a. Buktikan 16 Jawab : Jika a, b, c dan d adalah bilangan-bilangan real positif, tunjukkan bahwa d c x adalah a, b dan c.

(1)

301. Jika a,b,c,d > 0 dan a+ b+ c+ d = 1. Buktikan 1+ 1+ 1+ 1 ≥ 16 d c b a Jawab : 16 4 4 1 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ₊ ₊ ₊ ⇒ ≥ ₊ ₊ ₊ ⇔ + + + ≥ ≥ + + + d c b a d c b a d c b a d c b a

302. Jika a, b, c dan d adalah bilangan-bilangan real positif, tunjukkan bahwa 4 ≥ + + + a d d c c b b a Jawab : 4 1 4 . . . 4 4 ≥ ⇔ + + + ≥ + + + ⇔ ≥ + + + a d d c c b b a a d dc c b b a a d d c c b b a a d dc c b b a

303. Diketahui akar-akar persamaan _x3₋ 3_x2₊ 4_x₊ 5₌ 0_{adalah a, b dan c. Tentukan nilai}

3 3 3 _b _c a + + Jawab :

(

)

(

)

5 4 3 5 4 3 5 4 3 5 4 3 0 5 4 3 1 4 . 2 3 2 4 1 4 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 − − = − − = − − = − − = ⇔ = + + − = − = + + − + + = + + = = = + + = − − = − = + + c c c b b b a a a x x x x x x bc ac ab c b a c b a a c bc ac ab a b c b a +

(

)

4

(

)

15 3.1 4.3 15 24 3 2 2 2 3 3 3₊ _b ₊ _c ₌ _a ₊ _b ₊ _c ₋ _a₊ _b₊ _c ₋ ₌ ₋ ₋ ₌ ₋ a

304. Diketahui akar-akar persamaan _x4 ₋ 8_x3₊ _ax2₋ _bx₊ _c ₌ 0_{membentuk barisan aritmetika} dengan beda 2. Tentukan nilai a, b dan c !

Jawab :

Misal akar-akar persamaan : x₁ = p,x₂ = p+ 2, x₃ = p+ 4,x₄ = p+ 6

(

) (

)

c c x x x x b b b x x x x x x x x x x x x a a a x x x x x x x x x x x x x x x x Maka p p p p p x x x x = − ⇒ = − = ⇔ = + − − − ⇒ = + + + = ⇔ = + + + − − − ⇒ = + + + + + = = = − = − = ⇔ = + + + + + + ⇒ = + + + 15 8 15 15 5 3 14 15 5 3 5 3 1 5 , 3 , 1 , 1 1 8 6 4 2 8 4 3 2 1 4 3 2 4 3 1 4 2 1 3 2 1 4 3 4 2 3 2 4 1 3 1 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1

305. Diketahui α dan β merupakan dua akar persamaan _x3₋ _x₊1₌ 0_{. Tunjukkan bahwa} α β merupakan akar-akar persamaan _x3₊ _x2 ₋1₌ 0

Jawab :

Misal akar-akar persamaan _x3₋ _x₊ 1₌ 0_adalahα_,β _danγ _{maka :}

(

)

( )

1 0 1 1 : ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ...( 1 1 ) 1 ...( 1 1 0 2 2 2 = − + ⇔ − =     − = ⇔ = − = − ⇒ − = + + ⇔ = + + − = + ⇒ = − = + + α β α β α β α β α β γ α β γ γ α β β α γ α β β γ α γ α β γ β α γ β α ke Substitusi a c a b

(2)

306. Tentukan _a2 ₊ _b2₊ _c2₊ _d2_jika 1 7 8 5 8 3 8 1 8 1 7 6 5 6 3 6 1 6 1 7 4 5 4 3 4 1 4 1 7 2 5 2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + − + − + − = − + − + − + − = − + − + − + − = − + − + − + − d c b a d c b a d c b a d c b a Jawab :

Sistem persamaan di atas memenuhi persamaan 1

7 5 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + − + − + − x d x c x b x a dengan akar-akar x₁ = 22,x₂ = 42,x₃ = 62 dan x₄ = 82.

(

)(

) (

)(

) (

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)(

) (

)(

) (

)(

)

(

)(

) (

)(

)

(

)

36 7 5 3 1 8 6 4 2 0 ... 7 5 3 1 0 5 3 1 7 3 1 7 5 1 7 5 3 7 5 3 1 7 5 3 1 5 3 1 7 3 1 7 5 1 7 5 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + + + + + + + + = + + + − = + + + = + + + + + + + + − = − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = − − − + − − − + − − − + − − − d c b a d c b a a b x x x x x d c b a x x x x d x x x c x x x b x x x a x x x x x x x x x x x d x x x c x x x b x x x a

307. Diketahui a, b dan c bilangan real positif. Buktikan bahwa

(

a b c

)

abc a c c b b a2 2+ 2 2+ 2 2 ≥ + + Jawab :

(

a b c

)

abc bc a ab c ac b c b a b a c c a b a c c b b a a c c b b a a c c b b a + + ≥ + + ≥ + + + + + = + + + + + = + + ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2

308. Diketahui a, b dan c bilangan real positif dan a+b+c = 1. Tunjukkan bahwa 3 1 ≤ + + bc ac ab Jawab :

(

)

bc c b ac c a ab b a bc ac ab c b a bc ac ab c b a c b a 2 2 2 ) 1 ...( 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≥ + ≥ + ≥ + − − − = + + = + + + + + = + + +

(

)

3 1 2 2 2 1 ) 1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ≤ + + ⇔ + + ≥ − − − ⇒ + + ≥ + + ⇒ + + ≥ + + bc ac ab bc ac ab bc ac ab Dari bc ac ab c b a bc ac ab c b a

(3)

309. Jika a, b, c dan d bilangan positif, maka tunjukkan bahwa

(

a+ c

)(

b+ d

)

≥ ab+ cd Jawab :

(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

(

)

(

a c

)(

b d

)

ab cd cd ab d b c a abcd cd ab d b c a Dari bc ad cd ab d b c a abcd bc ad bc ad + ≥ + + + ≥ + + + + ≥ + + + + + = + + ≥ + ⇔ ≥ − 2 2 2 : ) 1 ( ) 1 ...( 2 0

310. Jika a dan b bilangan real positif, tunjukkan bahwa

3 3 3 2 2 _     + ≥ + b a b a Jawab :

(

)

(

)(

)

(

)

3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 8 : 4 4 3 3 4 4 ) ( 3 3 3 3 0 0 0       + ≥ + + ≥ + + + + ≥ + + + + ≥ + + ≥ + ⇔ ≥ − − + ≥ − + ⇒ ≥ − b a b a b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a b a

311. Diketahui x, y dan z adalah bilangan real positif sedemikian hingga x+y+z = 1. Buktikan bahwa xy

(

x+ y

)

2+ yz

(

y+ z

)

2 + zx

(

z+ x

)

2 ≥ 4xyz Jawab : xyz xyz z xy yz x xyz yz xz xy xyz xyz z xy yz x yz xz xy xyz xyz z xy yz x yz xz xy z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x 4 6 10 10 10 10 1 9 3 3 1 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ≥ + + + − + + ≥ + + + + + ≥ + + + + + ≥ + + + + + ≥ + + + ≥ + + ⇔ + + ≥ ⇒ + + ≥ + +

(

x y

)

yz

(

y z

)

zx

(

z x

)

xyz xy ₊ 2₊ ₊ 2 ₊ ₊ 2 _≥ 4

312. Diketahui a, b dan c bilangan positif dan (1+a) (1+b) (1+c) = 8. Buktikan bahwa abc≤ 1 Jawab :

(1+a) (1+b) (1+c) = 8

1 + (a+b+c) + (ab+ac+bc) + abc

( )

(

)

( )

1 1 2 1 8 1 8 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 ≤ ≤ ≤ + ≤ + ≤ + + + abc abc abc abc abc abc abc

(4)

313. Diketahui a, b, c dan d bilangan real positif dan a+b+c+d = 1. Buktikan bahwa 6 1 4 1 4 1 4 1 4a+ + b+ + c+ + d+ < Jawab :

(

) (

)

6 1 4 1 4 1 4 1 4 2 4 1 4 1 4 1 4 1 4 4 1 4 1 4 1 4 1 4 4 8 4 1 4 1 4 1 4 1 4 4 1 4 1 4 1 4 1 4 4 1 4 1 4 1 4 1 4 4 1 4 1 4 1 4 1 4 2 2 2 2 < + + + + + + + ≤ + + + + + + + + + + + + + + ≥ + + + + + + + ≥ + + + + + + + + + + + + + + ≥ + + + + + + + d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a d c b a

314. Tentukan bilangan real yang memenuhi sistem persamaan :

(

) (

)

(

) (

)

(

2

) (

4

)

4 2 4 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 x x x z z z z y y y y x + = + + + = + + + = + + Jawab : Misal x≥ y≥ z maka :

(

) (

)

(

) (

)

(

1

)

(

3 4 3

)

0 0 3 2 2 2 3 1 3 1 2 1 3 1 2 2 2 2 3 4 4 2 4 2 ≤ + + − ≤ + − − − + ≥ + + ⇒ + = + + y y y y y y y y y y y y y y x

Karena 3_y2 ₊ 4_y₊ 3_> 0_maka

(

_y₋ 1

)

2

(

3_y2₊ 4_y₊ 3

)

_≤ 0_{hanya dipenuhi oleh y = 1} sehingga x = 1 dan z = 1

315. Jika _a2 ₊ _b2 ₌ 1_dan_c2₊ _d2 ₌ 1_{, tunjukkan bahwa}_ac₊ _bd _≤ ₁ Jawab : bd d b ac c a 2 2 2 2 2 2 ≥ + ≥ + + 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 ≤ + + ≥ + + ≥ + + + bd ac bd ac bd ac d c b a

316. Jika diketahui _a2 ₊ _b2₊ _c2 ₌ 1_{, buktikan bahwa -} ₁ 2 1 ≤ + + ≤ ab ac bc Jawab :

(

)

) 2 ...( 1 2 . 2 . 2 . 1 ) ( ) ( ) ( ) 1 ...( 2 1 0 2 2 2 1 0 2 2 2 0 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 bc ac ab bc ac ab c b c a b a c b a bc ac ab bc ac ab bc ac ab c b a c b a + + ≥ + + ≥ + + + + + = + + − ≥ + + ⇔ ≥ + + + ≥ + + + + + ≥ + +

Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa : - 1

2

1 _≤ ₊ ₊ _≤

bc ac ab

317. Tunjukkan bahwa jika a, b dan c adalah panjang sisi-sisi sebuah segitiga, maka :

(

ab+ ac+ bc

) (

≤ a+ b+ c

)

< 4

(

ab+ ac+ bc

)

(5)

Jawab :

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

4 4 4 ...(2) 2 2 2 2 2 2 . . . 2 2 2 ) 1 ...( 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 bc ac ab c b a bc ac ab b a c c a b c b a c b a bc ac ab c c b b a a bc ac ab c b a c b a bc ac ab c b a bc ac ab bc ac ab c b a bc ac ab c b c a b a bc ac ab c b a c b a + + < + + + + + + + + + + < + + + + + + + = + + + + + = + + + + ≥ + + + + + + + ≥ + + + + + + + + + + = + + + + + = + +

Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa : 3

(

ab+ ac+ bc

) (

≤ a+ b+ c

)

2 < 4

(

ab+ ac+ bc

)

318. Buktikan bahwa 10 1 100 99 ... 6 5 . 4 3 . 2 1 _< Jawab : Misal P = 100 99 ... 6 5 . 4 3 . 2 1 dan Q = 99 98 ... 7 6 . 5 4 . 3 2 maka : PQ = 100 1 100 99 . 99 98 ... 4 3 . 3 2 . 2 1 ₌ 10 1 100 1 2 2 < < ⇔ < ⇒ < P P PQ P Q P 10 1 100 99 ... 6 5 . 4 3 . 2 1 < Catatan :

Bentuk umum persamaan polinom berderajat n adalah :

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a x x x x a a x x x x x x a a x x x didapat Dari x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x maka polinom persamaan akar akar x x x Jika a a x a a x a a x a a x a x a x a x a x a 0 3 2 1 2 1 3 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 3 1 2 1 1 2 1 3 2 1 2 1 0 1 2 2 1 1 0 1 2 2 1 1 ) 1 ( ... ... ... ... : ) 3 ( & ) 2 ( ) 3 .( ... 0 .... ) 1 ( ... ... ... 0 ... : , ,..., , ) 2 ...( 0 ... ) 1 ...( 0 ... − = = + + + − = + + + = − + + + + + + + + + − = − − − − − = + + + + + = + + + + + − − − − − − − − − − − − − −

319. Diketahui x1,x2,x3 merupakan akar-akar persamaan x3− 2x2− 3x+ 1= 0. Tentukan nilai

3 2 1 1 1 1 x x x + +

(6)

Jawab : 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ) 1 ( 2 1 2 ) 1 ( 3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 1 3 3 3 3 3 2 1 3 2 3 2 3 2 3 1 2 1 = − − = + + = + + − = − = − = − = − = − = + + − − x x x x x x x x x x x x a a x x x a a x x x x x x

320. Akar-akar persamaan _x3₋ 14_x2₊ _px₊ _q₌ 0_{merupakan deret geometri dengan rasio 2.} Tentukan nilai p dan q yang memenuhi !

Jawab :

Misal akar-akar tersebut adalah x₁ = a,x₂ = 2a,x₃ = 4a

64 8 . 4 . 2 56 32 16 8 1 8 , 4 , 2 2 14 4 2 14 1 14 3 2 1 3 2 3 1 2 1 3 2 1 3 2 1 − = ⇔ − = ⇒ − = = ⇔ = + + ⇒ = + + = = = = ⇔ = + + ⇒ = − − = + + q q q x x x p p p x x x x x x x x x Berarti a a a a x x x

321. Jika α dan β akar-akar persamaan x2− ax+ b= 0

(

a,b∈ R

)

_{. Bentuklah persamaan} kuadrat yang akar-akarnya

α β β α 3 3 dan Jawab :

(

)

{

(

)

}

( )

(

)

( )

2 2 3 3 2 2 4 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 3 3 . 2 4 2 2 2 2 2 b b b b a a b b b a b dan a = = + − = − − = + − − + = − + = + = + = = + α β α β β α α β β α α β α β α β β α α β β α β α α β β α α β β α α β β α

Jadi persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah :

(

4 2

)

0 0 2 4 2 2 2 2 4 2 2 3 4 2 ₊ ₌ ₋ ₋ ₊ ₊ ₌     − + − x b ataubx a a b b x b b b b a a x

322. Jika a, b dan c adalah akar-akar persamaan kubik _x3₊ 2_x2₋ 3_x₋ 5₌ 0_{. Tentukan} persamaan kubik yang ketiga akarnya

c dan b a 1 1 , 1 Jawab : 5 2 1 1 1 5 3 1 1 1 5 1 5 3 1 3 2 1 2 − = + + = + + − = + + = + + = − − = − = − = + + − = − = + + abc c b a bc ac ab abc bc ac ab c b a abc bc ac ab c b a

(7)

0 1 2 3 5 0 5 1 ) ( ) ( 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 3 52 2 53 3 2 3 = − − + = − + − = −       ₊ ₊ +       ₊ ₊ − =       −       −       − − − x x x x x x abc x bc ac ab x c b a x c x b x a x Catatan : 1. Keterbagian

a habis dibagi b ditulis b/a a tidak habis dibagi b ditulis b/a Sifat-sifat keterbagian :

1. a/b dan b/c maka a/c 2. ab/c maka a/c dan b/c

3. a/b dan a/c maka a/(ax+by) dimana x,y∈ B

A. Keterbagian oleh ₂n

1. Suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhirnya habis dibagi 2 2. Suatu bilangan habis dibagi 4 jika 2 angka terakhirnya habis dibagi 4 3. Suatu bilangan habis dibagi 8 jika 3 angka terakhirnya habis dibagi 8 B. Keterbagian 3, 9, 11

Misal bilangan a = a_na_n₋₁a_n₋₂... aa₁ ₀

1. Bilangan a habis dibagi 3 jika

(

an+ an−1+ an−2+ ...+ a1+ a0

)

habis dibagi 3

(

an+ an−1+ an−2+ ...+ a1+ a0

)

habis dibagi 9

(

an− an−1− an−2− ...− a1− a0

)

habis dibagi

11

323. Bilangan berangka enam a1989b habis dibagi 72. Tentukan a dan b ! Jawab :

72 = 8 x 9 maka 8/a1989b sehingga 8/89b atau b = 6

9/a1989b sehingga 9/(a+1+9+8+9+6) atau 9/(33+a) atau a = 3 324. Tentukan semua pasangan-pasangan bilangan asli a dan b sehingga _a2₋ _b2 ₌ 1991

Jawab :

(a-b)(a+b) = 1.1991 atau (a-b)(a+b) = 11.181

a+b = 1991 a+b = 181

a-b = 1 a-b = 11

Maka a = 996 dan b = 995 maka a = 96 dan b = 85 Catatan :

Bilangan Kuadrat

1. Angka satuan yang mungkin untuk bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6 dan 9 2. Setiap bilangan kuadrat dibagi 4 maka sisanya 0 atau 1

3. Jika p bilangan prima dan p/_{n maka}2 _p2_{/ n}2

325. Carilah suatu bilangan kuadrat sempurna yang angka-angkanya berturut-turut adalah : k(k+1)(k+2)(3k)(k+3)

Jawab :

1. Angka pertama k yang mungkin adalah 1,2,3,4,5,6,7,8,9 2. Angka keempat 3k yang mungkin adalah 0,1,2,3

Dari (1) dan (2) maka k yang mungkin adalah 1,2,3

Bilangan kuadrat yang mungkin adalah 12334, 23465 atau 34596 12334 dibagi 4 sisa 2 , jadi 12334 tidak mungkin

23465 dibagi 5 adalah 4693 tidak dapat lagi dibagi 5, jadi 23465 tidak mungkin 34596 = ₂2_x₃2_x₃₁2_{merupakan bilangan kuadrat yang dimaksud.}

(8)

Bilangan a dikatakan kongruen dengan b modulo n ditulis a≡ b(mod n) jika a dan b memberikan sisa yang sama jika dibagi oleh n.

326. Jika a dan b kongruen modulo m, buktikan bahwa selisihnya dapat dibagi m Jawab : ) /( ) ( ) (mod 2 1 2 1 b a m m q q b a r m q b dan r m q a m b a − ⇒ − = − + = + = ⇒ ≡

327. Buktikan bahwa

(

an₊ b

)

m _≡ bmmod(n) Jawab :

Membuktikan bahwa

(

an₊ b

)

m _≡ bmmod(n)_{sama artinya dengan membuktikan ada} bilangan bulat k sehingga

(

an₊ b

)

m₋ bm ₌ kn

(

)

( )

{

}

kn n b am an am an a b b b an m b an m an b b an m m m m m m m m m m = + + + = − + + + + = − + − − − − − 1 2 1 1 1 ... ...

328. Tentukan angka satuan bilangan ₁₉₉₇1991

Jawab :

Angka satuan ₁₉₉₇1991≡ _{sisa pembagian}₁₉₉₇1991_{oleh 10}

(

)

( )

(

)

) 10 mod( 3 ) 10 mod( 3 1 ) 10 mod( 343 2421 ) 10 mod( 7 7 ) 10 mod( 7 ) 10 mod( 7 ) 10 mod( 7 10 199 497 3 497 4 3 497 4 1991 1991 ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ + ≡ + x x x x x

Jadi angka satuan ₁₉₉₇1991_{adalah 3.}

329. Tentukan sisa _{3 dibagi 14}19

Jawab : ) 14 mod( 3 ) 14 mod( 319 _≡ 3x6+1

( )

(

)

( )

1 3mod(14) ) 14 mod( 3 1 14 2 ) 14 mod( 3 3 6 6 1 6 3 x x x x − ≡ − ≡ ≡ 319 _≡ 3mod(14)

Jadi sisa pembagian _{3 oleh 14 adalah 3.}19

330. Tentukan sisa pembagian ₃1990_{oleh 41}

Jawab : ) 41 mod( 3 ) 41 mod( 31990 _≡ 4x497+2

( )

(

)

( )

(

)

) 41 mod( 32 ) 41 mod( 9 41 ) 41 mod( 9 ) 41 mod( 9 1 ) 41 mod( 9 1 41 2 ) 41 mod( 3 3 497 497 2 497 4 ≡ − ≡ − ≡ − ≡ − ≡ ≡ x x x x

Jadi sisa pembagian ₃1990_{oleh 41 adalah 32.}

331. Tentukan bilangan empat digit abcd yang memenuhi 4x(abcd) = dcba Jawab :

(9)

4x(abcd) = ……..a (bersatuan genap), maka a tidak mungkin 1. Jadi a = 2 sehingga d = 8 3 2bc8 4 x 8cb2

4xb < 10 maka b yang mungkin 0,1,2

4xc+3 tidak mungkin bersatuan 0 atau 2, jadi b = 1 Karena b = 1 maka c = 7

Jadi bilangan yang dimaksud 2178.

332. Jika ditulis dalam bilangan basis 10, tentukan banyaknya angka bilangan _{4 x}16 ₅25

Jawab : 27 25 25 25 7 25 32 25 16 ₅ ₂ ₅ ₂ ₂ ₅ ₁₂₈ ₁₀ ₁_,₂₇ ₁₀ 4 x = x = x x = x = x

Jadi banyaknya 28 angka

333. Tentukan banyaknya angka 0 terakhir dari 1000! Jawab :

 Angka satuan yang menghasilkan angka 0 adalah kelipatan 5 dikali kelipatan 2, yakni

sebanyak 200

5 1000 ₌

 Angka puluhan yang menghasilkan angka 0 sebanyak 40 25 1000 ₌

 Angka ratusan yang menghasilkan angka 0 sebanyak 9 625 1000 125

1000₊ ₌

Jadi banyak angka 0 terakhir dari 1000! Adalah 200+40+8+1=249 334. Tentukan dua angka terakhir dari ₃1234

Jawab :

Dua angka terakhir ₃1234_{= sisa pembagian}₃1234_{oleh 100}

) 100 mod( 3 ) 100 mod( 31234 _≡ 5x206+4

( )

(

)

( )

(

)

) 100 mod( 69 ) 100 mod( 3969 1 ) 100 mod( 81 49 2401 ) 100 mod( 81 49 ) 100 mod( 81 1989 ) 100 mod( 81 43 ) 100 mod( 81 243 ) 100 mod( 3 3 51 51 1 51 2 103 103 2 206 4 206 5 ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ + x x x x x x x x x x

Jadi dua angka terakhir dari bilangan ₃1234_{adalah 69.}

335. Tunjukkan bahwa ₃105₊ ₄105_{habis dibagi 7}

Jawab :

(

7 3

)

mod(7) 3 ) 7 mod( 4 3105₊ 105 _≡ 105₊ ₋ 105

( )

) 7 mod( 0 ) 7 mod( 3 3105 105 ≡ − + ≡

Jadi ₃105₊ ₄105_{habis dibagi 7.}

336. Untuk n bilangan asli, buktikan bahwa n3₊ 5n_{habis dibagi 6} Jawab : n n n n n n n n n3₊ 5 ₌ 3₋ ₊ 6 ₌ ( ₋1) ( ₊ 1)₊ 6

Karena (n-1)n(n+1) habis dibagi 6 dan 6n juga habis dibagi 6 maka n3₊ 5n_{habis dibagi} 6.

(10)

337. Tentukan y x→ lim y x y x y x y x ₍₁ ₎_tan _tan 1 tan tan − + − − Jawab : y x→ lim y x y x y x − + − 1 1 . tan tan 1 tan tan = y x→ lim y x y y x − − − ). tan( Misal x – y = z maka : = 0 lim → z z y y z − = − . tan

338. Tiga bilangan real a, b dan c memenuhi persamaan : (a+b)(a+b+c) = 120

(b+c)(b+c+a) = 96 (c+a)(c+a+b) = 72

Tentukan nilai 3a + 2b + c Jawab :

Misal a+b+c = x maka :

a+b = x–c, x+c = x-a, c+a = x-b

(

)

(

)

(

)

72 72 96 96 120 120 2 2 2 = − ⇔ = − = − ⇔ = − = − ⇔ = − bx x x b x ax x x a x cx x x c x +

(

)

12 288 2 288 3 288 3 2 2 2 2 = = = − = + + − x x x x c b a x x 26 2 12 12 2 3 6 12 4 96 12 144 96 2 120 12 144 120 2 2 = + + = + + = ⇒ = + + = ⇔ = − ⇒ = − = ⇔ = − ⇒ = − c b a Jadi b c b a a a ax x c c cx x

339. Persamaan _x2 ₋ _nx₊ 3_n₌ 0 mempunyai akar-akar α _danβ _{. Tentukan n untuk nilai} minimum _{α +}3 _β 3 Jawab :

(

)

(

)

min 108 6 max 0 0 0 18 3 0 ' 9 3 3 2 2 3 3 3 3 − = ⇒ = = ⇒ = = − ⇒ = − = + − + = + = = = = − = + z n z n n n z n n z Misal n a c n a b β α α β β α β α α β β α

340. Tentukan jumlah n suku pertama dari deret 7log2₊7log8₊7log32₊ ... Jawab :

(11)

(

2 ( 1)

)

(

2. log2 ( 1). log4

)

. log2 4 log 2 8 log 2 log 8 log 7 2 7 7 2 1 2 1 7 7 7 7 n n n b n a n S b n = + − = + − = = = − =

341. Tentukan nilai dari

( )

2 2 2 2 2 . 2 2 . 4 2 + + ₋ t t t t Jawab : 3 1 4 2 2 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 = − = − = − + + + + + + t t t t t t

342. Jika p dan q adalah akar-akar persamaan _x2 ₋ 2_x₊ 3₌ 0_{, maka tentukan persamaan} kuadrat yang akar-akarnya

2 1 2 1 2 2 ₊ dan _q ₊ p Jawab :

( )

(

)

9 1 4 4 9 1 2 1 . 2 1 9 2 4 4 9 4 2 4 2 4 2 1 2 1 : 2 1 2 1 2 6 4 2 ) ( 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − = + + = = + − + − = + + + + + = + + + = + + = + = − = − = − + = + ⇒ = = + q p q p pq q p q p maka q dan p Misal pq q p q p pq q p α β β α β α

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya α dan β adalah :

(

)

0 0 9 2 2 1 0 9 1 9 2 2 2 ₋ ₊ _x₊ ₌ _⇒ _x ₋ _x₊ ₌ _atau _x ₋ _x₊ ₌ x α β α β

343. ABCD adalah bidang empat beraturan (tetrahedron) dengan panjang rusuk 4 cm. Hitung jarak antara AB dan CD !

Jawab : D D F F C A C E E B

( )

12 2 2 2 12 2 4 2 2 2 2 = − = = − = = EF EC ED

344. Tentukan persamaan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap titik (3,0) dan (-3,0) adalah 10 !

Jawab :

Berupa ellips dengan persamaan ₂ 1

2 2 2 = + b y a x 1 16 25 16 9 25 3 5 10 2 2 2 2 = + = − = = = ⇔ = y x ellipsnya persamaan Jadi b sehingga c dan a a

(12)

345. Tentukan nilai

∫

− 2 6 2 2 _sin tan π π θ θ θ d Jawab : 1 2 1 sin 1 sin cos sin tan 2 6 2 6 2 6 2 2 2  = − + =    − = = −

∫

π π π π π π θ θ θ θ θ θ θ _d d

346. Polinomial derajat tiga _x3₊ _ax2 ₊ _bx₊ _c₌ 0_{dengan a = b+c mempunyai akar-akar}

3 2 1,x dan x x . Tentukan nilai x₁2 + x₂2 + x₃2 Jawab :

(

)

(

)

( )

a b a b a c a b x x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 2 2 1  = − − = −      −       − = + + − + + = + + = ₍_b₊ _c₎2 ₋ ₂_b₌ _b2 ₊ ₍₂_c₋ ₂₎_b₊ _c2

347. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan bidang alas ABCD. Berapakah sudut antara diagonal AF dan BH ? Jawab : H G H P P E F Q α Q D C R A B

( )

 90 0 2 2 . 2 3 . 2 cos 2 3 2 2 2 4 5 2 4 2 2 4 3 2 1 2 1 2 4 5 2 2 1 2 = ⇒ = − + = = = = = = + = α α s s s s s s HB HQ s PR PQ s s s HP

348. Berapakah umur B jika diketahui kuadrat umur A dikurangi kuadrat umur B adalah 1817 tahun ?

Jawab :

(

A B

)(

A B

)

A th dan B th

B

A2₋ 2 ₌ 1817_⇔ ₊ ₋ ₌ 1817 _⇒ ₌ 51 ₌ 28

349. Berapakah radius alas kerucut dalam sebuah bola yang berjari-jari a cm agar kerucut volumenya maksimum ? Jawab : A t O r C x D B

(13)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 9 8 2 3 2 2 2 : 0 2 . . ' 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 1 2 2 3 2 3 2 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 2 3 2 2 2 2 3 1 2 3 1 2 2 2 3 1 2 3 1 2 1 2 1 a x x a an dikuadratk a x x a a x x a x a a x x a x x a x ax x x a x x a x ax V x a x ax x a a x t x V = = − = − = − + − − = − + = − − + − + = − + = − + = = − − π π π π π π π π π π π

350. Jika x, y dan z adalah suku ke-m, ke-n dan ke-p dari deret geometri, berapakah nilai dari

p m m p _y x − . − Jawab :

( )

m p m n m p m n n p p m n p _z _z z r x r x xr x y x xr z dan xr y − − − − − − − − ₌ ₌ ₌ ₌ ₌ ₌ = = 1 3 3 1 1 . 1 . . .

351. Diketahui persamaan kuadrat 2_x2₊ _x₊ _q₌ 0_{dengan akar-akar}

1

x dan x . Jika ₂ x , ₁ x ₂ dan 21x1x2 membentuk deret geometri, maka tentukan nilai q !

Jawab :

(

)

1 2 1 ). 1 .( 2 2 1 2 1 ) 1 ( 1 0 1 2 1 : ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ...( 2 2 ) 1 ...( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 − = − = = − − − = ⇒ − = ⇒ = + ⇔ = − − = ⇒ = ⇔ = = ⇔ = − − = ⇔ − = + q Jadi x x x x x ke Substitusi x x x x x x x x x x x x q q x x x x x x

352. Tentukan suku negatif pertama dari barisan 500, 465, 430, 395, …… Jawab : 25 ) 35 .( 15 500 15 0 ) 35 )( 1 ( 500 0 16 = + − = − > ⇔ < − − + ⇒ < U n n U_n

353. Garis 3x - 4y – 11 = 0 menyinggung lingkaran _x2 ₊ _y2 ₋ 2_x₋ 6_y₊ _c₌ 0_{. Tentukan nilai} c ! Jawab : Substitusi 4 11 3 − = x

y ke _x2 ₊ _y2₋ 2_x₋ 6_y₊ _c ₌ 0_{maka akan didapat :}

6 0 ) 165 77 .( 5 . 4 ) 34 ( 0 4 0 165 77 34 5 2 2 2 − = ⇔ = + − − ⇒ = − = + + − c c ac b Syarat c x x

(14)

354. Jika garis x− 3y− 3 2 = 0 diputar dengan pusat O(0,0) sebesar _{45 berlawanan arah}

dengan jarum jam, maka tentukan bayangannya ! Jawab : 0 3 2 0 3 ' ' 2 2 0 2 3 2 ' ' 3 2 ' ' 0 2 3 3 2 ' ' 2 ' ' 2 2 ' 2 2 ' 2 2 2 2 45 cos 45 sin 45 sin 45 cos ' ' 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = − − = − − = −       − − + = − − − = + = ⇒     + = − =         + − =         − =     y x atau y x x x y y x y x x y y y x x y x y y x x y x y x y x y x     355. Y 2 y = x I II 0 4 X Berapa luas I : luas II ?

Jawab :

Luas persegi panjang = L = 4 x 2 = 8

2 : 1 3 16 : 3 8 : 3 8 3 16 8 3 16 4 0 3 2 4 0 2 3 = = = − = − = =     = =

∫

II I II I II L L L L L x dx x L 356. s₁ s₂ x s3

Radius lingkaran besar adalah R. Hitung keliling daerah yang diarsir ! Jawab :

(

R x

)

x R R s s s s .2π .2π ₂1.2π. 2π 2 1 2 1 3 2 1+ + = + − + = =

357. Suatu lingkaran dengan jari-jari 5 cm dipotong pada bagian yang bersudut _{144 . Sisanya}

(15)

Jawab : ₁₄₄ ⇒ ₅ t 3 π π.3.4 12 . . . 4 9 25 2 3 1 3 1 ₌ ₌ = = − = t L V t alas

358. Pada persegi ABCD, AE adalah garis bagi pada ∠ BAC. Jika sisi persegi adalah 10 cm, maka tentukan panjang AB + BE !

Jawab : D 10 C 10 E o o A B

(

)

2 10 ) 1 2 ( 10 10 5 , 22 tan 10 10 5 , 22 1 2 2 ) 1 .( 1 . 4 4 2 5 , 22 tan 0 1 5 , 22 tan 2 5 , 22 tan 5 , 22 tan 1 5 , 22 tan 2 45 tan 2 2 = − + = + = + − = − − + − = = − + ⇔ − =         BE AB I kuadran di karena

359. Tentukan koordinat fokus dari ellips 9_x2₊ 16_y2 ₊ 36_x₋ 96_y₊ 36₌ 0 Jawab :

(

) (

)

(

7 2,3

)

7 9 16 1 9 3 16 22 2 − ± = = − = ⇒ = − + + F Fokus c y x

360. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva _y ₌

(

_cos_x

)

sinx_{di titik A(0,3)}

Jawab :

(

)

3 ) 0 ( 0 3 ) ( 0 ) 0 .(cos 0 sin 0 ) (cos sin ) sin .( cos sin ' 1 1 1 0 sin 2 1 sin 2 1 sin = − = − − = − = − = ⇒ = − = − = = − − − y x y x x m y y m x x x x x x y m x x 361. Y A B

(16)

x

0 C X x g

Jika luas segitiga ABC = 24 dan luas daerah yang diarsir adalah ₄1

(

36₋ 9π

)

_{, maka} tentukan persamaan garis g !

Jawab : Y A (0,a) a - x B x C (b,0) 0 X x b - x g

Misal persamaan garis g : ax + by = ab

(

)

(

)

(

)

12 3 48 4 12 : 12 3 48 12 4 : 4 12 12 4 ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ...( 16 36 6 6 9 96 9 36 3 2 4 2 96 9 36 4 24 9 36 ) 1 ...( 48 24 2 1 2 2 2 1 2 1 2 4 1 4 1 2 1 = + = + = + = + = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = + ⇔ + − − − = − ⇒ = − + − − = − − − − − − = − = ⇔ = y x atau y x g y x atau y x g Jadi b a atau b a dan Dari b a b a x Ambil ax x bx x x x x a x x b x ab ab π π π π π π

362. Sejumlah murid SMA X ingin mengumpulkan uang sebanyak Rp 960 dimana setiap murid membayar sama. Ternyata diketahui ada 4 orang tidak bisa membayar. Untuk menutupi kekurangannya, murid-murid menambah iurannya masing-masing Rp 20. Tentukan banyaknya murid yang membayar iuran !

Jawab :

Misal jumlah murid = x dan jumlah iuran masing-masing = p Maka : 960 = px atau x p = 960 M x TM x x x x x x x p x px p x 16 12 0 192 4 80 960 4 20 960 960 80 4 20 960 ) 20 )( 4 ( 960 2 = − = = − − ⇔ −       − + = − − + = + − =

jadi jumlah murid yang membayar = x – 4 = 16 – 4 = 12 murid

363. Bila x 2 3 5 log

4 ₌ ₋ _{maka tentukan}0,04_log₈

Jawab : x x 2 1 1 4 3 5 log 1 4 3 5 log 2 1 2 3 25 log 1 2 3 5 log 1 2 3 2 log 2 3 2 log 8 log 2 3 4 4 4 2 5 3 5 04 , 0 2 = − − = − = − = − = − = − = = −

(17)

364. Tentukan nilai _sin₇₂_sin₅₄_sin₃₆_sin₁₈ Jawab :

(

)

(

)(

)

(

)

5 1 36 sin 36 sin 4 1 36 sin 54 cos 4 1 18 cos 18 sin 54 cos 2 1 18 cos 18 sin 18 sin 54 cos 2 1 18 cos 18 sin 36 sin 72 sin 1 18 cos 18 sin 36 sin 18 cos 1 18 sin 1 1 18 sin 18 sin 2 1 18 sin 18 sin 1 18 sin 18 sin 1 1 18 sin 1 1 72 cos 1 1 36 sin 72 cos 144 sin 1 36 sin 72 sin 2 36 sin 36 sin 72 sin 2 36 sin 2 72 sin 36 sin 108 sin 36 sin 2 72 sin 36 sin 72 cos 2 36 sin 2 72 sin 72 cos 36 cos 72 cos 18 cos 54 cos 18 cos 90 cos 54 cos 90 cos 36 sin 54 sin 2 . 18 sin 72 sin 2 161 16 1 16 1 161 2 161 2 16 1 2 16 1 2 18 cos 36 sin 161 2 161 2 16 1 16 1 161 161 161 161 161 8 1 8 1 8 1 8 1 4 1 4 1 4 1 = + = + = + = + = + − = + − = + − = + − =     − =     − =       ₋ =       ₋ =     − =     − =     − =     − + =     + =     ₊ = + = = − − = − −                                                             

365. Jika n bilangan asli, buktikan bahwa

(

)(

) (

)(

) (

)

2005 1003 2005 2004 ... 3 2 1 + + + + ≤ + + n n n n n n Jawab :

(18)

(

)(

) (

)

(

)(

) (

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 1003 ) 1004 )( 1002 ( ... 1003 ) 2003 )( 3 ( 1003 ) 2004 )( 2 ( 1003 2005 1 1003 2 2005 1 2005 1 + ≤ + + + ≤ + + + ≤ + + + ≤ + + + = + + + ≤ + + n n n n n n n n n n n n n n n n n x

(

)(

) (

)(

) (

)

2004 1003 2005 2004 ... 3 2 1 + + + + ≤ + + n n n n n n (tanpa (n+1003))

(

)(

) (

)(

) (

)

2005 1003 2005 2004 ... 3 2 1 + + + + ≤ + + n n n n n n

366. Jika n bilangan bulat positif sehingga 2n + 1 kuadrat murni, buktikan bahwa n + 1 merupakan jumlah dua bilangan kuadrat berurutan !

Jawab :

Misal 2n + 1 = _s2

Karena _{s ganjil maka s juga ganjil atau misal s = 2t + 1, maka :}2

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 + + = + + + = + + = + + = ⇔ + = + t t t t t t t n Sehingga t t n t n

367. Jika 3n + 1 bilangan kuadrat sempurna, buktikan bahwa n + 1 merupakan jumlah dari tiga bilangan kuadrat sempurna

Jawab :

Misal ₃_n₊ ₁₌ _s2

Kemungkinan s adalah s = 3t + 1 atau s = 3t – 1

(

)

(

)

(

)

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 6 9 1 3 6 9 1 6 9 1 3 1 3 . 2 1 1 3 6 9 1 3 6 9 1 6 9 1 3 1 3 . 1 t t t t t n t t n t t t n t t t t t n t t n t t t n + + − = + − = + − = ⇔ + − = − = + + + + = + + = + + = ⇔ + + = + = +

368. Jika a,b> 0dana≠ b, buktikan _a3 ₊ _b3 _> _a2_b₊ _ab2

Jawab :

(

)

(

)

(

)

2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 ) 0 , ( 2 ab b a b a ab b a ab b a b a b a ab b a b a b a karena ab b a + > + + > + + + + < + + > > +

369. Untuk x,y∈ Asli dengan x> y, buktikan bahwa x!+ y!≥

(

x− 1

) (

!+ y+1

)

! Jawab :

(

)

(

)

(

)

(

1

) (

! 1

)

! ! ! ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ...( ! 1 ! 1 . 2 ) 1 ...( ! ! 1 ! 1 ! 1 . 1 + + − ≥ + ⇒ + + > ⇒ + > = − ⇔ + = ⇒ + = y x y x Jika y x y x Untuk y x y x y x Untuk 370. Jika a,b,c > 0, a ≠ b ≠ c, buktikan

(

a+ b+ c

)

2 > 3

(

ab+ ac+ bc

)

Jawab :

(19)

(

) (

)

bc ac ab c b a bc ac ab bc ac ab c b a bc ac ab bc ac ab c b a bc ac ab c b a c b c a b a 3 3 3 ) ( ) ( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + > + + + + > + + + + + + + − + + > + + + + > + + > − + − + −

371. Jika a,b,c > 0, a ≠ b ≠ c, buktikan bahwa

(

ab+ ac+ bc

)

2 > 3abc

(

a+ b+ c

)

Jawab :

(

) (

)

(

a b c

)

abc bc ac ab abc c ab bc a abc c ab bc a bc ac ab abc c ab bc a abc c ab bc a bc ac ab abc c ab bc a bc ac ab bc ac bc ab ac ab + + > + + + + > + + + + + + + − + + > + + + + > + + > − + − + − 3 ) ( ) ( 3 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

372. Untuk setiap bilangan asli, buktikan bahwa nn ≥ 1.3.5.7...(2n−1) Jawab : n n n n n n n n n n n n ) 1 2 ...( 7 . 5 . 3 . 1 ) 1 2 ...( 7 . 5 . 3 . 1 ) 1 2 1 ( ) 1 2 ...( 7 . 5 . 3 . 1 ) 1 2 ( ... 7 5 3 1 2 1 − ≥ − ≥ − + − ≥ − + + + + + ) 1 2 ...( 7 . 5 . 3 . 1 − ≥ n nn

373. Diketahui 2x+ 2−x = 5_{. Tentukan nilai}₄x ₊ ₄−x_{= …..}

Jawab :

(

2x+ 2−x

)

2 = 25⇔ 4x+ 4−x = 25− 2= 23

374. Diketahui 2x+ 2−x = 5_{. Tentukan nilai}₈x₊ ₈−x_{= …..}

Jawab :

(

2 2

)

3.2.2 (2 2 ) 125 3.1.5 110 8 8x+ −x = x+ −x 3− x −x x + −x = − = 375. D 3 C 6 3 A 4 B Tentukan nilai cos∠BAD ! Jawab :

(

)

33 17 66 34 cos ) cos .( 18 9 9 cos 48 16 36 180 cos 3 . 3 . 2 3 3 cos 4 . 6 . 2 4 6 180 2 2 2 2 2 2 = = − − + = − + − − + = − + ⇒ = ∠ − = ∠ A A A A A BD BD A C  

376. Diketahui sinα cosα = 0,32. Nilai ... cos 1 sin 1 = − α α Jawab :

(20)

(

)

8 25 64 225 cos 1 sin 1 64 225 ) 32 , 0 ( 32 , 0 . 2 1 cos sin cos sin 2 sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos 1 sin 1 2 2 2 2 2 = = − = − = − + =       − − = − α α α α α α α α α α α α α α α α α α

377. Seorang murid diminta menyelesaikan 10 dari 17 soal, namun setiap nomor genap harus dikerjakan. Tentukan banyak pilihan yang dapat diambil !

Jawab :

Banyaknya soal wajib sebanyak 8 butir, jadi banyaknya soal pilihan = 36 2 9 ) 8 10 ( ) 8 17 ( − C − = C =

378. Tentukan himpunan penyelesaian dari _x2 ₋ 2 _x ₋ 15_≤ 0 Jawab :

(

)(

)

5 5 5 0 5 : , 3 0 3 5 0 15 2 2 ≤ ≤ − ⇔ ≤ ⇔ ≤ − + ≤ + − ⇔ ≤ − − x x x maka positif definit x Karena x x x x

379. Jika _x2₋ 4_x₋12_< 0_{maka tentukan}

... 49 14 4 4 2 2₊ _x₊ ₊ _x ₋ _x₊ ₌ x Jawab : 6 2 0 12 4 2 ₋ _x₋ _< _⇒ ₋ _< _x_< x

(

)

(

)

9 7 2 7 2 6 2 7 2 7 2 49 14 4 4 2 2 2 2 = − + + − + + < < − − + + = − + + = + − + + + x x maka x x ke si disubstitu x Jika x x x x x x x x 380. Diketahui f(x)= x3 + ax2 + bx+ 2, f(1)= f(2)= 0 dan g(x)= x3− (a+ b)x+ ab maka tentukan nilai g(-1) = ……

Jawab : 2 2 3 1 ) 1 ( 2 3 3 ) ( 1 2 ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ...( 5 2 0 2 2 4 8 ) 2 ( ) 1 ...( 3 0 2 1 ) 1 ( 3 3 − = + − − = − + + = + + = − = − = − = + ⇔ = + + + = − = + ⇔ = + + + = g x x ab x x x g b dan a didapat dan Dari b a b a f b a b a f

381. Jika _f(_x)₌ _x3₋ 3_x₊ 1_dan _f−1₍_a₎₌ ₁_{maka tentukan nilai a !}

Jawab : 1 1 3 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ₌ _⇔ ₌ ₌ ₋ ₊ ₌ ₋ − _a _f _a f

382. Jika α dan β akar-akar nyata dari

2 12 1 ₂ 2 + + = + + x x x

x maka tentukan nilai α β = …..

Jawab : Misal _y ₌ _x2₊ _x₊ 1_{maka :}

(

4

)(

3

)

0

(

5

)(

2

)

0 1 12 _⇔ ₊ ₋ ₌ _⇔ 2₊ ₊ 2 ₊ ₋ ₌ + = y y x x x x y y

Karena α danβ akar-akar nyata maka _x2 ₊ _x₋ 2₌ 0_sehinggaα β = −₂

383. Tentukan nilai k jika

∫

(

−

)(

−

)

= −

21 13 64 19 5 3k x x dx Jawab :

(21)

(

)(

)

[

]

2 64 4 3 64 ) 2 )( 2 ( 3 64 ) 6 )( 2 ( 3 64 ) 19 )( 5 ( 3 64 19 5 3 4 4 3 3 1 4 4 8 0 21 13 21 13 − = − = − − = − + − = − − − = − − − = − − − −

∫

k x x k dx x x k dx x x k dx x x k dx x x k

384. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik P terletak di tengah-tengah CD, maka tentukan jarak titik B ke bidang APH !

Jawab : H G E F D P C A B T D’ C’ A’ B’ Q

B.QC’H berupa limas beraturan.

Luas segitiga ABC’ = . . ' ₂1. . '

2 1 _AB_BC₌ _BT _AC 6 8 3 4 2 4 . 4 ' ' . = = = AC BC AB BT

385. Diketahui bidang empat T.ABC dengan TA = TB = 5, TC = 2, CA = CB = 4 dan AB = 6. Jika α sudut antara TC dengan bidang TAB, maka tentukan cos α !

Jawab : T PT = 4 PC = 7 5 α 16 13 2 . 4 . 2 7 4 16 cosα = + − = A C P B

386. Tentukan jarak terdekat garis 3x + 4y + 18 = 0 terhadap lingkaran (_x₋ 1)2₊ (_y₋ 1)2 ₌ 4 Jawab :

Q d r

(22)

P(1,1)

Pusat lingkaran P(1,1) dengan jari-jari r = 2

3 2 5 5 4 3 18 1 . 4 1 . 3 2 2 = − = − = = + + + = r PQ d PQ 387. Jika

(

)

2

(

)

2 7 1 ). ( 1 1 − + = − + + x b ax x H x x x

maka tentukan nilai a – b = …… Jawab : 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 3 S1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 8 S2 Sisa = S2.P1+S1 = 8(x-1) + 3 = 8x – 5 = ax + b a = 8 dan b = -5 Sehingga a – b = 13

388. Apabila x₁ dan x₂ akar-akar persamaan _x2₋ 5_x₊ 3₌ 0_{maka tentukan nilai dari}

(

x₁2− 2x₁+ 4

) (

x₂2 − 2x₂ + 4

)

= ... Jawab :

(

) (

)

(

) (

)

(

)

43 1 5 . 3 3 . 9 1 3 9 1 3 0 1 3 0 1 3 3 5 1 3 3 5 4 2 4 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 = + + = + + + = + + + + = + + + − + + + − = + − + − x x x x x x x x x x x x x x x x

389. Jika abc = 900 dan 2loga₌3logb₌5logc_{maka tentukan nilai a + b + c = ……} Jawab :

abc = 900 dan 2loga₌3logb₌5logc_{maka a = 4, b = 9 dan c = 25} Jadi a + b + c = 4 + 9 + 25 = 38

390. Jika A(-2,5), B(4,1) dan C(2,5) ditransformasikan oleh matriks _      5 2 3 2 maka tentukan luas segitiga bayangannya !

Jawab : 32 4 . 4 . ) 6 10 ( 5 2 3 2 '₌ _xL₌ ₋ _x₂1 ₌ L 391. Jika + = 4 + = 2 d b c a dan d c b a

maka tentukan nilai c b Jawab : 2 1 2 4 2 4 + = ⇒ = ⇔ = = + c b cd bd cd bc ad dan bd bc ad

392. Tentukan bentuk sederhana dari

1 2 2 6 3 2 3 4 + + Jawab :

(23)

Misal 3 2 2 = x maka :

(

)

₂

₍

₄ ₁

₎

1 4 1 2 6 1 1 6 1 1 . 1 6 1 6 ₃ 3 2 2 3 2 − = −     ₋ = − − = − − + + = + + x x x x x x x x

393. Tentukan jumlah dari ...

16 1 5 8 1 4 4 1 3 2 1 2 1  +      +       +       +       + Jawab : ... ... 1 16 4 8 3 4 2 2 1 2 1 16 5 8 4 4 3 2 2 + + + + = + + + + + = A A -4 2 1 1 1 ... 1 2 1 2 1 16 1 8 1 4 1 2 1 2 1 = ⇒ = − = − = + + + + + = A r a A A

394. Tentukan nilai dari ∞ → x lim 1 1 1 12 4_x2 ₊ _x₊ ₋ _x2 ₊ _x₋ ₋ _x2₋ _x₊ Jawab : ∞ → x lim = + − − − + − + + 12 1 1 1 4_x2 _x _x2 _x _x2 _x ∞ → x lim = + − − − + + − + − + + 12 1 2 1 1 1 4_x2 _x _x2 _x _x2 _x _x2 _x ∞ → x lim 1 1 4 4 4 1 12 4_x2₊ _x₊ ₋ _x2₊ _x₋ ₊ _x2 ₊ _x₋ ₋ _x2₋ _x₊ = 3 1 2 ) 1 ( 1 4 2 4 12− ₊ − − ₌ 395. Hasil dari 125 ₋ 7.124₋ 58.123₊ 16.122₋ 460.12₋ 200₌ ... Jawab : 12 1 -7 -58 16 -460 -200 12 60 24 480 240 +

1 5 2 40 20 40 Hasil yang diminta.

396. Hitung nilai _sin₅₄_sin₁₈

Jawab : Cara I : 4 1 72 sin 2 72 sin 18 cos 2 36 sin 36 cos 18 cos 2 36 sin . 54 sin 18 sin 54 sin ₌ ₌ ₌ 21 ₌          

Cara II : p = _sin₅₄_sin₁₈

4 1 36 sin . 36 sin 18 sin 18 cos 18 sin ) 18 cos 90 (cos 18 sin 36 sin 54 sin 36 sin 2 1 2 1 2 1 2 1 = ⇒ = = − − = = p p p            Cara III :

(24)

(

)(

)

(

)

(

)

(

)(

)

1₄ 5 5 18 sin 54 sin 5 5 2 1 18 sin 2 1 36 cos 54 sin 5 18 sin 0 1 18 sin 2 18 sin 4 1 18 sin 0 1 18 sin 2 18 sin 4 1 18 sin 0 1 18 sin 3 18 sin 2 18 sin 4 18 sin 2 1 18 sin 4 18 sin 3 18 . 2 cos 18 . 3 sin 36 cos 54 sin 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 2 4 1 4 1 2 2 2 3 2 3 = + − + = + = + − − = − = = + − = = − + = = − + − = + − − − = − = =                       mungkin tidak

Cara IV : Dengan pendekatan geometri D C ₃₆ E x _{36 x} ₃₆ ₃₆ ₇₂ A x B

Pada segitiga ABE dengan aturan cosinus :

   _sin₁₈ 2 1 72 cos 72 cos . 1 . . 2 12 2 2 ₌ ₊ ₋ _⇔ ₌ ₌ x x x x

Pada segitiga BEC dengan aturan cosinus :

4 1 2 1 . 2 18 sin . 54 sin 54 sin 2 36 cos 36 cos . . 1 . 2 1 12 2 2 = = = = ⇔ − + = x x x x x     

397. Tentukan jumlah semua penyelesaian persamaan

(

) (

)(

) (

)(

)

4 3 3 2 1 2 1 1 1 1 ₌ + + + + + + + x x x x x x Jawab :

(

)

1 1 1 1 1 + − = + x x x x

(

) (

)(

) (

)(

)

3 1 3 0 4 3 4 3 3 1 1 4 3 3 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 4 3 3 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2₊ ₋ ₌ _⇒ ₊ ₌ − ₌ ₋ ⇔ = + − = + − + + + − + + + − = + + + + + + + x x x x x x x x x x x x x x x x x x

398. Jika a, b dan c akar-akar persamaan _x3 ₋ 2_x2 ₋ _x₊ 5₌ 0_{maka tentukan nilai}

(

2− a

)(

2− b

)(

2− c

)

Jawab : Cara I :

(25)

3 5 ) 1 ( 2 2 . 4 8 ) ( 2 ) ( 4 8 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 5 1 2 = + − + − = − + + + + + − = − − − − = − = − = = + + = − = + + abc bc ac ab c b a c b a a d abc a c bc ac ab a b c b a Cara II : 3 5 2 8 8 5 2 2 2 0 ) ( ) ( ) ( 0 5 2 2 3 2 3 = + − − = + − − = = ⇒ = − − − = + − − x x x ke x Substitusi x c x b x a x x x x

399. Tentukan himpunan penyelesaian x2− 2 − 6+ 2x< 0 Jawab :

{

4 2

}

: : ) ( ) ( 2 4 0 8 2 2 6 2 ) ) ( 0 4 2 2 2 6 ) 2 6 2 ) 2 6 ( 2 6 2 0 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 < < − < < − ⇔ < − + ⇔ − < − ∈ > + − ⇔ − < + − − < − < − − ⇔ − < − ⇔ < + − − x x HP ii dan i Dari x x x x x ii R x positif definit x x x x i x x x x x x x

400. Jika 0< _θ  < 90_sehingga_cosθ _cos₂θ = ₀_,₂₅_{maka tentukan nilai}θ Jawab : Cara I : 36 72 cos 36 cos 18 sin 54 sin 2 cos cos 4 1 4 1 4 1 = ⇒ = ⇔ = = θ θ θ     Cara II :

(

)

36 72 . 36 360 . 3 360 . 180 4 360 . 4 sin 4 sin sin 2 cos 2 sin sin 2 cos cos sin sin 2 cos cos 4 1 4 1 4 1 2 1 4 1 4 1 = + = = + − = + = = = = = θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ k atau k k atau k x

401. Diketahui OA= i+ 2j+ 2k danOB= i+ 2j+ 3k. P pada AB sehingga AP = OB . Tentukan AP.OA Jawab : O’ B P A O 14 9 4 1+ + = = AP 6 4 1 1+ + = = OA 2 1 1+ = = AB

(26)

3 2 3 ' cos 3 2 3 6 . 2 . 2 14 2 6

cos∠ OAB= + − = − ⇒ ∠ BAO=

7 3 3 2 3 . 6 . 14 ' cos .OA= AP OA ∠ BAO= = AP 402. Tentukan x jika _x2₋ ₄_x₊ ₄ ₌ ₂₋ _x Jawab :

(

2

)

2 2 2 2 2 4 4 2 2 ₋ _x₊ ₌ ₋ _x_⇔ _x₋ ₌ ₋ _x _⇔ _x₋ ₌ ₋ _x _⇒ _x_≤ x

403. Jika _x2₋ _x₋ ₃₌ ₀_{akar-akarnya p dan q, maka tentukan}

(

_p2₊ _q₊ ₂

) (

_q2₊ _p₊ ₅

)

Jawab : 63 ) 8 1 )( 6 1 ( ) 8 )( 5 ( ) 5 3 ( ) 2 3 ( ) 5 ( ) 2 ( 3 3 3 0 3 2 2 2 2 2 2 = + + = + + + + = + + + + + + = + + + + + = + = ⇒ + = ⇔ = − − q p q p p q q p p q q p q q dan p p x x x x

404. Jika

(

a+ 2

) (

, a−1

) (

, a− 7

)

merupakan barisan geometri, maka tentukan rasionya ! Jawab : 2 ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 7 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 2 3 = + − − − − − = = − − = − − = − − a a a a r r r a r ar a ar ar ar U U U U 405.