Perbandingan Perhitungan Jumlah Penduduk Tahunan
dengan Interpolasi Spline dan Simulasi Asumsi Gompertz
Des Alwine Zayanti
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sriwijaya E-mail: [email protected]
Abstrak.Penelitian ini bertujuan untuk memperoleh tabel mortalita lengkap yang bersumber dari tabel mortalita ringkas, dengan cara melakukan perhitungan dengan interpolasi spline dan simulasi dengan asumsi Gompertz. Perhitungan interpolasi spline, harga – harga fungsi pada simpul terdalam harus sama. Kondisi ini dapat dinyatakan sebagai:
a
i1x
i21
b
i1x
i1
c
i1 = f(xi-1) , untuk i = 2, 3, 4, … , n sehingga apabila xdisubsitusikan ke persamaan – persamaan tersebut sesuai dengan intervalnya maka diperoleh nilai lx tiap tahunnya. Simulasi berdasarkan asumsi Gompertz μx+y = BCx+ydiperoleh nilai lx = l0 .
1mCx
e
. Data yang digunakan adalah US Decennial LifeTable. Selanjutnya akan dilakukan uji bahwa hasil perhitungan interpolasi spline dan
hasil simulasi tabel mortalita tahunan berdasarkan asumsi Gompertz tidak memiliki perbedaan yang signifikan.
PENDAHULUAN
Tabel mortalita adalah tabel hipotesis dari sekumpulan orang yang dilahirkan pada waktu yang sama (kohort) yang oleh karena proses kematian, jumlah orang tersebut semakin lama semakin berkurang dan akhirnya habis semua.Tabel mortalita dapat berbentuk lengkap maupun ringkas. Suatu tabel mortalita disebut lengkap (complete life table) bila seluruh fungsi dalam tabel mortalita dihitung menggunakan interval tahunan. Apabila interval usia yang digunakan lebih dari setahun, biasanya lima tahun atau sepuluh tahun, maka disebut tabel mortalita ringkas (abriged life table). Namun, pada beberapa kasus dibutuhkan tabel mortalita yang menggunakan interval tahunan. Karena itu, perlu dilakukan suatu simulasi untuk mengubah tabel mortalita lima tahunan menjadi tabel mortalita tahunan.Salah satu unsur tabel mortalita yang dapat mengubah tabel mortalita lima tahunan menjadi tabel mortalita tahunan adalah lx.
Ada beberapa cara untuk mensimulasikan dan menghitung
lxtahunan antara lain dengan asumsi
Gompertz dan interpolasi. Asumsi Gompertz memiliki bentuk fungsi yang lebih sederhana dan paling mendekati keadaan sesungguhnya, sedangkan interpolasi yang digunakan adalah interpolasi spline. Dari kedua cara tersebut, tentunya ada perbedaan dalam hasil yang diperoleh. Untuk itu perlunya dilakukan penelitian untuk melihat apakah ada perbedaan yang signifikan antara nilai lx tahunan hasil perhitungan interpolasi
spline dengan nilai lx tahunanhasil
simulasi asumsi Gompertz.
Selama ini untuk menghitung nilai lx tahunan, yang diperoleh dari abriged
life table hampir selalu menggunakan cara interpolasi. Sehingga dirasa perlu untuk mencari cara alternatif yang dianggap lebih efisien, yaitu dengan cara simulasi. Tujuan penelitian ini adalah untuk mensimulasikan nilai lx tahunan dan
memperlihatkan bahwa hasil simulasi tersebut tidak mempunyai perbedaan yang signifikan dengan hasil interpolasi.
METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah :
1. Menghitung nilai lx lima tahunan
menggunakan interpolasi spline.
2. Fitting data pada US Decennial Life Table dengan menggunakan asumsi Gompertzlx =l0.
1 x C me
Sehingga diperoleh nilai m dan C yang berasal dari data. Dilakukan dengan bantuan program komputer dengan bahasa pemograman Mathlab.
3. Berdasarkan nilai m dan C yang diperoleh, simulasikan nilai lx tahunan
pada data.
4. Lakukan uji kecocokan dengan mengunakan uji Chi - Kuadrat untuk melihat apakah ada perbedaan yang signifikan antara nilai lx tahunan hasil
perhitungan interpolasi spline dengan nilai lx tahunan hasil simulasi asumsi
Gompertz.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada US Decennial Life Table, diperoleh 21 titik data dan n = 20, yang di sajikan seperti berikut:
Tabel 7. Us decennial life table
i x qx lx 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 0,00248 0,0015 0,00154 0,00463 0,00646 0,00652 0,00693 0,00921 0,01398 0,02215 0,03472 0,05232 0,07906 0,11489 0,16776 0,23978 0,35248 0,49378 0,6437 0,77196 1,00000 98744 98500 98353 98203 97751 97126 96502 95849 94997 93723 91738 88689 84254 77925 69506 58732 45960 31475 17536 7283 2053 PerhitunganInterpolasi Spline Perhitunganmenggunakan persamaan 1 1 1 2 1 1 i
i i
i ix
b
x
c
a
= f(xi-1) (45) untuk i = 2, 3, 4, … , 20Selanjutnya, hasil dari perhitungan interpolasi spline disajikan dalam Tabel 1 berikut:
Tabel 8. Nilai lxhasil interpolasi spline
X lx x lx 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 100000 98744 98683 98622 98561 98500 98445 98403 98374 98357 98353 98349 98332 98302 98259 98203 98135 98056 97966 97864 97751 97631 97509 97384 97256 97126 97011 96891 96766 96637 96502 96380 96254 96123 95988 95849 95702 95543 95373 95191 94997 94786 94554 94299 94022 93723 93396 93033 92636 92205 91738 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 91229 90669 90060 89400 88689 87923 87097 86210 85262 84254 83170 81995 80730 79373 77925 76394 74786 73102 71342 69506 67576 65533 63378 61111 58732 56273 53766 51212 48610 45960 43242 40434 37537 34551 31475 28421 25500 22712 20058 17536 15147 12892 10770 8780 7283 5757 4471 3425 2619 2053
PerhitunganBerdasarkan Asumsi Gompertz
Rumusan untuk force of mortality :
μ(x) = lns(x) dx d
t
x x t x x y y s y dy d d ln ( ) . )
(
)
(
.x
s
t
x
s
e
t x x ydy
Sehingga diperoleh seperti persamaan
t x x y dye
. = tPxBerdasarkan asumsi Gompertz, μx =
BCx, dimana B dan C adalah suatu ketetapan, hal ini setara dengan:
μx+y = BCx+ysehingga akan diperoleh :
tPx =
t y x dy BCe
0 . tPx =
t y x C dy BCe
0 . stPx = t C C BC y xe
0 ln tPx =
1 ln x t C C BCe
Misalkan m = C B lnmaka hasil yang diperoleh : tPx =
1
mCx Cte
s(x) = xP0 =
1 0 mC Cxe
=
1 mCxe
lx = l0 .
1
mCxe
Program Mencari Nilai Parameter m dan C Berdasarkan Asumsi Gompertz
%Simulating L(x)_Life_Tablelxus = [100000; 98744; 98500; 98353; 98203; 97751; 97126; 96502;95849; 94997; 93723; 91738; 88689; 84524; 77925;69506; 58732; 45960; 31475; 17536; 7283; 2053]; x = [0; 1; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 95; 100];
%Fitting US Life Table to the Gompertz Function
%(getting parameter estimates) b = ones(2,1);
%initial value of
bbhat =nlinfit(x,lxus,'gompertz',b) %nonlinier regression estimation %estimated parameter
m = bhat(1);c = bhat(2);
function yhat = gompertz(beta,x)
%GOMPERTZ gompertz function fitting %yhat = gompertz(beta,x)
m = beta(1);c = beta(2);
yhat = 100000*exp(-m*(c.^x-1));
Dengan menggunakan program di atas, maka nilai parameter m dan C yang diperoleh adalah:
m = 0,001842031; C = 1,0788156 Tabel 4.2. Hasil simulasi lxtahunan
berdasarkan asumsi Gompertz
x lx x lx 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 100000 99985 99970 99953 99935 99915 99894 99871 99846 99820 99791 99760 99727 99691 99652 99610 99565 99516 99464 99407 99346 99281 99210 99133 99051 98962 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 91724 91089 90408 89679 88900 88066 87176 86225 85212 84131 82981 81758 80459 79081 77620 76074 74442 72719 70906 69000 67002 64911 62728 60455 58096 55654
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 98867 98763 98652 98533 98404 98265 98115 97954 97780 97593 97391 97175 96941 96690 96420 96129 95817 95481 95120 94732 94315 93867 93386 92871 92317 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 53134 50543 47890 45183 42435 39657 36864 34070 31294 28551 25862 23244 20716 18296 16001 13847 11847 10012 8350 6865 5558 4425 3460 2654
PerbandinganInterpolasi Spline Dan Simulasi Gompertz
Pasangan hipotesis nol dan hipotesis alternatif yang akan diuji adalah:
H0 : Ada perbedaan yang signifikan antara
nilai lx tahunanhasil perhitungan
interpolasi spline dengan nilai lx
tahunan hasil simulasi asumsi Gompertz.
H1 : tidak ada perbedaan yang signifikan
antara nilai lx tahunanhasil
perhitungan interpolasi spline dengan nilai lx tahunan hasil simulasi asumsi
Gompertz
Statistik uji Chi-kuadrat ( χ2 ) sebagai berikut: χ2 =
c j ij ij ij r i E E O 1 1 ) ( Dimana :Oij = frekuensi teramati dari sel baris
ke-i dan kolom ke-j
Eij = frekuensi harapan dari sel baris ke-i
dan kolom ke-j
Perhitungan Chi Square berikut: χ2 = 52 , 99507 ) 52 . 99507 100000 ( 5 , 100492 ) 5 , 100492 100000 ( 2 2 52 , 99507 ) 52 . 99507 100000 ( 5 , 100492 ) 5 , 100492 100000 ( 2 2 +… + 2342 ) 2342 2053 ( 182 , 2365 ) 182 , 2365 2654 ( 2 2 = 2,41 + 2,437 + … + 35,313+ 35,552 = 1118,5 Pengambilan keputusan :
i. Jika p-value < α, maka tolak H0
ii. Jika p-value > α, maka terima H0
Dengan menggunakan Tabel C sebagai acuan, diketahui bahwa kemungkinan yang berkaitan χ2 = 1118,5 untuk db = 2 adalah p-value < 0,001. Artinya dengan taraf nyata sebesar 5% dapat dinyatakan bahwa tidak ada perbedaan yang signifikan antara nilai lx tahunan hasil perhitungan interpolasi spline dengan nilai lx tahunan hasil simulasi asumsi Gompertz.
KESIMPULAN
Berdasarkan hasil pengujian dengan Chi Square, dapat disimpulkanbahwa tidak ada perbedaan yang signifikan antara nilai lx tahunan hasil perhitungan
interpolasi spline dengan nilai lx
tahunanhasil simulasi asumsi Gompertz.
DAFTAR PUSTAKA
Anderson, RN, (1999). “US Decennial Life Table for 1979 – 1981”, vol 1 – 4, National Center for Health Statistics, Hyattsville, Maryland.
Bowers, (1997). Actuarial Mathematics, second edition, The Society of Actuaries, Schaumburg Illinois.
Canale, P & Chapra, (1991). Metode Numerik Untuk Teknik, S. Sardy (Penerjemah). Universitas Indonesia, Jakarta.
Draper, N.R & H. Smith, (1992). Analisis Regresi Terapan, Bambang Sumantri (Penerjemah), PT. Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.
Hanselman, D & Littlefield, B, (2000). Matlab Bahasa Komputasi Teknik, Pearson Education Asia Pte, Ltd. dan penerbit Andi, Yogyakarta.
London,D, (1998). Survival Model and
Their Estimation, third edition, Actex Publication, Winstead.
Sugiyono, (2004). Statistika Non Parametrik untuk Penelitian, Alfabeta, Bandung.
