Kalkulus Universitas Semester 2 Untuk Te

(1)

KALKULUS

Jeffry Yanto Zebua Jeffry Yanto Zebua Wangi Febri Karmia Wangi Febri Karmia

Sindy Anugrah Sindy Anugrah

(2)

Garis Singgung

Definisi Garis Singgung

Garis singgung pada kurva y = f(x) di titik adalah garis yang melalui P dengan kemiringan

Asalkan bahwa limit ini ada dan bukan atau

(3)

Contoh Soal :

Carilah kemiringan garis singgung pada kurva f(x) = di titik (4.6).

(4)

Kecepatan

rata-rata dan Kecepatan

Sesaat

Kecepatan adalah laju perubahan jarak terhadap waktu.

Kecepatan rata-rata adalah jarak dari posisi pertama ke posisi kedua dibagi dengan waktu tempuh.

Definisi Kecepatan Sesaat

Jika benda bergerak disepanjang garis koordinat dengan fungsi posisi f(t), maka kecepatan sesaat pada saat c

adalah

v = =

(5)

Contoh Soal :

Sebuah benda awalnya diam, jatuh dikarenakan gaya berat. Carilah kecepatan pada t = 3.8 detik dan pada t =

5,4 detik.

Penyelesaian :kita hitung kecepatan sesaat pada t = c

detik. Karena f(t) = 16r2,

v = = =

= (32 + 16h) = 32c

Jadi, kecepatan sesaat pada t = 3.8 detik adalah 32(3,8) = 121,6 feet per detik; pada t = 5,4 detik adalah 32(5,4) = 172,8 feet per detik

(6)

Turunan

Definisi Turunan

Turunan fungsi f adalah fungsi dari f’ (dibaca “f

aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah

f(c) =

Pencarian turunan disebut diferensiasi, dan bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut

diferensial.

(7)

Contoh Soal :

Jika f(x) = x3 _{+ 7x,}_carilah_{f’ (x).}

Penyelesaian : f(x) =

= = =

= 3

(8)

Turunan Fungsi

Trigonometri

Fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x keduanya terdeferensiasikan, dan

(9)

Contoh Soal :

Cari D_x(3 sin x – 2 cos x).

Penyelesaian

(10)

Misalkan y = f(u) dan u = g(x). Jika g terdefinisikan di x

dan y terdefenisikan di u = g(x), maka fungsi komposisi

f g, yang didefinisikan oleh (f g)(x) = f(g(x)), adalah terdefinisikan di x dan

(f g)’(x) = f’(g(x))g’(x)

Yakni

D_x(f(g(x))) = f’(g(x))g’(x)

Atau

=

•

(11)

Contoh Soal :

Jika y = sin 2x, carilah

Penyelesaian :

= (cos 2x) = 2 cos 2x

(12)

Turunan Tingkat Tinggi

Jika n menunjukkan turunan ke-n, n z, maka notasi dituliskan :

. (x), f(x)

Atau

=

(13)

Contoh Soal :

Tentukan turunan kedua dan ketiga dari fungsi f(x) =

Penyelesaian

Turunan pertama, f’ (x) =

Turunan kedua digunakan rumus turunan dari fungsi hasilbagi,

f’’ (x) = =

Turunan ketiga, f’’’(x) =

(14)