CARA PENYELESAIAN PERSAMAAN LAPLACE
CARA PENYELESAIAN PERSAMAAN LAPLACE
6.1.
6.1. Koordinat KartesianKoordinat Kartesian
Ditinjau dari situasi datar dengan x dan y sebagai koordinat horisontal dan Ditinjau dari situasi datar dengan x dan y sebagai koordinat horisontal dan z sebagai ketinggian, z<0 berarti di dalam bumi dan jika z>0 berarti di luar bumi. z sebagai ketinggian, z<0 berarti di dalam bumi dan jika z>0 berarti di luar bumi.
Langkah pertama yang paling penting dalam strategi penyelesaian solusi Langkah pertama yang paling penting dalam strategi penyelesaian solusi adalah dengan pemisahan variabel, yaitu :
adalah dengan pemisahan variabel, yaitu :
Δ Ф (x,y,z) = Δ f(x)g(y)h(z) = 0 Δ Ф (x,y,z) = Δ f(x)g(y)h(z) = 0
Menerapkan aturan rantai memberikan hasil sebagai berikut: Menerapkan aturan rantai memberikan hasil sebagai berikut:
Untuk singkatnya seti
Untuk singkatnya setiap turunan kedua ditandai dengan tanda “. Karenaap turunan kedua ditandai dengan tanda “. Karena pemisahan
pemisahan variabel,jelas variabel,jelas mana mana variabel variabel diferensiasi diferensiasi itu itu harus harus dilakukan.dilakukan. Persamaan di atas disusun kembali dalam bentuk yang lebih sederhana, setelah itu Persamaan di atas disusun kembali dalam bentuk yang lebih sederhana, setelah itu dibagi dengan Ф = fgh sendiri.
dibagi dengan Ф = fgh sendiri.
Pemisahan variabel mengarah ke pemisahan dari turunan parsial menjadi Pemisahan variabel mengarah ke pemisahan dari turunan parsial menjadi tiga persamaan turunan biasa (ODE), yaitu:
tiga persamaan turunan biasa (ODE), yaitu:
Ada dua solusi dasar : Ada dua solusi dasar :
dandan
dandan
Tentu saja masing-masing solusi dapat dikalikan dengan suatu konstan. Tentu saja masing-masing solusi dapat dikalikan dengan suatu konstan. Persamaan umum
Persamaan umum ФФ
hasilnya akan menjadi f,g dan h. Maka dari itu setiaphasilnya akan menjadi f,g dan h. Maka dari itu setiap n dan m kita mendapatkan hasil baru. Jadi kita harus menyertakan 8 kemungkinan n dan m kita mendapatkan hasil baru. Jadi kita harus menyertakan 8 kemungkinan kombinasi dari n dan m.kombinasi dari n dan m.
Hasil dari persamaan Laplace bukanlah merupakan solusi dari BVP. Hasil Hasil dari persamaan Laplace bukanlah merupakan solusi dari BVP. Hasil tersebut hanya memberikan kita sifat dari potensial Ф di luar bumi pada keadaan tersebut hanya memberikan kita sifat dari potensial Ф di luar bumi pada keadaan fungsi dasar. Untuk asal yang horisontal, fungsi dasarnya adalah sinus dan fungsi dasar. Untuk asal yang horisontal, fungsi dasarnya adalah sinus dan kosinus. Jadi potensialnya adalah deret Fourier pada asal horisontal. N dan M kosinus. Jadi potensialnya adalah deret Fourier pada asal horisontal. N dan M adalah nilai panjang gelombang.
6.1.1
6.1.1 Penyelesaian Dirichlet dan Neumann BVP dalamPenyelesaian Dirichlet dan Neumann BVP dalam x, y, z x, y, z Dirichlet.
Dirichlet. Diberikan :Diberikan : a.
a. Penyelesaian umumPenyelesaian umum b.
b. Kondisi umum, danKondisi umum, dan c.
c. Potensial pada batas z = 0:Potensial pada batas z = 0:
(( x, y, z x, y, z = 0),= 0),Kemudian, seharusnya batas fungsi dikembangkan menjadi seri 2D Kemudian, seharusnya batas fungsi dikembangkan menjadi seri 2D Fourier :
Fourier :
Penyelesaaian penuh BVP dengan membandingkan koefisien spektral Penyelesaaian penuh BVP dengan membandingkan koefisien spektral dengan koefisien yang tidak diketahui dari penyelesaian umum. Pada kasus ini dengan koefisien yang tidak diketahui dari penyelesaian umum. Pada kasus ini penyelesaian penuh dari Neumann terdiri dari :
penyelesaian penuh dari Neumann terdiri dari :
Nilai batas ketinggian z = z
Nilai batas ketinggian z = z0.0. Varian dari BVP di kasus ini dengan batasVarian dari BVP di kasus ini dengan batas
fungsi yang diberikan pada keinggian tertentu. Dengan pengaturan z = z
fungsi yang diberikan pada keinggian tertentu. Dengan pengaturan z = z00 dandan
digunakan koefisien yang sama seperti di atas, didapatkan perbandingan : digunakan koefisien yang sama seperti di atas, didapatkan perbandingan :
Setelah menyelesaikan untuk
Setelah menyelesaikan untuk
,,
, dan selanjutnya, disubstitusikan, dan selanjutnya, disubstitusikan menjadi penyelesaian umum lagi, didapat :menjadi penyelesaian umum lagi, didapat :
Neumann.
Neumann. Pada kasus penurunan diberikan sebagai batas fungsi yangPada kasus penurunan diberikan sebagai batas fungsi yang didapat sebelumnya. Kemudian batas fungsi dikembangkan menjadi seri 2D didapat sebelumnya. Kemudian batas fungsi dikembangkan menjadi seri 2D Fourier :
Tetapi , koefisien Fourier memiliki makna yang berbeda di sini. Sekarang Tetapi , koefisien Fourier memiliki makna yang berbeda di sini. Sekarang koefisien-koefisien ini harus diubah ke koefisien-koefisien penurunan vertikal dari koefisien-koefisien ini harus diubah ke koefisien-koefisien penurunan vertikal dari penyelesaian umum :
penyelesaian umum :
Setelah menyelesaikan untuk
Setelah menyelesaikan untuk
,,
, dan selanjutnya, disubstitusikan, dan selanjutnya, disubstitusikan menjadi penyelesaian umum lagi, didapat :menjadi penyelesaian umum lagi, didapat :
6.2.
6.2. Koordinat BolaKoordinat Bola
Di sini akan diasumsikan sebuah bola bumi dan akan digunakan koordinat Di sini akan diasumsikan sebuah bola bumi dan akan digunakan koordinat bola yaitu
bola yaitu
Strateginya terdiri dari beberapa tahap :Strateginya terdiri dari beberapa tahap : a.a. Tulis persamaan Laplace pada koordinat bola,Tulis persamaan Laplace pada koordinat bola, b.
b. Pisahkan variabel,Pisahkan variabel, c.
c. Selesaikan 3 persamaan turunan biasa yang terpisah,Selesaikan 3 persamaan turunan biasa yang terpisah, d.
d. Kombinasikan semua kemungkinan solusi menjadi sebuah perkembanganKombinasikan semua kemungkinan solusi menjadi sebuah perkembangan lanjutan (superposisi),
lanjutan (superposisi), e.
e. Tambahkan kondisi umum dan hilangkan solusi yang bermasalah,Tambahkan kondisi umum dan hilangkan solusi yang bermasalah, f.
f. Kembangkan batas fungsi (Dirichlet dan Neumann) menjadi kelanjutan,Kembangkan batas fungsi (Dirichlet dan Neumann) menjadi kelanjutan, g.
g. Bandingkan koefisien,Bandingkan koefisien, h.
h. Tulis solusi penuh.Tulis solusi penuh.
Persamaan Laplace pada koordinat bola : Persamaan Laplace pada koordinat bola :
Setelah dikalikan dengan
Persamaan radial : Persamaan radial :
Dua penyelesaian fungsi radial dasar : Dua penyelesaian fungsi radial dasar :
Kemudian, permukaan operator Laplace diubah lagi dan memisahkan Kemudian, permukaan operator Laplace diubah lagi dan memisahkan Y Y menjadi
menjadi
::Bagian kiri hanya berdasarkan pada
Bagian kiri hanya berdasarkan pada
dan bagian kanan hanya padadan bagian kanan hanya pada
kemudian didapatkan penyelesaian :kemudian didapatkan penyelesaian :
Kepadatan dan permukaan bola harmonik.
Kepadatan dan permukaan bola harmonik. Dipunyai empat dasar Dipunyai empat dasar fungsi sekarang, berdasarkan persamaan Laplace :
fungsi sekarang, berdasarkan persamaan Laplace :
atau atau
l
l dandan mm dari fungsi ini memiliki aturan yang sama terhadap nilaidari fungsi ini memiliki aturan yang sama terhadap nilai gelombang
gelombang nn dandan mm pada seri Fourier : pada seri Fourier : a.
a. l l adalah derajat bola harmonik,adalah derajat bola harmonik, b.
b. mm adalah tujuan bola harmonik, juga dikenal sebagai longitudinal nilaiadalah tujuan bola harmonik, juga dikenal sebagai longitudinal nilai gelombang, yang mana menjadi jelas.
Setelah menyelesaikan persamaan Laplace, akan sangat mudah untuk Setelah menyelesaikan persamaan Laplace, akan sangat mudah untuk menyelesaikan BVP pertama dan kedua. Pada kedua kondisi diibaratkan
menyelesaikan BVP pertama dan kedua. Pada kedua kondisi diibaratkan
Dirichlet.
Dirichlet. Langkah selanjutnya adalah mengira-ngira bahwa batas fungsiLangkah selanjutnya adalah mengira-ngira bahwa batas fungsi diberikan pada batas
diberikan pada batas
≈≈ R R. Maka harus diikuti dengan persamaan umum :. Maka harus diikuti dengan persamaan umum :
∑
∑ ∑
∑
Kemudian kita mengembangkan batas kecepatan sudut yang sebenarnya Kemudian kita mengembangkan batas kecepatan sudut yang sebenarnya ke dalam permukaan bola harmonik :
ke dalam permukaan bola harmonik :
∑
∑ ∑
∑
DimanaDimana
dandan
diketahui sebagai koefisien sekarang. Penyelesaiandiketahui sebagai koefisien sekarang. Penyelesaian didapat dari perbandingan sederhana antara dua seri :didapat dari perbandingan sederhana antara dua seri :
dandan
Penyelesaian untukPenyelesaian untuk aa dandan bb dandan
∑
∑ ∑
∑
Dalam persamaa ini, jika kita mengetahui batas dari sebuah fungsi
Dalam persamaa ini, jika kita mengetahui batas dari sebuah fungsi
, kita, kita akan tahu batas terluar karena dalam keadaan kontinuasi ke atasakan tahu batas terluar karena dalam keadaan kontinuasi ke atas
. Ketika. Ketika
ini menjadi efek redaman. Semakin tinggi derajat, semakin kuat redamanini menjadi efek redaman. Semakin tinggi derajat, semakin kuat redaman
∑ ∑
∑ ∑
Fungsi batas yang sebenarnya dikembangkan menjadi permukaan bola Fungsi batas yang sebenarnya dikembangkan menjadi permukaan bola harmonis, dengan koefisien
harmonis, dengan koefisien
dandan
. Perbandingan antara koefisien yang. Perbandingan antara koefisien yang diketahui (diketahui (
) dan umum () dan umum (
) dapat di berikan :) dapat di berikan :Pemecahan untuk a dan b ketika dimasukan kedalam permukaan bola Pemecahan untuk a dan b ketika dimasukan kedalam permukaan bola harmonik : harmonik :
∑
∑ ∑
∑
Notasi konvensiNotasi konvensi. Potensial gravitasi bumi biasanya ditunjukkan dengan. Potensial gravitasi bumi biasanya ditunjukkan dengan simbol V. koefisien
simbol V. koefisien
dandan
akan memiliki dimensi yang sama sebagaiakan memiliki dimensi yang sama sebagai potensipotensi itu itu sendiri. sendiri. Hal Hal ini ini biasa, biasa, meskipun meskipun untuk untuk menggunakan dimensi menggunakan dimensi dengandengan koefisien
koefisien
dandan
..
∑
∑
∑
∑
6.3.6.3. Properti dari Bola Harmonik Properti dari Bola Harmonik
Permukaan bola harmonik dapat dikategorikan menurut cara mereka Permukaan bola harmonik dapat dikategorikan menurut cara mereka membagi bumi. Cosinus dan sinus dari bilangan gelombang
membagi bumi. Cosinus dan sinus dari bilangan gelombang
akan memilikiakan memiliki
nol teratur spasi. Hal serupa tidak bisa dikatakan dari hal fungsi Legendre nol teratur spasi. Hal serupa tidak bisa dikatakan dari hal fungsi Legendre
. Itu menunjukkan. Itu menunjukkan
nol penyeberangan dalam pola yang dekatnol penyeberangan dalam pola yang dekat dengan sudut equi, tetapi tidak sepenuhnya teratur. Namun demikian kita dapat dengan sudut equi, tetapi tidak sepenuhnya teratur. Namun demikian kita dapat tetap bahwa perubahan tanda daritetap bahwa perubahan tanda dari
ada di kedua arah membagi bumiada di kedua arah membagi bumi dalam pola papan bergaris (dalam pola papan bergaris (
) x 2m ubin. Hal ini dapat diklasifikasikan :) x 2m ubin. Hal ini dapat diklasifikasikan :
m=0, zona bola harmonik. Ketika m = 0, bagian sin lenyap, jadi koefisienm=0, zona bola harmonik. Ketika m = 0, bagian sin lenyap, jadi koefisien
tidak ada. Selain itu, costidak ada. Selain itu, cos
= 1, jadi tidak ada variasi terjadi pada= 1, jadi tidak ada variasi terjadi pada bujur. Denganbujur. Dengan
kita akan dapatkita akan dapat
band lintang, disebut zones.band lintang, disebut zones.
sektoral bola harmonic. Ada perubahan tandasektoral bola harmonic. Ada perubahan tanda
arah bujur. Araharah bujur. Arahlintang ada akan nol. Ini tidak berarti bahwa
lintang ada akan nol. Ini tidak berarti bahwa
adalah konstan, meskipunadalah konstan, meskipun bumi terbagi dalam band bujur disebut sektor
m dan mm dan m
, tesseral bola harmonik. Untuk semua kasus lain kita, tesseral bola harmonik. Untuk semua kasus lain kitamendapatkan pola tanda yang terterbagi-bagi. Fungsi-fungsi ini disebut mendapatkan pola tanda yang terterbagi-bagi. Fungsi-fungsi ini disebut tesseral
tesseral 6.3.1
6.3.1 Fungsi Dasar Orthogonal dan OrthonormalFungsi Dasar Orthogonal dan Orthonormal
Orthogonality adalah properti kunci dari fungsi dasar yang memecahkan Orthogonality adalah properti kunci dari fungsi dasar yang memecahkan persamaan
persamaan Laplace. Laplace. Ini Ini adalah adalah hubungan hubungan antara antara synthesus synthesus dan dan analisis,analisis, memungkinkan transformasi maju dan terbalik antara fungsi dan spectrum
memungkinkan transformasi maju dan terbalik antara fungsi dan spectrum
Orthogonality adalah sebuah konsep umum untuk vektor dan matriks. Orthogonality adalah sebuah konsep umum untuk vektor dan matriks. Pikirkan dekomposisi eigenvalue atau dekomposisi QR. Kita
Pikirkan dekomposisi eigenvalue atau dekomposisi QR. Kita mulai dengan contohmulai dengan contoh sederhana dari aljabar linear dan memperluas
sederhana dari aljabar linear dan memperluas konsep ortogonalitas fungsikonsep ortogonalitas fungsi Dari vektor u
Dari vektor untuk fungsi. ntuk fungsi. Ambil dekompoAmbil dekomposisi eigen dari sisi eigen dari matriks simetrismatriks simetris persegi
persegi
. Kolom Q adalah q vektor eigen ortogonal. itu adalah umum. Kolom Q adalah q vektor eigen ortogonal. itu adalah umum untuk menormalkan mereka. Jadi produk skalar antara dua vektor eigen menjadi untuk menormalkan mereka. Jadi produk skalar antara dua vektor eigen menjadi
{{
Pada
Pada
di sebelah kanan disebut Kronecker delta fungsi, yang adalah 1di sebelah kanan disebut Kronecker delta fungsi, yang adalah 1 jikajika indeksnya indeksnya adalah adalah sama sama dan dan 0 0 jika jika tidak. tidak. Ini Ini adalah adalah mitra mitra diskrit diskrit fungsifungsi
--Dirac. Catatan bahwa dalam kasus vektor eigen hanyalah ortogonal, kita akan Dirac. Catatan bahwa dalam kasus vektor eigen hanyalah ortogonal, kita akan mendapatkan sesuatu sepertimendapatkan sesuatu seperti
di sebelah kanan, di manadi sebelah kanan, di mana
adalah panjangadalah panjang
Dalam indeks notasi, persamaan diatas menjadi : Dalam indeks notasi, persamaan diatas menjadi :
∑
∑
(
(
)
)
Di manaDi mana
elemenelemen
daridari
vektor. Cara non konvensional yangvektor. Cara non konvensional yang sedikit berbeda akan menjadisedikit berbeda akan menjadi
∑
∑
Subtitusikan n menjadi x Subtitusikan n menjadi xOrthonomal vektor juga bisa diubah menjadi fungsi, jadi perlu proses Orthonomal vektor juga bisa diubah menjadi fungsi, jadi perlu proses Orthogonality dari dua fungsi yang mengkombinasikan Orthonalmal vektor Orthogonality dari dua fungsi yang mengkombinasikan Orthonalmal vektor dengan fungsi Orthonormal. Hasilnya itu kalau z>0 di luar angkasa dan kalau z<0 dengan fungsi Orthonormal. Hasilnya itu kalau z>0 di luar angkasa dan kalau z<0 maka di dalam bumi.
maka di dalam bumi. Fourier Fourier
Sekarang kita lihat fungsi dasar dari Fourier Series untuk pengecualian sin Sekarang kita lihat fungsi dasar dari Fourier Series untuk pengecualian sin dan cos bisa Orthogonal atau bisa Orthonormal
dan cos bisa Orthogonal atau bisa Orthonormal
Disamping cos dan sin Orthogonal, mereka juga Orthonormal. Lihat rumus Disamping cos dan sin Orthogonal, mereka juga Orthonormal. Lihat rumus di atas yang tidak ada
di atas yang tidak ada
. Yang tidak ada. Yang tidak ada
nilainya selalu 0,5 kecuali padanilainya selalu 0,5 kecuali pada kasus khusus (m=0) ketika sin dan cos bernilai 0.kasus khusus (m=0) ketika sin dan cos bernilai 0.
Dan apa yang terjadi ketika kita mengkombinasikan rumus di atas dengan Dan apa yang terjadi ketika kita mengkombinasikan rumus di atas dengan fungsi dasar dan mengevaluasi integral rumus itu.
fungsi dasar dan mengevaluasi integral rumus itu.
Jadi Orthogonality di sebagian simbol kronecker (
Jadi Orthogonality di sebagian simbol kronecker (
), hasil filternya), hasil filternya tepat di koefisien spektral am. Dianalogi untuk memproses Orthogonality tepat di koefisien spektral am. Dianalogi untuk memproses Orthogonality membutuhkan cara untuk menunjukkan analisis spektral. Caramembutuhkan cara untuk menunjukkan analisis spektral. Cara -caranya:-caranya: 1.
1. Mengkombinasikan fungsi yang sebelumnya dengan fungsi dasar Mengkombinasikan fungsi yang sebelumnya dengan fungsi dasar 2.
2. Mengintegralkan rumus dasar Mengintegralkan rumus dasar 3.
Di bawah ini diperlihatkan langkah pertama yang menunjukkan bahwa Di bawah ini diperlihatkan langkah pertama yang menunjukkan bahwa Orthogonality adalah kunci dari sistem fungsi dasar.
Orthogonality adalah kunci dari sistem fungsi dasar.
Legendre Orthogonal Legendre Orthogonal
Setelah kita melihat Fourier, kita harus pergi ke Orthogonality dalam Setelah kita melihat Fourier, kita harus pergi ke Orthogonality dalam fungsi Legendre
fungsi Legendre
. Ini membuktikan bahwa fungsi Legendre adalah. Ini membuktikan bahwa fungsi Legendre adalah Orthogonal tapi belum tentu Orthonormal. Orthogonality sekarang bisa diproses Orthogonal tapi belum tentu Orthonormal. Orthogonality sekarang bisa diproses dengan menggunakan dua fungsi dalam satu fungsidengan menggunakan dua fungsi dalam satu fungsi yang samayang sama Bagian integral yang di depan dari rumus di atas bisa
Bagian integral yang di depan dari rumus di atas bisa di turunkan menjadidi turunkan menjadi Jadi panjang dari fungsi Legendre tergantung dari derajat dan orde. Dari Jadi panjang dari fungsi Legendre tergantung dari derajat dan orde. Dari pengetahuan
pengetahuan ini ini kita kita sudah sudah dalam dalam posisi posisi yang yang benar benar untuk untuk mengevaluasimengevaluasi Orthogonality dari permukaan spheris yang harmonis
= =
=
=
Untuk lebih teliti kita harus menegaskan bahwa hasil di atas tidak valid Untuk lebih teliti kita harus menegaskan bahwa hasil di atas tidak valid untuk kombinasi cosinus dan sinus. Lagipula kita juga harus mengesampingkan untuk kombinasi cosinus dan sinus. Lagipula kita juga harus mengesampingkan bahwa
bahwa m=0 m=0 dalam dalam sinus-sinus sinus-sinus yang yang ortogonal. ortogonal. Dalam Dalam banyak banyak kasus, kasus, fungsifungsi panjang dari permukaan harmonis spheris adalah
panjang dari permukaan harmonis spheris adalah
.. Legendre OrthonormalLegendre Orthonormal
Jika kita sekarang mengalikan semua fungsi dasar
Jika kita sekarang mengalikan semua fungsi dasar
dengandengan
maka akan menjadi orthonormal. Jadimaka akan menjadi orthonormal. Jadi
disebut sebagai faktor normalisasi.disebut sebagai faktor normalisasi. Fungsi normalitas ditandai dengan sebuah overbar.Fungsi normalitas ditandai dengan sebuah overbar.
Dengan normalisasi ini kita mendapatkan hasil sebagai berikutuntuk Dengan normalisasi ini kita mendapatkan hasil sebagai berikutuntuk orthonormal:
orthonormal:
Menggunakan fungsi dasar orthonormal tersebut, sintesis dan analisa Menggunakan fungsi dasar orthonormal tersebut, sintesis dan analisa rumus dari komputasi harmonis spheris terbaca:
rumus dari komputasi harmonis spheris terbaca:
6.3.2
6.3.2 Perhitungan Polinomial Legendre dan Fungsi LegendrePerhitungan Polinomial Legendre dan Fungsi Legendre Cara analitis
Cara analitis
Fungsi zona legendre yang 0 disebut polinomial Legendre. Bahkan Fungsi Fungsi zona legendre yang 0 disebut polinomial Legendre. Bahkan Fungsi zona Legendre adalah polynomial pada t=cosθ
zona Legendre adalah polynomial pada t=cosθ
Polynomial Legendre dihitung dengan diferensiasi berikut: Polynomial Legendre dihitung dengan diferensiasi berikut:
Jadi pada dasarnya jumlah dari
Jadi pada dasarnya jumlah dari
adalah diferensiasi sebanyak l.adalah diferensiasi sebanyak l. Hasilnya akan menjadi polinomial maksimumHasilnya akan menjadi polinomial maksimum
, dengan hanya, dengan hanya menggunakan kekuatan seadanya.menggunakan kekuatan seadanya.
Pada tahap selanjutnya, Polinomial Legendre dideferensiasikan sebanyak Pada tahap selanjutnya, Polinomial Legendre dideferensiasikan sebanyak m oleh rumus berikut:
m oleh rumus berikut:
Jadi kita mempunyai sebuah tetapan polinomial
Jadi kita mempunyai sebuah tetapan polinomial
, yang dikalikan, yang dikalikan dengan sejenis faktor modulasidengan sejenis faktor modulasi
. Subtitusi t=cosθ lagi, kita dapat melihat. Subtitusi t=cosθ lagi, kita dapat melihat bahwa faktornya adalahbahwa faktornya adalah
. Untuk m ganjil, kita tidak punya polinomial. Jadi. Untuk m ganjil, kita tidak punya polinomial. Jadi kita membicarakan fungsi Legendre. Contoh Trivial adalah:Cara Numeris Cara Numeris
Cara Numeris lebih stabil untuk menghitung fungsi Legendre dari Cara Numeris lebih stabil untuk menghitung fungsi Legendre dari hubungan rekursif di bawah. Rekursi ini didefinisikan dalam kondisi fungsi hubungan rekursif di bawah. Rekursi ini didefinisikan dalam kondisi fungsi normal legendre. Cara untuk menghitung suatu
normal legendre. Cara untuk menghitung suatu
adalah menggunakanadalah menggunakan rekursi sektoral untuk sampai padarekursi sektoral untuk sampai pada
. Lalu gunakan rekursi kedua. Lalu gunakan rekursi kedua untuk menaikkan nilainya. Untuk langkah sektoral pertama, harus diasumsikan untuk menaikkan nilainya. Untuk langkah sektoral pertama, harus diasumsikan jelasjelas
menjadi 0.menjadi 0.6.3.3
6.3.3 Teorema PertambahanTeorema Pertambahan
Satu rumus penting adalah teorema pertambahan dari spheris harmonik. Satu rumus penting adalah teorema pertambahan dari spheris harmonik. Menurut Polinomial Legendre dalam
Menurut Polinomial Legendre dalam
, yang mana bahwa, yang mana bahwa
adalahadalah jarak spheris antara titik P dan Q.jarak spheris antara titik P dan Q.
6.4.
6.4. Arti Fisik dari Arti Fisik dari Koefisien Spheris Harmonik Koefisien Spheris Harmonik
Koefisien Spheris Harmonik mempunyai arti fisis. Berhubungan ke Koefisien Spheris Harmonik mempunyai arti fisis. Berhubungan ke distribusi internal massa. Untuk menurunkan hubungan tersebut kita butuh untuk distribusi internal massa. Untuk menurunkan hubungan tersebut kita butuh untuk menerjemahkan potensialnya sebagai
menerjemahkan potensialnya sebagai
