TINJAUAN PUSTAKA
Istilah-istilah baku pada Data Envelopment Analysis(DEA) dalam penelitian ini bersumber pada Cooper et al. (2006). DEA didasarkan pada proses ”menelu-suri” dengan tujuan diperoleh suatu batasan yang digunakan untuk mengevaluasi seluruh entitas kinerja atau performa yang ada. Selanjutnya terdapat Decision Making Unit(DMU) untuk masing-masing entitas yang dievaluasi sebagai bagian dari suatu himpunan dengan tujuan diperoleh jumlah keluaran yang berbanding sama dengan jumlah masukan. Hasil evaluasi berkisar antara 0 dan 1 dimana ni-lai keseluruhan menunjukkan derajat efisiensi dari keseluruhan entitas yang telah dievaluasi.
2.1 Model Dasar DEA
Data Envelopment Analysis (DEA) merupakan suatu model analisis multi faktor produktivitas untuk mengevaluasi efisiensi relatif pada suatu himpunan homogen Decision Making Unit (DMUs), yang juga merupakan alat bantu yang digunakan untuk mengevaluasi dan meningkatkan kinerja atau mutu pelayanan suatu perusahaan (Charnes et al. 1994) yang dinyatakan dengan
Efisiensi = jumlah bobot keluaran
jumlah bobot masukan ×100%
Cooper et al. (2006) menambahkan bahwa DEA merupakan suatu model yang digunakan untuk menaksir suatu ”batasan” yang digunakan dalam mengevaluasi kinerja pada seluruh entitas yang dievaluasi oleh model. Hasil evaluasi berki-sar antara 0 dan 1 dimana nilai keseluruhan menunjukkan derajat efisiensi dari keseluruhan entitas yang telah dievaluasi.
Pada Tabel 2.1 di bawah ini dijelaskan beberapa kelebihan dalam model DEA yang menjadi faktor utama digunakan dalam menaksir nilai efisiensi.
Tabel 2.1 Kelebihan dalam model DEA No Kelebihan dalam model DEA
1. Dapat menganalisis data dengan jumlah input dan output ganda. 2. Dapat menganalisis data dengan input dan output yang
mempu-nyai unit ukuran yang berbeda.
3. Merupakan metode nonparametrik yang tidak memerlukan suatu bentuk fungsional dalam menaksir efisiensi.
4. Dapat menaksir nilai efisiensi dan inefisiensi dari input dan output. 5. Dapat diselesaikan menggunakan teknik benchmarking untuk unit
efisiensi sebagai pembanding dalam mengevaluasi unit inefisiensi. 6. Dapat digunakan dalam penaksiran produktivitas dengan adanya
analisis efisinesi. Sumber: Berg (2010)
dan juga beberapa kekurangan yang menjadi batasan penggunaan model DEA antara lain:
Tabel 2.2 Kekurangan dalam model DEA No Kekurangan dalam model DEA
1. Analisis yang digunakan dalam program linier untuk semua DMU yang diuji membutuhkan waktu yang lama.
2. Hasil penaksiran hanya berupa efisiensi relatif, bukan merupakan efisiensi mutlak atau efisiensi maksimum.
3. Penyajian analisis yang rumit menggunakan hipotesis secara statis-tik sebagai suatu metode nonparametrik.
Sumber: Berg (2010)
2.1.1 Model Charnes, Cooper dan Rhodes (CCR)
Ambil u dan v sebagai bobot input dan output, berturut-turut. Untuk masing-masing DMU, mempunyai bobot input dan output yang dinyatakan sebagai beri-kut.
input =v1x1k+· · ·+vmxmk output =u1y1k+· · ·+usxsk
(2.1)
dan nilai efisiensi dapat ditentukan dengan
efisiensi = jumlah output jumlah input =
R P r=1
uryr I P i=1
vixi
(2.2)
Variabel keputusan pada model dasar ini adalah jumlah bobot yang diperoleh dari program linier untuk tiap DMU yang dievaluasi. Asumsikan terdapat DMUj, j = 1, . . . , n. Untuk DMUk yang dievaluasi, program linier dapat dinyatakan ke dalam bentuk
maxEk = R P r=1
urkyrk I
P i=1
vikxik
(2.3)
dengan kendala
0≤
R P r=1
urkyrk I
P i=1
vikxik
≤1, j = 1, . . . , n
vik, urk ≥0, r= 1, . . . , s
(2.4)
Max z = R X r=1 urkyrk Kendala I X i=1
vikxik= 1 R X r=1 urkyrj − I X i=1
vikxij ≤0, j = 1, . . . , n vik, urk ≥0, r = 1, . . . , s, i= 1, . . . , m
(2.5)
Cooper et al. (2006) memberikan pendapat mengenai model CCR dengan asumsi terdapat n DMU (j = 1, . . . , n) dengan m masukan dan s keluaran untuk tiap DMUj pada indeks (x1j, x2j. . . , xmj) dan (y1j, y2j. . . , ysj), berturut-turut. Data masukan matriks X dan data keluaran matriks Y dapat direpresentasikan ke dalam bentuk matriks sebagai berikut.
X=
x11 x12 . . . x1n x21 x22 . . . x2n . . . . . . . . xm1 xm2 . . . xmn
Y =
y11 y12 . . . y1n y21 y22 . . . y2n . . . . . . . . ys1 ys2 . . . ysn
dengan X merupakan matriks hasil perkalian (m × n) dan Y adalah matriks hasil perkalian (s×n). Untuk setiap DMUj yang diuji, dapat diselesaikan dengan menggunakan suatu program fraksional (F Po) dalam memperoleh nilai bobot ma-sukan (vi)(i = 1, . . . , m) dan nilai bobot keluaran (ur)(r = 1, . . . , s) yang dapat dimodelkan sebagai berikut.
FPk max
u,v θ =
u1y1k+u2y2k+· · ·+usysk v1x1k+v1x2k+· · ·+vmxmk
Kendala u1y1j+· · ·+usysj v1x1j+· · ·+vmxmj
≤1(j = 1, . . . , n) v1, v2, . . . , vm≥0
u1, u2, . . . , us ≥0
Selanjutnya, model diubah menjadi suatu program linier (LPk) yang dapat di-modelkan sebagai berikut.
max
µ,υ θ =µ1y1k+· · ·+µsysk Kendalav1x1k+· · ·+vmxmk= 1
µ1y1j +· · ·+µsysj ≤v1x1j +· · ·+vmxmj(j = 1, . . . , n) v1, v2, . . . , vm≥0
µ1, µ2, . . . , µs≥0
(2.7)
Teorema 2.1.1 Program linier sederhana (F Pk) adalah ekuivalen dengan pro-gram linier (LPk).
Bukti (berdasarkan Cooper et al. 2006) Asumsikan untuk setiapv 6= 0 danX > 0, maka penyebut dari bentuk pembagian F Pk adalah positif untuk setiap j dan hasil perkalian adalah suatu bilangan yang tidak sama dengan 0. Ambil penyebut padaF Pkadalah 1 dan suatu solusi optimalLPk yaitu (v =v∗, µ=µ∗) dengan
ni-lai objektif optimalθ∗. Solusi (v =v∗, µ =µ∗) juga merupakan solusi optimal dari
F Pk. Terbukti bahwaF Pk danLPk mempunyai nilai objektif optimal yang sama, θ∗.
Teorema 2.1.2 (berdasarkan Cooper et al. 2006) Nilai optimal dari maxθ =θ∗
pada persamaan (2.6)-(2.7) adalah nilai yang saling bebas pada unit input dan output yang diperoleh untuk masing-masing DMU yang dievaluasi.
Dari teorema 1 dan teorema 2, Cooper et al. (2006) memberikan pandangan mengenai definisi efisiensi-CCR sebagai berikut.
Definisi 1 (Efisiensi-CCR)
1. DMUk merupakan efisiensi-CCR jika θ∗ = 1 dan terdapat sedikitnya satu
nilai optimal (v∗, u∗) dengan v∗ >0 dan u∗ >0.
Coelli et al. (2005) memberikan pandangan mengenai model CCR dengan definisi dari beberapa notasi berikut. Asumsikan terdapat data dengan N ma-sukan dan M keluaran untuk masing-masing I fasilitas dimana tiap fasilitas ke-i direpresentasikan oleh vektor kolom xi dan qi. Matriks masukan N ×I, X, dan matriks keluaranM×I,Q, menunjukkan data seluruhI fasilitas yang ada dimana tiap fasilitas dapat ditentukan perbandingan antara seluruh jumlah masukan dan keluaran, yaitu u′qi/v′xi. Bobot optimal diperoleh dengan menggunakan
per-soalan pemrograman secara matematika sebagai berikut. max
u,v (u
′
qi/v′xi)
Kendala u′qi/v′xj ≤1 u, v ≥0
(2.8)
Model ini digunakan untuk menentukan nilai u dan v, dimana penaksiran nilai efisiensi untuk fasilitas ke-iadalah memaksimumkan, sehingga kendala untuk selu-ruh penaksiran nilai efisiensi adalah lebih kecil atau sama dengan 1 yang dapat dinyatakan sebagai berikut.
max u,v (µ
′
qi)
Kendalav′xi= 1
µ′qj−v′xj ≤0
µ, v ≥0
(2.9)
dimana model ini merupakan model DEA dalam pemrograman linier yang selan-jutnya disebut sebagai bentuk pengali. Gunakan dualitas dalam pemrograman linier, sehingga diperoleh bentuk model DEA sebagai berikut.
min θ,λ θ
Kendala −qi+Qλ≥0 θxi−Xλ≥0 λ≥0
(2.10)
Model CCR merupakan model yang didasarkan pada konsep Constant Re-turns to Scale(CRS) dimana efisiensi diperoleh dari hasil penaksiran perbanding-an perbanding-antara masukperbanding-an dperbanding-an keluarperbanding-an tperbanding-anpa adperbanding-anya bobot yperbanding-ang ditentukperbanding-an dalam model. Pada model terdapat matriks positif masukan dan keluaran (xj, yj)(j = 1, . . . , n) padan DMU. Andaikanxij, i= 1, . . . , m dan yrj, r = 1, . . . , s berturut-turut menyatakan masukan ke-idan keluaran ke-r pada DMU ke-k. Model DEA untuk penaksiran efisiensi relatif pada DMUj dengan asumsi Constant Returns to Scale (CRS) pada model CCR sebagai berikut
[Model Primal] max
s P r=1
uryrk
kendala ke m P i=1
vixik = 1 k
P r=1
uryrj −
m P i=1
vixij ≤0, j = 1, . . . , n
ur ≥0 r= 1, . . . , s
vi ≥0 i= 1, . . . , m
[Model Dual] min θ
kendala ke n P j=1
λjxij ≤θxik, i= 1, . . . , m n
P j=1
λjyrj ≥yrk, j = 1, . . . , n
λj ≥0 j = 1, . . . , n
2.1.2 Model Banker, Charnes dan Cooper (BCC)
Model BCC merupakan model yang dikembangkan oleh Banker et al. (1984). Model ini diformulasikan didasarkan pada hasil modifikasi model CCR yang me-naksir suatu batasan pada convex hull tiap DMU yang dievaluasi. Banker et al. (1984) telah mengembangkan model BCC dengan adanya himpunan hasil perkalian PB yang didefinisikan dengan
sama dengan 1. Dengan kata lain, model BCC merupakan model dual dari model dasar DEA yang dapat dinyatakan sebagai berikut.
Min θk Kendala
n X
j=1
λijxij ≤θkxik i= 1, . . . , m n
X j=1
λjyrj ≥ yrk r = 1, . . . , s
λj ≥0, j = 1, . . . , n
(2.12)
Perbedaan antara kedua model tersebut hanya pada beberapa bentuk persamaan linier. Asumsikan terdapat suatu DMUj(j = 1, . . . , n), sehingga dapat disele-saikan dengan program linier sebagai berikut.
(BCCk) min θB,λθB
KendalaθBxk−Xλ≥0 Y λ≥yk
eλ= 1 λ≥0
(2.13)
dengan θB merupakan suatu skalar (Cooper et al., 2006).
Yun et al. (2003) mengemukakan pendapatnya mengenai model BCC di-dasarkan pada perluasan dari model CCR yang telah dibahas pada bagian 2.1.1 mengenai model CCR, sehingga model BCC yang diperoleh sebagai berikut.
max µk,vi,uk
p X k=1
µkyik−uk
Kendala m X
i=1
vixik = 1 p
X k=1
µkykj−
m X
i=1
vixij−uk ≤0(j = 1, . . . , n)
µl ≧ε, l = 1, . . . , p vi≧ε, i= 1, . . . , m
Model BCC mempunyai variabel keputusan yang lebih sedikit dibandingkan dengan model CCR, yaitu λj = 1, . . . , n. Sehingga diperoleh suatu himpunan khusus bobot tiap DMU untuk masing-masinginputdan output. Dari pengkajian model CCR pada bagian 2.1.1 dan model BCC pada bagian 2.1.2, diperoleh ke-simpulan bahwa model CCR merupakan model DEA yang menggunakan prinsip Constrant Returns to Scale (CRS) dan model BCC adalah model DEA dengan prinsip Variable Returns to Scale(VRS).
Model BCC merupakan model yang didasarkan pada konsep Variable Re-turns to Scale (VRS) dimana model menggunakan variabel keputusan yang lebih sedikit dibandingkan dengan model CCR, yaitu λj = 1, . . . , n sehingga diper-lukan nilai bobot pada masing-masing DMU. Andaikan terdapat n DMU di-mana masing-masing DMUj, j = 1, . . . , n mempunyai masukan xij(i= 1, . . . , m) dan menghasilkan keluaran yrj(r = 1, . . . , s). Nilai efisiensi pada DMUk, k ∈ {1, . . . , n}secara khusus dapat dievaluasi dengan model BCC dengan asumsi Vari-able Returns to Scale (VRS) sebagai berikut.
[Model Primal] max
k P r=1
uryrk+w
kendala ke Pm i=1
vixik = 1 k
P r=1
uryrj −
m P i=1
vixij+w≤0, j = 1, . . . , n
ur ≥0, r= 1, . . . , s
vi ≥0 i= 1, . . . , m
[Model Dual] min θ
kendala ke n P j=1
λjxij ≤θxio, i= 1, . . . , m n
P j=1
λjyrj ≥yro, r = 1, . . . , s n
P j=1
λj = 1
2.2 Super Efisiensi
DEA digunakan untuk mengidentifikasi titik batasan sehingga diperoleh nilai efisiensi 0≤E ≤1 untuk setiapn DMUs. Nilai ini diperoleh dengan melakukan perbandingan antara nilai masing-masing DMU dengan nilai efisiensi DMUs se-cara keseluruhan. Lotfi et al. (2012) memberikan pandangan bahwa DEA meru-pakan alat bantu nonparametrik yang digunakan untuk menganalisis nilai efisien-si didasarkan pada perbandingan antara jumlah bobot input dan bobot output dengan memperhatikan taksiran dari segi kualitatif dan kuantitatif, sedemikian hingga nilai efisiensi berkisar antara 0 dan 1. Model DEA juga digunakan sebagai fungsi batasan (frontier) dalam penaksiran nilai efisiensi, sehingga diperoleh suatu himpunan yang terdiri atas unit nilai efisiensi dan nilai inefisiensi. Nilai efisiensi yang diperoleh mengalami proses eliminasi data pada DMUk yang dievaluasi dari himpunan solusi. Untuk masukan pada model ini diperoleh nilai efisiensi sesuai DMUk yang selanjutnya digunakan dalam menentukan urutan DMUs. Ini ber-akibat terdapat beberapa DMU yang tidak digunakan didasarkan pada efisiensi DMUs (Cooper et al. 2006).
Super efisiensi pada model DEA digunakan dalam persoalan pengurutan ki-nerja tiap DMUs, dimana nilai super efisiensi dapat diperoleh dengan penggunaan ketentuan CRS atau VRS. Lovell dan Rouse (2003) memberikan pandangan bah-wa formula dari super efisiensi adalah suatu kolom yang menjadi bagian dari suatu matriks program linier DEA yang berkaitan dengan DMU dalam suatu penelitian, sehingga diperoleh super efisiensi pada masing-masing DMU. Hasil yang diperoleh merupakan suatu program linier yang layak dengan nilai super efisiensi yang lebih besar dari 100%, dimana Lovell dan Rouse (2003) menggunakan beberapa asumsi sebagai berikut. Definisikan bahwa terdapat keluaran (y1, . . . , ys) dan masukan
(x1, . . . , xm) untuk DMUs j = 1, . . . , n. Y merupakan suatu matriks keluaran
setiap DMU. Maka model dapat dinyatakan sebagai berikut. min θk
Kendala ke Y λ+ykλk ≥yk Xλ+xkλk ≤xkθk
X
X+λk = 1 λ, λk ≥0
(2.15)
Andersen dan Petersen (1993) memberikan suatu model yang digunakan da-lam menentukan super efisiensi dengan menggunakan model CCR sebagai berikut.
[Super Radial] θ∗ = min
θ,λ,s−,s+
θ−εes+
Kendala ke θxk = n X j=1,j6=k
λjxj+s−
yk = n X j=1,j6=k
λjyj −s+
(2.16)
dengan λ, s− dan s+
merupakan kendala nonnegatif dan ε > 0 adalah elemen non-Archimedean biasa dan e adalah suatu baris vektor untuk semua elemen. Model ini dikenal sebagai model ”super efisiensi radial”. Hasil yang diperoleh merupakan suatu matriks X, Y >0 dengan seluruh elemen adalah positif dengan nilai optimal φ∗ = 1/θ∗.
Ebadi (2012) mengembangkan model BCC dalam menentukan super efisiensi dengan orientasi input-output data dengan asumsi DMUj(j = 1, . . . , n) dengan yrj(r = 1, . . . , s) output pada xij(i = 1, . . . , m) input. Untuk DMUk = (xk, yk) yang dievaluasi, model DEA dapat dinyatakan sebagai berikut.
min = 1 +βk kendala
n X j=1,j6=k
λjxij −(1 +βk)xik ≤0, i= 1, . . . , m n
X j=1,j6=k
λjyrj−(1−βk)yrk ≥0, r = 1, . . . , s n
X j=1,j6=k
λj = 1
λj ≥0, j = 1, . . . , n, j 6=k
Xu dan Ban (2012) memberikan cara lain dalam menentukan penaksiran ni-lai super efisiensi dengan mengembangkan model CCR berdasarkan pada batasan efisiensi. Diberikan asumsi bahwa terdapatnDMU dimana masing-masing DMUj (j = 1, . . . , n) mempunyai masukan Xj = (xij, x2j, . . . , xmj) dan keluaran Yj =
(yij, y2j, . . . , ysj) untuk semua DMU non-negatif dan tiap DMU sedikitnya mem-punyai satu masukan dan keluaran data. Ambil (Xj, Yj) untuk menotasikan tiap DMUj dan DMUk(k ∈ 1, . . . , n) menyatakan DMU ke-k yang dievaluasi, maka himpunan hasil yang mungkin dinotasikan sebagai
T ={(Xk, Yk) :Xkλ≤Xk, Yjλ≥Yk, λ≥0}
dimana λ merupakan suatu vektor non-negatif di Rn dan T merupakan nilai efi-siensi tiap DMU. Berbalik dengan T, quasi-production possibility set dinotasikan dengan
P ={(Xk, Yk) :Xjλ≥Xk, Yjλ≤Yk, λ≥0}
dimana titik jangkauan diP merupakan batas anti-efisien dan titik lainnya sebagai anti-efisien tiap DMU. Xu dan Ban (2012) memperkenalkan suatu model quasi-CCR (Qquasi-CCR) yang didasarkan pada batasan anti-efisien yang dinyatakan sebagai berikut
ρ∗
k maxρk kendala
n X
j=1
λjxij ≥ρkxik, i= 1, . . . , m n
X j=1
λjyrj ≥yrk, r= 1, . . . , s
λj ≥0, j = 1, . . . , n
(2.18)
dan memberikan definisi, yaitu
Definisi 2 Suatu DMUk adalah anti-efisiensi jika ρ∗
k= 1.
Definisi 3 Suatu DMUk kontradiksi efisien jika θ∗
2.2.1 Orientasi input (’io’)
Untuk setiap masukan i = 1, . . . , m dan j = 1, . . . , n pada DMU, ambil xij >0 dan suatu parameter skalar αi = maxxij/minxij dengan ketentuan α = max(α1, . . . , αm) + 1. Andaikan suatu super efisien DMU adalah efisien setelah
penaksiran dengan α, maka DMU merupakan kategori nilai super efisiensi (N). Akibatnya, terdapat sedikitnya satu keluaran ke DMUk dengan nilai yang lebih besar dibandingkan dengan nilai keluaran DMU lainnya.
Teorema 2.2.1 Untuk suatu orientasi masukan, α merupakan suatu skalar yang memenuhi untuk xk dengan DMUk∈N ∪super−ef isiensi.
Bukti Terdapat dua kondisi sebagai berikut.
1. Jika DMUk∈N, maka λk = 0 dan
Y λ+yk(0)≥yk Xλ+αxk(0) ≤αxkθ Σα+ (0) = 1
Karenaαi = maxxij/minxij dan Xλ < αxk, maka θ > 1.
2. Jika DMUk ∈ super−ef isiensi, maka Y λ < yk. Maka terdapat paling sedikit satu keluaran dan αk = 1 merupakan solusi layak. Gunakan kon-tradiksi dalam pembuktian. Andaikan terdapat suatu skalar γx > α, maka DMUk adalah inefisien. Untuk DMUkinN, λk haruslah sama dengan 0 dan
Y λ+yk(0)≥yk Xλ+γxxk(0) ≤γxxkθ Σγ+ (0) = 1
KarenaY λ < yk paling sedikit untuk satu keluaran dan tidak ter-dapat suatu solusi layak yang diperoleh, sehingga λk = 1 untuk γx → ∞.
2.2.2 Orientasi output (’oo’)
Untuk setiap keluaran r = 1, . . . , s dan j = 1, . . . , n pada DMU, ambil minyrj >0 dan hitungβr = (maxyrj/minyrj)+1 dimanaβ ={max(β1, . . . , βs)}−1.
Teorema 2.2.2 Untuk suatu orientasi keluaran, skalarβ merupakan suatu skalar yang memenuhi untuk yk dengan DMUk ∈N∪super−ef isiensi.
Bukti Terdapat dua kondisi sebagai berikut.
1. Jika DMUk∈N, maka λk = 0 dan
Y λ+βyk(0)≥βykφ Xλ+xk(0) ≤xk Σλ+ (0) = 1
Karenaβi ={max(maxyij/minyij) + 1}−1 dan Y λ > βyk, maka
φ >1.
2. Jika DMUk ∈ super−ef isiensi, maka Xλ < xk. Maka terdapat paling sedikit satu keluaran dan αk = 1 merupakan solusi layak. Gunakan kon-tradiksi dalam pembuktian. Andaikan terdapat suatu skalar γy < β, maka DMUkadalah inefisien. Maka, untuk DMUk ∈N,λkharuslah sama dengan 0 dan
Y λ+γyyk(0) ≥γyykφ Xλ+xk(0) ≤xk Σλ+ (0) = 1
KarenaXλ > xk paling sedikit untuk satu keluaran dan tidak ter-dapat suatu solusi layak yang diperoleh, sehingga λk = 1 untuk λy →ε >0.
