PEMBAHASAN. [Fisher, 1988] Definisi 19 (Fungsi Utilitas Joan) Fungsi utilitas Joan didefinisikan sebagai berikut. dan l. dengan x adalah kekayaan.

dengan h=xn+1− . xn

[Fisher, 1988] Definisi 19 (Fungsi Utilitas Joan)

Fungsi utilitas Joan didefinisikan sebagai berikut

( )

u x = x

dengan x adalah kekayaan.

[Winston, 2004] Teorema 1 (Metode Lagrange)

Masalah dengan dua variabel dan satu kendala

Untuk memaksimumkan atau meminimumkan 1 2

( , )

f x x terhadap kendala g x x( , ) 01 2 = , selesaikan sistem persamaan berikut

maksimumkan 1 2 ( , ) f x x dengan kendala 1 2 ( , ) 0 g x x = .

Dari masalah tersebut, maka diperoleh fungsi

Lagrange sebagai berikut:

( , ) ( ) ( )

l= xλ = f x +λg x .

Syarat perlu untuk eksistensi titik ekstrim *

X=X akan terpenuhi jika turunan parsial

dari fungsi Lagrange sama dengan nol, sehingga menghasilkan:

(

1 2

)

1 , , l x x x λ ∂ ∂

(

_{1 2}

)

(

_{1 2}

)

1 1 , , 0 f g x x x x x λ x ∂ ∂ = + = ∂ ∂ (a)

(

1 2

)

2 , , l x x x λ ∂ ∂

(

1 2

)

(

1 2

)

2 2 , , 0 f g x x x x x λ x ∂ ∂ = + = ∂ ∂ (b) dan

(

1, ,2

)

( , ) 01 2 l x x λ g x x λ ∂ _{= =} ∂ .

Dari Persamaan (a) dan (b) akan dihasilkan titik ekstrim

(

_{x x1}*_, *₂

)

_{. λ yang berpadanan} dengan fungsi g x x( , ) 01 2 = disebut pengali

Lagrange.

[Rao, 1978] Definisi 20 (Asuransi)

Asuransi atau pertanggungan adalah perjanjian antara dua pihak atau lebih. Pihak penanggung mengikatkan diri kepada pihak tertanggung dengan menerima premi asuransi untuk memberikan penggantian kepada tertanggung atas kerugian, kerusakan atau kehilangan, atau tanggung jawab hukum kepada pihak ketiga yang mungkin akan diderita tertanggung, yang timbul dari suatu peristiwa yang tidak pasti, atau untuk memberikan suatu pembayaran yang didasarkan atas meninggal atau hidupnya seseorang yang dipertanggungkan (Undang-Undang Republik Indonesia Nomor 2 Tahun 1992).

[Iskandar, 01-07-2007]

PEMBAHASAN

Model Seleksi Portofolio Markowitz

Pada tahun 1952, Markowitz mempublikasikan tulisannya yang berjudul “Portfolio Selection”. Dalam tulisannya, Markowitz memperlihatkan bagaimana membuat suatu portofolio dengan peluang yang lebih besar pada imbal hasil yang diharapkan dengan suatu tingkat risiko. Sejak saat itu, seleksi portofolio menjadi hal penting dalam ekonomi keuangan dan digunakan dalam pasar modal untuk membuat suatu portofolio efisien. Markowitz memasukkan prinsip diversifikasi, yang akhirnya membuatnya memperoleh nobel ekonomi 1990. Prinsip diversifikasi adalah suatu prinsip berinvestasi pada beragam aset.

Imbal hasil yang diharapkan dari suatu portofolio adalah penjumlahan dari imbal hasil yang diharapkan dari tiap sekuritas pembentuk portofolio dikalikan dengan bobot masing-masing sekuritas dalam portofolio. Misalkan E r

( )

p merupakan nilai harapan imbal hasil portofolio P dan w merupakan i bobot-bobot sekuritas dalam portofolio, maka

( )

p

E r dapat dituliskan sebagai berikut

( )

( )

1 n p i i i E r w E r = =

∑

.

Karena dalam pembentuk portofolio hanya dilihat sekuritas yang berisiko saja, maka

jumlah bobot dalam suatu portofolio adalah satu, atau secara matematis ditulis

1 1 n i i w = =

∑

. Ragam portofolio, 2 p σ , mencerminkan risiko dari portofolio dan w adalah bobot-bobot i sekuritas dalam portofolio. Secara matematis ragam dari suatu portofolio dituliskan sebagai berikut: 2 1 1 n n p i j ij i j w w σ σ = = =

∑∑

dengan 2 ii i σ =σ , 2 i

σ adalah ragam sekuritas ke- i . σ adalah koragam sekuritas i dan j , ij dengan σij=σji, untuk i≠ , dan j

i j j i

w w =w w. Portofolio Markowitz ini

digunakan untuk memilih w sehingga i

2

p σ minimum atau dapat dituliskan

{ } 2 min i p w σ dengan kendala 1 1 n i i w = =

∑

. Pemilihan Portofolio

Pemilihan suatu sekuritas dalam pembentukan portofolio dibagi ke dalam kasus sekuritas berisiko dan bebas risiko. Ketika menunjukkan suatu peluang risiko imbal hasil yang ada bagi investor dapat ditunjukkan oleh frontier ragam minimum.

Frontier adalah kurva ragam terendah yang

bisa dicapai untuk imbal hasil yang diharapkan dari portofolio tertentu. Dalam menghadapi masalah pemilihan portofolio, jika diperbolehkan short sales dalam pembentukan portofolio berisiko maka portofolio berisiko yang hanya terdiri atas sebuah aset menjadi tidak efisien. Tetapi jika

short sales tidak diperbolehkan maka

sekuritas tunggal mungkin berada pada

frontier, yaitu kurva ragam terendah yang

dicapai untuk nilai harapan dari imbal hasil portofolio tertentu.

Dengan menggunakan imbal hasil yang diharapkan, ragam, dan koragam maka dapat dihitung portofolio ragam minimum untuk setiap imbal hasil yang diharapkan. Semua portofolio yang ada pada frontier ragam minimum dari portofolio ragam global dan yang di atasnya memberikan kombinasi imbal hasil risiko terbaik menjadi calon portofolio optimal.

Gambar 1: Frontier ragam minimum aset berisiko

Bagian frontier yang ada di atas portofolio minimum global disebut frontier efisien dari aset berisiko (efficient frontier of risky assets). Selanjutnya, bagian dari optimisasi adalah keterlibatan aset bebas risiko.

Garis CAL (Capital Alocation Line) adalah suatu garis yang menunjukkan semua kombinasi risiko imbal hasil yang mungkin dan tersedia dari berbagai pilihan alokasi aset. Garis ini bermula dari rf dan lurus sampai

titik M. Kemiringan CAL sama dengan kenaikan imbal hasil yang diharapkan dari portofolio lengkap untuk setiap kenaikan dari standar deviasi. Kemiringan tersebut disebut rasio imbal hasil terhadap variabilitas.

Pada Gambar 2 dapat dilihat bahwa titik M adalah titik singgung dari CAL dan frontier. Titik M merupakan titik portofolio optimal pada CAL. CAL dari portofolio optimal, M, menyinggung frontier efisien. CAL unggul di atas garis yang lain. Oleh karena itu, portofolio M merupakan portofolio optimal.

Gambar 2: CAL dan frontier

dengan

( )

M f M E r r σ − = kemiringan CAL, f

r = imbal hasil bebas risiko,

( )

M

E r = imbal hasil yang diharapkan

pada pasar, M

σ = standar deviasi pada pasar.

( )

E r σ portofolio ragam minimum global frontier efisien frontier ragam minimum aset individual M

( )

E r

( )

M E r M σ f r

( )

M f E r −r CAL frontier σ

Model CAPM dibentuk dari CAL yang bersinggungan dengan portofolio yang efisien. Pada garis CAL ini menunjukkan pertukaran risiko imbal hasil. CAL diperoleh dari portofolio bebas risiko dan berisiko, M. Investor akan memilih CAL yang curam karena imbal hasil yang diharapkan semakin besar.

Model CAPM 2-Momen

Kemampuan untuk mengestimasi imbal hasil suatu sekuritas individu merupakan hal yang sangat penting dan diperlukan oleh investor. Untuk dapat mengestimasi imbal hasil suatu sekuritas dengan baik diperlukan suatu model estimasi. CAPM merupakan suatu model untuk mengestimasi kesetimbangan imbal hasil yang diharapkan dari suatu aset berisiko.

Model CAPM 2-momen (klasik) sebagai berikut ( )_{i f i}[ (_M) _f] E r =r +β E r −r (1) (lihat Lampiran 1) dengan f

r = nilai imbal hasil bebas risiko,

i

r = nilai imbal hasil pada aset ke-i,

( )i f

E r − = r premi risiko atas sekuritas

individu, (_M) _f

E r − r = premi risiko atas portofolio

pasar, dan

i

β = risiko sistematis. Ide dasar dari CAPM (The Capital Assets

Pricing Model) adalah menentukan harga

kesetimbangan aset pada pasar. Model klasik CAPM telah diperkenalkan oleh Sharp (1964), Lintner (1965), dan Mossin (1966), dan itu telah dicatat sebagai kerangka dari kesetimbangan pasar modal sampai sekarang. Hubungan kesetimbangan pada imbal hasil hanya pada satu aset dan hanya pada satu faktor risiko yaitu beta. CAPM merupakan suatu alat penetapan harga aset yang memprediksi tentang bagaimana hubungan antara risiko dan imbal hasil yang diharapkan. Hubungan ini mempunyai dua fungsi penting. Pertama, menyediakan tolok ukur tingkat imbal hasil untuk mengevaluasi alternatif investasi yang mungkin. Kedua, model ini dapat digunakan untuk menduga imbal hasil yang diharapkan atas aset yang belum diperdagangkan di pasar.

CAPM mempunyai beberapa asumsi penyederhanaan untuk mengarahkan pada versi dasar CAPM sebagai berikut

1. Investor bersifat price takers. Artinya, investor tidak dapat mempengaruhi harga dan tidak ada monopoli dari investor tertentu.

2. Terdapat banyak investor, masing-masing dengan jumlah kekayaan yang sangat kecil dibandingkan dengan total kekayaan seluruh investor.

3. Seluruh investor merencanakan untuk satu periode investasi yang identik.

4. Investor yang rasional berusaha mengoptimalkan imbal hasil dan risiko. 5. Semua investor memiliki nilai harapan

yang seragam pada imbal hasil sekuritas untuk sebarang waktu periode.

6. Tidak ada pajak dan tidak ada ongkos transaksi.

Inti dari asumsi ini adalah mencoba untuk memastikan bahwa individu adalah mirip satu sama lain, kecuali dalam hal besarnya kekayaan awal dan sikap penghindaran terhadap risiko (risk aversi).

Implikasi dari model CAPM adalah

1. Setiap investor akan berinvestasi pada portofolio yang sama (portofolio pasar). 2. Portofolio pasar memuat semua aset yang

diperdagangkan di pasar dengan proporsi investasi adalah sama seperti proporsi saham dalam portofolio pasar.

3. Premi risiko pasar bergantung pada tingkat penghindaran risiko semua pelaku pasar. Premi risiko pasar merupakan selisih imbal hasil aset berisiko dan aset bebas risiko.

4. Premi risiko masing-masing saham bergantung pada koragam saham tersebut dengan pasar.

Nilai harapan imbal hasil portofolio atas aset bebas risiko pada CAPM 2-momen sama dengan premi risiko pasarnya dengan nilai β adalah sama dengan satu.

Model CAPM 2-momen ini diasumsikan menyebar simetris. Selama sebaran peluangnya lebih atau kurang simetris di sekitar rata-rata, σ merupakan ukuran risiko yang cukup. Dalam kasus tertentu saja bahwa imbal hasilnya dapat diasumsikan menyebar normal. Sebaran normal memiliki 2 ciri penting. Pertama, sebaran normal adalah simetris dan digambarkan secara lengkap oleh 2 parameter yaitu rata-rata dan standar deviasi. Ciri pertama ini berakibat bahwa risiko imbal hasil yang menyebar normal dapat digambarkan secara penuh oleh standar deviasinya. Kedua, rata-rata tertimbang dari variabel-variabel yang menyebar normal juga akan menyebar normal. Oleh karena itu, jika imbal hasil aset individu menyebar normal,

imbal hasil portofolio apapun yang mengkombinasikan kumpulan aset ini akan menyebar normal pula dan standar deviasinya akan secara penuh menunjukkan risikonya. Model CAPM 3-Momen

Model klasik CAPM 2-momen yang diperkenalkan oleh Sharp (1964), Lintner (1965), dan Mossin (1966) mendapat banyak penolakan dan kritikan dari beberapa orang. Berdasarkan hasil empiris yang telah dilakukan menunjukkan bahwa CAPM klasik tidak konsisten. Kraus-Litzenberger memulai suatu diskusi tentang momen yang lebih tinggi dalam CAPM yang dituliskan pada sebuah tulisan berjudul “Skewness Preference and

The Valuation of Risk Assets”.

Kraus-Litzenberger juga menyampaikan bahwa perlu ditambahkan skewness pada CAPM untuk penilaian suatu aset.

Berdasarkan pendugaan beta dan gamma saham NYSE dari Januari 1926 sampai Desember 1935, Kraus-Litzenberger mendapatkan bukti yang melibatkan skewness pada premi risiko (dikutip dari tesis yang berjudul “Pricing Skewness and Kurtosis Risk

on the Swedish Stock Market”). Sehingga

CAPM 3-momen dapat lebih efektif pada proses pembentukan harga aset daripada 2-momen mean-variance. Berdasarkan tes empiris juga, bahwa CAPM 3-momen menunjukkan hubungan yang negatif antara sistematik skewness dengan imbal hasil aset. Dengan demikian, sistematik skewness positif lebih disukai dibanding dengan yang negatif. Aset dikatakan memiliki coskewness positif (negatif) apabila dapat mengurangi (melebihkan) risiko portofolio untuk imbal hasil pasar yang mutlak besar dan tingkat risiko rendah (tinggi) pada kesetimbangan.

Dengan menambahkan ruas kanan pada CAPM 2-momen dengan gamma dikali premi penyimpangan pasar, maka didapat CAPM 3-momen. Model kesetimbangan imbal hasil ini mengasumsikan bahwa nilai imbal hasil pada portofolio pasar bersifat menyebar asimetris sebagai berikut: E R( )_i =R_f +b₁β_i+b₂γ_i (2) (lihat Lampiran 2) dengan f R = 1+ , rf i R = 1+ , ri M R = 1+rM, f

r = nilai imbal hasil bebas risiko,

i

r = nilai imbal hasil pada aset ke-i,

M

r = nilai imbal hasil pada portofolio pasar,

1

b = premi risiko pasar,

2

b = premi penyimpangan (skewness) pasar,

2 ( , ) ( ) i M RM i M i M Cov R R R R Var R σ β σ = =

( )

( )

(

)

( )

(

2

)

i i M M M M E R E R R E R E R E R − − ⎡ ⎤ ⎡_⎣ ⎤_⎦ ⎣ ⎦ = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ . (3)

Standar deviasi dinyatakan sebagai berikut:

(

( )

)

1 2 2 M R E RM E RM σ =⎡_⎢ − ⎤_⎥ ⎣ ⎦ . (4)

Gamma (risiko sistematis) dinyatakan sebagai

berikut: i γ i M₃ M RM R R R τ τ =

( )

( )

(

)

( )

(

)

2 3 i i M M M M E R E R R E R E R E R − − ⎡ ⎤ ⎡_⎣ ⎤_⎦ ⎣ ⎦ = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ . (5)

Kemiringan dari nilai imbal hasil pada keseluruhan portofolio didefinisikan:

( )

(

)

(

)

1 3 3 M M M R E R E R τ ₌ ⎡ ₋ ⎤ ⎣ ⎦ . (6)

Beta dan gamma pada CAPM 3-momen sama

dengan ukuran risiko sistematis. Dengan menyederhanakan Persamaan (2) sebagai berikut: 1 2 ( )i f i i E R =R +b β +b γ 1 2 ) (1 i) (1 f i i E +r = +r +b β +b γ 1 2 (1) ( ) 1i f i i E +E r = +r +b β +b γ 1 2 ( )i f i i E r =r +b β +b γ (7)

maka diperoleh Persamaan (7) sebagai model CAPM 3-momen.

Pada model CAPM 3-momen nilai imbal hasilnya (premi risiko pada investor) sama dengan penjumlahan dari premi risiko pasar dan premi penyimpangan pasar, dengan nilai β dan γ sama dengan satu. Selanjutnya, dari Persamaan (7) akan didapat portofolio pasar yaitu

E r

( )

_M −r_f = + . (8) b₁ b₂

Dalam model CAPM 3-momen dihasilkan bahwa b merupakan premi penyimpangan ₂

pasar. Model ini memperhitungkan kecondongan, dan momen pusat ke-3 dari model ini menunjukkan ukuran asimetri. Angka positif pada ukuran skewness menunjukkan kecondongan yang positif dan lebih disukai.

Model CAPM N-Momen

Model kesetimbangan CAPM ini kemudian diperumum menjadi CAPM

n-momen. Model kesetimbangan CAPM n-momen mengasumsikan bahwa nilai imbal

hasil pada portofolio pasar adalah sebagai berikut:

( )

( 1) 2 i f n ni n E R R b v ∞ − = = + ∑ (9) (lihat Lampiran 2) dengan i R = 1+ , ri f R = 1+ , rf i

r = nilai imbal hasil sekuritas ke-i,

f

r = nilai imbal hasil bebas risiko.

Kemudian, b(n−1) dan v dapat dirumuskan ni sebagai berikut: 1

(

( )

)

( 1) n n n n M M b − =θ P −E R −E R . (10)

{

(

( )

)

(

( )

)

}

( )

(

)

1 n i i M M ni n M M E R E R R E R v E R E R − − − = − . (11) (lihat Lampiran 2)

Dengan menyederhanakan Persamaan (9) sebagai berikut:

( )

( 1) 2 i f n ni n E R R ∞ b − v = = + ∑

(

)

(

)

( 1) 2 1 _i 1 _{f n ni} n E r r ∞ b − v = + = + + ∑

( )

( 1) 2 i f n ni n E r r ∞ b − v = = + ∑ (12) maka diperoleh persamaan CAPM n-momen. Dengan tidak memakai momen yang lebih tinggi dari rata-rata dan ragam tidak akan mempengaruhi nilai imbal hasil, tetapi bukan berarti bahwa kecondongan (skewness) tidak penting. Dalam hal ini, suatu imbal hasil yang asimetris, yang terkait dengan skewness, dapat dihitung dengan momen ketiga.

Sifat-Sifat Koragam dan Coskewness Koragam menghitung potensi diversifikasi dari sebuah aset. Koragam mengukur banyaknya imbal hasil dari 2 aset berisiko bergerak bersamaan. Koragam positif artinya aset tersebut bergerak bersamaan jika imbal hasil keduanya melampaui harapan atau keduanya lebih rendah dari harapannya. Koragam negatif artinya aset tersebut bergerak berlawanan jika aset yang satu melampaui harapan dan yang satu lebih kecil dari harapannya. Menurut Kozig dan Larson, berdasarkan Campbell Harvey dan Akhtar Siddique (2000), risiko sistematik

(coskewness) adalah komponen dari suatu penyimpangan aset yang terkait pada penyimpangan portofolio pasar.

Sebagai sebuah ukuran risiko, beta bersifat linier yaitu beta pada suatu kombinasi linier atas sekuritas adalah kombinasi linier dari nilai-nilai beta pada sekuritas itu sendiri. Artinya, suatu beta dari suatu portofolio sama dengan rataan terboboti dari nilai-nilai beta suatu sekuritas pada portofolio. Misalkan

Z = portofolio dari n sekuritas,

i

S = uang yang diinvestasikan pada

sekuritas ke-i,

i

r = tingkat imbal hasil pada sekuritas ke-i,

Z

r = tingkat imbal hasil dari portofolio, M

r = imbal hasil pada portofolio pasar, S = i i S ∑ , maka 2 Z M M r r Z r σ β σ =

( )

( )

(

)

( )

(

2

)

Z Z M M M M E r E r r E r E r E r − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦

( )

( )

(

2

)

i i i i M M M M S r S r E E r E r S S E r E r ⎛⎡⎛_∑ ⎞₋ ⎛_∑ ⎞⎤_{⎡ − ⎤}⎞ ⎜⎢_⎣⎜_⎝ ⎟_⎠ ⎜_⎝ ⎟_⎠⎥ ⎣_⎦ ⎦⎟ ⎝ ⎠ = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦

( )

( )

(

)

( )

(

2

)

i i i M M M M S E r E r r E r S E r E r ⎡ − ⎤⎡ − ⎤ ∑ _{⎣ ⎦⎣ ⎦} = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ i i S S β ∑ = . (13) Untuk

Z

sama dengan portofolio pasar, sehingga nilai beta adalah satu, maka koragam dari tingkat imbal hasil portofolio pasar dengan portofolio pasar itu sendiri sama dengan ragam dari tingkat imbal hasil portofolio pasar. Dengan demikian, penjumlahan terboboti dari koragam-koragam pada tingkat imbal hasil semua sekuritas portofolio pasar sama dengan nilai ragam dari tingkat imbal hasil portofolio pasar.

Serupa dengan itu, nilai gamma dari suatu portofolio adalah rataan terboboti dari nilai-nilai gamma dari masing-masing sekuritas.

3 M M r M Z Z r r r τ γ τ =

( )

(

)

(

( )

)

(

)

( )

(

)

(

)

2 3 Z Z M M M M E r E r r E r E r E r − − = −

( )

( )

(

)

(

)

2 3 i i i i M M M M S r S r E E r E r S S E r E r ⎛⎡⎛_∑ ⎞₋ ⎛_∑ ⎞⎤_{⎡ − ⎤} ⎞ ⎜⎢_⎣⎜_⎝ ⎟_⎠ ⎜_⎝ ⎟ ⎣_⎠⎥_⎦ ⎦ ⎟ ⎝ ⎠ = −

( )

( )

(

)

( )

(

)

2 3 i i i M M M M S E r E r r E r S E r E r ⎛ ⎞ _{⎡ − ⎤ ⎡ − ⎤} ∑⎜ ⎟_{⎝ ⎠} ⎣ ⎦⎣ ⎦ = − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ i i S S γ = ∑ . (14)

Coskewness dari imbal hasil pada portofolio

pasar dengan dirinya sendiri sama dengan

skewness dari imbal hasil pada portofolio

pasar. Maka penjumlahan terboboti

coskewness dari imbal hasil semua sekuritas

dalam portofolio pasar sama dengan skewness dari imbal hasil portofolio pasar.

Model CAPM 3-Momen pada Asuransi Bencana

Menurut Kozig dan Larson pada tulisannya yang berjudul “The N-Moment

Insuranse CAPM”, berdasarkan penurunan

asuransi CAPM yang dikerjakan oleh D’Arcy dan Doherty, tingkat imbal hasil untuk ekuitas, r , tersusun atas kombinasi linier dari _e

imbal hasil underwriting, r , dan imbal hasil u

investasi, r . i u

(

1 u

)

i

(

)(

1 i

)

e r P t r S kP t r S S − + − = + (15) dengan: e

r = tingkat imbal hasil pada ekuitas,

P = premi pada tahun yang ditentukan,

S = modal pemegang saham (shareholder’s equity),

u

r = imbal hasil penjamin (underwriting)

per unit premi,

u

t = tingkat pajak pada pendapatan underwriting,

k = koefisien pembangkit dana

(perbandingan antara dana cadangan terhadap premi total),

i

r = imbal hasil atas investasi per unit yang

diinvestasikan,

i

t = pajak pada pendapatan investasi.

Berdasarkan Persamaan (7), nilai harapan ekuitas 3-momen diperoleh

E r

( )

e =rf +b1βe+b2γe. (16)

Beta (gamma) dari ekuitas merupakan

kombinasi linier suatu beta (gamma)

underwriting dan suatu beta (gamma)

investasi dan dapat dinyatakan sebagai berikut

u

(

1 u

) (

)

i

(

1 i

)

e P t S kP t S S β β β = − + − − (17) dan u

(

1 u

) (

)

i

(

1 i

)

e P t S kP t S S γ γ γ = − + − − . (18)

Substitusi Persamaan (15) ke Persamaan (16), maka diperoleh

( )

_u

(

1 _u

)

( )

_i

(

)(

1 _i

)

E r P t E r S kP t S S − + − + 1 2 f e e r bβ bγ = + + . (19) Substitusi Persamaan (7), (17), dan (18) ke Persamaan (19) sehingga diperoleh

( ) (

u 1 u

)

E r P t S −

(

S kP r

)

(

f b1 i b2 i

)

(

1 ti

)

S β + γ + + − +

(

1 u

)(

1 u 2 u

)

f P t b b r S β γ = + − −

(

S kP

)(

1 ti

)(

b1 i b2 i

)

S β γ − − + + . (20)

Dengan menyederhanakan dan menyelesaikan Persamaan (20) maka diperoleh imbal hasil kesetimbangan underwriting setelah dipotong pajak sebagai berikut

( )(

u 1 u

)

E r −t f

(

1 i

)

i f t r S kr t P = − − + +b₁β_u

(

1−t_u

)

+b₂γ_u

(

1−t_u

)

(21) (lihat Lampiran 3) dengan 1

b = premi risiko pasar,

2

b = premi penyimpangan pasar,

u β =

(

)

( )

, u M M Cov r r Var r , u γ =

(

( )

( )

)

( )

(

)

2 3 u u M M M M E r E r r E r E r E r ⎡ − ⎤⎡_⎣ − ⎤_⎦ ⎣ ⎦ − .

Imbal hasil kesetimbangan underwriting setelah dipotong pajak terdiri atas empat komponen yaitu

1. Mewakili bunga yang dibayarkan ke

policy holder (pemegang kebijakan untuk

penggunaan dana mereka),

2. Untuk menangkap ulang penalti pajak selama menjadi underwriting,

3. Persiapan untuk kompensasi risiko, dan

4. Persiapan untuk kompensasi penyimpangan.

Model CAPM N-Momen pada Asuransi Bencana

Model CAPM diperumum menjadi

n-momen, dengan mengasumsikan bahwa

modal pemegang saham adalah

S

, nilai imbal hasilnya

( )

( 1) 2 e e f n n n E r r ∞ b − v = = + ∑ . (22) Berdasarkan Persamaan (15) maka

(

1

)

u e u n n Pv t v S − =

(

S kP v

)

ni

(

1 ti

)

S + − + . (23)

Substitusi Persamaan (15) ke Persamaan (22) diperoleh kesetimbangan sebagai berikut

( ) (

u 1 u

)

( )(

i

)(

1 i

)

E r P t E r S kP t S S − − − + ( 1) 2 e f n n n r ∞ b ₋ v = = + ∑ . (24) Dengan melakukan substitusi Persamaan (12) dan Persamaan (23) ke Persamaan (24) maka dihasilkan

( ) (

u 1 u

)

E r P t S −

(

)

( 1)

(

)

2 i 1 f n i n n S kP r b v t S ∞ − = ⎛ ⎞ + ⎜_⎝ + ∑ ⎟_⎠ − + f r = _{( 1)}

(

) (

)

(

)

2 1 1 i u i i n n n n Pv t S kP v t b S S ∞ − = − + − ⎡ ⎤ +∑ ⎢ + ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦. (25) Dengan menyederhanakan dan menyelesaikan Persamaan (25) untuk imbal hasil kesetimbangan underwriting setelah dipotong pajak, maka dihasilkan model asuransi CAPM

n-momen sebagai berikut

( )(

u 1 u

)

E r −t f

(

1 i

)

i f t r S kr t P = − − +

(

)

( 1) 2 n u 1 u n n b v t ∞ − = +∑ − . (26) (lihat Lampiran 4)

SIMPULAN

Suatu skewness pada tingkat sebaran imbal hasil tidak bisa diabaikan begitu saja. Munculnya sebaran-sebaran imbal hasil yang menyimpang menyebabkan terjadinya ketidakseimbangan pada premi, imbal hasil yang diharapkan serta risikonya. Karena sebaran tersebut mengalami penyimpangan, penting untuk menilai sistematik skewness (coskewness) ketika menentukan imbal hasil kesetimbangan dan premi yang dibutuhkan pada kasus jaminan asuransi bencana.

Pada CAPM 2-momen hanya melibatkan standar deviasi dan diketahui bahwa standar deviasi merupakan akar dari momen pusat ke-2. Momen pusat ke-2 hanya dapat menghitung ketidakpastian imbal hasil. Model CAPM 2-momen hanya dapat menghitung imbal hasil

yang sebarannya simetris sehingga diperumum CAPM 3-momen untuk mengukur imbal hasil yang sebarannya asimetris.

Sedangkan untuk menghitung imbal hasil

underwriting pada asuransi bencana

diperlukan pengembangan model asuransi CAPM 3-momen dari model CAPM 3-momen yang melibatkan suatu kecondongannya. Secara eksplisit, hal ini akan menghasilkan penentuan atas akibat dari penyimpangan terhadap premi kesetimbangan. Tetapi belum diketahui secara jelas dampak yang ditimbulkan untuk momen yang lebih tinggi dari momen ke-3 karena belum dilakukan analisis secara empiris dan masih bersifat teoritis saja.

DAFTAR PUSTAKA

Bodie, Z, Kane, A, dan Marcus, A J. 2002.

Investment. Ed. ke-6. The McGraw-Hill

Companies, Inc. New York.

Fisher, M. E. 1988. Introductory Numerical

Methods with the NAG Software Library.

Mathematics Department. The University of Western Australia.

Ghahrahmani, Saeed. 2005. Fundamental of

Probability. Ed. Ke-2. Prentice Hall, Inc.