Menentukan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal

(1)

JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari 2015 194 MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS

TRIDIAGONAL

Nur Meliana Sari1*, Sri Gemawati2, Asli Sirait2 *

1

Mahasiswa Program S1 Matematika 2

Dosen Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Kampus Binawidya Pekanbaru 28293, Indonesia

*

nurmelianasari@ymail.com ABSTRACT

This article discusses how to obtain eigenvalues and their corresponding eigenvectors of tridiagonal matrices, of the form

                             b a c b a c b c b A n n n           1 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0               

where , , bare number complex and  is mapping from a set of integer from 1 to

n-1 into a nonnegative integer.

Keywords: Eigenvalues, eigenvectors, tridiagonal matrices.

ABSTRAK

Artikel ini mendiskusikan cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dari matriks tridiagonal berbentuk

                             b a c b a c b c b A n n n           1 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0               

dengan , ,b_{bilangan kompleks dan} adalah pemetaan dari himpunan bilangan bulat 1 sampai n1 ke himpunan bilangan bulat yang berbeda dengan nol.

Kata kunci: Nilai eigen, vektor eigen, matriks tridiagonal. 1. PENDAHULUAN

Matriks adalah himpunan bilangan-bilangan yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Dalam matematika matriks dapat digunakan untuk menangani model-model linear, seperti mencari penyelesaian sistem persamaan diferensi dengan himpunan-himpunan dari beberapa persamaan diferensi yang diubah ke dalam bentuk matriks, sehingga bentuk matriks tersebut dapat diubah ke dalam bentuk persamaan

(2)

JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari 2015 195 nilai eigen atau nilai karakteristik dengan matriks yang berukuran nn_{(matriks bujur}

sangkar). Pada artikel ini penulis akan membahas tentang menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal yang berbentuk

                           b a c b a c b a c b A n n n   1 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0               

dengan , dan b_{bilangan kompleks.}

Misalkan bahwa 1,2,..., genap , ganjil , 2 2 2 1 _        j j d j d c a_j _j (1)

dengan d₁,d₂ merupakan akar-akar polinomial karakteristik. Jika  adalah pemetaan dari himpunan bilangan bulat 1 sampai n1 ke dalam himpunan bilangan bulat yang berbeda dengan nol

 

* dan dinotasikan menjadi matriks

 

                           b a c b a c b a c b A n n n          1 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                . (2)

Tulisan ini merupakan review sebagian artikel S. Kouachi yang berjudul “Eigenvalues

and Eigenvectors of Tridiagonal Matrices”[2].

2. Menentukan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal Sebelum mendiskusikan penentuan nilai eigen dan vektor eigen dari matrik pada persamaan (2) terlebih dahulu diberikan definisi tentang nilai eigen dan vektor eigen. Definisi 1 [1:h.277] Misalkan A adalah matriks berukuran nn ( dengan elemen-elemen real atau kompleks ), maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen dari A jika Ax_{adalah kelipatan skalar dari}x, yakni,

x Ax ,

untuk suatu skalar ( real atau kompleks ). Maka  dinamakan nilai eigen atau nilai karakteristik dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .

Selanjutnya akan dibahas nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal (2) yang mana untuk kasus  0 matriks An

 

 dan polinomial karakteristiknya

 



n

 dinotasikan berturut-turut dengan An0

 

 dan

 



0

n

 dan untuk kasus  0 dan 0



 , dinotasikan berurut-turut dengan An dan n. Untuk menentukan nilai eigen dan

vektor eigen dari matriks tridiagonal (2) terlebih dahulu dinyatakan

 cos 2 ₁ ₂ 2 2 2 1 2 _d _d _d_d Y    dengan Yb, (3)

(3)

JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari 2015 196 Teorema 2 [2] Asumsikan d₁d₂ 0, nilai eigen dari matriks A_n() yang diberikan persamaan (2) adalah bebas dari entri-entri



a_i,c_i,i1,...,n1



dan bebas dari pemetaan  selama kondisi persamaan (1) terpenuhi, dan polinomial karakteristik diberikan oleh           sin sin ) ( 1 sin ) ( ) ( 2 2 2 1 2 1 1 2 1 m d d Y m Y d d d d m n          (4) bila n2m1 adalah bilangan ganjil dan





          sin 1 sin sin ) ( ) 1 sin( ) ( 2 1 2 2 2 1 1 2 1           m d d m Y d m d d d d m n (5)

bila n2m_{adalah bilangan genap.}

Misalkan komponen vektor eigen  k

 

 ,k 1,...,n yang bersesuaian dengan nilai eigen k, k1,...,n dan dinotasikan dengan

 

_{ }

n j

k

j  , 1,...,

 adalah solusi dari

sistem persamaan linear               _ _                        0, 0 0 1 3 2 1 2 1 1 1 2 1 1 k n k k n k k k k k k k n a c a c                    (6)

dengan _k Y diberikan oleh persamaan (3) dan _k,k 1,...,n adalah solusi dari persamaan   sin 1



2



sin 0 2 2 1 2 1d k  m k k d  d m k  d         (7)

bila n2m1 adalah bilangan ganjil dan

 1



 



sin sin 1 0 sin 2 1 2 2 2 1  k    k k m k d d m d m d d       

bila n2m adalah bilangan genap.

Karena sistem persamaan (6) bergantung linear maka dengan mengeliminasi persamaan pertama pada sistem (6) diperoleh sistem persamaan berukuran



n1

 

 n1



, yang dalam bentuk matrik diberikan oleh





                                                             0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 1 1 1 2 2                 k k n k k k k k a a c a c n n         _     . (8)

Berdasarkan persamaan (4) dan (5) untuk 0_dann_{diganti dengan}n1 diperoleh determinan dari sistem (8) , yaitu

  _ _  





k k k k m k n m d m d d d d     sin sin 1 sin 2 1 2 1 1 2 1 1       

bila n2m1 adalah bilangan ganjil dan

  _ _     k k k k m k n m d d m d d       sin 1 sin sin 2 1 1 2 1 1       

(4)

JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari 2015 197 Penyelesaian sistem persamaan (8) menggunakan Aturan Cramer diperoleh

 _{ }      , , 1,..., , 1 n k j k n k j k j _        (9) dengan  _{ }  k k k k k k j n n j j j j j a c a c a a c a a c                            1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                                  n k n

j2,..., , 1,..., . Dengan mempertukarkan j2 kolom pertama dengan j1 kolom pertama dan menggunakan sifat determinan diperoleh

 

_{   }

 

, ,..., 2 , 1 1 2 n j n k j j k j _          (10)

dengan  k_j

 

 merupakan determinan dari matrik

 

_{ }

 

_{ }

_             _k j n k j k j S T C 0 0 1 dengan  _{ }                           1 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 j j a c a c a T k k k k j                             

adalah matriks supertriangular berorde j1 dengan diagonal



 



1 2 1 1 , ,...,   j a a a  k   dan  _{ }                         k k k j n n n j j a c a c S         1 1 1 1 0 0 0 0 0 0             

adalah matriks tridiagonal berorde n jyang berbentuk persamaan (2) dan memenuhi kondisi (1). Jadi  _{ }_  _{ }_  k _{ }_ j n k j k j T S C  1  (11)    k j n k j a a  _   _ ₁ 1 1    

untuk j2,...,n dan k1,...,n, dimana  _nk__j

 

 diberikan oleh persamaan (4) dan (5) untuk  0_dann1_{diganti dengan}n j dan misalkan n j x

2 sehingga diperoleh persamaan berikut

(5)

JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari 2015 198      





                                     genap , sin 2 1 sin 2 1 sin ganjil , sin sin 1 sin 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 j x d d x d d j x d x d d d d k k k k x k k k k x k j n           (12)

jika n bilangan ganjil, untuk semua j2,...,n dan k1,...,n. Subtitusikan (11) dengan (12) diperoleh  

_{   }

      j n a a _k n k j n k j k j 1 j , 2,..., 1 1 1 1 1             _  _ dan k 1,...,n. (13)

Subtitusikan juga persamaan (9)-(13) sehingga diperoleh

 _{ } _{ }    









 





                                                   genap , , 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin ganjil , 2 1 sin 2 1 sin sin 1 sin 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 j n d n d d x d d x d d j n d n d d x d x d d k k k k k k k k k k k k k j k j                    (14)

jika n ganjil, dan untuk semua j2,...,n dan k1,...,n dengan

 



d d



a a j n j j j 1 1, 2,.., 1 2 1     _ __    , (15) Y k 

 dan _k masing-masing diberikan oleh (3) dan (7).

Kasus khusus untuk kasus pada matriks tridiagonal A_n() ketika n ganjil: Misalkan dinyatakan  



dd



j  j n n j , 1,..., 1 2 1         (16)

dengan _j

 

 diberikan persamaan (15).

Selanjutnya nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tridiagonal An() diberikan pada Teorema 3.

Teorema 3 [2] Jika  0, maka nilai eigen _k

 

 , k1,...,n dari matriks tridiagonal A_n() yang diberikan persamaan (2) adalah bebas dari entri-entri



a_i,c_i,i1,...,n1



dan bebas pemetaan  _{selama kondisi persamaan (1) terpenuhi} dan diberikan oleh

                  n k b m m k d d d d b m k d d d d b k k k , 2 ,..., 1 , cos 2 ,..., 1 , cos 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1    .

Vektor eigen yang bersesuaian  

 





1 

 

,...,  

 



, k1,...,n1

t k n k k       diberikan oleh     _ _                 genap , 2 1 sin ganjil , sin 1 sin 2 1 2 1 2 1 ) ( j x b d d j x d x d d k k k k j k j _ _       dan

(6)

JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari 2015 199  

_{ }





    _   , genap , 0 , ganjil , ... 1 22 1 j j d a a x k j j     n

j1,..., dengan j

 

 diberikan oleh persamaan (19) dan

              m k n m k m k n k k 2 ,..., 1 , 1 2 ,..., 1 , 1 2    . Bukti : (Lihat [2]).

Teorema 4 [2] Jika  d₂ dan  d₁ atau  d₁ dan  d₂, nilai eigen

 

k n

k  , 1,...,

 dari matriks yang berbentukA_n

 

 yang diberikan persamaan (2) adalah bebas dari entri-entri



a_i,c_i,i1,...,n1



dan bebas dari pemetaan  selama kondisi persamaan (1) terpenuhi dan diberikan oleh

                      . , , 2 ,..., 1 , cos 2 , ,..., 1 , cos 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 n k b m m k d d d d b m k d d d d b k k k      . (17)

Vektor eigen yang bersesuaian  k

 

 



₁ k

 

 ,...,_n k

 





t,k 1,...,n diberikan oleh

     _ 



_



                                  genap , 2 1 sin 2 1 sin ganjil , sin 1 sin 2 1 1 2 1 2 ) ( j x d x b d d d j x b d x d k k k k k k j k j _ _ _        (18) 1 ,..., 1   n k dan  

_{ }

      genap , , ganjil , 1 1 2 j d d j j n j     n

j1,..., , ketika  d₂dan  d₁ dan

    _  _                                   genap , 2 1 sin 2 1 sin ganjil , sin 1 sin 2 1 1 2 1 2 ) ( j x d x b d d d j x b d x d k k k k k k j k j _ _ _        (19) 1 ,.., 1   n k dan  _{ } _{ }        genap , , ganjil , 1 1 2 _j d d j j n j     n

j1,..., ketika  d₁dan d₂, j1,...,n dimana _j

 

 diberikan oleh (16) dan              m m k n m k m k n k k 2 ,..., 1 , 2 ,..., 1 , 2    . (20)

(7)

JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari 2015 200 Bukti : Pertama, ditunjukkan nilai eigen dipersamaan (17) untuk  0 dan kondisi (1) terpenuhi, sehingga _k dan  _k , dan (3) menjadi







 



 







, cos 2 2 cos 2 1 . 4 2 2 0 cos 2 2 cos 2 cos 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 k k k k k k k k k k d d d d b d d d d b b b d d d d b b d d d d b b d d d d Y                                      Y b n    k n b d d d d     ₁2  ₂2 2 ₁ ₂cos k n b      22 2 cos 2 1    



 



2 _n b 





k n b n     ,   Jadi





                    n k b m m k d d d d b m k d d d d b k k k , 2 ,..., 1 , cos 2 ,..., 1 , cos 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1      .

Selanjutnya akan ditunjukkan eigen vektor yang bersesuaian dengan nilai eigen persamaan (17). Dengan menggunakan persamaan (14) untuk  d₂,  d₁ dan

 









                         n _k _k _k k n b d n d d d     2 1 sin 2 1 sin ₁ 2 1 2 1 1

Jika j_{ganjil maka}

 

_{ }

 













                               k k k k k k k j k j n d n d d x d x d d            2 1 sin 2 1 sin sin 1 sin 2 1 2 1 2 1 2 1 1 karena _k Y b_k diperoleh  

 









                         _j n _k _k _k k j n b d n d d d        2 1 sin 2 1 sin ₁ 2 1 2 1













                                k k k k k k n b d n d d x b d x d d       2 1 sin 2 1 sin sin 1 sin 1 2 1 1 2 1

dari persamaan (16) diperoleh  

 











k k k j k j    d x  d b  x   ₂sin 1  ₁  sin .

(8)

JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari 2015 201 Jika j genap maka

 









_                                           k k k k k k k j k j n d n d d x d d x d d              2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 2 1 1 2 2 1 1 karena k Y bk diperoleh  

_{ }









                         n _k _k _k j k j n b d n d d d        2 1 sin 2 1 sin ₁ 2 1 2 1









_                                             k k k k k k n b d n d d x d d d x d b d d       2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 1 2 1 1 2 1 1 2 1

dari persamaan (16) diperoleh

 

_{ }

_

_

                                 _j _k _k _k k j d b x d x d d        2 1 sin 2 1 sin ₂ 1 1 2 Jadi

 



_





_



                                  genap , 2 1 sin 2 1 sin ganjil , sin 1 sin 2 1 1 2 1 2 ) ( j x d x b d d d j x b d x d k k k k k k j k j           .

Dengan cara yang sama akan ditentukan untuk  d₁, d₂ dan

 









                         n _k _k _k k n b d n d d d     2 1 sin 2 1 sin ₁ 2 1 2 1 1 .

Jika j_{ganjil maka}

 

_{ }

 













                               k k k k k k k j k j n d n d d x d x d d            2 1 sin 2 1 sin sin 1 sin 2 1 2 1 2 1 2 1 1 karena _k Y b_k diperoleh  

_{ }









                         n _k _k _k j k j n b d n d d d        2 1 sin 2 1 sin ₁ 2 1 2 1













                                k k k k k k n b d n d d x b d x d d       2 1 sin 2 1 sin sin 1 sin 1 2 1 1 2 1

 

_{ }

_

_





_

k k k j k j    d x  d b  x   ₂sin 1  ₁  sin .

(9)

JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari 2015 202 Jika j genap maka

 









_                                           k k k k k k k j k j n d n d d x d d x d d              2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 2 1 1 2 2 1 1 karena k Y bk diperoleh  

_{ }









                         n _k _k _k j k j n b d n d d d        2 1 sin 2 1 sin ₁ 2 1 2 1









_                                             k k k k k k n b d n d d x d d d x d b d d       2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 1 2 1 1 2 1 1 2 1

 

_{ }

_

_

                                _j _k _k _k k j x d x b d d d        2 1 sin 2 1 sin ₂ 1 1 2 _. Jadi

 



_





_



                                 genap , 2 1 sin 2 1 sin ganjil , sin 1 sin 2 1 1 2 1 2 ) ( j x d x b d d d j x b d x d k k k k k k j k j _ _ _        .

Untuk membuktikan _k pada persamaan (20) digunakan persamaan (5) dan nilai   0 diperoleh sinmk 0 maka Y 0, sehingga

m k k m m m k k k k            0 0 sin sin 0 sin dengan 2 n m sehingga k menjadi m k n k k , 1,..., 2 _    . Jika k m1,...,2m





m m k n m k k , 1,...,2 2       . Jadi

(10)

JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari 2015 203





           n m m k m k m k n k k 2 ,..., 1 2 ,..., 1 , 2    . ■

Teorema 5 [2] Jika d₂ dan  d₁ atau  d₁ dan d₂, nilai eigen

 

k n

k  , 1,...,

 dari matriks berbentuk A_n

 

 yang diberikan persamaan (2) adalah bebas dari entri-entri



a_i,c_i,i1,...,n1



dan bebas dari pemetaan  selama kondisi persamaan (1) terpenuhi dan diberikan oleh

                      . , , 2 ,..., 1 , cos 2 , ,..., 1 , cos 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 n k b m m k d d d d b m k d d d d b k k k     

Vektor eigen  k

 

 



₁ k

 

 ,...,_n k

 





t,k 1,...,n diberikan oleh (18) dan

 _{ } _{ }                , genap , 1 , ganjil , 1 2 2 1 2 2 1 j d d j j j j n j     n

j1,..., , ketika d₂dan  d₁ dan (19) dan

 

_{ }

 

          , genap , 1 , ganjil , 1 2 1 2 2 1 j d d j j j j n j     n

j1,..., ketika  d₁ dan d₂ , dengan _j

 

 diberikan oleh (16) dan













             m m k n m k m k n k k 2 ,..., 1 , 1 2 ,..., 1 , 1 2    .

Bukti : dapat diperoleh sengan cara yang sama seperti Teorema 4. Contoh                                    6 3 5 8 8 0 0 0 0 0 2 2 5 3 0 0 0 0 0 18 5 2 2 0 0 0 0 0 2 8 5 9 0 0 0 0 0 6 5 2 0 0 0 0 0 16 5 0 0 0 0 0 54 2 4 5 7 i i i i i i i i i i A  dengan          genap j d ganjil j d c aj j 49 , 49 2 2 2 1 , b5, 4 2 dan  3 6.

Nilai eigen yang diperoleh dari matriks di atas dengan menggunakan persamaan (17) adalah

(11)

JOM FMIPA Volume 2 No. 1 Februari 2015 204

      

5 11,73 16,37 7 2 cos 2 4 6 3 2 2 4 6 3 5 2 2 1        

   

  

5 8,23 13,23 7 4 cos 2 4 6 3 2 2 4 6 3 5 2 2 2         

      

5 3,37 8,37 7 6 cos 2 4 6 3 2 2 4 6 3 5 2 2 3        

      

5 11,73 6,73 7 2 cos 2 4 6 3 2 2 4 6 3 5 2 2 4         

   

  

5 8,23 3,23 7 4 cos 2 4 6 3 2 2 4 6 3 5 2 2 5        

   

  

5 3,37 1,63 7 6 cos 2 4 6 3 2 2 4 6 3 5 2 2 6         



3 6 4 2



5 12,99 7,99 5 7        ,

dan vektor eigennya yaitu: untuk 1 16,37  _{   } _₁₁₇₆₄₉_₁_,₁₈_ ₁₃₈₈₂₅_,₈₂ 7 6 sin 73 , 18 7 8 sin 7 76 1 1        _        _{   } _ _ _ 86 , 16470 98 , 0 16807 7 4 sin 7 7 6 sin 73 , 18 75 1 2                _         _{  } _ _₂₄₀₁_₀_,₈₁_ ₁₉₄₄₈_,₁ 7 4 sin 73 , 18 7 6 sin 7 7 4 1 3        _        _{  } _ _ ₃₄₃_ ₀_,₆₁_ ₂₀₉_,₂₃ 7 2 sin 7 7 4 sin 73 , 18 73 1 4                _         _{   } _{ }₄₉ ₀_,₄₅_ ₂₂_,₀₅ 7 2 sin 73 , 18 7 4 sin 7 7 2 1 5        _        _{   } ₇_sin₀ _{ }₇ ₀_,₂₆_ ₁_,₈₂ 7 2 sin 73 , 18 71 1 6                _        _{  } _ ₁₈_,₇₃_sin₀ ₀_,₀₉₈_, 7 2 sin 7 7 0 1 7       _     

jadi vektor eigen untuk ₁ yaitu

                      098 , 0 82 , 1 05 , 22 23 , 209 1 , 19448 86 , 16470 82 , 138825 ,

dan untuk vektor eigen lainnya dicari dengan cara yang sama. DAFTAR PUSTAKA

[1] Anton, Howard. 1987. Aljabar Linear Elementer Edisi Kelima. Terj. Dari

Elementary Linear Algebra, fifth Edition, oleh Silaban, Ph. D. & Susila, I. N. Penerbit Erlangga, Jakarta.

[2] S. Kouachi . 2006. Eigenvalues and eigenvectors of tridiagonal matrices.