Satu Pendekatan Komputer Terhadap Penganggaran Hasil Tambah Eksponen Berganda

 

UNIVERSITI PUTRA MALAYSIA

SATU PENDEKATAN KOMPUTER TERHADAP

PENGANGGARAN HASIL TAMBAH EKSPONEN BERGANDA

ISMAIL BIN ABDULLAH

SATU PENDEKATAN KOMPUTER TERHADAP

PENGANGGARAN BASIL TAMBAH EKSPONEN BERGANDA

Oleh

ISMAIL BIN ABDULLAH

Disertasi Yang Dikemukakan Sebagai Memenuhi Syarat Untuk Mendapatkan Ijazab Doktor Falsafab

di Fakulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar Universiti Pertanian Malaysia

Buat kedua-dua ibubapaku Abdullah dan Halimah

yang sudah tiada.

8emoga ALlah s.w.t mengampunkan segala dosa mereka. Amin!

Hadiah kasih buat Umi Purwati 8unoto

Lathifah Ulfa Rina Fadhilah Irfan 8atria Mohd Mujahid Abdul Jabbar Nurul Khairiyyah

PENGHARGAAN

Pertama sekali jutaan terima kasih diucapkan kepada Pengerusi 1 awatankuasa Penyeliaan iaitu Professor Madya Dr. Kamel Ariffin bin Mohd Atan at as segala kesabaran, bantuan, sokongan, dorongan dan bimbingan beliau beberapa tahun yang sungguh bermakna.

Ribuan terima kasih juga disampaikan kepada Professor Dr. Mohamed bin Suleiman, Professor Madya Dr. Harun bin Budin dan Professor Madya Dr. Bachok bin Taib kerana dorongan yang telah mereka curahkan.

Juga ucapan terima kasih yang senada ditujukan kepada Universiti Pertanian Malaysia dan labatan Perkhidmatan Awam Malaysia kerana telah meluangkan masa dan menyediakan peruntukan kewangan sehingga penulisan tesis ini menjadi suatu kenyataan.

Sumbangan yang sungguh bererti datang dari seluruh keluarga yang dengan segala kelucuan dan kesabaran mereka telah melahirkan aspirasi dan dorongan padu sehingga penulisan tesis ini dapat disempurnakan.

KANDUNGAN Mukasurat PENGHARGAAN ... .

SENARAI JADUAL . . .

SENARAI RAJAH ... .

SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN ... .

ABSTRAK . . . .

iii

vii

viii

xi

xiii

ABSTRACT

... '.

xvi

. . .

BAB I PENGENALAN

Tatatanda dan Takrifan ... .

IAtar Belakang ... .

Ringkasan Keputusan ... .

n GRAFIK KOMPUTER, POLIGON NEWTON DAN

PAKEJ MATHEMATIC A ... . .

U nsur Matematik dalam Grafik Berdimensi Tiga ... .

Sistem Koordinat ... .

Sistem Koordinat Mata dan Layar ... .

Sistem Koordinat Layar Homogen . • . . .

Kedalaman Perspektif ... .

Ruang R 3 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Hasil Darab Vektor

Grafik Komputer Berdimensi Tiga ... .

Prosedur ... .

Prosedur Koordinat Mata ... .

Prosedur Koordinat Layar ... .

Prosedur Plot Objek ... .

Poligon Newton ... .

Penjanaan Grafik Poligon Newton. . .. . . ... . . .

Alkhwarizmi Memilih Titik Hul Cembung ... .

Peranan Pakej MatheTnatica TM. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

Keperluan Pakej Mathematica dalam Kajian ini. ... .

Beberapa Arahan Am MatheTnatica TM. • • • • • • • • • • • • •

Grafik Dua Dimensi ... .

Grafik Tiga Dimensi ... .

Plot3D ... .

Graphics3D

Penyelesaian Fungsi Polinomial Serentak ... .

iv

1

1 4 15

23

25 25 28 29 30 32 33 35 36 36 36 37 39 44 47 49 50 50 53 54 54 55 56

m POLllIEDRON NEWTON DAN GAMBAR RAJAH

PENUNJUK. . . . 59

Polihedron Newton. . . . .. 60

Hul Cembung Bawah . . . .. 62

Asas Utama Alkhwarizmi Hul Cembung Bawah . . . ... 63

Alkhwarizmi Hul Cembung Bawah . . . ... ... 66

Pelaksanaan Melalui Komputer . . . .. 66

Prosedur Bentuk Persamaan Satah . . . ... . . . ... . . . 66

Fungsi Uji Titik . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .... 67

Fungsi Status Satah ... 67

Gambar Rajah Penunjuk .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. . .. 69

Beberapa Tatatanda ... 70

Grafik Gambar Rajah Penunjuk ... 77

Alkhwarizmi . . . .. 77

Perlaksanaan Atureara . . . .. 77

Bueu Polihedron Newton . . . .. 77

Sisi Permukaan Hul Cembung ... 78

Persamaan Vektor Normal . . . . . .. 79

Menyelesaikan Persamaan Serentak ... 80

Melakar Gambar Rajah Penunjuk ... 81

IV PERSILANGAN GAMBAR RAJAH PENUNJUK ... ... . .

82

Persilangan Gambar Rajah Penunjuk Tanpa Pertindihan Tembereng . . . .. 82

Contoh . . . .. 83

Penyelesaian Melalui Komputer ... 85

Persilangan Gambar Rajah Penunjuk Dengan Tembereng Bertindih . _{. . . .. 89}

Contoh . . . .. 90

Penyelesaian Melalui Komputer .. . . ... . . . . . .. 104

Pengitlakan . . . .. 1 17 V SET PENYELESAIAN PERSAMAAN KONGRUEN BERKAITAN DENGAN SUATU BENTUK KUBIK . . .

120

Saiz p-adie Pensifar Sepunya bag i f x dan f y • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 124 Penganggaran bagi N ( f x' f y. P Q) ... . ... . ... ... . . ... . . 135

VI PENGANGGARAN HASIL T AMBAH EKSPONEN

BERGANDA DALAM DUA PEMBOLEHUBAH ... . .

139

Penganggaran Kekardinalan Set

V

( f x ; f y ; P Q ) • • • • • • • • • • • • • 142 Anggaran Hasil Tambah Eksponen 5 (.f ; p (l). • • • • • • • • • • • • • . • 143 VII KESIMPULAN DAN CADANGAN Peranan Komputer Dalam Kajian ini ... . Hasil Kajian . . . • . . . Kesimpulan ... .

152

153 154 156 Cadangan . . . .. 157 RUJUKAN .

. . . .. 158

LAMPIRAN

..

.... . . ... . . .. . ... . . ... .

163

VITA . . .

183

vi

SENARAI JADUAL

Jadual Mukasurat

1. Iumlah Permukaan Maksimum

yang dihasilkan oleh Sesebuah Polinomial . . .

64

SENARAI RAJAH

Rajah Mukasurat

1 . Sistem Koordinat Tangan Kanan ... 26

2. Sistem Koordinat Tangan Kiri . . . .. 26 3. Perwakilan Sebuah Titik (x,y,z) dalam

Ruang Berdimensi Tiga . . . .. 27 4. Poligon Newton yang Disekutukan dengan Poli nomial

I(x) = 162+x+x2+3x4+8 1xs+243x6dengan p =3 . ... 42 5. Poligon Newton yang Disekutukan dengan

I (x) = - 120 + 27 4x -225x2 + 85x3 - 15x 4 + xs;

dengan p = 5 . . . .. 43

6. Gambar Rajah Newton bagi

I (x , y) = 27 + x + 9 Y + 3 x y + 2 x y 2 +

�

X 2 Y + 3 x 3

dengan p = 3.

. . . .. 61 7. Polihedron Newton yang Dikaitkan dengan Polinomial

I(x , y) = 27 + 9x2 y + 3x y + 9x y2; dengan p = 3 . ... 65

8. Polihedron Newton yang Dikaitkan dengan Polinomial

I(x , y) =24+ 4xs + xy + 4x2 y + 16x4y + 3X4 y2

dengan p = 3. . . . .. 69 9. N f yang Dikaitkan dengan Polinomial

I (x , y ) = 8 + X 2 + Y 2 + 2 Y ; dengan p = 2. ... 73 10. Gambar Rajah Penunjuk yang Dikaitkan dengan N f yang

berasal dari Polinomial I (x , y ) = 8 + X 2 + 2 y; dengan p = 2. 75

11. Gambar Rajah Penunjuk yang Disekutukan dengan Polinomial

I (x , y ) = 27 + 9 x 2 Y + 3 x Y + 9 x Y 2 ;, dengan p = 3. ... 76

12. Persilangan Gambar Rajah Penunjuk bagi f(x,y) = 9x + Y -27

dan g(x,y) = x + 4y -9, dengan p = 3. ... 86

13. Persilangan Gambar Rajah Penunjuk bagi f(x,y) dan g(x,y)

seperti dalam Contoh 4.3 . . . .. . . .. . . ... 87 14. Polihedron Newton yang Disekutukan dengan Polinomial f(x,y)

= 2 + x + y, dengan p = 2. ... 90

15. Gambar Rajah Penunjuk yang Disekutukan dengan Polihedron Newton yang berasal dari Polinomial f(x,y) = 2 + x + y, dengan

p = 2. .. ... "... 91 16. Polihedron Newton yang Disekutukan dengan Polinomial g(x,y)

= 2 + x + 2y, dengan p = 2. . . .. . .. .. . . .. .. . .. 92 17. Gambar Rajah Penunjuk yang Disekutukan dengan Polihedron

Newton yang berasal dari Polinomial f(x,y) = 2 + x + 2y,dengan

p = 2. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 93

18. Persilangan Gambar Rajah Penunjuk yang Mewakili Polihedron Newton yang Disekutukan dengan Polinomial f(x,y)

= 2 + x + ydan g(x,y) = 2 + x + 2y,dengan p = 2. ... 94 19. Polihedron Newton yang Disekutukan dengan Polinomial h(x,y)

= 2 + x + xy, dengan p = 2. . . . 95 20. Gambar Rajah Penunjuk yang Disekutukan dengan Polihedron

Newton yang berasal dari Polinomial h(x,y) = 2 + x + xy ,dengan

p = 2. .. .. ... ... .. ... ... 96

21. Persilangan Gambar Rajah Penunjuk yang mewakili Polihedron Newton yang Disekutukan dengan Polinomial g(x,y)

= 2 + x + 2ydan h(x,y) = 2 +x +xy,dengan p = 2. ... 97

22. Persilangan Gambar Rajah Penunjuk yang mewakili Polihedron Newton yang Disekutukan dengan Polinomial f(x,y)

= 2 + x + ydan h(x,y) = 2 + x + xy,dengan p = 2. ... 99 23. Kombinasi Gambar Rajah Penunjuk yang Disekutukan dengan

Polihedron Newton bagi Polinomial

lex , y) =3x2+ 2x y+ y2+27 dan g(x , y) = x2+ 2x y+ 9,

dengan p = 3. . . . .. 101 24. Persilangan Gambar Rajah Penunjuk bagi Polihedron Newton

yang Dihasilkan dari Polinomial f(x,y) = 2x + 3y -5 dan g(x,y)

= 4x + 6y -15; dengan p = 5. . . . .. 103 25. Persilangan Gambar Rajah Penunjuk bagi Polihedron Newton

yang Dihasilkan dari Polinomial f (x , y) = 2 x 2 + 5 Y - 12 dan

9 (x , y) = 7 x 2 + 4 Y - IS; dengan p = 3.

26. Gambar Rajah Penunjuk bagi F(U, V) dan G(U, V) seperti dalam

105 Contoh 12. ... 111 27. Polihedron Newton yang Disekutukan dengan Polinomial

lAx, y) = 3x2 + 2x y + y2 + 1,

dengan p = 3. ... 113

28. Polihedron Newton yang Disekutukan dengan Polinomial

f y( x, y ) = x2 + 2 xy + y2 +

1, dengan p = 3. ... .. 114

29. Persilangan Gambar Rajah Penunjuk bagi Polihedron Newton

yang Dihasilkan dari Polinomial

f xCx,y ) = 3 x2 + 2xy + y2 +

1

dan

f y ( x , y ) =

X

2 + 2 x

Y

+

Y

2 +

1; dengan p = 3. .. ... 115

30. Gambar Rajah Penunjuk yang Disekutukan dengan Polihedron

Newton bagi H(W,R) dan L(w,R) . . . . . • . . . ... . . 132

SENARAI SIMBOL DAN SINGKATAN

p Nombor Perdana

a Eksponen Nombor Perdana

Z Gelanggang Integer Q Medan Nombor Nisbah R Medan Nombor Nyata

C Medan Nombor Kompleks

Z p Gelanggang Integer p-adic

Q p Medan Nombor Nisbah p-adic

[a] Integer Terbesar yang Kecil atau Sarna Dengan a

{a, b) Pembahagi sepunya terbesar bagi a dan b x n-rangkap pembolehubah C

x

I , . . • , X n )

F Gelanggang atau Medan

F [�] Gelanggang polinomial dengan pekali

dalam F. Qp

S(f;q)

Vi

DCL)

TTF CAD CAM CAR CGAR RAM MB NJ m-rangkap polinomial ( f I , ... , f m), m > 1.

Darjah bagi polinomial

t

Matriks Jacobian bagi

t

Kuasa tertinggi bagi p yang membahagi a. Tutupan Aljabar bagi Q p

HasiI Tambah Eksponen Kecerunan bagi

t

Pembezalayan bagi

t

Teorem Terakhir Fermat Computer Aided Design

Computer Aided Manufacturing Computer Aided Research

Computer Graphics Aided Research Koordinat Mata (eyes)

Koordinat Layar (screen) Random Acces Memory Mega Bytes

Polihedron Newton

V Bueu pada N I

E Sisi pada N I

L Unjuran sisi pada N I

0 Pembeza layan.

V(L;po.)

Set { � mod

p Q : L

"'" 0 mod

p Q}

N(L;pQ)

Kekardinalan bagi set

V (L ; pO.)

G I(u) Hasil Tambah Gaussian.

maks Maksimum mini Minimum mod Modulo eksp Eksponen ek(t) e2nitlk II p Penilaian terhadap p

n

Hasil darab

L

Hasil tambah

/"0,. Pembeza layan Separa

dm(q) Bilangan perwakilan bagi q sebagai hasil darab m integer positif

pen A Penentu A inC infimum sup supremum

Abstrak disertasi yang dikemukakan kepada Senat Universiti Pertanian Malaysia sebagai memenuhi syarat bagi Ijazah Doktor Falsafah

SATU PENDEKATAN KOMPUTER TERHADAP

PENGANGGARAN BASIL TAMBAH EKSPONEN BERGANDA OLEH

ISMAIL BIN ABDULLAH OKTOBER 1993

Pengerusi Professor Madya Dr. Kamel Ariffin bin Mohd Atan Fakulti Fakulti Sains dan Pengajian Alam Sekitar,

Dengan n > 0 , � = C X I ' . . • , X n) dan f C � ) suatu polinomial dalam Z [ � 1

Hasil tambah eksponen berganda ditakrifkan sebagai SCf ;q) =

L

eXPC2rrifC�)/q)

�mod q

dengan hasil tambah diambil ke atas set lengkap reja modulo q > O.

Penyelidikan hasil tambah eksponen bagi polinomial dua pembolehubah dengan pekali dalam medan p-adic dikaji dengan menggunakan teknik poIihedron Newton. Gambar rajah penunjuk telah dikemukakan bagi menolong dalam kajian selanjutnya, tetapi kesukaran timbul dalam kes di mana kombinasi gambar rajah penunjuk bertindih pada bucu dan tembereng tertentu. Dalam kes itu teknik polihedron Newton hingga kini belum dapat memberikan maklumat tepat mengenai saiz punca sepunya p-adic yang sangat diperlukan dalam proses pen­ ganggaran hasil tambah eksponen.

Masalah pertindihan gambar rajah penunjuk pada bucu dan tembereng diteliti secara lebih mendalam. Kombinasi gam bar rajah penunjuk menghasilkan persi­

langan dalam pelbagai bentuk. Salah satu kombinasi yang dihasilkan ialah

langan tepat atau persilangan mudah. Telah dibincangkan dan dibuktikan bahawa persilangan yang demikian akan menghasilkan pensifar sepunya. Satu pengitlakan telah dibuat sebagai berikut:

Katakan I dan g dua buah polinomial dalam Z p [

x

,

y ]

mempunyai pensifar sepunya dalam

n

p. Biarkan ( � , A) menjadi sebarang titik sepunya pada kedua­

dua gambar rajah penunjuk yang disekutukan dengan Idan g. Maka terdapat � , 11, M dan N sedemikian hingga

ord

p � = � +

ord

p M dan

ord

p 11 = A +

ord

p N dan

f ( � , 11 ) = 9 ( � , 11 ) =

O.

Nilai M dan N dapat ditentukan setelah nilai bagi ( � , A)

diketahui melalui persilangan pada gambar rajah penunjuk.

Melalui beberapa contoh yang dikemukakan dan diselesaikan melalui bantuan komputer, didapati bahawa wujud penyelesaian bagi persilangan gambar rajah penunjuk yang bertindih baik di bucu atau tembereng.

Katakan I dan g dua buah polinomial dalam Z p [

x

,

y ].

Jika ( � , 11 ) ialah

pensifar sepunya bagi I dan g maka terdapat titik sepunya (11, A) berada pada kedua-dua gambar rajah penunjuk yang dikaitkan dengan I dan g sedemikian hingga

ord

p � = 11 dan

ord

p 1l = A.

Anggaran bagi S(f;p) boleh dibuat melalui proses induksi dan cara termudah ialah dengan mengira penyelesaian bagi sistem persamaan kongruen. Polinomial berikut yang berbentuk kubik telah dikaji

dan pembeza layan 0 yang bersesuaian dengannya didapati sebagai

0 =

maks{ord

p3a,

ord

pb,

ord

pC,

ord

p3d}

Melalui pembeza layan tersebut anggaran yang lebih baik dapat dihasilkan bagi S ( f ; p a) untuk polinomial berkenaan. Proses penjelmaan telah digunakan

bagi menjadikan polinomial di atas polinomial satu pembolehubah dan dengan menggunakan kaedah polihedron Newton kewujudan penyelesaian mereka dapat dibuktikan. Kekardinalan bagi set V (f x' f y ; p (l) untuk suatu polinomial f(x,y)

dapat ditentukan dan anggaran S (f ; p a ) diperolehi.

Abstract of dissert\ttion submitted to the Senate of U niversiti Pertanian Malaysia in fulfilment of the requirement for the degree of Doctor of Philosophy

A COMPUTER APPROACH TO THE ESTIMATION OF MULTIPLE EXPONENTIAL SUMS

BY

ISMAIL BIN ABDULLAH

OCTOBER,

1993

Chairman Assoc. Professor Dr. Kamel Ariffin bin Mohd Atan Faculty Faculty of Science and Environmental Studies,

With n > 0 , � = (x I , . . . , x ,J and f (�) is a polynomial in Z [�l the

mul-tiple exponential sum is defined to be

S(f;q)=

I

exp(2Jtif(�)/q)

�modq

where the sum is taken over a complete set of residues modulo q > O.

Investigations on the sums when f is a two-variable polynomial with coeffi­ cients in the p-adic field is studied using the Newton polyhedron technique. The concept of Indicator diagrams is introduced to help further investigation, but ambiguities, however, arise in cases where the combinations overlap in certain segments of the indicator diagrams. In such cases the present Newton polyhedron technique does not give exact information on the p-adic sizes of common zeros which are vital in the estimations of the sums.

The problem of overlapping of indicator diagrams at the vertices and segments are looked into in depth. The combinations of indicator diagrams results in various

forms of intersections. One of the combinations is the simple intersection. It has been discussed and proved that such intersection gives common zeros. A gener­ alization has been made as follows:

Let/and g be two polynomial in Z p[ x , y] having common ieros in

.Q

p. Let

( � , A) be any common point on both indicator diagrams associated with / and g.

Then, there exists � , T\, M and N such that ord p � = � + ord pM and

ord p T\ = A + ord p Nand f (�, T\) = g ( �, T\) = o. Values of M and N can be deter­

mined after the values of ( � , A) are known as a result of the intersection of the indicator diagrams.

Through several examples that are considered and solved using the computers, it is found that the solution exists in cases of overlapping vertices and segments of the indicator diagrams associated with certain polynomials.

Let / and g be two polynomials in Z p [ x , y]. If (� , T\) ,is the common zeros

of / and g, then there exists common point ( �, A) on both indicator diagrams

associated with / and g such that

0 r

d p � = � and

0

r d p TJ = A.

The estimate of S(f;p) can be obtained through the induction process and the easiest method to do that is by counting the solutions of systems of congruence equations. The following polynomial in a cubic form has been studied

and the appropriate discriminant 0 has been found as

6 = m ax { ord p3a, ord pb, ord pC, ord p3d}

With the discriminant a better estimate of S (f ; p Cl) for the polynomial is

obtained. Transformation process is applied to transform the polynomial to a polynomial of one variable and by using the Newton Polyhedron technique the existence of the solution is proved. The cardinality of the set V (f x , f y ; P <l) for

polynomial f(x,y) can be determined and the estimate of S ( f ; P <l) obtained.

BABI PENDAHULUAN Tatatanda dan Takrifan

Z, Q, R dan C masing-masing menandakan gelanggang integer, medan nombor nisbah, medan nombor nyata dan medan nombor kompleks. Dengan p senantiasa menandakan nombor perdana, Q p pula mewakili medan nombor p-adie dan Z p

gelanggang integer p-adie, sementara

.Q

p ialah suatu perluasan medan aljabar bagi

Qpo

Huruf keeil Roman mewakili unsur-unsur dalam Z atau Z p. Huruf Greek a

adalah senantiasa eksponen bagi suatu nombor perdana p. Simbol [] menandakan fungsi integer terbesar. Jika

a E

R, maka [a] akan bermakna integer terbesar yang lebih keeil atau sarna dengan a. Tatatanda (a,b) menandakan pembahagi sepunya terbesar bagi a dan b, keeuali pada masa-masa tertentu yang penggunaannya jelas

merujuk kepada pasangan tertib.

Tatatanda x menyatakan pembolehubah-pembolehubah

rangkap-n (x I , • • • • , X n), n � 1 dan F mewakili gelanggang atau medan, F [ � ]

bermakna gelanggang polinomial dengan pekali dalam F. Bagi kegunaan kita F

2

takan darjah f dengan drjh f dan mentakrifkannya sebagai drjhf = maks(i,+ . . . + in).

'I" .in

Simbol .f mernbawa makna suatu polinornial rangkap-n (f I , • . . , f m), m > I

dalarn F

[x]

dan J l ialah rnatriks Jacobian

[::: J,

1

� i S rn, 1 S j s

n

bagi poli­ nomial .f.

Andaikan

L

= (f I , ... , f m) ialah rangkap-m bagi polinornial linear dalarn F [ �l Jika f i =

I:

a ij

x

j, 1 SiS rn,

1

S j S n, kita sebut rnatriks m x n, a ij dengan

julat yang sarna bagi i dan j, sebagai rnatriks rnewakili

l

Sirnbol eksponen seperti biasa ditakrifkan sebagai exp (y) = e Y dan bagi suatu

integer k positif,e k (t) = ex p

( 2 nit /

k), bagi sebarang t E Z.

Misalkan p sebarang nornbor perdana. Bagi sebarang integer tak sifar a, ord p a rnenyatakan kuasa tertinggi bagi p yang rnernbahagi a, iaitu m yang terbesar

sedemikian hingga a"" 0 ( m od pm).

Jika x = alb sebarang nornbor nisbah, rnaka kita rnentakrifkan or d p

x

sebagai

Kita rnentakrifkan suatu pernetaan yang ditandakan dengan

II

p pada

Q

sebagai berikut:

jika,

X :F 0

3

Boleh diperlihatkan bahawa pemetaan

II

p seperti yang ditakrifkan di atas

adalah penilaian tak-arkhimedes pada

Q.

Suatu jujukan {a,} yang terdiri dari nombor nisbah disebut sebagai jujukan Cauchy jika untuk suatu nombor E> 0 terdapat suatu N sedemikian hingga I a, - a,' I p < E , apabila kedua-dua l, i ' > N. Kita sebut dua jujukan Cauchy {a,}

dan {b i} setara jika had I a, - b, I p = o.

,-10>

Kita takrifkan medan Q psebagai set kelas kesetaraan jujukan Cauchy dalam

Q,

iaitu Q p ialah pelengkap bagi Q terhadap penitaian

II

po

Kita tandakan dengan Q p tutupan aljabar bagi Q p dan dengan

n

p pelengkap

bagi Q p terhadap penilaian

I I

po Kita perhatikan bahawa penilaian

II

p boleh

diperluas secara unik dari Q p ke Q p dan .0. P' dengan .0. P lengkap dan tertutup

secara aljabar.

Dengan takrifan di atas kita nyatakan takrifan berikut bagi poligon Newton bagi polinomiaI dengan pekali dalam medan p-adic seperti yang diberikan oleh Koblitz (1977). Takrifan

1

Jika, n

[ex)

=

L

a,x'

,- 0

suatu polinomiaI di dalam

n

p [ x 1 maka poligon

�

ewton bagi f ialah hull

cembung bawah bagi set titik-titik (i, ord p a). Jika a J = 0 bagi j tertentu, maka

4

yang terhasil melalui pemutaran garis mencancang melalui (0,01 d I' ( ( ,)

mengikut lawan arah putaran jarum jam sehingga garis itu membengkok di sekeliling titik-titik (t, ord p a I) dan akhirnya mencapai titik

(n,

o rd "a n).

Latar Belakang

Hasil tambah eksponen ditakrifkan sebagai S(f;q)=

I

eq(f(�)

� mod q

bagi setiap f E Z [ � ] dengan q ialah suatu integer positif berdarjah lebih besar daripada 1 . Hasil tambah diambil bagi set lengkap reja x modulo q. Setiap komponen bagi x E Z mempunyai nilai yang sepadan dalam set lengkap reja

modulo q. Pernyataan

x

mod q merujuk kepada set semua

x

yang apabiJa dibahagi dengan q meninggalkan baki salah satu unsur dari set {O,I,2, .. .

,q-l}.

Davenport (1959), Igusa (1978) dan Schmidt (1982) memperihalkan peranan penting hasil tambah eksponen dalam teori nombor analisis.

Perhatikan polinomial

di dalam Z[xJ berdarjah m > 1. Kajian yang sistematik mengenai [1] bagi n yang

lebih besar dan dalam kes satu pembolehubah telah dibuat oleh Hardy dan Littlewood (1919) yang ada kaitan den

g

an masalah Waring. Mereka memhuat kesimpulan, jika (a n , q) =

1

maka untuk sebarang E > 0

5

dengan c suatu pemalar yang tak bersandar pada q. Kamke (1923/24) juga

memperolehi keputusan yang sarna apabila beliau menyelidiki masalah taburan bahagian pecahan polinomial dan masalah Waring bagi polinomial. Mordell (1932) membuktikan bahawa

1

SC/;q) I$Cpl-(�)

dengan c suatu pemalar, yang tak bersandar pada p. Dengan menggunakan

keputusan ini, Hua (1940) mendapati bahawa untuk sebarang E > o.

[? 1 dengan c suatu pemalar yang bersandar pada m dan E sahaja. Keputusan Hua

telah diperbaiki oleh Jing-Run Chen (1977) yang menunjukkan bahawa jika kandungan bagiJ:f{O) perdana relatif terhadap q, maka

1--1-ISC/;q)I$C?7(n+l)q

(nol)

Berdasarkan kajiannya ke atas hipotesis Riemann, Weil (1948) mendapatkan anggaran

1

SC/ ;q) I::; Cm

- I

)p(�)

untuk 2::; m < p. Menggunakan anggaran ini, Necaev (1953) membuktikan bahawa

6 dengan c suatu pemalar bersandar pada m sahaja. Anggaran Hua [2] telah oigu­

nakan oleh Stechkin (1980) bagi menunjukkan bahawa

untuk pemalar mutIak positif e tertentu, dengan e(f) menandakan kandungan bagi

1-f(O). Perhatikan h suatu polinomial dalam R [x ] dengan pemfaktoran m

h=cn(x-ul)

_{i- I}

di dalam tutupan aljabar K medan pembahagi bagi R. Takrifkan pembeza layan h dengan

D(h)=c2(m-l)

n

(ai-aj)2 i<j

Melalui takrifan pembeza layan ini Smith (1980) telah membuktikan bahawa jika pembeza layan

D

(f ' ) bagi f' terbitan bagi I dalam Z [x ] bukan sifar maka

I

I S

(f ; q)

I �

q 7.

( D

(f ') , q) d m-l (q)

untuk semua q � 1, dengan d j (q) menyatakan bilangan perwakilan bagi q

sebagai hasildarab j nombor positif, dan (D (f ' ) , q) menandakan pembahagi

sepunya terbesar bagi kedua-dua sebutan berkenaan.

Andaikan f (

x

) =

L:

a I X m -

1

= a 0

n

( x

-t, I ) Q I dengan t, i . . . t, k adalah

nombor aljabar yang berbeza dan e i gandaan bagi t, i'

1 � i � k.

Chudnovsky

(1974) memperkenalkan pembeza layan separa bagi I dengan mentakrifkannya sebagai