakan monus atau proper substraction. Fungsi ini didefinisikan oleh m n = max(m – n, 0). Bahwa, m n = m – n jika m ³ n dan 0 jika m < n. Mesin Turing yang melakukan operasi ini adalah
M = ({q0, q1, … , q6}, {0, 1}, {0, 1, B}, d, q0, B) Aturan untuk fungsi transisi d:
Diagram transisi dari mesin Turing M:
Daftar Pustaka
John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman. 2001. Introduction to Automata Theory, Languange, and Computation. Edisi ke-2. Addison-Wesley
CONTOH-CONTOH MESIN TURING
Stack (tumpukan) yang terdapat pada PDA memiliki keterbatasan kemampuan akses, yaitu hanya mengakses data yang terdapat pada top / puncak dari stack.
Untuk melakukan akses pada bagian yang lebih rendah dari puncak stack, harus memindahkan bagian di atasnya (pop), yang mana akan menyebabkan bagian tersebut hilang.
Pada mesin Turing, memori berupa suatu pita yang pada dasarnya berupa array (deretan) sel-sel penyimpanan. Setiap sel mampu menyimpan sebuah simbol tunggal.
Pita tersebut tidak mempunyai sel pertama dan sel terakhir. Pita dapat memuat informasi dalam jumlah tak terbatas, dan dapat diakses bagian manapun dari pita dengan urutan bagaimanapun.
Terdapat sebuah head yang menunjukkan posisi yang diakses pada pita. Head dapat bergerak ke kanan atau ke kiri untuk membaca input dari pita dan sekaligus juga bisa melakukan penulisan pada pita/mengubah isi pita.
Mesin Turing bisa dianalogikan seperti komputer sederhana, dengan sejumlah state sebagai memori, pita sebagai secondary storage, fungsi transisi sebagai program.
Sebuah mesin Turing secara formal dinyatakan dalam 7 tupel, yaitu M = (Q, Σ, Γ, δ, S, F, b) dimana :
Q = himpunan state Σ = himpunan simbol input
Γ = simbol pada pita (meliputi pula blank) δ = fungsi transisi
S = state awal, S ∈ Q
F = himpunan state akhir, F⊆ Q
b = simbol kosong (blank) �� bukan bagian dari Σ, b ∉Σ
Contoh :
Misal terdapat mesin Turing : Q = {q1,q2}
Σ = {a,b} Γ = {a,b, b) F = {q2} S = {q1}
Fungsi transisinya : Pergerakan mesin Turing : R = right(kanan), L = left (kiri)
δ (q1,a) = (q1,a,R) �� pada state q1, head menunjuk karakter ‘a’ pada pita, menjadi state q1, head
bergerak ke kanan
δ (q1,b) = (q1,a,R) �� pada state q1, head menunjuk karakter ‘b’ pada pita, menjadi state q1, head
menulis karakter ‘a’ lalu bergerak ke kanan
δ (q1, b ) = (q2, b ,L) �� pada state q1, head menunjuk karakter ‘ b ’ pada pita menjadi state q2,
head bergerak ke kiri
Perhatian : pada mesin Turing δ (q,x) = (q,y,G)
bila x <> y, maka head akan menulis simbol y (menimpa x) sebelum bergerak sesuai G (kiri / kanan)
Jadi berdasarkan fungsi transisi diatas, maka mesin Turing beroperasi seperti berikut : Head ditunjukkan dengan
1. Misal pita yang akan dibaca : ‘abbaa’ a b b a a state q1
Fungsi transisi δ (q1,a) = (q1,a,R) menyebabkan head bergerak ke kanan 2. a b b a a state q1
Fungsi transisi δ (q1,b) = (q1,a,R) menyebabkan head menulis ‘a’ lalu bergerak ke kanan 3. a a b a a state q1
Fungsi transisi δ (q1,b) = (q1,a,R) menyebabkan head menulis ‘a’ lalu bergerak ke kanan 4. a a a a a state q1
Fungsi transisi δ (q1,a) = (q1,a,R) menyebabkan head bergerak ke kanan 5. a a a a a state q1
Fungsi transisi δ (q1,a) = (q1,a,R) menyebabkan head bergerak ke kanan 6. a a a a a b state q1
Head menunjuk b, karena bagian pita yang belum ditulisi dianggap berisi b Fungsi transisi δ (q1, b ) = (q2, b ,L) menyebabkan head bergerak ke kiri 7. a a a a a b state q2
Tidak ada transisi lagi dari state q2, mesin Turing akan berhenti (halt state) Karena state q2 termasuk state akhir berarti input tersebut diterima
Contoh :
Misal konfigurasi mesin Turing : Q = {q0,q1,q2,q3,q4}
Σ = {0,1} Γ = {0,1,X,Y, b) F = {q4}
S = {q0}
Fungsi transisinya dalam bentuk tabel sebagai berikut : δ
0 1
X Y b q0 (q1,X,R) -(q3,Y,R) -q1 (q1,0,R) (q2,Y,L) -(q1,Y,R) -q2 (q2,0,L) -(q0,X,R) (q2,Y,L) -q3 -(q3,Y,R) (q4, b ,L) q4
-1. Misal pita yang akan dibaca : ‘0011’ 0 0 1 1 state q0 2. X 0 1 1 state q1 3. X 0 1
1 state q1 4. X 0 Y 1 state q2 5. X 0 Y 1 state q2 6. X 0 Y 1 state q0 7. X X Y 1 state q1 8. X X Y 1 state q1 9. X X Y Y state q2 10. X X Y Y state q2
11. X X Y Y state q0 12. X X Y Y state q3 13. X X Y Y state q3 14. X X Y Y b state q4
Tidak ada transisi lagi dari state q4, mesin Turing berhenti dan karena state q4 termasuk state akhir, maka input tersebut diterima.
DESKRIPSI SEKETIKA PADA MESIN TURING
Tahapan transisi nomor (1) sampai (14) pada contoh diatas dapat dinyatakan dalam notasi yang disebut deskripsi seketika (instantaneous description).
Deskripsi seketika diperlukan untuk menyatakan secara formal konfigurasi mesin Turing pada suatu saat.
Perubahan dari suatu kondisi ke berikutnya dipisahkan dengan tanda ‘ | ‘ Untuk simbol head ditulis dengan garis bawah ‘_’
Jadi tahapan no. 1 sampai 14 dapat dinyatakan sebagai berikut :
(q0,0011) | (q1,X011) (q1,X011) (q2,X0Y1) (q2,X0Y1) (q0,X0Y1) (q1,XXY1) (q1,XXY1) (q2,XXYY) (q2,XXYY) (q0,XXYY) (q3,XXYY) (q3,XXYY b) (q4,XXYY b)
Misal bila mendapat input 011 :
(q0,011) (q1,X11) (q2,XY1) (q0,XY1) (q3,XY1)
Tidak ada transisi (q3,1) maka mesin berhenti dan karena q3 tidak termasuk state akhir berarti input tersebut ditolak.
2.
OTOMATA (AUTOMATA) Otomata (Automata)• Otomata adalah mesin abstrak yang dapat mengenali (recognize), menerima (accept), atau membangkitkan (generate) sebuah kalimat dalam bahasa tertentu.
Beberapa Pengertian Dasar :
• Simbol adalah sebuah entitas abstrak (seperti halnya pengertian titik dalam geometri). Sebuah huruf atau sebuah angka adalah contoh simbol.
• String adalah deretan terbatas (finite) simbol-simbol. Sebagai contoh, jika a, b, dan c adalah tiga buah simbol maka abcb adalah sebuah string yang dibangun dari ketiga simbol tersebut.
• Jika w adalah sebuah string maka panjang string dinyatakan sebagai w dan didefinisikan sebagai cacahan (banyaknya) simbol yang menyusun string tersebut. Sebagai contoh, jika w = abcb maka w= 4.
• String hampa adalah sebuah string dengan nol buah simbol. String hampa dinyatakan dengan simbol ε (atau ^) sehingga ε= 0. String hampa dapat dipandang sebagai simbol hampa karena keduanya tersusun dari nol buah simbol.
• Alfabet adalah hinpunan hingga (finite set) simbol-simbol Operasi Dasar String
Diberikan dua string : x = abc, dan y = 123
• Prefik string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.
Contoh : abc, ab, a, dan ε adalah semua Prefix(x)
• ProperPrefix string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.
Contoh : ab, a, dan ε adalah semua ProperPrefix(x)
• Postfix (atau Sufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dari string w tersebut.
• ProperPostfix (atau PoperSufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dari string w tersebut.
Contoh : bc, c, dan ε adalah semua ProperPostfix(x) • Head string w adalah simbol paling depan dari string w.
Contoh : a adalah Head(x)
• Tail string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan simbol paling depan dari string w tersebut.
Contoh : bc adalah Tail(x)
• Substring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.
Contoh : abc, ab, bc, a, b, c, dan ε adalah semua Substring(x)
• ProperSubstring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.
Contoh : ab, bc, a, b, c, dan ε adalah semua Substring(x)
• Subsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut.
Contoh : abc, ab, bc, ac, a, b, c, dan ε adalah semua Subsequence(x)
• ProperSubsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut.
Contoh : ab, bc, ac, a, b, c, dan ε adalah semua Subsequence(x)
• Concatenation adalah penyambungan dua buah string. Operator concatenation adalah concate atau tanpa lambang apapun.
Contoh : concate(xy) = xy = abc123
• Alternation adalah pilihan satu di antara dua buah string. Operator alternation adalah alternate atau .
Contoh : alternate(xy) = xy = abc atau 123
• Kleene Closure : x* = εxxxxxx… = εxx2x3…
• Positive Closure : x+ = xxxxxx… = xx2x3…
Beberapa Sifat Operasi
• Tidak selalu berlaku : x = Prefix(x)Postfix(x) • Selalu berlaku : x = Head(x)Tail(x)
• Tidak selalu berlaku : Prefix(x) = Postfix(x) atau Prefix(x) ≠ Postfix(x) • Selalu berlaku : ProperPrefix(x) ≠ ProperPostfix(x)
• Selalu berlaku : Head(x) ≠ Tail(x)
• Setiap Prefix(x), ProperPrefix(x), Postfix(x), ProperPostfix(x), Head(x), dan Tail(x) adalah Substring(x), tetapi tidak sebaliknya
• Setiap Substring(x) adalah Subsequence(x), tetapi tidak sebaliknya • Dua sifat aljabar concatenation :
♦ Operasi concatenation bersifat asosiatif : x(yz) = (xy)z
♦ Elemen identitas operasi concatenation adalah ε : εx = xε = x • Tiga sifat aljabar alternation :
♦ Operasi alternation bersifat komutatif : xy = yx
♦ Elemen identitas operasi alternation adalah dirinya sendiri : xx = x • Sifat distributif concatenation terhadap alternation : x (yz) = xyxz • Beberapa kesamaan :
♦ Kesamaan ke-1 : (x*)* = x*
♦ Kesamaan ke-2 : εx+ = x+ε = x*
♦ Kesamaan ke-3 : (xy)* = εxyxxyyxyyx… = semua string yang merupakan concatenation dari nol atau lebih x, y, atau keduanya.
GRAMMAR DAN BAHASA Konsep Dasar
• Anggota alfabet dinamakan simbol terminal.
• Kalimat adalah deretan hingga simbol-simbol terminal.
• Bahasa adalah himpunan kalimat-kalimat. Anggota bahasa bisa tak hingga kalimat. • Simbol-simbol berikut adalah simbol terminal :
huruf kecil, misalnya : a, b, c, 0, 1, .. simbol operator, misalnya : +, −, dan × simbol tanda baca, misalnya : (, ), dan ;
string yang tercetak tebal, misalnya : if, then, dan else. • Simbol-simbol berikut adalah simbol non terminal /Variabel :
huruf besar, misalnya : A, B, C huruf S sebagai simbol awal
string yang tercetak miring, misalnya : expr
• Huruf yunani melambangkan string yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau simbol-simbol non terminal atau campuran keduanya, misalnya : α, β, dan γ.
• Sebuah produksi dilambangkan sebagai α → β, artinya : dalam sebuah derivasi dapat dilakukan penggantian simbol α dengan simbol β.
• Derivasi adalah proses pembentukan sebuah kalimat atau sentensial. Sebuah derivasi dilambangkan sebagai : α ⇒ β.
• Sentensial adalah string yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau simbol-simbol non terminal atau campuran keduanya.
• Kalimat adalah string yang tersusun atas simbol-simbol terminal. Kalimat adalah merupakan sentensial, sebaliknya belum tentu..
Grammar :
Grammar G didefinisikan sebagai pasangan 4 tuple : VT, VN , S, dan P, dan dituliskan sebagai G(VT , VN, S, P), dimana :
VT : himpunan simbol-simbol terminal (alfabet) kamus VN : himpunan simbol-simbol non terminal
S∈VN : simbol awal (atau simbol start) P : himpunan produksi
Contoh :
1. G1 : VT = {I, Love, Miss, You}, VN = {S,A,B,C},
P = {S → ABC, A→ I, B→ Love | Miss, C→ You} S ⇒ ABC ⇒ IloveYou L(G1)={IloveYou, IMissYou} 2. . G2 : VT = {a}, VN = {S}, P = {S → aSa} S ⇒ aS ⇒ aaS ⇒ aaa L(G2) ={an n ≥ 1} L(G2)={a, aa, aaa, aaaa,…}
Klasifikasi Chomsky
Berdasarkan komposisi bentuk ruas kiri dan ruas kanan produksinya (α → β), Noam Chomsky mengklasifikasikan 4 tipe grammar :
1. Grammar tipe ke-0 : Unrestricted Grammar (UG) Ciri : α, β ∈ (VT VN)*, α> 0
2. Grammar tipe ke-1 : Context Sensitive Grammar (CSG) Ciri : α, β ∈ (VT VN) *, 0 < α ≤ β
3. Grammar tipe ke-2 : Context Free Grammar (CFG) Ciri : α ∈ VN, β ∈ (VT VN)*
4. Grammar tipe ke-3 : Regular Grammar (RG)
Ciri : α ∈ VN, β ∈ {VT , VT VN} atau α ∈ VN, β ∈ {VT, VNVT } Tipe sebuah grammar (atau bahasa) ditentukan dengan aturan sebagai berikut :
A language is said to be type-i (i = 0, 1, 2, 3) language if it can be specified by a type-i grammar but can’t be specified any type-(i+1) grammar.
Contoh Analisa Penentuan Type Grammar
1. Grammar G1 dengan P1 = {S → aB, B → bB, B → b}.
Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V N maka G1 kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah VT atau string VT VN maka G1 adalah RG(3).
2. Grammar G2 dengan P2 = {S → Ba, B → Bb, B → b}.
Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah VN maka G2 kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah VT atau string VNVT maka G2 adalah RG(3).
3. Grammar G3 dengan P3 = {S → Ba, B → bB, B → b}.
Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah V N maka G3 kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string VTVN (yaitu bB) dan juga string VN VT (Ba) maka G3 bukan RG, dengan kata lain G3 adalah CFG(2).
Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah VN maka G4 kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string yang panjangnya lebih dari 2 (yaitu aAb) maka G4 bukan RG, dengan kata lain G4 adalah CFG.
5. Grammar G5 dengan P5 = {S → aA, S → aB, aAb → aBCb}.
Ruas kirinya mengandung string yang panjangnya lebih dari 1 (yaitu aAb) maka G5 kemungkinan tipe CSG atau UG. Selanjutnya karena semua ruas kirinya lebih pendek atau sama dengan ruas kananya maka G5 adalah CSG.
6. Grammar G6 dengan P6 = {aS → ab, SAc → bc}.
Ruas kirinya mengandung string yang panjangnya lebih dari 1 maka G6 kemungkinan tipe CSG atau UG. Selanjutnya karena terdapat ruas kirinya yang lebih panjang daripada ruas kananya (yaitu SAc) maka G6 adalah UG.
Derivasi Kalimat dan Penentuan Bahasa
Tentukan bahasa dari masing-masing gramar berikut : 1. G1 dengan P1 = {1. S → aAa, 2. A → aAa, 3. A → b}.
Jawab :
Derivasi kalimat terpendek : Derivasi kalimat umum :
S ⇒ aAa (1) S ⇒ aAa (1)
⇒ aba (3) ⇒ aaAaa (2)
…
⇒ anAan (2)
⇒ anban (3) Dari pola kedua kalimat disimpulkan : L1(G1) = { anban n ≥ 1} 2. G2 dengan
P2 = {1. S → aS, 2. S → aB, 3. B → bC, 4. C → aC, 5. C → a}. Jawab :
Derivasi kalimat terpendek : Derivasi kalimat umum :
S ⇒ aB (2) S ⇒ aS (1)
⇒ abC (3) …
⇒ anB (2) ⇒ anbC (3) ⇒ anbaC (4) … ⇒ anbam-1C (4) ⇒ anbam (5) Dari pola kedua kalimat disimpulkan : L2(G2)={anbamn ≥1, m≥1}
3. G3 dengan
P3 = {1. S → aSBC, 2. S → abC, 3. bB → bb,
4. bC → bc, 5. CB → BC, 6. cC → cc}. Jawab :
Derivasi kalimat terpendek 1: Derivasi kalimat terpendek 3 :
S ⇒ abC (2) S ⇒ aSBC (1)
⇒ abc (4) ⇒ aaSBCBC (1)
Derivasi kalimat terpendek 2 : ⇒ aaabCBCBC (2)
S ⇒ aSBC (1) ⇒ aaabBCCBC (5)
⇒ aabCBC (2) ⇒ aaabBCBCC (5)
⇒ aabBCC (5) aabcBC (4) ⇒ aaabBBCCC (5)
⇒ aabbCC (3) ⇒ aaabbBCCC (3)
⇒ aabbcC (4) ⇒ aaabbbCCC (3)
⇒ aabbcc (6) ⇒ aaabbbcCC (4)
⇒ aaabbbccC (6)
⇒ aaabbbccc (6) Dari pola ketiga kalimat disimpulkan : L3 (G3) = { anbncn n ≥ 1}
Menentukan Grammar Sebuah Bahasa
1. Tentukan sebuah gramar regular untuk bahasa L1 = { an n ≥ 1} Jawab :
P1(L1) = {S → aSa}
2. Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa :
L2 : himpunan bilangan bulat non negatif ganjil
Jawab :
Vt={0,1,2,..9} Vn ={S, G,J}
P={SHT|JT|J; TGT|JT|J; H2|4|6|8; G0|2|4|6|8;J1|3|5|7|9} P={SGS|JS|J; G0|2|4|6|8;J1|3|5|7|9}
Buat dua buah himpunan bilangan terpisah : genap (G) dan ganjil (J) P2(L2) = {S → JGSJS, G → 02468, J → 13579}
3. Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa :
A. L3 = himpunan semua identifier yang sah menurut bahasa pemrograman Pascal dengan batasan : terdiri dari simbol huruf kecil dan angka, panjang identifier boleh lebih dari 8 karakter
Jawab :
Langkah kunci : karakter pertama identifier harus huruf.
Buat dua himpunan bilangan terpisah : huruf (H) dan angka (A) SHT|H;THT|AT|H|A; Ha|..|z; A0|..|9
P3(L3) = {S → HHT, T → ATHTHA, H → abc…, A → 012…}
4. Tentukan gramar bebas konteks untuk bahasa L4(G4) = {anbmn,m ≥ 1, n ≠ m} Jawab :
Langkah kunci : sulit untuk mendefinisikan L4(G4) secara langsung. Jalan keluarnya adalah dengan mengingat bahwa x ≠ y berarti x > y atau x < y.
L4 = LA∪ LB, LA ={anbmn > m ≥ 1}, LB = {anbm1 ≤ n < m}. PA(LA) = {A → aAaC, C → aCbab}, Q(LB) = {B → BbDb, D→ aDbab} P4(L4) = {S→ AB, A → aAaC, C → aCbab, B → BbDb, D→ aDbab}
5. Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa :
L5 = bilangan bulat non negatif genap. Jika bilangan tersebut terdiri dari dua digit atau lebih maka nol tidak boleh muncul sebagai digit pertama.
Jawab :
Langkah kunci : Digit terakhir bilangan harus genap. Digit pertama tidak boleh nol. Buat tiga himpunan terpisah : bilangan genap tanpa nol (G), bilangan genap dengan nol (N), serta bilangan ganjil (J).
P5(L5) = {S → NGAJA, A → NNAJA, G→ 2468, N→ 02468, J → 13579}
B. Mesin Pengenal Bahasa
Untuk setiap kelas bahasa Chomsky, terdapat sebuah mesin pengenal bahasa. Masing-masing mesin tersebut adalah :
Kelas Bahasa Mesin Pengenal Bahasa
Unrestricted Grammar (UG) Mesin Turing (Turing Machine), TM Context Sensitive Grammar (CSG) Linear Bounded Automata, LBA Context Free Gammar (CFG) Pushdown Automata, PDA Regular Grammar, RG Finite State Automata, FSA
FINITE STATE AUTOMATA (FSA) • FSA didefinisikan sebagai pasangan 5 tupel : (Q, ∑, δ, S, F). Q : himpunan hingga state
∑ : himpunan hingga simbol input (alfabet)
δ : fungsi transisi, menggambarkan transisi state FSA akibat pembacaan simbol input. Fungsi transisi ini biasanya diberikan dalam bentuk tabel.
S ∈ Q : state AWAL
F ⊂ Q : himpunan state AKHIR
Contoh : FSA untuk mengecek parity ganjil
Q ={Gnp, Gjl} diagram transisi
∑ = {0,1} tabel transisi
δ 0 1
Gjl Gjl Gnp
S = Gnp, F = {Gjl}
• Ada dua jenis FSA :
• Deterministic finite automata (DFA) • Non deterministik finite automata.(NFA)
- DFA : transisi state FSA akibat pembacaan sebuah simbol bersifat tertentu.
δ : Q × ∑→ Q
- NFA : transisi state FSA akibat pembacaan sebuah simbol bersifat tak tentu. δ : Q × ∑ → 2Q
DFA :
Q = {q0, q1, q2}
δ diberikan dalam tabel berikut :
a b a
q0 q1 q2 b
a b
Kalimat yang diterima oleh DFA : a, b, aa, ab, ba, aba, bab, abab, baba Kalimat yang dittolak oleh DFA : bb, abb, abba
DFA ini menerima semua kalimat yang tersusun dari simbol a dan b yang tidak mengandung substring bb.
Contoh :
Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima DFA di atas : abababaa diterima aaaabab diterima aaabbaba ditolak ∑= {a, b} δ a b S = q0 q0 q0 q1 F = {q0, q1} q1 q0 q2 q2 q2 q2
Jawab :
i) δ (q0,abababaa) ⇒ δ (q0,bababaa) ⇒ δ (q1,ababaa) ⇒ δ (q0,babaa) ⇒ δ (q1,abaa) ⇒ δ (q0,baa) ⇒ δ (q1,aa) ⇒ δ (q0,a) ⇒ q0
Tracing berakhir di q0 (state AKHIR) ⇒ kalimat abababaa diterima ii) δ (q0, aaaabab) ⇒δ (q0,aaabab) ⇒δ (q0,aabab) ⇒
δ (q0,abab) ⇒ δ (q0,bab) ⇒ δ (q1,ab) ⇒ δ (q0,b) ⇒ q1
Tracing berakhir di q1 (state AKHIR) ⇒ kalimat aaaababa diterima iii) δ (q0, aaabbaba) ⇒ δ (q0, aabbaba) ⇒ δ (q0, abbaba) ⇒
δ (q0, bbaba) ⇒ δ (q1,baba) ⇒ δ (q2,aba) ⇒ δ (q2,ba) ⇒ δ (q2,a) ⇒q2 Tracing berakhir di q2 (bukan state AKHIR) ⇒ kalimat aaabbaba ditolak
Kesimpulan :
sebuah kalimat diterima oleh DFA di atas jika tracingnya berakhir di salah satu state AKHIR.
NFA :
Berikut ini sebuah contoh NFA (Q, ∑, δ, S, F). dimana :
Q = {q0, q1, q2,q3, q4} δ diberikan dalam tabel berikut :
∑= {a, b,c} δ a b c S = q0 q0 {q0, q1} {q0, q2} {q0 , q3} F = {q4} q1 {q1, q4} {q1} {q1} q2 {q2} {q2, q4} {q2} q3 {q3} {q3} {q3, q4 } q4 ∅ ∅ ∅
Ilustrasi graf untuk NFA adalah sebagai berikut : a, b, c a, b, c a q0 q1 c b a b q3 q2 q4 a, b, c a, b, c
c
kalimat yang diterima NFA di atas : aa, bb, cc, aaa, abb, bcc, cbb kalimat yang tidak diterima NFA di atas : a, b, c, ab, ba, ac, bc
Sebuah kalimat di terima NFA jika :
• salah satu tracing-nya berakhir di state AKHIR, atau
• himpunan state setelah membaca string tersebut mengandung state AKHIR Contoh :
Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima NFA di atas : ab, abc, aabc, aabb
Jawab :
1. δ(q0,ab) ⇒ δ(q0 ,b) ∪ δ(q1 ,b) ⇒ {q0 , q2} ∪ {q1} = {q0, q1, q2}
Himpunan state TIDAK mengandung state AKHIR ⇒ kalimat ab tidak diterima
2. δ(q0,abc) ⇒ δ(q0,bc) ∪ δ(q1 ,bc) ⇒ { δ(q0 ,c) ∪ δ(q2 ,c)}∪δ(q1, c) {{ q0, q3}∪{ q2}}∪{ q1} = {q0, q1, q2,q3}
Himpunan state TIDAK mengandung state AKHIR ⇒ kalimat abc tidak diterima 3. δ(q0,aabc) ⇒ δ(q0,abc) ∪ δ(q1 ,abc)⇒{ δ(q0,bc) ∪ δ(q1 ,bc)} ∪
δ (q1 ,bc) ⇒{{ δ(q0, c) ∪ δ(q2,c)} ∪ δ(q1, c)} ∪ δ(q1, c) ⇒ {{{ q0, q3}∪ { q2}} ∪ {q1}} ∪ {q1} = {q0 , q1, q2 ,q3}
Himpunan state TIDAK mengandung state AKHIR ⇒ kalimat aabc tidak diterima 4. δ(q0,aabb) ⇒ δ(q0,abb) ∪ δ(q1 ,abb)
⇒ { δ(q0,bb) ∪ δ(q1 ,bb)} ∪ δ (q1 ,bb)
⇒{{ δ(q0, b) ∪ δ(q2,b)} ∪ δ(q1, b)} ∪ δ(q1, b)
⇒{{{ q0, q2}∪ { q2, q4}} ∪ {q1}} ∪ {q1} = {q0 , q1, q2, q4} Himpunan state mengandung state AKHIR ⇒ kalimat aabb diterima
