PEMODELAN DATA DERET WAKTU DENGAN SELF EXCITING TRESHOLD AUTOREGRESSIVE (SETAR) DAN PERUBAHAN STRUKTUR

PEMODELAN DATA DERET WAKTU DENGAN

SELF EXCITING TRESHOLD AUTOREGRESSIVE (SETAR) DAN PERUBAHAN

STRUKTUR

Nama : Fatati Nuryana

NRP : 1307201010

Pembimbing : Dr. Brojol Sutijo. S.U, M.Si

Co-Pembimbing : Dr. Suhartono, S.Si, M.Sc

ABSTRAK

Data deret waktu yang mengalami pergeseran mean dapat ditangkap melalui dua model yaitu dengan model nonlinier SETAR dan Perubahan Struktur. Prosedur pembentukan model SETAR dan Perubahan Struktur diawali dengan uji stasioneritas dan nonlinieritas. Parameter delay dan treshold pada model SETAR serta banyaknya break

Perubahan Struktur ditentukan dengan kriteria minimum BIC. Penaksiran parameter



dan θuntuk kedua model diperoleh melalui metode Ordinary Least Square dengan melakukan regresi stepwise dan regresi dummy terhadap parameter yang signifikan berdasarkan kriteria dummy yang berbeda. Dari hasil kajian simulasi menunjukkan bahwa kelebihan model SETAR adalah dapat menganalisis perubahan regime yang asimetris dan menangkap lompatan yang tidak dapat ditangkap oleh model deret waktu linier, sedangkan model Perubahan Struktur dapat menangkap nilai parameter yang berubah-ubah dalam periode tertentu. Pada data bulanan inflasi Surabaya periode Januari 1989 sampai dengan Desember 1998, model terbaik SETAR adalah SETAR dengan 1 treshold

atau dua regime (2;0,[1,4,5,6,8,10,12]), model terbaik ARIMA adalah ARIMA

([0,1,3,5,6,8],0,0) dan model terbaik Perubahan Struktur adalah Perubahan Struktur dengan 2 break atau 3 segmen (3;0,[1,3],[1,3,5,6,8]). Hasil ramalan in sample maupun

out sample menunjukkan bahwa model SETAR memberikan nilai MSE dan RMSE yang

paling kecil diantara model yang lain, sehingga model SETAR adalah model terbaik untuk kasus data inflasi Surabaya.

Kata-kata kunci : SETAR, Perubahan Struktur, Nonlinier, Inflasi.

1. Latar Belakang

Pemilihan model peramalan pada saat menganalisa suatu data deret waktu mempunyai pengaruh yang sangat besar terhadap keakuratan dan kevalidan hasil ramalan serta keputusan yang akan diambil dari hasil tersebut. Model-model peramalan seperti

Moving Average, Naïve, Exponential Smoothing, Regresi Dummy, Holt dan Winter serta

model ARIMA Box-Jenkins adalah model-model yang sering digunakan untuk data yang mengandung hubungan linier (Makridakis dan McGee, 1993).

Pada data-data ekonomi dan keuangan, spesifikasi nonlinier mulai dianggap

sebagai representasi data yang lebih realistik. Metode deret waktu Treshold

Autoregression (TAR), Self Exiting Treshold Autoregression (SETAR) dan Markov Switching memberikan hasil peramalan yang baik dalam kasus-kasus ini (Granger dan

Terasvirta, 1999). Pemodelan nonlinier dimotivasi oleh data ekonometrik yang pada awalnya sering diasumsikan memiliki hubungan yang linier. Model nonlinier deret waktu

TAR mengasumsikan bahwa regime ditentukan oleh variabel Z_{t- d} yang dianggap sebagai

nilai treshold. Model SETAR pertama kali diperkenalkan oleh Tong (1990). Model ini

merupakan model linier pada bentuk dasarnya dan mengasumsikan bahwa variabel Zt

merupakan sebuah autoregresi linier dalam sebuah regime, tetapi dapat berpindah antar

regime tergantung pada nilai lag Zt misalnya disebut Zt- d, sedemikian hingga d adalah

panjang delay. Dengan kata lain model SETAR adalah model yang linier dalam sebuah

regime akan tetapi mampu pindah antar regime ketika proses melewati treshold. Model

SETAR dapat membangkitkan dinamika nonlinier yang kompleks. Model nonlinier ini dapat menghasilkan fenomena asimetris dan lompatan yang tidak dapat ditangkap oleh model deret waktu linier. Hal lain yang menarik pada model SETAR bahwa stasionetitas

dari

Z

t tidak mengharuskan model tersebut stasioner pada tiap regime.

Model SETAR merupakan salah satu kelas dari model deret waktu nonlinier yang secara luas juga dibahas dalam banyak literatur untuk menjelaskan berbagai fenonena ekonomi seperti pasar uang, misalnya pemodelan data regional dan agregat UK dengan model SETAR dibandingkan dengan model linier yang dilakukan oleh Jones dan Stevenson (1992). Kraager dan Kugler (1992) juga meneliti pemodelan mata uang USD berupa data mingguan selama sepuluh tahun dengan SETAR. Model-model SETAR kemudian juga dikembangkan pada data-data ekonomi dan keuangan yang lain seperti inflasi. Data inflasi dalam pemodelan SETAR akan terbagi ke dalam regime lower dan

regime upper, dengan perpindahan regime tergantung pada parameter delay dan treshold

yang sesuai.

Jika data inflasi dimodelkan dengan pendekatan regresi linier, diduga akan terjadi pergeseran proses yaitu perubahan koefisien pada tiap kurun waktu tertentu. Perubahan koefisien ini dikenal dengan Perubahan Struktur. Model ini tidak membutuhkan asumsi linieritas dan stasioneritas data keseluruhan.

Chow (1960) adalah orang pertama yang memperkenalkan uji tentang Perubahan Struktur. Banyak pengujian klasik seperti uji Chow mengasumsikan bahwa hanya ada sebuah perubahan jika waktu dan jenis perubahan diketahui. Beberapa penelitian tentang munculnya pergeseran dalam data deret waktu antara lain dilakukan oleh D¨umbgen (1991) dan Balke (1993). Mereka meneliti data Nile dari Cobb (1978) yang menunjukkan terjadinya sebuah level pergeseran berhubungan dengan dibukanya bendungan ASWAN pada awal abad 19. Selain itu data British Road Causalities yang dianalisa oleh Harvey dan Durbin (1986) menghasilkan dua break, break pertama muncul karena meningkatnya harga minyak pada awal krisis sedangkan break kedua muncul saat pengenalan pemakaian sabuk pengaman pada awal 1980. Penelitian tentang index harga minyak di Jerman menghasilkan pergeseran lebih dari dua break yang muncul antara lain karena krisis minyak pertama, revolusi Iranian dan virtual breakup OPEC pada tahun 1985.

Dua model yang digunakan dalam penelitian ini yaitu model SETAR dan model Perubahan Struktur masuk dalam kelas model nonlinier. Dikatakan nonlinier apabila dilihat pada keseluruhan karena data terdiri dari beberapa regime atau segmen, akan tetapi setelah dibagi ke dalam regime-regime atau segmen-segmen maka data akan

mengikuti model linier. Jika dilihat dari seluruh data inflasi maka ada indikasi nonlinieritas dalam data yang dapat diuji dengan uji nonlinieritas Terasvirta.

Penelitian ini memiliki beberapa tujuan antara lain untuk mengkaji prosedur pembentukan model SETAR dan Perubahan Struktur pada data deret waktu. Analisis tingkat akurasi, keunggulan dan kelemahan SETAR dan Perubahan Struktur dilakukan melalui studi simulasi. Pada tahap penerapan data dilakukan terhadap data bulanan inflasi di Surabaya mulai Januari tahun 1989 sampai dengan Desember 2008.

2. TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Model Deret Waktu NonLinier

Stokastik murni pada data deret waktu

Z

t dapat dikatakan linier apabila

memenuhi : 0 t i t i i Z





a     



(2.1)

dengan

Z

_t : data deret waktu dengan t = 1, 2, … T



: mean

i



: koefisien parameter dengan

 

₀

1

t

a

: residual yang memenuhi at ~N(0,



a2)

Jika 2

0 i

i





 



, maka proses dikatakan linier. Sebuah proses stokastik yang tidak

mengikuti persamaan (2.1) dikatakan nonlinier. (Tsay, 2005).

2.2. Uji Nonlinieritas Terasvirta Pada Data Deret Waktu

Uji Terasvirta adalah uji deteksi nonlinieritas yang dikembangkan dari model neural network dan termasuk dalam kelompok uji tipe Lagrange Multiplier (LM). Secara lengkap teori berkaitan dengan uji Terasvirta ini dapat dilihat di Terasvirta dkk (1993) serta Salamah dan Suhartono (2007). Uji Terasvirta ini adalah uji tipe Lagrange

Multiplier yang dikembangkan dengan ekspansi Taylor. Dalam Uji Terasvirta ini, m

prediktor tambahan yang digunakan adalah suku kuadratik dan kubik yang merupakan hasil dari pendekatan ekspansi Taylor.

2.3. Model Treshold Autoregression (TAR)

Model Treshold Autoregression pertama kali diusulkan oleh Tong (1983, 1990). Model ini dimotivasi oleh beberapa karakteristik nonlinier yang biasa ditemukan dalam praktek seperti adanya asimetri dalam pola turun dan naik suatu proses. Model ini menggunakan model linier untuk memperoleh pendekatan persamaan mean bersyarat yang lebih baik, akan tetapi model ini berlawanan dengan model linier tradisional yang

memperbolehkan adanya perubahan model pada jangka waktu tertentu. TAR

menggunakan treshold untuk meningkatkan pendekatan liniernya. Model TAR dapat dituliskan sebagai:

0 0 1 1 p p t d t i t i i t i t i i

Z

Z





Z





Z

I



a



    











 



_



_

_















(2.2)

dengan

Z

_t adalah data deret waktu dengan t = 1, 2, … T,



₀adalah konstanta, _iadalah

koefisien parameter AR ke-i untuk fungsi indikator,

d

adalah parameter delay (integer

positif),



adalah parameter lokasi,



adalah parameter skala,

I



.

adalah parameter

penghalus atau fungsi indikator dan

a

tadalah residual pada regime

2.4. Model Self Exiting Treshold Autoregression (SETAR) 2.4.1. Model SETAR dengan m regime



m,p1,p2,...,p_m



Model SETAR ditentukan oleh jumlah regime (m), order autoregressive (p), parameter delay dan variabel treshold. Cara penulisan model SETAR dengan m regime,

dengan regime pertama mengikuti AR(

p

₁), regime kedua mengikuti AR(

p

₂), dan

seterusnya sampai dengan regime ke-m mengikuti AR(

p

_m) adalah SETAR



m,p1,p2,...,pm



. Persamaan matematis dari model SETAR didefinisikan sebagai

berikut:



 







j p i j t i t j i j t

Z

a

Z

1 , , , 0



,



jika Ztd Rj (2.3)

dengan

Z

t : deret deret waktu (t = 1, 2, … T)

j

, 0



: konstanta pada regime ke-j (j = 1, 2, ..., m)

j i ,



: koefisien parameter AR ke-i pada regime ke-j

j

p

: order autoregressive pada regime ke-j

j t

a, : residual pada regime ke-j ( ~ (0, )

2

a

t N

a



)

d

: parameter delay (integer positif)

j

R : nilai treshold pada regime ke-j

j

R adalah bilangan real Rk_i1R_i dengan R1 



, r1



, Ri 



ri1,ri



untuk

) 1 ( ,..., 3 , 2   m

i dan R_m  ,

 

r_m . Sehingga treshold dari model ini adalah

     

 r₁ ... rm_1 . Model dengan m regime akan memiliki m-1 treshold.

Model dengan m regime diatas memiliki m-1 treshold yaitu r r₁, ,...,₂ r_m₁

Persamaan matematis dari model SETAR



2,pL,pU



yang akan dibahas pada

penelitian ini dapat dituliskan sebagai berikut:

0, , , 1 1 0, , , 1 1

,

jika

,

jika

L U p L i L t i t L t d i t _p U i U t i t U t d i

Z

a

Z

r

Z

Z

a

Z

r









     

















_

_

_









(2.4)

SETAR



2,p_L,p_U



menunjukkan model SETAR dengan 2 regime, regime pertama

mengikuti model AR(

p

_L) dan regime kedua mengikuti model AR(

p

_U). Model deret

waktu pada persamaan (2.4) dikatakan mengikuti model SETAR



2,p_L,p_U



yaitu

SETAR 2 regime (Lower dan Upper); AR(

p

L) dan AR(

p

U ); parameter delay d dan

treshold r₁.

2.4.4. Estimasi Parameter dan Jumlah Treshold pada SETAR A. Estimasi Parameter SETAR

Pada tahap estimasi parameter akan dilakukan pendugaan terhadap parameter dari model dugaan yang telah diperoleh dari tahap sebelumnya. Dalam penelitian ini metode estimasi parameter yang digunakan untuk SETAR adalah Ordinary Least Squares (OLS).

Model SETAR, misalnya model SETAR



2,p_L,p_U



sebagaimana dituliskan dalam persamaan (2.4) sebenarnya merupakan model nonlinier, tetapi model ini dapat didekati dengan model linier dengan cara membuat dua model terpisah untuk masing-masing

regime, yaitu :



     pL i L t i t L i L L t Z a Z 1 , , , 0 ,   (2.5) , 0, , , 1 U p t U U i U t i t U i Z   Z a   



 (2.6)

Persamaan diatas jika dituliskan dalam persamaan regresi akan menjadi:

L t L L L L t X a Z_, 



_0, 



_1,  _, (2.7) , 0, 1, , t U U U U t U Z 







X a (2.8)

dalam notasi matriks persamaan diatas adalah : 

Z = Xβ+ (2.9)

Keterangan :

Z : vektor variabel dependen dengan ukuran



T

L



T

U

,1



X : matriks variabel independen berukuran



T

_L



T

_U

,

p

_L



p

_U



β : vektor parameter regresi dengan ukuran



p

L



p

U

,1





: vektor residual



T

_L



T

_U

,1



Sehingga penyelesaian OLS untuk model SETAR diperoleh dengan

meminimumkan jumlah kuadrat residual pada persamaan (2.9) sebagaimana pada regresi biasa, yaitu: ' ' 2 , , 1 1 ( ) ( ) ( ) m T t i t i i i t Z X      



 Z Xβ Z Xβ (2.10)

m = L pada saat data jatuh pada regime Lower dan m = U pada saat data jatuh pada regime Upper.

B. Estimasi Jumlah Treshold pada SETAR

Treshold pada model SETAR tidak dapat diuji seperti biasa. Prosedur yang

digunakan untuk menyeleksi jumlah treshold optimal adalah dengan menggunakan kriteria informasi dan prosedur pengujian (Stiglerm, 2009). Penentuan jumlah treshold dalam penelitian ini dilihat dari nilai AIC, yaitu memilih model dengan AIC minimum (MAIC). Adapun rumus dari AIC adalah :

         n k n m m 2 ) ˆ log( AIC



2 (2.11)

dengan T adalah banyaknya observasi. Estimasi jumlah break adalah mˆ, yaitu :

)

AIC

,

,

AIC

,

AIC

min(

arg

ˆ

1 2 m

m





(2.12)

2.5. Model Perubahan Struktur

Bai dan Perron (2003) menjelaskan bahwa Perubahan Struktur adalah model regresi yang memiliki nilai parameter yang berubah-ubah dalam kurun periode waktunya akibat adanya Perubahan Struktur.

Model regresi linier standard dalam notasi matriks adalah sebagai berikut : 

Z = Xβ+ (2.13)

dengan :

Z : vektor variabel dependen dengan ukuran

 

Tx

1

X : matriks variabel independen dengan ukuran

 

Txp

β : vektor parameter regresi dengan ukuran

 

px

1



: vektor residual

 

Tx

1

Tadalah banyaknya pengamatan dan padalah banyaknya variabel independen. Apabila

pada matriks X terdiri dari lag variabel dependen sebagaimana model time series, maka

persamaan (2.13) disebut dengan model Autoregressive. Bila terdapat p order

autoregressive (p variabel independen) maka disebut model Autoregressive order p atau

AR(p).

2.5.1. Model Perubahan Struktur dengan b Break

Pada beberapa aplikasi diasumsikan ada b titik break dengan koefisien pergeseran dari suatu model regresi yang stabil berhubungan dengan yang lain sehingga ada b+1 segmen dengan koefisien regresi yang konstan, sehingga model (2.13) dapat dituliskan kembali sebagai :



Z = Xβ+ Dδ+ (2.14)

dengan D adalah variabel dummy dari sub periode dan δadalah parameter variabel

dummy. Jumlah data keseluruhan adalah Tyang dibagi ke dalam b+1 segmen dengan

jumlah data ke-i sebanyak

T

_i (i=1,2,...,b). Sedangkan p untuk masing-masing segmen

dapat berbeda-beda mengikuti order autoregressive-nya.

2.5.3. Uji Perubahan Struktur

Dalam praktek, titik break sangat jarang diketahui sebelumnya sehingga harus diuji terlebih dahulu. Pengujian ini dibagi menjadi dua, yaitu untuk titik break yang diketahui dan untuk titik break yang tidak diketahui. Pengujian dan penentuan titik break pada Perubahan Struktur dijelaskan pula dalam penelitian Zeileis dkk (2003).

Dalam penelitian ini uji Perubahan Struktur yang dilakukan adalah uji untuk titik

break yang tidak diketahui. Hipotesis untuk uji Statistik F dengan waktu break tidak

diketahui adalah:

0

:

0

H

m



(tidak ada Perubahan Struktur)

1

:

0

H

m



(ada Perubahan Struktur)

Uji statistik F untuk perubahan pada waktu t ini biasanya berdasarkan pada deret residual

dari OLS uˆT( )dari sebuah segmen regresi yaitu satu garis regresi untuk tiap subsampel

dengan titik break T, dibandingkan dengan residual

uˆ

dari model yang tidak disegmenkan

dengan persamaan :

(2.15)

dengan k adalah banyaknya variabel dan uˆT adalah residual dari tiap segmen dengan titik

patahan

T

i sebagai parameter penyesuaian yang nilainya dapat dipilih sendiri oleh

ˆˆ ˆ ˆ

( )

( )

ˆ ˆ

( )

( ) /(

2 )

T T i T

u u u i u i

F

u i u i

n

k







peneliti. H0 ditolak jika nilai supremum atau nilai rata-rata atau fungsional exponen terlalu besar, yaitu:

t t t t

F

F

 

sup

sup

, (2.16)

,

1

1











t t t t

F

t

t

aveF

(2.17)           



 t t t t F t t F exp(0,5 ) 1 1 log exp . (2.18)

(Andrews dan Ploberger, 1994)

2.5.4. Estimasi Parameter, Jumlah Break dan Waktu Break pada Perubahan Struktur

A. Estimasi Parameter pada Perubahan Struktur

Taksiran parameter



dan



_j diperoleh dengan menggunakan metode Ordinary

Least Squares (OLS). Untuk model Perubahan Struktur OLS diperoleh dengan

meminimumkan jumlah kuadrat residual pada persamaan (2.19).

1 1 ' ' ' 2 1 1 ( ) ( ) ( ) i i T m t t t i i t T Z X



D



         



  Z Xβ Dδ Z Xβ Dδ (2.19)

Zeileis dkk (2002), telah membuat package melalui R untuk menguji Perubahan Struktur melalui model regresi linier.

B. Estimasi Jumlah Break pada Perubahan Struktur

Penentuan jumlah break dalam penelitian ini dilihat dari nilai BIC, yaitu memilih model dengan BIC minimum. Adapun rumus dari BIC adalah :

T T m(k k m m log( ) )] 1 [ ) ˆ log( 2 BIC 



2    (2.20)

dengan T adalah banyaknya observasi. Estimasi jumlah break adalah mˆ, yaitu :

)

BIC

,

,

BIC

,

BIC

min(

arg

ˆ

1 2 m

m





(2.21)

C. Estimasi Waktu Break pada Perubahan Struktur

Diberikan m buah partisi

T

₁

,...,

T

_m adalah estimasi least square untuk



_j. Hasil

sum square residual (SSR) minimal mengikuti persamaan :

1 1 1 1

( ,...,

)

(

1,

)

m m j j j

RSS T

T

rss T

T

  







(2.22)

dengan rss T( _j11,T_j)adalah sum square residual dalam segmen ke-j. Maka waktu

terjadinya Perubahan Struktur adalah menemukan taksiran titik break

T

ˆ

₁

,...,

T

ˆ

_m yang

meminimumkan fungsi objektif :

1 1 ( ,..., ) 1

ˆ

ˆ

( ,...,

)

arg min

( ,...,

)

m m T T m

T

T



RSS T

T

(2.23)

pada semua partisi

( ,...,

T

₁

T

_m

)

dengan T_j T_j1 n_h k

2.6.3. Tahap Pembandingan Model dan Validasi Data

Membandingkan model yang telah diperoleh berdasarkan kriteria kebaikan model MSE dan AIC. Model terbaik adalah model yang memiliki AIC minimum. Persamaan matematis untuk AIC dan dapat dilihat pada persamaan (2.11).

Tahap validasi yang dimaksud dalam subbab ini adalah untuk mengetahui apakah estimasi parameter yang sudah dilakukan sesuai dengan konsep simulasi.

2.8. Tinjauan Non Statistik 2.8.1 Inflasi

Salah satu indikator ekonomi yang selalu dipantau perkembangannya oleh pemerintah adalah angka inflasi. Dalam ilmu ekonomi, inflasi adalah suatu proses meningkatnya harga-harga secara umum dan terus-menerus (kontinyu) berkaitan dengan mekanisme pasar. Inflasi dapat disebabkan oleh berbagai faktor antara lain konsumsi masyarakat yang meningkat atau adanya ketidak lancaran distribusi barang. Dengan kata lain, inflasi juga merupakan proses menurunnya nilai mata uang secara kontinyu.

Inflasi dapat disebabkan oleh dua hal, yaitu tarikan permintaan atau desakan biaya produksi. Inflasi tarikan permintaan (demand pull inflation) terjadi akibat adanya permintaan total yang berlebihan sehingga terjadi perubahan pada tingkat harga. Inflasi desakan biaya (cost push inflation) terjadi akibat meningkatnya biaya produksi (input) sehingga mengakibatkan harga produk-produk (output) yang dihasilkan ikut naik.

Berdasarkan asalnya, inflasi dapat digolongkan menjadi dua, yaitu inflasi yang berasal dari dalam negeri dan inflasi yang berasal dari luar negeri. Berdasarkan keparahannya inflasi juga dapat dibedakan menjadi inflasi ringan (kurang dari 10% / tahun), inflasi sedang (antara 10% sampai 30% / tahun), inflasi berat (antara 30% sampai 100% / tahun) dan hiperinflasi (lebih dari 100% / tahun)

Laju inflasi bulanan dihitung dengan rumus :

( 1) ( 1) n n n I n

I

I

L

I

 





dengan : n I

L = Laju inflasi bulan ke-n

n

I

= Indeks Harga Konsumen bulan ke-n

(n 1)

I _ = Indeks Harga Konsumen bulan ke (n-1)

3. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Penentuan Model Terbaik Data Inflasi Surabaya

Data riil yang digunakan pada penelitian ini, yaitu data bulanan inflasi Surabaya mulai Januari tahun 1989 sampai dengan Desember 2008.

3.1.1 Identifikasi Model dan Penaksiran Parameter Model SETAR

a) Melakukan uji stasioneritas ADF dan nonlinieritas Terasvirta.

b) Jika data nonlinier maka dilanjutkan pada langkah (c), tetapi jika hasilnya tidak signifikan, menunjukkan bahwa data linier maka digunakan model deret waktu linier seperti AR, MA, ARIMA yang sesuai.

c) Menentukan parameter delay dan treshold dengan kriteria BIC.

d) Menaksir parameter



dan θmelalui metode Ordinary Least Square yang

diperoleh dengan melakukan regresi stepwise dan regresi dummy terhadap parameter yang signifikan.

3.1.2 Identifikasi Model dan Penaksiran Parameter Model Perubahan Struktur

a) Memodelkan data inflasi dengan menggunakan model Autoregressive. b) Melakukan uji Perubahan Struktur, jika hasilnya signifikan bahwa ada

Perubahan Struktur pada model Autoregressive pada langkah a), maka

dilanjutkan pada langkah c), tetapi jika hasilnya tidak signifikan,

menunjukkan bahwa tidak ada Perubahan Struktur pada model ARIMA biasa atau model a).

c) Menentukan banyaknya break dengan menggunakan kriteria minimum BIC. d) Menentukan waktu terjadinya break .

e) Menaksir parameter



dan θmelalui metode Ordinary Least Square yang

diperoleh dengan melakukan regresi stepwise dan regresi dummy terhadap parameter yang signifikan.

3.2 Uji Diagnostik

Uji Diagnostik pada model SETAR maupun Perubahan Struktur mengikuti langkah-langkah sebagai berikut :

a) Menguji signifikansi parameter model. Semua parameter yang diikut sertakan dalam model harus signifikan.

b) Memeriksa sampel ACF dari sisa untuk mengevaluasi apakah deret dari

sisanya sudah tidak berkorelasi dan bervarians homogen. c) Menguji Normalitas dari sisa melalui Uji Kolmogorov-Smirnov.

3.3 Peramalan

Setelah model yang dibentuk parameternya signifikan dan residualnya white

noise, maka model dapat digunakan untuk meramalkan data berikutnya. 3.4 Pembandingan

Membandingkan model waktu yang diperoleh dari model SETAR dan model

Autoregressive dengan Perubahan Struktur dengan cara :

a) Membuat ramalan in sample dan out sample.

b) Membandingkan ukuran akurasi model, ramalan in sample model SETAR, Perubahan Struktur dan ARIMA klasik terbaik dipilih berdasarkan kriteria MSE dan AIC minimum sedangkan ramalan out sample dipilih berdasarkan kriteria MSE dan RMSE minimum.

c) Mengambil kesimpulan model terbaik berdasarkan nilai MSE dan AIC minimum, memenuhi asumsi IIDN dan memiliki ramalan in sample dan out

4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Studi Simulasi

4.1.1. Simulasi Model SETAR

Data simulasi model 1 sampai dengan 3 memiliki jumlah data yang tidak simetris pada regime lower dan upper. Pada model 1 ada 173 data yang masuk pada regime lower dan 126 masuk pada regime upper. Model 2 memiliki 167 data yang masuk pada regime

lower dan 132 masuk pada regime upper. Sedangkan model 3 ada 192 data yang masuk

pada regime lower dan 107 masuk pada regime upper.

Rangkuman hasil uji stasioneritas dan nonlinieritas Terasvirta untuk simulasi SETAR model 1 sampai dengan 3 ditampilkan pada Tabel 4.1 berikut:

Tabel 4.1 Uji nonlinieritas Terasvirta dan stasioneritas ADF data simulasi model SETAR

No



2 Uji Nonlinieritas Uji Stasioneritas (ADF)

P_value Ket ADF Lag P_value Ket

1 0.358 0.8361 linier -6.1727 6 0.01 stasioner

2 123.9792 < 2.2e-16 nonlinier -8.0325 6 0.01 stasioner

3 274.4094 < 2.2e-16 nonlinier -7.68 6 0.01 stasioner

Dapat dilihat pada Tabel 4.1 bahwa hasil simulasi SETAR dengan package tsDyn pada R 2.7.2 sudah memenuhi sifat nonlinieritas dan stasioneritas data karena semua

p_value lebih kecil dari



(5%) kecuali model 1 pada uji nonlinieritas tidak signifikan (model linier). Hal ini disebabkan data dibangkitkan dengan parameter AR yang kecil

yaitu (0,3 dan



0,3) tanpa konstanta.

Gambar 4.1 memperlihatkan plot data deret waktu

Z

tsebanyak 300 yang dibagi

ke dalam 2 bagian yaitu regime lower dan upper berdasarkan nilai treshold r. Jika yang

diberi garis treshold adalah plot data deret waktu dari

Z

t, tampak data bisa berpindah

tiap saat dari regime lower (warna biru) ke regime upper (warna merah) atau sebaliknya sebagaimana ditunjukkan Gambar 4.1(a,c,e). Tetapi jika yang diberi garis treshold adalah

plot data deret waktu dari

Z

_t1 (Gambar 4.1(b,d,f)), maka tampak jelas semua regime

lower berada dibawah garis treshold dan regime upper diatas garis treshold.

Gambar 4.2 menunjukkan secara jelas hubungan antara

Z

_tdan

Z

_t1 dengan

pemilihan parameter delay d. Treshold r memisahkan

Z

t1 menjadi dua kelompok yaitu

regime lower dan upper. Apabila pada

Z

_t diberikan pembatas r juga, maka akan tampak

plot

Z

t dan

Z

t1memiliki 4 daerah. Daerah A merupakan daerah Lower-Lower, daerah B

merupakan daerah Lower-Upper, daerah C merupakan daerah Upper-Lower dan daerah D merupakan daerah Upper-Upper. Misalnya pada model 1 dengan parameter delay= 1 dan

treshold r = 0. Daerah A dan B menggambarkan bahwa data yang jatuh pada regime lower, memiliki kemungkinan untuk tetap di regime lower (A) sebesar 62,43% atau

berpindah pada regime upper (B) sebesar 37,57%. Sedangkan daerah C dan D menggambarkan bahwa data yang jatuh pada regime upper, memiliki kemungkinan untuk memiliki kemungkinan untuk tetap di regime upper (D) sebesar 52,38% atau berpindah pada regime lower (C) sebesar 47,62%.

t Z( t) 300 270 240 2 10 180 1 50 120 90 60 30 1 3 2 1 0 -1 -2 -3 0 Var ia b le Z t(L) Z t(U)

Ti meSeri es Pl ot of Zt dengan perpi ndahan regi meLower dan U pper

Simula si S etar Mode l 1

t Z( t-1) 300 270 240 210 1 80 1 50 12 0 90 60 30 1 3 2 1 0 -1 -2 -3 0 Va riab le Z t-1 (L ) Z t-1 (U)

Ti me Ser ies Pl ot of Z(t-1) dengan perpindahan regi me Lower dan Upper

S imulasi S etar Model 1

t Z( t) 300 27 0 240 210 180 1 50 120 90 6 0 30 1 10 8 6 4 2 0 - 2 - 4 5 Va riab le Z t(L ) Z t(U )

Ti meSeri es Pl ot of Zt dengan perpi ndahan regi meLower dan U pper

Simula si S etar Mode l 2

t Z( t-1 ) 300 270 240 21 0 18 0 15 0 120 90 60 30 1 10 8 6 4 2 0 - 2 - 4 5 Var ia b le Z t-1( L) Z t-1( U)

Ti me Ser ies Pl ot of Z(t-1) dengan perpindahan regi me Lower dan Upper

S imulasi S etar Model 2

t Z( t) 300 270 240 2 10 18 0 150 120 90 60 30 1 12,5 10,0 7,5 5,0 2,5 0,0 - 2,5 - 5,0 5 Va riab le Z t(L ) Z t(U )

Ti meSeri es Pl ot of Zt dengan perpi ndahan regi meLower dan U pper

Simula si S etar Mode l 3

t Z( t-1) 300 270 240 210 180 150 120 90 60 30 1 12,5 10,0 7,5 5,0 2,5 0,0 - 2,5 - 5,0 5 Varia ble Z t-1( L) Z t-1( U)

Ti me Ser ies Pl ot of Z(t-1) dengan perpindahan regi me Lower dan Upper

S imulasi S etar Model 3

(a) Plot data deret waktu

Z

t model 1 (b) Plot data deret waktu

Z

t1model 1

(c) Plot data deret waktu

Z

_t model 2 (d) Plot data deret waktu

Z

_t1 model 2

(e) Plot data deret waktu

Z

t model 3 (f) Plot data deret waktu

Z

t1 model 3

Gambar 4.1 Plot data simulasi SETAR

Model 1 Model 2 Model3

Gambar 4.2 Plot

Z dan

_t

Z

_t1

simulasi SETAR

Z(t-1) Z( t) 3 2 1 0 -1 -2 -3 3 2 1 0 -1 -2 -3 0 0 Var iable

Z(t)_Lower (a) * Z(t-1)_Lower(a) Z(t)_Upper (a) * Z(t-1)_Lower(b) Z(t)_Lower (b) * Z (t- 1)_Upper (a) Z(t)_Upper (b) * Z (t- 1)_Upper (b)

Scatterplot of Z(t) vs Z(t-1) Simulasi SETAR Model 1

62,43% 37,57% 52,38% 47,62% A B D C Z(t- 1) Z( t) 10 8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 5 5 Variable

Z(t)_Lower(a)* Z(t -1)_Lower (a) Z(t)_Up per(a)* Z(t -1)_Lower (b ) Z(t)_Lower(b) * Z(t-1)_Up per(a)

Scatterplot of Z(t) vs Z(t-1) Simulasi SETAR Model 2

100% 0% A B C Z(t- 1) Z( t) 12,5 10,0 7,5 5,0 2,5 0,0 -2,5 -5,0 12,5 10,0 7,5 5,0 2,5 0,0 -2,5 -5,0 5 5 Variable

Z(t)_Lower(a)* Z(t -1)_Lower (a) Z(t)_Up per(a)* Z(t -1)_Lower (b ) Z(t)_Lower(b) * Z(t-1)_Up per(a)

ScatterplotofZ(t) vs Z(t-1) Simulasi SETARModel 3

56,25% 0% 43,75% 100% A B D C

Tabel 4.2 Hasil Estimasi nilai d, r,

p dan

1

p Simulasi SETAR

2

d

Model 1

Model 2

Model 3

AIC

r

p

₁

p

₂

AIC

r

p

₁

p

₂

AIC

r

p

₁

p

₂

1

809,7 -0,276

0

3

820,6

4,998

1

1

818.3

4,92

4

1

2

809,1

0,474

3

0

1059,0 4,998

2

4

1197.0

4,92

4

1

3

818,2

-0,38

0

4

1158,0 5,439

3

2

1261.0

8,08

2

1

4

817,5

-0,67

1

3

1203,0 5,098

4

1

1297.0

4,56

3

2

Estimasi nilai delay, treshold, orde AR regime lower dan regime upper dipilih melalui nilai AIC minimum (MAIC) untuk setiap kombinasi nilai d. Pada Tabel 4.2, model yang memberikan estimasi AIC terkecil adalah model SETAR (2,0,3) dengan

delay 1, treshold



0,2759 dengan AIC 809,7 dan SETAR (2,3,0) delay 2, treshold 0,4741 dengan AIC 809,1. Model yang memberikan estimasi AIC terkecil pada model 2 adalah model SETAR (2,1,1) dengan delay 1, treshold 4,998 dengan AIC 820,6 dan SETAR (2,2,4) delay 2, treshold 4,998 dengan AIC 1059. Sedangkan pda model 3, yang memberikan estimasi AIC terkecil adalah model SETAR (2,4,1) dengan delay 1, treshold 4,917 dengan AIC 818,3 dan SETAR (2,4,1) dengan delay 2, treshold 4,917 dengan AIC 818,3.

Model yang dipilih package tsDyn melalui program R adalah model yang memberikan nilai AIC yang minimum tanpa memperhatikan signifikansi dari parameter yang ada dalam model, sehingga model-model ini bukan merupakan model akhir. Model-model tersebut akan dijadikan sebagai petunjuk untuk memilih Model-model terbaik.

Dugaan model tersebut kemudian dianalisis dengan cara membuat variabel

dummy untuk kedua regime. Model yang sudah di dummy ini kemudian didekati dengan

metode OLS melalui pendekatan regresi Stepwise menggunakan bantuan package Minitab 14. Setelah diperoleh model terbaik melalui regresi stepwise dilakukan regresi terhadap regime lower dan regime upper. Parameter yang dimasukkan dalam regresi

stepwise dipilih berdasarkan estimasi nilai AIC terkecil pada Tabel 4.2.

Semua model simulasi SETAR diatas memenuhi syarat signifikansi parameter sebagaimana ditunjukkan pada Tabel 4.5. Secara matematis, model terbaik untuk data simulasi model SETAR dapat dituliskan sebagai berikut :

Model 1 : , ( 1) ( 1),2 ( 2),2 ( 3),2 , 0.30961 0.2759 0, 43390 0,33160 0, 24204 0,16734 t L t t t t t t U a jika Z Z Z Z Z a                jika Z( 1)t 0.2759 Model 2 : ( 1), , ( 1) ( 1), , ( 1)

5, 01310 0, 62474

4, 998

4, 36770 0, 49708

4, 998

t L t L t t t U t U t

Z

a

jika

Z

Z

Z

a

jika

Z

   























Model 3 : ( 1), , ( 1) ( 1), , ( 1)

5, 06415 0,8589

4,917

5,37840 0,93119

4,917

t L t L t t t U t U t

Z

a

jika

Z

Z

Z

a

jika

Z

   























Untuk mengetahui akurasi dari model SETAR yang sudah terpilih, perlu dilihat taksiran interval melalui selang kepercayaan 95% untuk masing-masing parameter yang diestimasi baik pada regime lower maupun pada regime upper. Pada Tabel 4.3 dapat dilihat bahwa model 1 dengan rancangan koefisien parameter AR 0,3 dan -0,3 dan konstanta pada masing-masing regime = 0 memiliki akurasi yang kurang baik pada semua taksiran parameter model dan salah menebak model simulasinya. Hal ini disebabkan nilai koefisien AR yang dekat dengan 0. Model 2 dengan koefisien parameter AR 0,6 dan



0,6 dan konstanta pada masing-masing regime = 5 memiliki akurasi yang baik. Hal ini

ditunjukkan dengan semua nilai koefisien parameter rancangan yang masuk dalam konfiden interval 95%. Demikian pula model 3 dengan koefisien parameter AR 0,9 dan



0,9 dan konstanta pada masing-masing regime = 5 juga memiliki akurasi baik dengan

semua nilai koefisien parameter rancangan yang masuk dalam konfiden interval 95%. Tabel 4.3 Ringkasan hasil estimasi interval parameter model SETAR

No Model Para-meter Koefisien SE.Koef CI 95% Ranca-ngan Estimasi Ranca-ngan Estimasi Batas bawah Batas atas 1 (2, 1, 1) (2, 0, 3) 0,L



0 -0,30961 0,080 -0,46641 -0,15281 0,H



0 0,4339 0,129 0,18106 0,68674 1, H



-0,3 -0,3316 0,121 -0,56876 -0,09444 2,H



- -0,24204 0,082 -0,40276 -0,08132 3, H



- 0,16734 0,078 0,01446 0,32022 1,1



0,3 - - - -2 (2, 1, 1) (2, 1, 1) 0,L



5 5,0131 0,109 4,79946 5,22674 0,H



5 4,3677 0,503 3,38182 5,35358 1,L



0,6 0,62474 0,046 0,53458 0,7149 1, H



-0,6 -0,49708 0,075 -0,64408 -0,35008 3 (2, 1, 1) (2, 1, 1) 0,L



5 5,06415 0,077 4,91323 5,21507 0,H



5 5,3784 0,534 4,33176 6,42504 1,L



0,9 0,8589 0,029 0,80206 0,91574 1, H



-0,9 -0,93119 0,072 -1,07231 -0,79007

Model AR sebagai input awal untuk Perubahan Struktur ditentukan atas dasar lag yang signifikan pada plot PACF data masing-masing model. Dugaan untuk model dugaan

Autoregressive awal dari data simulasi model 1 dan 3 adalah AR(2) dan model 2 adalah

AR(3). Model ini kemudian diuji Perubahan Struktur untuk melihat apakah Perubahan Strukturnya signifikan. Uji untuk semua model menghasilkan nilai p_value yang lebih

besar dari nilai



(5%) mengindikasikan bahwa tidak terjadi Perubahan Struktur pada

data sebagaimana tampak dalam Tabel 4.4, sehingga pemodelan dengan Perubahan Struktur tidak akan dilanjutkan.

Tabel 4.4 Uji F untuk Perubahan Struktur data simulasi model SETAR terbaik

Tipe Model 1 Model 2 Model 3

F P_value F P_value F P_value

expF 2.449 0.2759 0.9362 0.9895 1.4779 0.6233

supF 9.5902 0.2906 3.6374 0.999 6.358 0.6873

aveF 3.4728 0.2982 1.7056 0.976 2.3202 0.6072

4.1.2. Simulasi Model Perubahan Struktur

Uji Perubahan Struktur terhadap data simulasi Perubahan Struktur model 1 sampai dengan 3 menggunakan expF, supF dan aveF mengatakan bahwa pada ketiga data simulasi (lihat Tabel 4.16) mengandung indikasi adanya Perubahan Struktur karena

semua nilai p_value <



(5%).

Tabel 4.5 Uji F untuk data simulasi Perubahan Struktur

Tipe Model 1 Model 2 Model 3

F P_value F P_value F P_value

expF 57.1718 < 2.2e-16 24.2052 9.54e-11 129.5735 < 2.2e-16

supF 123.8555 < 2.2e-16 59.367 1.089e-10 270.0999 < 2.2e-16

aveF 54.6166 < 2.2e-16 12.7411 0.0007821 32.9872 1.579e-09

Selain uji Perubahan Struktur, untuk melihat nonlinieritas dan stasioneritas data, maka dilakukan uji Terasvirta dan uji ADF.

Tabel 4.6 Hasil pengujian nonlinieritas Terasvirta data simulasi Perubahan Struktur

Model



2 P_value Ket

1 218.0485 < 2.2e-16 nonlinier

2 25.1718 3.42e-06 nonlinier

3 219.3779 < 2.2e-16 nonlinier

Tabel 4.7 Hasil pengujian stasioneritas ADF data simulasi Perubahan Struktur

Model ADF Lag P_value Ket

1 -3.9732 6 0.01074 stasioner

2 -2.8742 6 0.2078 tidak stasioner

differencing(2) -8.6582 6 0.01 stasioner

3 -1.8827 6 0.6257 tidak stasioner

differencing(3) -7.7252 6 0.01 stasioner

Pada Tabel 4.6 tampak bahwa hasil simulasi Perubahan Struktur dengan package

R 2.7.2 memenuhi sifat nonlinieritas karena semua p_value lebih kecil dari



(5%).

Walaupun data asli dibangkitkan dari sebuah model linier, namun akibat adanya Perubahan Struktur yang diberikan pada T tertentu, maka model menjadi nonlinier. Sedangkan untuk uji stasioneritas data, hanya data simulasi model 1 saja yang stasioner. Dua model yang lain belum stasioner sehingga dilakukan differencing. Uji stasioneritas terhadap data model 2 dan 3 setelah differencing menghasilkan data yang stasioner.

Tahap identifikasi tidak menangkap adanya ketidakstasioneran sebagaimana yang biasanya terjadi pada data dengan Perubahan Struktur disebabkan titik patahan diberikan pada awal data.

(a) Plot deret waktu 1 (b)Plot 1 setelah PS (c) ACF 1 (d) PACF 1

(d) Plot deret waktu 2 (e)Plot 2 setelah PS (f) ACF diff (2) (g)PACF diff(2)

(h) Plot deret waktu 3 (i)Plot 3 setelah PS (j) ACF diff (3) (k)PACF diff(3)

Gambar 4.3 Plot data simulasi Perubahan Struktur

Dugaan untuk model Autoregressive awal dari data simulasi ditentukan berdasarkan plot PACF data simulasi pada Gambar 4.3. Dugaan untuk model 1, 2 dan 3 adalah AR(3). Hal ini memberikan suatu penjelasan bahwa model awal sebelum adanya Perubahan Struktur yaitu ARI (1), namun model tersebut berubah menjadi AR(3) karena adanya titik break pada T.

Secara visual, berdasarkan plot F Statistik model 1, 2 dan 3 sebagaimana

ditunjukkan dalam Gambar 4.4 bagian (a, b dan c) terbaca adanya sebuah titik puncak, maka selanjutnya adalah mendapatkan titik break melalui nilai minimum BIC. Gambar 4.4 bagian (d, e dan f) nilai minimum BIC terjadi pada saat m (break) =1, sehingga dipilih

jumlah break optimal = 1. Hasil estimasi titik break untuk data simulasi model 1

diperoleh titik patahan terjadi pada T = 33. Ini berarti Perubahan Struktur tertangkap mulai data ke 34. Hal ini tidak sesuai dengan rancangan simulasi dimana data sebenarnya diberikan titik break pada T = 20. Hasil estimasi titik break untuk data simulasi model 2 dan terjadi pada T=175, sesuai dengan rancangan simulasi.

Setelah ditemukan parameter yang signifikan, maka dilakukan regresi stepwise terhadap parameter yang signifikan dengan cara membuat variabel dummy berdasarkan segmen yang ditentukan untuk mendapatkan model terbaiknya. Setelah melakukan

L ag A u to co rr e la t io n 45 4 0 35 30 25 20 1 5 10 5 1 1 ,0 0 ,8 0 ,6 0 ,4 0 ,2 0 ,0 -0 ,2 -0 ,4 -0 ,6 -0 ,8 -1 ,0 AutocorrelationFunction for Zt (with 5%sig nific ance li mits fo rthe autocorrel ation s)

La g P a rt ia l A u to co rr e la t io n 45 40 3 5 30 25 2 0 15 1 0 5 1 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0 PartialAutocorr elationFunctionfor Zt (with 5%sig nifi cance li mits fo rthe partia l autocorrel ation s)

Inde x Z t a sl i 30 0 27 0 24 0 21 0 18 0 150 120 90 60 30 1 3 2 1 0 -1 -2 -3 TimeSeriesPlot of Zt asli Index Z t 3 00 270 240 210 1 80 150 120 90 60 30 1 18 16 14 12 10 8 6 4 2 20 5 15 Time SeriesPlotof Zt Inde x Zt _a s li 30 0 27 0 24 0 21 0 18 0 150 120 90 60 30 1 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 TimeSeriesPlot ofZt_asli L ag A u to co rr e la t io n 45 4 0 35 30 25 20 1 5 10 5 1 1 ,0 0 ,8 0 ,6 0 ,4 0 ,2 0 ,0 -0 ,2 -0 ,4 -0 ,6 -0 ,8 -1 ,0 AutocorrelationFunctionfor Zt( diff) (with 5%sig nific ance li mits fo rthe autocorrel ation s)

La g P a rt ia l A u to co rr e la t io n 45 40 3 5 30 25 2 0 15 1 0 5 1 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0

Part ial Autocorr elationFunctionforZt (diff) (with 5%sig nifi cance li mits fo rthe partia l autocorrel ation s)

Index Z t 300 270 240 210 180 150 12 0 90 60 30 1 12 10 8 6 4 2 0 1 75 2 8 Time SeriesPlotof Zt Inde x Zt _a s li 30 0 27 0 24 0 21 0 18 0 150 120 90 60 30 1 3 2 1 0 -1 -2 -3 TimeSeriesPlot ofZt_asli Index Z t 3 00 270 240 210 1 80 150 120 90 60 30 1 18 16 14 12 10 8 6 4 2 5 15 Time SeriesPlotof Zt La g P a rt ia l A u to co rr e la t io n 45 40 3 5 30 25 2 0 15 1 0 5 1 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0

Part ial Autocorr elationFunctionforZt (diff) (with 5%sig nifi cance li mits fo rthe partia l autocorrel ation s)

L ag A u to co rr e la t io n 45 4 0 35 30 25 20 1 5 10 5 1 1 ,0 0 ,8 0 ,6 0 ,4 0 ,2 0 ,0 -0 ,2 -0 ,4 -0 ,6 -0 ,8 -1 ,0 AutocorrelationFunctionfor Zt( diff) (with 5%sig nific ance li mits fo rthe autocorrel ation s)

regresi stepwise, diperoleh estimasi model Perubahan Struktur terbaik melalui regresi

dummy.

(a) F-Statistik model 1 (b) F-Statistik model 2 (c) F-Statistik model 3

(d) F-Statistik model 1 (e) F-Statistik model 2 (f) F-Statistik model 3

Gambar 4.4 Plot F Statistik dan BIC minimum data simulasi Perubahan Struktur Estimasi nilai delay, treshold, orde AR regime lower dan regime upper dipilih melalui nilai AIC minimum untuk setiap kombinasi nilai d. Pada Tabel 4.26, nilai parameter delay yang memberikan estimasi AIC minimum pada model 1 adalah SETAR (2,1,1) dengan delay 2 dan treshold 13.10 dan AIC 858.4, model 2 adalah SETAR (2,3,1) dengan delay 2 dan treshold 5,785 dan AIC 825,3 sedangkan model 3 adalah SETAR (2,1,1) dengan delay 1 dan treshold 7,469 dan AIC 873,1.

Tabel 4.8 Hasil Estimasi nilai d, r,

p dan

1

p Simulasi Perubahan Struktur

2

d Model 1 Model 2 Model 3

AIC r

p

1

p

2 AIC r

p

1

p

2 AIC r

p

1

p

2

1 865.0 13.10 2 1 831.0 5,024 1 2 873,1 7,469 1 1

2 858.4 13.10 1 1 825.3 5,785 3 1 937,4 7,469 1 0

3 865.0 13.02 1 1 827.6 5,348 1 1 953,8 7,469 1 2

4 874.0 13.02 1 1 834.7 5,348 3 1 954,7 5,171 2 3

Model yang dipilih sebagai model Perubahan Struktur dan SETAR terbaik untuk ke tiga model adalah model yang memenuhi semua kriteria kebaikan model. Berdasarkan tabel 4.9, diperoleh bahwa MSE model Perubahan Struktur pada data Simulasi 1 sama dengan SETAR yaitu 1, akan tetapi pada model 2 dan 3 lebih baik dengan MSE yaitu 0,9 dan 1 lebih kecil daripada MSE model SETAR. Jumlah parameter yang sesuai dengan rancangan simulasi berdasarkan konfiden interval parameter pada model Perubahan Struktur ada 3 sedangkan pada SETAR ada 6. Berdasarkan nilai MSE terkecil dapat

disimpulkan bahwa pemodelan data simulasi Perubahan Struktur lebih baik jika dimodelkan dengan model Perubahan Struktur dibandingkan dengan model SETAR.

Tabel 4.9 Ringkasan hasil estimasi konfiden interval parameter simulasi Perubahan Struktur

Model Regime Para

meter Koef SE Koef MSE Konfiden Interval 95% min max 1 Perubahan Struktur Segmen 1



0,1 7,8000 1,174 1 5,499 10,101 1,1



-0,5918 0,238 -1,058 -0,125 Segmen 2



0,2 19,0519 0,768 17,547 20,557 1,2



-0,2737 0,051 -0,374 -0,174 SETAR (2,1,1) Regime Lower



0,L 1,401 0,401 1 0,6150 2,1870 1, L



0,847 0,037 0,7745 0,9195

Regime Upper



0,U 20,437 1,006 18,465 22,409

1,U



-0,365 0,067 -0,496 -0,234 2 Perubahan Struktur Segmen 1



0,1 0,5231 0,12120 0,9 0,1595 0,8867 1,1



0,7296 0,05024 0,5789 0,8803 Segmen 2



0,2 4,3195 0,58010 2,5792 6,0598 1,2



0,4564 0,07301 0,2374 0,6754 SETAR (2,1,1) Regime Lower



0,L 0,4902 0,12060 1 0,1284 0,852 1, L



0,7634 0,04695 0,6226 0,9043

Regime Upper



0,U 3,7504 0,68700 1,6894 5,8114

1,U



0,5287 0,08595 0,2709 0,7866 3 Perubahan Struktur Segmen 1



0,1 20,652 1,093 1 18,510 22,794 1,1



-0,380 0,0729 -0,523 -0,237 Segmen 2



0,2 5,5696 0,3259 4,931 6,208 1,2



-0,125 0,0623 -0,247 -0,003 SETAR (2,1,0) Regime Lower



0,L 6,709 0,5745 2 5,583 7,835 1, L



-0,361 0,1147 -0,586 -0,136

Regime Upper



_0,U 14,856 0,0961 14,668 15,044

4.2 Studi Kasus Data Inflasi Surabaya

Data Inflasi diduga seringkali mengalami pergeseran mengikuti pola

perkembangan ekonomi masyarakat. Pergeseran ini akan ditangkap melalui model SETAR dan Perubahan Struktur. Data yang digunakan adalah data bulanan inflasi di Surabaya mulai Januari tahun 1989 sampai dengan Desember 2008. Dari 240 data, 220 data akan digunakan untuk pemodelan sedangkan 20 data untuk validasi.

Jika diamati pada Gambar 4.5, plot deret waktu data inflasi menunjukkan ada beberapa loncatan data yang signifikan yaitu Oktober 1997 sampai dengan Agustus 1998 dan Oktober 2005. Selain nilai-nilai tersebut dari diagram boxplot juga tampak ada 14

D at a Des Nop Okt Sept A gust Ju l Jun Mei A pr Mar Feb Jan 1 2,5 1 0,0 7,5 5,0 2,5 0,0 1 0 10 1 0 10 71 1 0 1 3 1 0 2 11 10 1 0 17 9

Boxpl ot Z(t) berdasarkan Bul an

Zt Year Month 200 7 2004 2001 19 98 1995 1992 1989 Jan Jan Jan Jan Jan Jan Jan 12,5 10,0 7,5 5,0 2,5 0,0 Okt/ 97 A gust/98 Okt/05 Ti me Series Pl ot of Zt Lag A ut o co rr el at io n 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1 1, 0 0, 8 0, 6 0, 4 0, 2 0, 0 -0, 2 -0, 4 -0, 6 -0, 8 -1, 0

Autocorrelation Function for Zt

(with 5% significance limits for the autocorr elations)

La g Pa rt ia lA ut oc or re la tio n 45 40 35 30 25 2 0 15 10 5 1 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 - 0,2 - 0,4 - 0,6 - 0,8 - 1,0

Parti al Autoc orr el ati on Func ti on for Zt

(with 5% significance limits f or t he par tial autocor relations)

Oktober 1997, Januari sampai dengan Juni 1998, Agustus 1998, Juli 1999, Juni 2001 dan Oktober 2005. Beberapa outlier yang dapat dideteksi penyebabnya yaitu tingginya inflasi pada bulan Mei 1990 adalah adanya kenaikan BBM, Juni 1991 merupakan efek akibat naiknya BBM sebesar 22%. Kemudian terjadinya krisis moneter pada bulan Juli 1997 memberikan dampak yang relatif panjang yaitu pada bulan Oktober 1997 inflasi mulai meningkat tajam sampai dengan bulan Agustus 1998 inflasi tidak stabil. Januari 1999 terjadi kenaikan disebabkan Idul Fitri. Kenaikan BBM sebesar 125% pada Oktober 2005 juga menimbulkan lonjakan pada tingkat inflasi di Surabaya. Sedangkan terjadinya outlier pada bulan April 1989, April 1996, Juli 1999 dan Juni 2001 tidak terdeteksi penyebabnya oleh peneliti.

(a)

Plot deret waktu data inflasi

(b)

Diagram Boxplot inflasi per bulan Gambar 4.5 Plot deret waktu dan Boxplot data inflasi

Rangkuman hasil uji stasioneritas dan nonlinieritas Terasvirta untuk data inflasi ditampilkan pada Tabel 4.10 sudah memenuhi sifat nonlinieritas dan stasioneritas data

karena semua p_value lebih kecil dari



(5%).

Tabel 4.10 Uji nonlinieritas Terasvirta dan stasioneritas ADF data inflasi

Uji Nonlinieritas Uji Stasioneritas (ADF)

2



P_value Ket ADF Lag P_value Ket

11,0498 0,003986 nonlinier -3,7522 6 0,02232 stasioner

(a) Plot ACF data inflasi (b) Plot ACF data inflasi

Gambar 4.6 Plot ACF dan PACF data inflasi

Pemodelan data dengan SETAR dilakukan dengan beberapa tahap, sebagaimana telah disebutkan pada subbab sebelumnya. Setelah dilakukan uji stasioneritas dan

Z( t) Year Mont h 2007 2004 2001 1998 1995 1992

1989J an J an Jan Jan J an Jan Jan 12,5 10,0 7,5 5,0 2,5 0,0 1,77 V ar iab l e Z t(L) Z t(U) T ime S erie s Plot o f Z td en ga n pe rpin da ha n reg ime L owe r da n Up per

Z( t-1) Year Mont h 2007 2004 2001 1998 1995 1992

1989J an J an Jan Jan J an Jan Jan 12,5 10,0 7,5 5,0 2,5 0,0 1,77 V ar iab l e Z t-1(L ) Z t-1(U) T ime S erie s Plot o f Z (t-1) d en gan pe rpi nda ha n reg ime L ow er da n Up per

Z(t-1) Z( t) 12,5 10,0 7,5 5,0 2,5 0,0 12,5 10,0 7,5 5,0 2,5 0,0 1,77 1,77 Variable

Z(t)_Lower(a) * Z(t-1) _Low er (a) Z(t)_Upper(a) * Z(t-1) _Low er (b) Z(t)_Lower(b) * Z(t-1)_Upper(a) Z(t)_Upper(b) * Z(t-1)_Upper(b ) Scatterplot of Z(t) vs Z(t-1) Data Inflasi

90,32% 9,68% 45,45% 54,54% B D A C

nonlinieritas, pemodelan dengan SETAR perlu mengestimasi nilai delay, treshold, orde AR regime lower dan regime upper.

Estimasi nilai delay, treshold, orde AR regime lower dan regime upper (Tabel 4.11) dipilih melalui nilai AIC minimum (MAIC) yaitu model SETAR (2,1,10) dengan

delay 1, treshold 1,7715 dengan AIC 657,7856.

Tabel 4.11 Hasil Estimasi nilai d, r,

p

₁ dan

p

₂ data inflasi

d r

p

1

p

2 AIC

1 1,7715 1 10 657,7856

1 1,7715 2 10 659,7840

Gambar 4.7 (a) menunjukkan data inflasi yang dibagi menjadi 2 regime berdasarkan nilai

treshold pada 1,7715. Treshold ini membagi data inflasi menjadi 186 data masuk pada regime lower dan 33 data masuk pada regime upper.

(a) Plot data deret waktu

Z

t

(b) Plot data deret waktu

Z

t1 (c) Plot

Z

tdengan

Z

t1

Gambar 4.7 Plot data deret waktu

Z

_tdan

Z

_t1 regime lower dan upper

Gambar 4.7 menjelaskan daerah A merupakan daerah Lower-Lower sebanyak 168 data, daerah B merupakan daerah Lower-Upper sebanyak 18 data, daerah C merupakan

Upper-Lower sebanyak 18 data dan daerah D merupakan daerah Upper-Upper sebanyak 15 data.

Data yang jatuh pada regime lower, memiliki kemungkinan besar akan tetap di regime

lower sebesar 90,32%, kemungkinan berpindah pada regime upper hanya sebesar 9,68%.

Sedangkan data yang jatuh pada regime upper, memiliki kemungkinan untuk berpindah pada regime lower sebesar 54,54%, dan kemungkinan tetap pada regime upper sebesar 45,45%. Model yang sudah di dummy ini kemudian didekati dengan metode OLS melalui

pendekatan regresi Stepwise menggunakan bantuan package Minitab 14. Setelah

diperoleh model terbaik melalui regresi stepwise dilakukan regresi terhadap regime lower dan regime upper.

Model SETAR terbaik yaitu yang memenuhi syarat signifikansi parameter dan signifikan dalam uji white noise adalah model SETAR (2;0,[1,4,5,6,8,10,12]) walaupun normalitas residual belum terpenuhi. Ketidaknormalan residual pada Model SETAR disebabkan masih banyak titik yang dekat dengan garis treshold yang merupakan data pencilan yang tidak dihilangkan.

Secara matematis, model terbaik dari model SETAR untuk data inflasi surabaya dapat dituliskan sebagai berikut :

, 1 ( 1), ( 4), ( 5), ( 6), ( 8), ( 10), 0, 65045 1, 7715 0,5893 0, 2892 0,312 0,3973 1,1626 0,5854 0 t L t t t U t U t U t U t U t U a jika Z Z Z Z Z Z Z Z                , 4363Z( 12),t U at U, jika Zt1 1, 7715         

Kejadian-kejadian khusus inflasi selama kurun waktu 1989 sampai dengan 2008 dihubungkan dengan model SETAR terbaik. Berikut akan dijelaskan 3 kejadian pertama dari kejadian-kejadian khusus tersebut. Bulan Mei 1990 (t=17) terjadi kenaikan BBM,

t

Z

masuk pada regime lower dan baru pindah ke regime upper 2 bulan setelahnya yaitu

Juli 1990 (t=19). Bulan Juli 1991 (t=31) terjadi kenaikan BBM lagi,

Z

_tsebelum dan pada

saat kejadian masuk pada regime lower dan baru pindah ke regime upper pada bulan Agustus dan September (t=32 – 33) dan setelah itu kembali ke regime lower. Selanjutnya

pada bulan Juli 1997 (t=103) terjadi krisis moneter,

Z

tmasuk pada regime lower dan

baru pindah ke regime upper 4 bulan setelahnya selama 11 bulan berturut-turut yaitu

bulan Nov 1997 sampai dengan September 1998. Bulan Oktober 1998

Z

tkembali masuk

pada regime lower. Ini menunjukkan efek dari krisis moneter baru dirasakan 4 bulan setelah kejadian dan bertahan selama hampir satu tahun tingkat inflasi diatas 1,7715

Dugaan orde ARIMA berdasarkan Gambar 4.6 adalah ARIMA ([1,3,5,6,8],0,0), ARIMA ([0,1,3,5,6,8],0,0), ARIMA ([0,1,3,5,8,12],0,0) dan ARIMA ([1,5,8],0,[1,3]). Perbandingan nilai MSE dan AIC memperlihatkan model ARIMA ([0,1,3,5,6,8],0,0) memiliki nilai MSE terkecil sebesar 1,7646 dan memenuhi semua kriteria kebaikan model sehingga model ini dipilih sebagai model terbaik sekaligus sebagai input awal bagi model Perubahan Struktur.

Hasil uji Perubahan Struktur menggunakan expF, supF dan aveF mengatakan bahwa data inflasi surabaya (lihat Tabel 4.12) mengandung indikasi adanya Perubahan

Struktur karena semua nilai p_value <



(5%).

Tabel 4.12 Uji F Perubahan Struktur untuk data Inflasi Tipe F P_value Kesimpulan

expF 9.0554 0.009014 ada

Perubahan Struktur

supF 28.0995 0.002906

aveF 11.7327 0.01569

Dugaan untuk model Autoregressive awal dari data inflasi ditentukan berdasarkan model ARIMA terbaik yang telah diperoleh sebelumnya, yaitu dengan memasukkan lag ke-1, dan 3, 5, 6 dan 8 sebagai variabel prediktor model awal. Secara visual, berdasarkan

plot F Statistik terbaca adanya dua buah titik puncak, maka selanjutnya sedangkan nilai minimum BIC terjadi pada saat m (break) =2, sehingga dipilih jumlah break optimal = 2. Hasil estimasi titik break untuk data simulasi model 1 diperoleh titik break terjadi pada

T=89 dan 110, Setelah melakukan regresi stepwise, diperoleh estimasi model Perubahan

Struktur terbaik melalui regresi dummy.

Uji signifikansi parameter untuk model Perubahan Struktur data inflasi dengan 2

break dan 3 break (sebagai pembanding) menunjukkan semua parameternya signifikan.

Model Perubahan Struktur (3;0,[1,3],[1,3,5,6,8]) memiliki nilai MSE dan AIC sedikit lebih tinggi daripada model kedua, akan tetapi syarat white noise normalnya terpenuhi, sedangkan model kedua, yaitu Perubahan Struktur (4;0,[1,3],[1,3,5,6,8],0) hanya memenuhi syarat white noise residual sedangkan hasil pengujian Kolmogorov Smirnov tidak signifikan. Sehingga model Perubahan Struktur (3;0,[1,3],[1,3,5,6,8]) dipilih sebagai model terbaik.

Bulan Mei 1990 dan Juli 1991 yang terjadi kejadian khusus berupa kenaikan BBM (Tabel 2.2) menjadi 1 segmen pada segmen pertama. Segmen kedua memuat kejadian khusus krisis moneter pada tahun 1997. Kejadian khusus lainnya berkumpul pada segmen ketiga.

Model dengan 2 break yaitu Perubahan Struktur (3;0,[1,3],[1,3,5,6,8]) jika dituliskan dalam persamaan matematis adalah sebagai berikut :

,1 ( 1),2 ( 1),2 ,2 ( 1),3 ( 3),3 ( 5

0, 717

89

0, 941

1, 01

89

110

0, 378

0,158

0, 225

t t t t t t t t

a

jika

T

Z

Z

a

jika

T

Z

Z

Z

Z

    









 







),3 ( 6),3 ( 8),3 ,3

0,176

0, 228

110

t t t

Z

Z

a

jika

T

 













 





_

_

_



Gambar 4.8 Plot deret waktu

Z

_tberdasarkan pembagian 3 segmen dan 4 segmen

Pembandingan model ARIMA, SETAR dan Perubahan Struktur data inflasi Surabaya didasarkan pada nilai MSE dan AIC. Semua model yang dipilih telah memenuhi syarat white noise residual walaupun semuanya tidak normal. Untuk ramalan in sample, model SETAR(2,0,[1,4,5,6,8,10,12]) memberikan estimasi paling akurat dengan nilai MSE terkecil 1,329 dan AIC sebesar 1,20032. model Perubahan Struktur

Z( t) Ye ar Mo nth 2007 200 4 20 01 19 98 1 995 1 992 198 9 Ja n Jan Jan Ja n Ja n Jan Jan 1 2,5 1 0,0 7,5 5,0 2,5 0,0 Ja n/0 2 Ja n/0 2 Mei/96 F eb/98 Time Series Plot of Z(t)

Z( t) Ye ar Mo nth 2007 200 4 20 01 19 98 1 995 1 992 198 9 Ja n Jan Jan Ja n Ja n Jan Jan 1 2,5 1 0,0 7,5 5,0 2,5 0,0 Mei/96 F eb/98 Time Series Plot of Z(t)

memberikan hasil ramalan in sample terbaik kedua dengan MSE 1,388 dan AIC sebesar 1,21786. Model ARIMA adalah model dengan nilai ramalan in sample yang memiliki nilai MSE dan AIC paling besar.

Tabel 4.13 Perbandingan Kebaikan Model (In Sample) Berdasarkan Kriteria

MSE dan AIC

Model MSE AIC

Asumsi Residual White Noise Normal ARIMA ([0,1,3,5,6,8],0,0) 1,764581 1,30325 Ya Tidak SETAR (2,0,[1,4,5,6,8,10,12]) 1,329 1,20045 Ya Tidak PS (3;0,[1,3],[1,3,5,6,8]) 1,388 1,21786 Ya Tidak

Tabel 4.14 Perbandingan Kebaikan Model (Out Sample)

Model n k MSE RMSE

ARIMA ([0,1,3,5,6,8],0,0) 5 6 0,21220 0,46066 10 6 0,32360 0,56886 15 6 0,71670 0,84658 20 6 1,05972 1,02943 SETAR (2,0,[1,4,5,6,8,10,12]) 5 8 0,11130 0,33362 10 8 0,19459 0,44112 15 8 0,60153 0,77558 20 8 0,77291 0,87915 Perubahan Struktur (3;0,[1,3],[1,3,5,6,8]) 5 8 0,25428 0,50426 10 8 0,68423 0,82718 15 8 1,88545 1,37312 20 8 2,07490 1,44045

Gambar 4.9 Plot deret waktu Zt, ramalan in sample dan out sample

Model SETAR, ARIMA dan Perubahan Struktur

Demikian pula jika dilihat dari ramalan out sample nya, estimasi model SETAR(2,0,[1,4,5,6,8,10,12]) memberikan estimasi paling akurat dengan nilai MSE

D a ta Y ear M onth 200 7 20 04 2001 1998 1995 1 992 1 989 Jan Jan Jan Jan Ja n Jan Ja n 1 2,5 1 0,0 7,5 5,0 2,5 0,0 -2,5 -5,0 Var iable Forec ast ARIM A Forec ast ARIM A_out Forec ast SETA R Forec ast SETA R_out Forec ast PS Forec ast PSout Zt ac tual

Time Ser ies Plot of Zt; actual; Forecast ARI; Forecast ARI; ...

D at a Yea r Mon th 2 008 20 07 2 006 De s Ag ust Ap r Des Agu st Apr De s Agust Ap r 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 Variab le A RIM A_out SETA RO ut sample PS out low er _out upper_out Zt ac tual

terkecil 0,8904 untuk ramalan 5 tahap ke depan, 1,5567 untuk ramalan 10 tahap ke depan, 4,8122 untuk ramalan 15 tahap ke depan dan 6,1833 untuk ramalan 20 tahap ke depan. Demikian pula nilai RMSE untuk model SETAR menunjukkan yang paling baik untuk peramalan jangka pendek, menengah ataupun panjang. MSE dan AIC minimum baik untuk ramalan 5 tahap, 10 tahap, 15 tahap maupun 20 tahap ke depan. Model ARIMA memberikan hasil MSE dan RMSE yang lebih baik dibandingkan dengan Perubahan Struktur untuk ramalan 5, 10, 15 dan 20 tahap ke depan.

5. KESIMPULAN DAN SARAN 5.1. Kesimpulan

I. Studi simulasi terhadap model SETAR dan Perubahan Struktur dirumuskan

kesimpulan sebagai berikut :

a. Pembangkitan parameter yang dekat dengan 0 pada model SETAR akan

menyebabkan data tidak terdeteksi sebagai nonlinier akibatnya peramalan dengan SETAR tidak sesuai dengan rancangan.

b. Pembangkitan titik break yang diletakkan kurang dari 10% jumlah data pada awal atau akhir data untuk model Perubahan Struktur menyebabkan tidak tepatnya Minimum BIC membaca titik break.

c. Model-model SETAR belum tentu dapat dianalisis dengan Perubahan Struktur,

umumnya model SETAR tidak signifikan ketika dilakukan uji Perubahan Struktur, akan tetapi model Perubahan Struktur dapat dianalisis dengan SETAR II. Penerapan model SETAR dan Perubahan Struktur terhadap data inflasi di kota

Surabaya dirumuskan kesimpulan sebagai berikut

a. Model terbaik SETAR, ARIMA dan Perubahan Struktur untuk data Inflasi adalah

SETAR (2;0,[1,4,5,6,8,10,12]), ARIMA([0,1,3,5,6,8],0,0) dan Perubahan

Struktur (3;0,[1,3],[1,3,5,6,8])

b. Pembandingan model ARIMA, SETAR dan Perubahan Struktur data inflasi

Surabaya didasarkan pada nilai MSE dan AIC. Untuk ramalan in sample, model SETAR memberikan estimasi paling akurat dengan nilai MSE terkecil. 1,329 dan AIC sebesar 1,20045. model Perubahan Struktur memberikan hasil ramalan in

sample terbaik kedua dengan MSE 1,388 dan AIC sebesar 1,21786. Model

ARIMA adalah model dengan nilai ramalan in sample yang memiliki nilai MSE dan AIC paling besar.

c. Untuk ramalan out sample, estimasi model SETAR (2,0,[1,4,5,6,8,10,12]) menunjukkan nilai MSE dan RMSE minimum baik untuk ramalan 5 tahap, 10 tahap, 15 tahap maupun 20 tahap ke depan. Model ARIMA adalah model dengan nilai ramalan out sample terbaik kedua sedangkan model Perubahan Struktur memberikan nilai MSE yang paling besar.

5.2. Saran

Beberapa saran yang dapat diberikan dalam tesis ini antara lain:

1. Melakukan uji deteksi Outlier pada model ARIMA sebagai input model Perubahan Struktur serta menambahkan uji ARCH dan GARCH pada residual

untuk mendapatkan model yang memenuhi asumsi white noise pada residual model.

2. Untuk memperdalam kajian penelitian, pada kajian simulasi disarankan menggunakan model SETAR dan Perubahan Struktur ber-order lebih dari satu. 3. Untuk melihat keandalan model SETAR dan Perubahan Struktur maka

model-model tersebut perlu dibandingkan dengan model-model-model-model data deret waktu nonlinier lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

Andrews, D.W.K., Ploberger W., (1994). “Optimal tests when a nuisance parameter is present only under the alternative”, Econometrica, 62, hal. 1383–1414.

Balke, N. S. (1993), “Detecting Level Shifts in Time Series,” Journal of Business and

Economic Statistics, 11, 81–92.

Bai, J., Perron, P., (2003), “Computation and analysis of multiple Structural Change models”, Journal of Applied Econometrics, 18, hal. 1–22.

Box, G. E. P. dan G. M. Jenkins, dan G. c. Reinsel. (1994), Time Series Analysis:

Forecasting and Control. Edisi ketiga. Prentice-Hall International, Inc. New

Jersey.

Cobb, G. W. (1978), “The Problem of the Nile: Conditional Solution to a Change-Point Problem,” Biometrika, 65, 243–251.

Chow, G. C. (1960), “Tests of Equality Between Sets of Coefficients in Two Linier Regressions,” Econometrica, 28, 591–605.

Granger, C.W.J, dan Teräsvirta T., (1999): “A simple nonlinier time series model with misleading linier properties”. Economics Letters 62, 161-165

Harvey, A. C. dan Durbin, J. (1986), “The Effects of Seat Belt Legislation on British Road Casualties: A Case Study in Structural Time Series Modelling (with Discussion),” Journal of the Royal Statistical Society A, 149, 187–227.

Makridakis, S., S. C. Wheelwright, dan V. E. McGee. (1993), Metode dan Aplikasi

Peramalan, Jilid Pertama, Edisi Kedua. Alih bahasa : Untung S. A. Dan Abdul B.

Penerbit Erlangga. Jakarta.

Ruey S. Tsay (2005). “Analysis of Financial Time Series”, Second Edition; Wiley A John Wiley and Sons Inc.

Salamah, M, Suhartono, dan Wulandari, S.P., (2003), Analisis Time Series, Buku Ajar : Analisis Time Series, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.

T. Teraesvirta, C. F. Lin, dan C. W. J. Granger (1993). “Power of the Neural Network Linearity Test”. Journal of Time Series Analysis 14, 209-220.

Tong, H., (1983). Treshold Models in Non-linier Time Series Analysis. Springer, New York.

Tong, H., (1990) Non-Linier Time Series: A Dynamical System Approach. Oxford University Press, Oxford.

Zeileis A, Leisch F, Hornik K, Kleiber C., (2002), “Strucchange: An R package for testing for Structural Change in linier regression models”, Journal of Statistical

Software, 7(2), hal.1–38. URL

Zeileis, A., Kleiber, C., Kr¨amer, W., Hornik, K., (2003). “Testing and Dating of

Structural Changes in Practice”, Computational Statistics & Data Analysis,