Satu Kaedah Penganggaran Hasil Tambah Eksponen Dua Pembolehubah

(1)

UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA

SATU KAEDAH PENGANGGARAN HASILTAMBAH EKSPONEN DUA PEMBOLEHUBAH

SITI HASANA BINTI SAPAR

(2)

SATU KAEDAH PENGANGGARAN HASILTAMBAH EKSPONEN DUA PEMBOLEHUBAH

SIT I HASANA BINTI SAPAR

MASTER SAINS

UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA

(3)

SATU KAEDAH PENGANGGARAN BASIL TAMBAH EKSPONEN DUA PEMBOLEHUBAH

Oleh

SITI HASANA BINTI SAPAR

Tesis Yang Dikemukakan Sebagai Memenubi Keperluan Untuk Ijazab Master Sains di Fakulti Sains Dan Pengajian Alam Sekitar

Universiti Putra Malaysia Februari 2001

(4)

Salam kasih dan sayang

SaparDimen

AishahKassan

Ajwad Abu Hassan

(5)

Abstrak tesis yang dikemukakan kepada Senat Universiti Putra Malaysia sebagai memenuhi keperluan untuk ijazah Master Sains.

SATU KAEDAH PENGANGGARAN HASILTAMBAH EKSPONEN DUA PEMBOLEHUBAH

Oleh

SITI HASANA BINTI SAP AR Februari 2001

Pengerusi : Profesor Dr. Kamel Ariffin bin Mohd Atan Fakulti Fakulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar

menandakan gelanggang integer dan katakan q integer positif dan 1 suatu polinomial dalam X berpekalikan unsur dalam Z. Hasil tam bah eksponen

2m/(x)

yang disekutukan dengan 1 ditakrifkan sebagai S(/; q) = Ie q yang

dinilaikan bagi semua nilai x di dalam set reja lengkap modulo q.

Peranan anggaran S(/; q) adalah penting dalam beberapa bidang kajian teori nombor analisis. Ianya dapat membantu menghasilkan keputusan-keputusan yang lebih jitu dalam masalah-masalah yang berkaitan. Seperti yang telah ditunjukkan oleh beberapa penyelidik terdahulu, antaranya Loxton dan Smith, nilai S( I; q) adalah bersandar kepada penganggaran bilangan unsur IVI yang terdapat dalam set

(6)

v =

tK

mod q I [K == Qmodq

J

dengan f menandakan polinomial-polinomial terbitan separa f terhadap

-K

Kajian yang dijalankan merupakan lanjutan daripada kajian pengkaji-pengkaji dahulu. Penyelidikan ini menumpukan kepada masalah penentuan mencari pensifar dalam kes-kes berlakunya pertindihan di bucu dan sisi-sisi gambarajah penunjuk bagi polinomial berdarjah dua dan tiga, seterusnya mencari penganggaran hasil tambah eksponen bagi polinomial-polinomial tersebut. Pendekatan yang dilakukan ialah dengan menggunakan kaedah

p-adic dan Teknik Polihedron Newton yang disekutukan dengan polinomiaI-polinomial terbabit.

(7)

Abstract of thesis presented to the Senate of Universiti Putra Malaysia in fulfilment of the requirement for the degree of Master of Science

A METHOD FOR AN ESTIMATION OF EX�ONENTIAL SUM IN TWO VARIABLES

By

SITI HASANA BINTI SAPAR February 2001

Chairman: Professor Dr. Kamel Arimn Bin Mohd Atan Faculty : Faculty of Science and Environmental Studies

Let X = (x) , x2 , ••• , xn) be a vector in a space Zn with Z ring of integer and let q a positive integer and f a polynomial in X with coefficients in Z. The

2mj(x)

exponential sum associated to f is defined as S(f;q) =

Ie

q , where the

sum is taken over a complete set of residues modulo q.

Estimation of S(f;q) is important in several areas of Analytic Number Theory . It could help to yield a more accurate result in related problems. As shown by several previous researchers , among them Loxton and Smith, they show that the value of S(f;q) depends on the estimation of the number

lVi,

the number of elements contained in the set

v = {X modq I Lx == Qmodq}

with f K as the partial derivative of f with respect to X = (x) , x2 , ••• , xn).

(8)

Our research is a continuation of research done before. This research concentrates on the problem of determining the common zeroes in cases where overlapping occurs at vertices and line segments of indicator diagrams associated for second and third degree polynomials. Subsequently estimations for of an exponential sum for these polynomials are arrived at. The approach is done by using p-adic method and the Newton Polyhedron Techniques which are associated with these polynomials.

(9)

PENGHARGAAN

Dengan nama Allah yang Maha Pemurah lagi Maha Mengasihani. Kesyukuran yang tidak terhingga kehadrat Ilahi kerana dengan limpah kumianya dapat saya menyiapkan tesis ini.

Pertama sekali jutaan terima kasih diucapkan kepada Pengerusi lawatankuasa Penyeliaan iaitu Professor Dr. Kamel Ariffin bin Mohd Atan diatas segala kesabaran, sokongan, bantuan, dorongan dan bimbingan beliau dapat saya menyiapkan tesis ini.

Ribuan terima kasih juga diucapkan kepada Dr. Hj. Ismail bin Abdullah dan Dr. Mohd Rushdan bin Md. Said kerana bantuan dan tunjukajar yang telah mereka berikan disepanjang saya menyelesaikan tesis ini.

Akhir sekali saya mgm merakamkan penghargaan buat ahli keluarga terutamanya Ibu, Abah, suami dan anak kerana tidak jemu memberi dorongan dan semangat sehinggalah penulisan ini selesai.

(10)

Saya mengesahkan bahawa lawatankuasa Pemeriksa bagi Siti Hasana bt. Sapar telah mengadakan pemeriksaan akhir pada 20hb. Februari, 2001 untuk menilai tesis Master Sains beliau yang bertajuk "Satu Kaedah Penganggaran Hasil Tambah Eksponen Dua Pembolehubah" mengikut Akta Universiti Pertanian Malaysia (Ijazah Lanjutan) 1980 dan Peraturan-peraturan Universiti Pertanian Malaysia (Ijazah lanjutan) 198 1 . lawatankuasa pemeriksa memperakukan bahawa cal on ini layak dianugerahkan ijazah tersebut. Anggota lawatankuasa Pemeriksa adalah seperti berikut:

Haji Harun Budin, Ph.D.

Fakulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar Universiti Putra Malaysia

(Pengerusi)

Kamel Ariffin Mohd Atan, Ph.D.

(Ahli)

Haji Ismail Abdullah, Ph.D.

(Ahli)

Mohd Rushdan Md. Said, Ph.D.

Fakulti Sains-dan Pengajian Alam Sekitar Universiti Putra Malaysia

(Ahli)

Profes

Timbalan Dekan Pengajian Siswazah Universiti Putra Malaysia

Tarikh : 2 0 MAR 2001

(11)

resis ini telah diserahkan kepada Senat Universiti Putra Malaysia dan telah diterima sebagai memenuhi keperluan untuk Ijazah Master Sains.

IX

KAMIS A WANG, Ph.D. Profesor Madya

Dekan Pusat Pengajian Siswazah Universiti Putra Malaysia

(12)

Saya mengaku bahawa tesis ini adalah hasil kerja saya yang asli melainkan petikan dan sedutan yang telah diberikan penghargaan di dalam tesis. Saya juga mengaku bahawa tesis ini tidak dimajukan untuk ijazah-ijazah lain di Universiti Putra Malaysia atau institusi-institusi lain.

Siti Hasana bt. Sapar Tarikh: ;)0 - � - ;loo I

(13)

KANDUNGAN DEDIKASI ABSTRAK ABSTRACT PENGHARGAAN LEMBARAN PENGESAHAN PENYAT AAN KEASLIAN

SENARAI JADUAL SENARAI RAJAH

SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN BAB I II III IV V PENGENALAN Latar Belakang Permasalahan

POLIHEDRON NEWTON DAN GAMBARAJAH PENUNJUK

Polihedron Newton

Normal ke Polihedron Newton Gambarajah Penunj uk

PENSIFAR DAN PERSILANGAN G�BARAJAH PENUNJUK

Pensifar

Persilangan Gambarajah Penunjuk

PENGANGGARAN KEKARDINALAN SET PENYELESAIAN PERSAMAAN KONGRUEN

Penganggaran Kekardinalan Set V (IT' iy ; P a )

PENGANGGARAN HASIL TAMBAH EKSPONEN BERGANDA DAL� DUA PEMBOLEHUBAH

Hasil Tambah Eksponen

xi Muka surat 11 111 v V11 Vlll x Xlll XIV XV11 1 1 7 12 12 20 21 28 28 28 84 84 92 92

(14)

VI KESIMPULAN DAN CADANGAN Hasil Kajian Kesimpulan Cadangan BIBLIOGRAFI VITA XII 104 104 109 1 12 1 13 1 16

(15)

Jadual

SENARAI JADUAL

Permukaan maksimum yang terbentuk oleh

polinomial

xiii

Muka Surat

(16)

SENARAI RAJAH

Rajah Muka sura1

1 _{Gambarajah Newton bagi f(x,y) = 3x2 + 2xy - y2 + 27}

dengan p = 3 13

2 _{Gambarajah Newton bagi f(x,y) = 9x2 + x2y2 + 3xy + x + 18}

dengan p =3 13

3 _{Gambarajah Newton bagi f(x, y) = 2X2 + 6y2 + 3xy + x + 9}

dengan p =3 14

4 Gambarajah Polihedron Newton bagi f(x,y) = 9 + 3x + xy

dengan p = 3 1 5

5 Gambarajah Polihedron Newton bagi

f(x,y) = 3x2 + 2xy - / + 27 dengan p = 3 1 5

6 Gambarajah Polihedron Newton bagi

f(x, y) = 9x4 + 3x3y + xy2 + 9xy + 3y2 + 27 dengan p =3 16 7 Gambarajah Polihedron Newton bagi

f(x,y) = 3x2 y + xy + 3xy2 + 9 dengan p = 3 16

8 Gambarajah penunjuk yang dikaitkan dengan N f yang berasal

dari polinomial f(x,y) = 9 + 3x + xy dengan p = 3 24

9 _{f(x,y) = 3x2 + 2xy - y2 + 27 dengan p=3 dengan Nf}

dipaparkan dalam Rajah 7 25

10 _{f(x,y) = 9x4 + 3x3}Y + xy2 + 9xy + 3y2 + 27 dengan p=3 dan N f

dipaparkan dalam Rajah 6 25

1 1 Gambarajah penunjuk bagi f(x, y) = 8x + 5 y - 1 5 dan

g(x,y) = l Ox + 12y + 30 dengan titik persilangan (1,1) 30 12 Rajah 12(a) hingga 12(t) gabungan gambarajah penunjuk

f(x, y) = ax + by + c dan g(x, y) = rx + sy + ( 35 -37

(17)

12 13 14 15 16 17 1 8 19 20 21

Rajah 12(g) gabungan gambarajah penunjuk f(x, y) = ax + by + e dan g(x, y) = rx + sy + t

Rajah 1 3(a) hingga 1 3(1) gabungan gambarajah penunjuk bagi f(x, y) = ax2 + by2 + m dan g(x, y) = dx2 + e/ + e

Rajah 14(a) hingga 14(c) adalah gabungan gambarajah penunjuk bagi

fx(x,y) = 3ax2 + by2 + e dan fy (x,y) = 2bxy + d

Rajah 1 5( a) hingga Rajah 1 5( c), gabungan gambarajah penunjuk bagi h(x,y) = 3ax2 + by + d dan g(x,y) = bx + e

Gabungan gambarajah penunjuk bagi fx (x, y) = 3ax2 + c _(garis

lurus) dan fy (x,y) = 3by2 + d

Gabungan gambarajah penunjuk fAx,y) = 3ax2 + 2bxy + ey2 + e (garislurus) dan fy (x,y) = bx2 + 2exy + 3dy2 + m (garis putus-putus)

Gabungan gambarajah penunjuk fAx,y) = 3ax2 + 2bxy + ey2 + e

(garislurus) dan f/x, y) = bx2 + 2exy + 3dy2 + m (garis putus-putus)

Gabungan gambarajah penunjuk bagi

G(X, y) = aX2 + by2 + 2axoX + 2byoY + fo (xo , yo) (garis lurus) dan H(X, y) _{= dJ(2 +}ey₂+ _2dxoX+ ₂eyoY + go (xo,Yo ) (garis pututs-putus)

Gabungan gambarajah penunjuk bagi

G(X,Y) _{= 2aX + bY + fx (xo , yo) (garis lurus) dan} H(X,y) _{= bX + 2eY + f/xo ,yo) (garis putus-putus)}

Gabungan gambarajah penunjuk

G(X,Y) _{= 3aX2 + by2 + 6axoX + 2byoY + fAxo Yo ) (garis lurus)} H(X,Y) _{= 2bXY + 2bxoY}+ _{2byoX + fy(xo ,yo )}

xv 40 46 - 49 55 -56 60 - 61 64 66 71 75 78 80

(18)

22 Gabungan gambarajah penunjuk bagi

G(X,Y) =: 3aX2 + 6axoX

+

fx(xo ,Yo ) dan

H(X, Y) = 3by2 + 6byoY + f/xo ,Yo )

xvi

(19)

SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN p a. z Q [a.] x I darjhl Qp S(/;q) VI D(/) E L Nombor perdana

Eksponen nombor perdana Gelanggang Integer

Medan Nombor Nisbah Gelanggang Integer p-adic Medan Nombor Nisbah p-adic Perluasan medan tutupan aljabar

Integer terbesar yang kecil atau sarna dengan a. n-rangkap pembolehubah

(XPX2,

... ,XJ, n � 1

m-rangkap polinomial

(j;,

12 , ... , IJ, m � 1

DaIjah polinomial I Matriks Jacobian bagi I

,

Kuasa tertinggi p yang membahagi a. Tutupan Aljabar Qp

Hasil tambah eksponen Kecerunan I

Pembeza layan I

Polihedron Newton Bucu pada

Nf

Sisi pada

Nt

Unjuran sisi pada

N f

Pembezalayan

Set L!modpa :/=Omodpa}

(20)

N(/;pa)

Gf(u) maks mm mod eksp ek

(f(t»

L A inf sup penJf

Kekardinalan bagi set V (f;

p a )

HasH tambah Gaussian

Maksimum Minimum Modulo Eksponen 2ml(t){ e k Hasil tambah Pembezalayan separa Infimum Supremum

Penentu Matriks Jacobian bagi f

(21)

BAB I PENGENALAN

Latar Belakang

1

Dalarn Teori Nombor Analisis, rarnai pengkaji telah memperihalkan peranan penting hasil tambah eksponen di antaranya ialah Davenport(1959) , Igusa(1 978) dan Schmidt(1 982). Hasil tambah eksponen ditakritkan sebagai

S(f;q)

=

Leq(f(�»

dengan hasil tambah dinilaikan bagi

�

dalarn set lengkap reja mod

q.

Hardy dan Littlewood (1919), Deligne (1 974), Loxton dan Vaughan (1985) dan rarnai lagi telah mengkaji hasil tarnbah

S(f;q)

dengan

f

polinomial tak linear dalarn z[x]. Hasil tambah

S(f;q)

dalarn kes satu pembolehubah telah dikaji oleh Hardy dan Littlewood (1919) berhubung dengan masalah Waring.

Pada tahun _{1940, Hua telah mendapati bahawa untuk sebarang}& > 0 , maka

I

S(f;q)

I� Cpl-(Ym�&

dengan c _{pemalar yang bersandar kepada}m _dan& sahaja. Keputusan Hua telah

diperbaiki oleh ling-Run Chen (1 977) yang menunjukkan bahawa jika kandungan bagi

f -f(O)

perdana relatifterhadap

q,

maka

(22)

Anggaran Hua telah digunakan oleh Stechkin (1980) bagi menunjukkan bahawa

IS(/;q)1

�

emql-Ym(e(/),q)Ym

2

untuk pemalar mutlak positif

e

tertentu, dengan

e(f)

menandakan kandungan bagi 1 - 1(0) .

Pada tahun 1974 pula Deligne menunjukkan bahawa untuk suatu nombor perdana

p,

IS(/;p)1

� (m

-IY

p"h.

dengan

m

menyatakan jumlah darjah bagi sesuatu polinomial f, apabila bahagian homogen bagi 1 berdarjah terbesar tak singular modulo

p.

Kajian Deligne ini membuka jalan bagi mendapatkan anggaran yang lebih tepat bagi

IS(/;q)1

untuk polinomial am 1 dalam beberapa pembolehubah. Contohnya pada tahun 1985, Loxton dan Vaughan telah mendapat anggaran yang lebih tepat bagi hasil tambah

IS(/;q)l.

Walaubagaimanapun keputusan yang umum bagi polinomial untuk beberapa pembolehubah masih lagi dalam pencarian.

Peranan Poligon Newton bagi mendapatkan sifat-sifat pensifar polinomial dalam satu pembolehubah telah diketahui umum. Misalnya dalam membuktikan Teorem Puiseux, iaitu dalam memperkembangkan siri kuasa bagi fungsi algebra, Poligon Newton telah digunakan. Sathye (1983) juga menggunakan kembangan am Newton Puiseux, walaupun dengan menggunakan kaedah yang berlainan. Loxton

(23)

3

dan Smith (1986) telah mengkaji penggunaan Poligon Newton bagi mendapatkan keputusan yang sama dengan Sathye(1983).

Dalam kes p-adic pula, Po ligon Newton dapat menghasilkan maklumat yang lengkap mengenai saiz dan bilangan pensifar bagi polinomial satu pembolehubah dengan pekali dalam Op iaitu tutupan aljabar bagi medan nombor p-adic

Q p

•

Pada tahun 1977 pula Koblitz memperkenalkan Poligon Newton dalam kes p-adic bagi polinomial siri kuasa dalam Op[X] dengan Op perluasan medan tutupan aljabar bagi

Qp.

Beliau menunjukkan bahawa jika

A

kecerunan bagi suatu tembereng pada Po ligon Newton bagi suatu polinomial f dengan beza N, antara ordinat-ordinat-x titik hujung tembereng itu, maka terdapat N pensifar bagi f dengan peringkat p-adic -

A .

Bagi sebarang perdana p, tuliskan f = U;,f2 , ••• , fn ) untuk menandakan vektor n polinomial dengan pekali dalam Z

p

set integer p-adic dan � = (XI' x2 , ••• xn ) . Pertimbangkan

V(f; pa ) = {� modpa I f(�) E Qmod pa }

dan biarkan N (f;pa) menandakan kekardinalan bagi V(f;pa) dengan a > 0

(24)

4

Loxton dan Smith (1982) mengkaji penggunaan Poligon Newton dan memperolehi keputusan yang berikut :

Katakan

K

medan nombor aljabar yang dijanakan oleh �, pensifar kepada f{x)

dalarn Z[x] dengan 1 < i ::s; m , maka

jika a > 8" Di sini m adalah bilangan punca yang berlainan j{x) dan

8 = ord

p

D(/)

dengan

D(/)

merupakan persilangan unggulan pecahan

K

yang dijana oleh

e,l , i > 1

dengan e, _{gandaan pensifar}�,"

Dengan menggunakan Lema Hensel, Chalk dan Smith (1982) memperolehi hasil yang berbentuk sarna dengan 8 = maks ord

pI,

dengan f, pekali Taylor

e,l

pada pensifar-pensifar yang berlainan �, "

Loxton dan Smith (1 982) pula menunjukkan bahawa bagi I =

(1;,/2'"""'

In) jika a ::S; 28

jika a > 28

(25)

Mohd Atan dan Loxton (1986) memperkembangkan idea poligon Newton dalam kes p-adic dalam dua pembolehubah dan dikenali sebagai Kaedah Polihedron Newton. Kaedah ini telah digunakan oleh para pengkaji diantaranya Mohd Atan (1986) , Abdullah (1992) , Chan (1997) dan Heng (1999). Berikut adalah diantara

keputusan yang telah diperolehi untuk mendapatkan penganggaran hasil tam bah dengan menggunakan kaedah polihedron Newton.

Katakan A perwakilan matriks bagi polinomial linear I dengan pekali dalam gelanggang p-adic Zp dan a > 0 , Mohd Atan (1988) menunjukkan bahawa

jika a 5, 0

jika a > 0

dengan 0 _{minimum peringkat p-adic bagi}

r x r

_{submatrik tak singular bagi A.}

Beliau juga menunjukkan kes khusus iaitu apabila n = 2 maka

dengan f dan g polinomial linear dalam Zp[XJI] dengan a > 0 dan 0

=

ord

pJ

fg' iaitu peringkat p-adic bagi Jacobianl dan g .

Seterusnya Mohd Atan (1988) mengkaji polinomial

[ =

(Ix ' Iy) dengan lx , Iy pembezaan separa terhadap x dan y bagi polinomial