B A B I I I
K E T U N G G A L A N S O L U S I P E R I O D I K
P E R S A M A A N D I F F E R E N S I A L T I I N D A A N
3.1 P E R S A M A A N D I F F E R E N S I A L T U N D A A N
Suatu persamaan differensial disebut Persamaan D i f f e r e n s i a l T u n d a a n ( D i f f e r e n t i a l D e l a y E q u a t i o n s ) , jika i)ada persamaan terdapat l u i b u n g a n
ketergantungan dari w a k t u sebeium dan w a k l u sekarang.
Sebagai c o n t o h persamaan ; v " ( t ) = y (t - / r ) mervq)akan Persamaan T u n d a a n
dengan ' i ' > 0.
Suatu contoh dari Persamaan D i f f e r e n s i a l T u n d a a n dapat d i a m a t i dapat d i a m a t i
dari fen omen a b e r i k u t :
Suatu larutan air garam y a n g m e n g a l i r kedalam sebuah t a n k i dengan
jundah 0 liter / menit dan m e n g a l i r keluar dengan jundah 5 liter / menit. T e n t u k a n l a h konsentrasi dari larutan garam tersebut sebagai fungsi dari w a k t u .
Solusi : Karena perbedaan antara larutan yang m e n g a l i r k e d a l a m dan keluar t a n k i
sebesar (6 ~ 5) liter / menit, maka v o l u m e di d a l a m t a n k i seteiali I menit
adalah :
( 5 1 / m e n i t )
1000 + t
^'^^ -kg I menit 1000 + /
O u t p u t perubahan dari masalah a w a l y a n g d i b e r i k a n pada fenomena tersebut dapat
Persamaan D i f l e r e n s i a l L i n i e i ( 3 . 1 , 1 ) dapat diselesaikan dengan perluasan f a k t o r integrasi : [^ ( t ) = ( 1 0 0 0 + 1 ) \ seliingga d i p e r o l e l i :
(I
dt
(IOOO + t) \ v J= 6 ( 1 0 0 0 + t ) ' (lOOO + t ) \ r = (IOOO + t ) " + c \ ( t ) = (IOOO + t ) + c(IOOO + t ) " ' Dengan m e n g g u n a k a n m e n g g u n a k a n syarat a w a l x ( 0 ) = 0 d i p e r o l e h c = - ( 1 0 0 0 ) ' ' .ladi solusi ( 3 . 1 , 1 ) adalah :X ( t ) = ( 1 0 0 0 + t ) ~ ( 1 0 0 0 ) ' ' ( 1 0 0 0 + t ) ' '
Seliingga konsentrasi larutan g a r a m d a l a m t a n k i jiada w a k t u t adalah :
^'^ = / - (1000)'' (\OQO + t)-' kg/ I ( 3 . 1 . 2 )
inoo + t ' ' • ' ^
Konsentrasi y a n g d i b e r i k a n dari persamaan ( 3 . 1 . 2 ) m e n d e k a l i I k g / 1 u n t u k t - > o o .
B e n t u k Persamaan :
.v' ( t ) = 6 - ^ ^ x ( t - 1 „ ) , dengan x ( t ) = 0 u n t u k t e f - t o o ]
disebut D i f f e r e n s i a l Persamaan T u n d a a n dengan p o s i t i p to konsta.nta
Suatu Persamaan D i f f e r e n s i a l I i n i e i ' T u n d a a n sederhana :
/ / ' ( t ) - a u ( t - b ) ( 3 . 1 . 3 )
Persamaan ( 3 . 1 . 3 ) m e n i p u n y a i solusi :
// = c e" , u n t u k c konstanta ,
dan s m e m e n u l i i Persamaan Transendental:
s = a e-'^'
Solusi ( 3 . 1 . 3 ) u n t u k I > 0 dapat digunakan m e t o d e l a n g k a l i - l a n g k a l i ( M e t h o d o f
Steps) dengan asumsi u ( t ) = f ( t ) u n t u k - b < t < 0.
U n t u k 0 < t < b , persamaan ( 3 . 1 . 3 ) menjadi :
/ / ' ( t ) = a u ( t - b ) = a f ( t - b ) .
Jadi // ( t ) = ("r/ f{v-b)dv + u ( 0 ) 0
Dengan ii ( I ) dalam [ 0 . b] , prosccliir dapat berulang seliingga.
/ / ( t ) r . : j r / u ( v - A ) ( ^ v + u ( 0 ) . (I
Sedangkan u n t u k b < t < 2b, maka prosedur b c i l a n j u t tak teibatas.
Dengan menggunakan m e t o d e banyak langkah, persamaan pada masalah n i l a i
awal :
/ / ' ( t ) = u ( t - l ) , u ( t ) = l dalam [ - 1 , 0 ] adalah :
" t - ( k - 1 ) *
// ( t ) = ^ — . n - 1 < t < n dengan n b i l a n g a n bulat non negatip.
3.2 K E T U N G G A L A N S O L I I S I P E R I O D I K P E R S A M A A N D I F F E R E N S I A L T U N D A A N
Suatu Persamaan DifFereiisial Tundaan dapat d i t u l i s k a n d a l a m b e n t u k :
r ' ( t ) = - / / x ( t ) - f ( x . t - « ) ( 3 . 2 , 1 )
dimana n > 0 dan a > 0 nierupakan konstanta dan f : R—> R nierupakan fungsi
k o n t i n u yang m e n i e n u h i f ( 0 ) = 0,
K c t u n g g a l a n solusi persamaan ( 3 . 2 . 1 ) dapat d i t e l i t i dari o i b i t solusi p e r i o d i k
berorintasi lambat pada b i d a n g phase (x ( t ) . . v ' ( t ) ) .
O r b i t - o r b i t ( d a l a m R^) sepanjang k u r v a t e i t u t u p sederhana m e n g e l i l i n g i t i t i k O
( l i n g k a r a n ) pada b i d a n g diatas. Dengan meneganti x denean V , . persamaan
( 3 . 2 . 1 ) dapat d i t u l i s k a n sebagai:
. Y' ( t ) = - / / x ( t) - / t f [ ^ x ( t- Q ' )] dengan a > 0 ( 3 . 2 . 2 )
K c t u n g g a l a n solusi ( 3 . 2 , 2 ) dajiat d i l e l u s i u i d a r i variasi o r b i t - o r b i t dari
Solusi P e r i o d i k Berosilasi L a m b a t ( S P O L ) dengan X dan a b e i t a m b a h / naik
( i n crease).
M i s a l k a n T ( a , X) nierupakan o r b i t S P O L dari ( 3 . 2 . 2 ) dalam R" y a n g d i t u n j u k k a n
dengan (X: < a i > 0 dan X2> X]> 0 sedeniikian hingga T( a : , X2) dan T( a i , Xi) ada,
maka T( a 2 . X2) berada dalam ekstensior T( a i . X\). .
Definisi 1 : Suatu solusi p e r i o d i k x dari ( 3 . 2 . 1 ) dengan p e r i o d i k r/ d i k a t a k a n
solusi p e r i o d i k berosilasi lambat ( S P O L ) j i k a terdapat p > a
sedeniikian hingga 2 - p > a dan x ( t ) > 0 u n t u k t e ( o , p ) dan
Suatu statement ( H ) : misalkan f^O) = 0 dan asumsikan terdapat a > 0, b > 0
(berhingga atau tak liingga ) sedeniikian l i i n g g a :
( i ) f ( \ ) adalali c' dan / ' ( x ) > 0 u n t u k setiap \ e(-a. b ) , / ' n i 0
( i i ) /? ( x ) < 1 , m o n o t o n t u r u n dalam x e (a, b ) dan m o n o t o n n a i k d a l a m f ( x )
X e (-a. 0).
T e o r c m n I : A s u m s i k a n ( H ) d i p e n u l i i oleh a o dan b 0 dan d e l l n i s i k a n
c o s p = - ( / ' ( 0 ) | | . i ) - ' . p e [ i . ; r ] dan
( ( / ' ( 0 ) j / / ) - - I ) - ' ( 3 . 2 . 4 )
dengan | . i > 0, maka u n t u k setiap a > Q d terdapat satu S P O L dari ( 3 . 2 . 1 ) yang m e n i e n u h i - a < x ( t ) < b u n t u k setiap t. U n t u k a > ao
t i d a k terdapat S P O L dan ( 3 . 2 . 1 ) . Selanjutnya j i k a x merujiakan
S P O L dari ( 3 . 2 . 1 ) y a n g m e n i e n u h i - a < x ( t ) < b u n t u k setiap t dan
r( a ) = { . V( / • ) , . r ' ( t ) : t e R} nierupakan o r b i t dari x dalam R \ maka
T adalah k u w a t e i t u t u p sederhana m e n g e l i l i n g i l i n g k a r a n dan
T{a^) adalah penutup ( c l o s u r e ) dari e x t e r i o r o r b i t T{aj)dengan
a2> ci] sedeniikian hingga r( a| ) d a n T(a-,) ada.
B u k t i K c t u n g g a l a n T e o r e n i a 1 :
Jika l u i t u k beberapa a > 0. tersapat dua S P O L y a n g berbeda x i dan x : dari
( 3 . 2 . 1 ) dan m i s a l k a n T, dan T, meruiiakan o r b i t dari X | dan X 2 d a l a m R^ sedangkan 7", dan 7", nierupakan k u i v a t e i t u t u p sederhana m e n g e l i l i n g i t i t i k a w a l
y a n g t i d a k i d e n t i k . Terdapat p > 1 sedeniikian hingga o r b i t dari y i = p x i t i d a k
d i d a l a m e x t e r i o r o r b i t X2 atau o r b i t dari v ; p x ; t i d a k d i d a l a n i e x t e r i o r X | (atau keduanya).
Jadi y i dan x : atau y : dan X | nierupakan S P O L dari ( 3 . 2 . 2 ) u n t u k ( a . X) = (ex, p )
dan ( a . I ) .
U n t u k k e t i d a k t u n g g a l a n dari ( \ \ ) terdapat suatu biperkasi H o | ) f dari S P O L pada
( 3 . 2 . 1 ) pada a = ao.
Jadi terdapat suatu barisan | a „ / denaan -^a„\yi\da //—>oodan S P O L y,, ".,= 1
dari ( 3 . 2 . 1 ) u n t u k a = a„ dengan sup .v„ / 0 pada / / - » o o .
M i s a l k a n terdapat S P O L x dari ( 3 . 2 . 1 ) u n t u k a e ( O. . Y „ ) . sedangkan o r b i t x
dalam R ' nierupakan k u i v a t e i t u t u p sederhana m e n g e l i l i n g i l i n g k a r a n , maka
terdapat suatu b i l a n g a n p o s i t i p m sedeniikian hingga a,,, > a dan o r b i t dari y,,,
adalah d i d a l a m i n t e r i o r dari o r b i t .v .
Jadi t i d a k terdapat S P O L dari ( 3 . 2 . 1 ) u n t u k cx e ( O . Qo) . A k i b a t Teorenia i
dengan ( H ) y a n g m e n i e n u h i u n t u k suatu a > 0 dan b > 0, dengan asumsi n = L dan
d i d e f n i i s i k a n F ( x ) = - f ( x ) u n t u k - b < x < a. dan fisunisikan terdapat suatu sub
intei-val dari (-a, b ) sedeniikian hingga
l i m sup F " ( / ) c -a.b
u n t u k suatu sub i n t e w a l k o m p a k I dari (-a.b) dengan F" nierupakan iterasi
dari F.
Jika X() t e r d e f i n i s i pada ( 3 . 2 . 2 ) , maka t i d a k terdapat S P O L dari ( 3 . 2 . 1 ) dengan cx
a > a o dan j i k a a ( a ) ( a > c/;). meriipakan orbit dari (3.2.1) dalam maka 'l'(ai)
adalali p e n i i t u p ( c l o s i i r c ) dari exterior orbit T{az) dimana a ; > a \ > ao.
M i s a l k a n ( H ) d i p e n u l i i oleli a = b = + co dan 1"menipunyai batas bawah dan u n t u k
|.i = 0 dan « „ =-/r ^ {2 f (0)) maka t i d a k terdapat S P O L dari (3.2.1) dengan
a dalam (0. ao) dan terdapat S P O L y a n g t u n g g a l dari (3.2.1) u n t u k setiap a > 0.
seliingga j i k a T( a ) (a > 0) meruiiakan orbit dari S P O L (3.2.1) dalam R ' , maka
T(ai) berada dalam e x t e r i o r dari o r b i t T( a 2 ) dengan a : > a i > 0.
Suatu ( H ) yang d i p e i i u h i oleh a dan b, j i k a x S P O L dari (3.2.1) dengan p e r i o d e q
dengan x ( t ) e (-a, h) u n t u k semua t, maka y ( t ) =^ \-'{t) berosilasi lambat dengan
l;-- li > a dan t i + q i -1 : > a.
T e o r e n i a 2 : M i s a l k a n i i i e i i i n u h i ( H ) u n t u k beberapa a > 0, b > 0 dan m i s a l k a n x
nierupakan S P O L dari 93.2.20 u n t u k (a. X) y a n g m e m e n u l i i -Xi\ < x
( t ) <Xb u n t u k semua t dan misalkan T( a i . X\) nierupakan orbit dari x
dalam R \ j i k a a : > r/i > 0 dan X2 > X\ > 0, 'r(ai. A.i) dan T( a 2 . X2)
ada maka T( a 2 . Xz) berada dalam e x t e i i o r dari T( a i , X]).
B u k t i : U n t u k i i i e i i i b u k t i k a n Teorenia 2 di atas d i t u n j u k k a n dengan k o n t r a d i k s i .
M i s a l k a n X j ( i = 1,2) nierupakan S P O L dari . (3.2.2) y a n g
berkoresponden dengan T i = T( a . X). sedangkan o r b i t dari S P O L
(3.2.2) dalam R ' adalah k u r \ a t e i t u t u p sederhana m e n g e l i l i n g i
l i n g k a r a n . j i k a T ; tidak scmuanya d i d a l a m e x t e r i o r ' i' l , maka terdapat bilangan p > 1,
Seliingga To = { ( p\ 2 (t), p : (t) ; te R } adalali t i d a k d i d a l a m e x t e r i o r T ] , dan misalkan XD = pXz. r/o = a dan
X o( t ) = p : ( l ) . t e R ( 3 . 2 . 5 )
.ladi Xo adalah S P O L dari ( 3 . 2 . 2 ) u n t u k (a. X) ^ (a,,. X,,) dan orbit dari x,, adalah To dan To m e n i p u n y a i suatu t i t i k tangen (xo ( t " ) . x ' ( t " ) ) = ( \ \ ( t ' ) , x' ( t ' ) ) ( 3 . 2 . 6 ) K l a i m : x..'(t") = X i " ( t ' ) dalam ( 3 . 2 . 6 ) t i d a k n o l .
B u k t i : A s u m s i k a n .x,,' ( t " ) = x , ' ( t ' ) = 0. maka x., ( t ' ) = ( x , (t) ^ 0, dan dapat d i t u l i s x „ ( t " ) = x, ( t ' ) = c > 0 ( 3 . 2 . 7 ) dengan x' ( t ) > 0 u n t u k t e[ t ' - o . t ' ] ; i - 0. 1 , . . . D a r i persamaan ( 3 . 2 . 2 ) . ( 3 . 2 . 6 ) dan ( 3 . 2 . 7 ) d i p e r o l e l i : xi ( f - a,) = di < x (t"- a„) = d„ < 0 ( 3 . 2 . 8 ) u n t u k d„. d | e R. M i s a l k a n besar Q - { x , ( t ) . x , ' ( t ) ) ; te [t' - a „ t ' l } ; i = 0.1 . . . dalam b i d a n g phase R^.
M i s a l k a n H,, dan Q i nierupakan setengali busur bahagian bawah dari n di R" dan Q,, di b a w a h Q] sedangkan T „ d i luar T|. maka Q.\ dapat dinyatakan sebagai :
O - {(x.(p)(x) : x 6 | d . c | } ; i 0.1 ^. ( 3 . 2 . 9 )
dan ti(\) meriipakan invers dari x x, ( t ) i i i i u i k t e [ t ' - a,, I'J
dan (p„(x) > (p,(x) > 0 ( 3 . 3 . 0 )
u n t u k semua t e[ d„ c ] .
Karena x, ( t ) d i p e n u l i i oleh jiersamaan d i f f e r e n s i a l x' = (p(x)
u n t u k t e [ t ' - a;, t ' j .
D a r i persamaan ( 3 . 2 . 1 0 ) :
xi(t' + t ) = Xo(t" + t ) u n t u k semua t e [- a, 0 ] .
Dengan ketunggalan solusi persamaan ( 3 . 2 . 2 ) dan d e f i n i s i S P O L , maka d i p e r o l e l i :
xi(t) = x.,(t) u n t u k setiaji t .
K o n s e k w e n s i i i y a (ai, X\) = (a,„ K,) dan f non l i n i e r , maka hal i i i i
k o n t r a d i k s i dengan asumsi X„> X2> X\,
