Fisika Dasar I (FI-321)

(1)

Fisika Dasar I (FI-321)

Topik hari ini (minggu 7)

Gerak Rotasi

Kinematika Rotasi

Dinamika Rotasi

Kekekalan Momentum Sudut

Gerak Menggelinding

(2)

Kinematika Rotasi

(3)

►

Riview

Riview gerak

gerak linear:

linear:

PerpindahanPerpindahan, , kecepatankecepatan, , percepatanpercepatan

t

v

a

t

r

v

r

_f _i

∆

=

∆

=

−

=

∆

r

,

RIVIEW

►

Perlu

Perlu konsep

konsep yang

yang sama

sama untuk

untuk

benda

benda bergerak

bergerak melingkar

melingkar

►

Seperti

Seperti sebelumnya

sebelumnya::

PerluPerlu sebuahsebuah sistemsistem acuanacuan tetaptetap ((garisgaris))

GunakanGunakan sistemsistem koordinatkoordinat polarpolar

t

∆

(4)

►

Setiap

Setiap titik

titik pada

pada benda

benda yang

yang

bergerak

bergerak melingkar

melingkar terhadap

terhadap

titik

titik O

O

►

Secara

Secara umum

umum sudut

sudut diukur

diukur

dalam

radian

Panjang

Panjang busurbusur

Posisi

Posisi Sudut

Sudut

► ►

Cat:

° = ° = 57.3 2 360 1 π rad

[derajat]

θ

180 π

[rad]

θ

°°°°

====

r

s

=

θ

Panjang

Panjang busurbusur

Jari Jari--jarijari

(5)

►

► Perpindahan

Perpindahan sudut

sudut

didefinisikan

didefinisikan sebagai

sebagai sudut

sudut yang

yang

dibuat

dibuat benda

benda yang

yang berotasi

berotasi

selama

selama selang

selang waktu

waktu tetentu

tetentu

Perpindahan

Perpindahan Sudut

Sudut

►

Setiap

Setiap titik

titik dalam

dalam piringan

piringan

mengalami

mengalami perpindahan

perpindahan sudut

sudut

yang

yang sama

sama dalam

dalam selang

selang waktu

waktu

tertentu

i f

θ

=

−

∆

(6)

Kecepatan Sudut

►

Kecepatan

Kecepatan sudut

sudut rata

rata--rata

rata

,

ω,

ω, dari

dari benda

benda tegar

tegar adalah

adalah

perbandingan

perbandingan dari

dari

perpindahan

perpindahan sudut

sudut dengan

dengan

selang

selang waktu

waktu

selang

selang waktu

waktu

t

_f

_i

i

f

∆

θ

∆

=

−

θ

−

θ

=

ω

(7)

►

Kecepatan sudut sesaat (laju)

didefinisikan sebagai limit dari laju

rata

rata--rata dengan selang waktu

rata dengan selang waktu

mendekati nol

dt

d

t

θ

=

∆

θ

∆

=

ω

→ ∆

lim

Kecepatan Sudut

►

Satuan

dari laju sudut adalah

radian/sec

(rad/s)

►

Laju sudut akan menjadi

positifpositif jika θ bertambah (jika θ bertambah (berlawanan berlawanan arah dengan jarum jam

arah dengan jarum jam))

negatifnegatif jika θ berkurang (jika θ berkurang (searah searah jarum jam jarum jam))

dt

t

∆

=

ω

→ ∆

lim

0 Animasi 7-1

(8)

Percepatan Sudut

►

► Bagaimana jika benda awalnya diam dan Bagaimana jika benda awalnya diam dan

kemudian mulai berotasi? kemudian mulai berotasi?

►

► Percepatan sudut rataPercepatan sudut rata--ratarata, , αα, dari , dari

sebuah benda didefinisikan sebagai sebuah benda didefinisikan sebagai perbandingan antara

perbandingan antara perubahan laju perubahan laju sudut dengan selang waktu yang sudut dengan selang waktu yang diperlukan benda untuk mengalami diperlukan benda untuk mengalami diperlukan benda untuk mengalami diperlukan benda untuk mengalami perubahan laju sudut tersebut

perubahan laju sudut tersebut::

►

► Satuannya Satuannya adalah adalah rad/s²rad/s² ►

► Hal yang sama, Hal yang sama, percepatan sudut sesaatpercepatan sudut sesaat::

t

_f _i i f

∆

ω

∆

=

−

ω

−

ω

=

α

dt d t t ω = ∆ ω ∆ = α → ∆lim0

(9)

Catatan tentang kinematika rotasi

Ketika sebuah benda tegar berotasi terhadap

sumbu tetap tertentu, tiap bagian dari benda

memiliki laju sudut dan percepatan sudut yang

sama

►

Artinya

θ, ω

, dan

αα

tidak

bergantung pada

rr

, jarak

tiap bagian benda ke sumbu rotasi

(10)

Latihan 1

1. Roda sepeda berputar 240 putaran/menit. Berapakah kecepatan sudutnya dalam radian/sec?

dalam radian/sec?

sec .

sec

sec 1put 8 radians 25 1radians

rads 2 60 menit 1 menit put 240 ×××× ×××× ππππ ==== ππππ ≈≈≈≈ ==== ω ω ω ω

2. Jika roda melambat beraturan dan kemudian berhenti dalam waktu 5 sec, berapa percepatan sudutnya?

2 sec rad 5 sec 5 sec rad 25 0 − = − = ∆ − = t i f

ω

α

3. Dalam waktu 5 sec tersebut, berapa putaran yang dialami roda?

(11)

Analogi Antara Gerak Linier dan

Gerak Rotasi

Gerak Rotasi Terhadap

Sumbu Tertentu dengan

Percepatan Sudut Konstan

Gerak Linier dengan

Percepatan Konstan

t

α

ω

=

ω

_i

+

α

t

v

=

v

+

at

ω

=

+

2

1 t

t

i

α

ω

θ

=

+

∆

θ

α

ω

2

=

_i2

+

2 ∆

v

2

=

v

_i2

+

2 a

∆

x

2

1 at

t

v

x

=

_i

+

∆

at

v

=

_i

+

(12)

Hubungan Antara Besaran Sudut

dan Besaran Linier

►

► Perpindahan

Perpindahan

Laju

►

► Setiap titik pada benda

Setiap titik pada benda

yang berotasi memiliki

gerak sudut yang

sama

r

s

=

θ

►

► Laju

Laju

►

► Percepatan

Percepatan

sama

►

► Setiap titik pada benda

Setiap titik pada benda

yang berotasi

tidak

memiliki

gerak linier

yang sama

r

v

=

ω

r

a

=

α

(13)

Sifat Vektor dari Besaran Sudut

►

Seperti

Seperti pada

pada kasus

kasus linier,

linier, perpindahan

perpindahan,

, kecepatan

kecepatan dan

dan

percepatan

percepatan adalah

adalah

vektor

►

Apakah

Apakah θ

θ,

, ω

ω,

, dan

dan α

α

v

ektor

ektor!

!

Arah

Arah ω

ω: Cara yang

: Cara yang mudah

mudah dengan

dengan menggunakan

menggunakan

aturan

►

Arah

Arah ω

ω: Cara yang

: Cara yang mudah

mudah dengan

dengan menggunakan

menggunakan

aturan

tangan

tangan kanan

kanan

GenggamGenggam sumbusumbu rotasirotasi dengandengan tangantangan kanankanan andaanda

KepalkanKepalkan jarijari--jarijari andaanda searahsearah dengandengan araharah rotasirotasi

(14)

PR

Buku Tipler Jilid 1

Hal. 306 No. 1-7

(15)

Dinamika

(16)

Torsi

►

Tinjau gaya yang dibutuhkan

untuk membuka pintu.

Apakah lebih mudah

membuka pintu dengan

mendorong/menarik

mendorong/menarik jauh

jauh dari

dari

engsel atau

engsel atau dekat

dekat ke engsel?

ke engsel?

Dekat ke Dekat ke engsel engsel Jauh dari Jauh dari engsel engsel

Jauh dari engsel, efek

rotasi lebih besar!

Konsep Fisika:

torsi

(17)

Torsi

►

► Torsi

Torsi

, , adalah

kecenderungan dari

sebuah gaya

untuk merotasikan

sebuah benda terhadap sumbu

tertentu

τ

Contoh pada pintu:

adalah torsi

d

adalah

lengan gaya

F

adalah gaya

Fd

=

τ

(18)

Lengan Gaya

►

► Lengan gaya, d,

Lengan gaya, d,

adalah jarak terdekat

(tegak lurus)

dari

sumbu rotasi

ke garis

sumbu rotasi

ke garis

searah perpanjangan

gaya

(19)

Arah Torsi

►

► Torsi adalah besaran vektor

Torsi adalah besaran vektor

Arahnya adalah

tegaklurus

terhadap

bidang

yang

memuat

lengan

dan

gaya

Arah dan tanda:

Arah Torsi:

keluar bidang kertas

Arah dan tanda:

Jika gaya cenderung memutar Jika gaya cenderung memutar

berlawanan jarum jam

berlawanan jarum jam, torsi , torsi bertanda positif

bertanda positif

Jika gaya cenderung memutar Jika gaya cenderung memutar

searah jarum jam

searah jarum jam, torsi , torsi bertanda negatif

bertanda negatif SatuanSatuan SI

SI Newton meter (Nm)Newton meter (Nm) USA & UK

(20)

Penulisan Vektor dari Torsi

=

τ

=

φ

=

τ

×

=

τ

torsi

sin

Fd

FL

F

L

r

φ

=

φ

=

τ

sin

gaya

Lengan

dan

antara

Sudut

benda

pada

bekerja

yang

Gaya

gaya

tangkap

titik

posisi

vektor

torsi

L

d

F

L

F

L

r

(21)

Bagaiman jika dua atau lebih gaya yang

berbeda bekerja pada lengan-lengan gaya?

(22)

Torsi Neto

►

► Torsi neto

Torsi neto

adalah jumlah semua torsi yang

dihasilkan oleh semua gaya

Ingat untuk menghitung arah kecenderungan

rotasi

►

Berlawanan arah dengan arah jarum jam

torsi positif

►

(23)

Latihan 2

Diketahui: Berat: w₁= 500 N w₂= 800 N Lengan: d₁=4 m d₂=2 m 500 N _{800 N} 4 m 2 m N

Tentukan torsi neto:

Dicari: Στ = ? (500 )(4 ) ( )(800 )(2 ) 2000 1600 400 N m N m N m N m N m τ = + − = + ⋅ − ⋅ = + ⋅

∑

Rotasi akan berlawanan jarum jam

(24)

Bagaimana jika torsi neto tidak

sama dengan nol?

(25)

Torsi dan Percepatan Sudut

►

► Ketika benda tegar

Ketika benda tegar

mengalami

torsi neto

tidak nol (≠0),

maka akan

mengalami

percepatan

sudut

►

► Percepatan sudut

Percepatan sudut

berbanding lurus dengan

torsi neto

Hubungannya analogi

dengan ∑F = ma

►

►Hukum II NewtonHukum II Newton

(26)

Torsi dan Percepatan sudut (lanjutan)

(((( ))))

so

r

a

tangensial

percepatan

r

ma

r

F

r

dengan

kalikan

ma

F

t t t t

,

:

,

αααα

====

so

r

a

_t

====

αααα

,

α

2

mr

r

F

_t

=

torsi τ Bergantung pada benda dan sumbu rotasi. Dinamakan momen inersia I. Satuan: kg mkg m22 2 i i

r

m

I

≡

Σ

α

(27)

Contoh: Momen Inersia dari

Cincin Uniform

►

Bayangkan

Bayangkan Cincin

Cincin terbagi

terbagi

atas

atas sejumlah

sejumlah bagian

bagian kecil

kecil,

,

m

₁₁

, m

₂₂

, …

►

Bagian

Bagian kecil

kecil ini

ini berjarak

berjarak

sama

sama dari

dari sumbu

sumbu

sama

sama dari

dari sumbu

sumbu

►

Benda

Benda Kontinu

Kontinu::

2

2 MR

r

m

I

=

Σ

_i

=

dm

r

I

=

∫

2

(28)

Momen Inersia yang Lain

(29)

Teorema Sumbu Sejajar

Momen Inersia terhadap sumbu sembarang I, dimana sumbu sembarang tersebut sejajar dengan sumbu rotasi yang melalui pusat masa benda adalah

I = I

_pm

+ Mh

2

M : Massa total benda

h : jarak antara sumbu rotasi sembarang dengan sumbu rotasi pusat massa h : jarak antara sumbu rotasi sembarang dengan sumbu rotasi pusat massa

Latihan 3:

1. Cari momen inersia batang homogen yang panjangnya L apabila diputar terhadap sumbu rotasi yang tegak lurus batang yang melalui titik ujungnya! 2. Cari momen inersia cincin homogen yang jejarinya R terhadap sumbu rotasi

(30)

Hukum

Hukum II Newton

II Newton untuk

untuk Benda

Benda Berotasi

Berotasi

►

Percepatan sudut

berbanding lurus

dengan torsi neto

►

Percepatan sudut

berbanding terbalik

dengan momen

inersia benda

α

τ

=

I

Σ

►

Terdapat perbedaan yang penting antara

momen inersia

dan

massa inersia

: momen inersia bergantung pada

kuantitas materi dan

distribusinya

►

Momen inersia juga bergantung pada posisi sumbu

rotasi

α

τ

=

I

(31)

Energi Total Sistem yang Berotasi

►

► Sebuah benda yang berotasi terhadap sumbu

Sebuah benda yang berotasi terhadap sumbu

tertentu dengan laju sudut ω, mempunyai energi

kinetik rotasi

½Iω

2

2 (coba anda turunkan!!!)

(coba anda turunkan!!!)

►

► Konsep energi dapat digunakan untuk

Konsep energi dapat digunakan untuk

penyederhanaan analisis gerak rotasi

►

► Kekekalan energi mekanik

Kekekalan energi mekanik

Ingat, ini untuk gaya konservatif, tidak ada gaya

disipasi seperti gaya gesek

f g r t i g r t

EK

EP

EK

EP

EK

)

(

)

(

++++

====

++++

(32)

Latihan 4

Sebuah benda tegar terdiri dari empat buah partikel bermassa m₁= 2 kg, m₂ = 3 kg, m₃ = 4 kg dan m₄ = 5 kg. Masing-masing benda dihubungkan dengan batang yang massanya masing-masing 1 kg.

Tentukan energi kinetik sistem ketika

8 m

1 2

X Y

Tentukan energi kinetik sistem ketika

berputar dengan kecepatan sudut 2 rad/s terhadap sumbu: a. X b. Y c. Z 4 3 6 m

(33)

Latihan 5

Roda berjejari 0,5 m dapat berputar pada sumbu horisontal Roda berjejari 0,5 m dapat berputar pada sumbu horisontal melalui sumbu pusatnya. Momen inersianya terhadap sumbu melalui sumbu pusatnya. Momen inersianya terhadap sumbu tersebut adalah 2 kg m

tersebut adalah 2 kg m22_._.

a. Apabila tali yang dililitkan pada roda ditarik dengan tegangan a. Apabila tali yang dililitkan pada roda ditarik dengan tegangan tetap 10 N, tentukan percepatan sudut, kecepatan sudut dan tetap 10 N, tentukan percepatan sudut, kecepatan sudut dan energi kinetik roda pada t = 2 s. Pada t = 0 roda diam.

energi kinetik roda pada t = 2 s. Pada t = 0 roda diam. (Petunjuk: gunakan Hk. II Newton)

(Petunjuk: gunakan Hk. II Newton)

b. Bila roda tersebut diputar dengan menggantungkan beban ber b. Bila roda tersebut diputar dengan menggantungkan beban ber

massa 2 kg di ujung tali di atas, tentukan kecepatan beban massa 2 kg di ujung tali di atas, tentukan kecepatan beban saat beban turun sejauh 2 m!

saat beban turun sejauh 2 m!

(Petunjuk: gunakan Hk. Kekekalan Energi Mekanik) (Petunjuk: gunakan Hk. Kekekalan Energi Mekanik) T

(34)

PR

Buku Tipler Jilid 1

(35)

Momentum Sudut dan

Kekekalan Momentum Sudut

(36)

Momentum

Momentum Sudut

Sudut

Lambang Momentum Sudut:

Momentum sudut sebuah partikel didefinisikan sebagai

perkalian vektor (cross product) antar posisi dan

kecepatannya.

L

r

Perlu titik acuan untuk menyatakan momentum sudut

dari partikel

Jika

θ

= 90

o

_,

θ

sin

mrv

L

v

r

m

p

r

L

=

×

=

×

=

r

ω

I

mr

mrv

L

=

2

=

(37)

Kekekalan

Kekekalan Momentum

Momentum Sudut

Sudut

►

Serupa

Serupa dengan

dengan hubungan

hubungan antara

antara gaya

gaya dan

dan momentum

momentum

dalam

dalam gerak

gerak linier,

linier, kita

kita dapat

dapat tunjukan

tunjukan hubungan

hubungan antara

antara

torsi

dan

momentum

momentum sudut

sudut

dalam

gerak

gerak rotasi

rotasi

(

)

L

d

dt

L

d

p

r

dt

d

dt

p

d

r

F

r

dt

p

d

F

r

=

×

=

×

=

∑

×

⇒

=

∑

►

Jika

Jika torsi

torsi neto

neto nol

nol, momentum

, momentum sudut

sudut konstan

konstan

►

Pernyataan

Kekekalan

Kekekalan momentum

momentum sudut

sudut

:

Momentum

sudut

sudut dari

dari sebuah

sebuah sistem

sistem adalah

adalah

kekal

ketika

ketika torsi

torsi neto

neto

eksternal

eksternal yang

yang bekerja

bekerja pada

pada sistem

sistem adalah

adalah nol

nol

f f i i f i

L

atau

I

L

0 ====

ω

====

ω

====

ττττ

ΣΣΣΣ

,

dt

L

d

r

=

∑

τ

(38)

Seorang penari ski es berputar dengan kedua lengannya terlentang

(anggap tidak ada gaya gesekan). Kemudian dia menarik kedua lengan

dan merapatkan pada tubuhnya. Dibandingkan dengan energi kinetik

rotasi awal, energi kinetik rotasi setelah penari tersebut menarik

lengannya bernilai …

Latihan 6

a. sama

b. lebih besar

c. lebih kecil

(39)

Gerak Menggelinding

(40)

1. Gerak Menggelinding Murni (tanpa selip)

Gerakannya merupakan kombinasi antara gerak rotasi terhadap pusat massa P dan gerak translasi dari pusat massa P tersebut

A P R A x = s = R Ө Ө P

Posisi, kecepatan dan percepatan

pusat massa

roda yang

menggelinding murni:

Rα

dt

dω

R

dt

dv

a

Rω

dt

dθ

R

dt

dx

v

Rθ

x

p p p

=

x = s = R Ө

(41)

Lanjutan Gerak Menggelinding Murni

P

a

c Kecepatan titik a, P dan c terhadap tanah adalah

v_a , v_p dan v_c , berapa besar dan kemana arahnya!

)

ˆ

(

AC

ω

)

ˆ

(

2R

ω

)

ˆ

(

ωR

)

ˆ

(

ωR

v

)

ˆ

(

AP

ω

)

ˆ

(

ωR

)

ˆ

(

ωR

0 v

v

0 )

ˆ

(

ωR

)

ˆ

(

ωR

v

PT cP cT c PT PP PT P PT aP aT a

i

=

+

=

+

=

+

=

+

=

+

−

=

+

=

r

Bagaimana dengan kecepatan titik b!

b

Bagaimana dengan kecepatan titik b!

AB

ω

2 R

ω

v

)

ˆ

(

ωR

)

ˆ

(

ωR

v

b PT bP bT b

=

+

=

+

=

r

i

j

Dari hasil di atas, gerak ini dapat dipandang sebagai:

Gerak rotasi murni roda terhadap sumbu sesaat yang melalui titik sentuh a

dengan kecepatan sudut ω

Sehingga energi kinetik roda yang menggelinding adalah K = ½ I_a ω2

(42)

Lanjutan Gerak Menggelinding Murni

Teorema Sumbu Sejajar: I

_a

= I

_PM

+ M R

2

_{, maka Energi Kinetik (K)}

menjadi

K = ½ ( I

_PM

+ M R

2

_{) ω}

2

_{= ½ I}

PM

ω

2

+ ½ M R

2

ω

2

K =

½ I

_PM

ω

₂

+

½ M v

2

pm

Energi kinetik rotasi terhadap pusat massa

Kesimpulan

Energi kinetik total benda yang menggelinding adalah jumlah

dari

energi kinetik rotasi

terhadap pusat massa dan

energi kinetik translasi

pusat massanya

Energi kinetik translasi pusat massanya

(43)

Latihan 6

Andaikan roda mula-mula diam, kemudian bergerak menggelinding murni (tanpa selip). Jika roda berupa tabung pejal serba sama, hitung berapa percepatan turunnya pusat

massa tabung pejal tersebut dengan menggu-nakan:

h

x

nakan:

a. Hk. Kekekalan energi mekanik b. Hk. Newton

c. Bagaimana syarat terjadinya gerak meng-gelinding murni pada bidang miring tsb. (cari hubungan antara Ө dan µ_s)

(44)

2. Gerak Menggelinding Tergelincir (selip)

N

M g sinӨ M g cosӨ

f = µ_k N Persamaan-persamaan yang berlaku:

Iα

fR

τ

cosθ

Mg

N

µ

f

Ma

f

sinθ

Mg

k p

=

−

Ө M g cosӨ

Iα

fR

τ

=

Dengan substitusi diperoleh:

I

θ

cos

MgR

µ

α

)

θ

cos

µ

θ

(sin

g

a

k k p

=

−

=

Terlihat bahwa antara a_Pdan α tidak terdapat hubungan yang sederhana seperti ketika pada kasus menggelinding murni