BAB V KEPRIMAAN
Definisi 5.1
Misal p adalah suatu bilangan bulat positip lebih dari 1 yang hanya mempunyai pembagi 1 dan p, maka p disebut bilangan prima. Jika suatu bilangan bulat q lebih dari 1 dan bukan bilangan prima maka q disebut bilangan komposit.
Contoh
1. 2, 3, dan 5 adalah bilangan prima karena: a. 2 hanya mempunyai pembagi 1 dan 2 b. 3 hanya mempunyai pembagi 1 dan 3 c. 5 hanya mempunyai pembagi 1 dan 5
2. 4, 6, dan 15 adalah bilangan-bilangan komposit karena: a. Pembagi 4 adalah 1, 2, dan 4 (tidak hanya 1 dan 4) b. Pembagi 6 juga bukan hanya 1 dan 6
c. Pembagi 15 juga bukan hanya 1 dan 15.
3. Didalam sejarah matematika terdapat beberapa “rumus” untuk menentukan bilangan prima 100 adalah sebagai berikut:
Bilangan 1 dicoret
Bilangan 2 diberi tanda dan semua kelipatannya dicoret
Bilangan 3 diberi tanda dan semua kelipatannya dicoret
Bilangan 5 diberi tanda dan semua kelipatannya dicoret
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
b. Rumus yang lain pernah muncul untuk menentukan bilangan prima dan rumus tersebut dinyatakan dengan f(n) = n2 – n + 41.
Dengan pengecekan secara tabel diperoleh bilangan prima sebagai berikut
N f(n) n f(n) n f(n) N F(n)
1 41 11 151 21 461 31 971
2 43 12 173 22 503 32 1033
3 47 13 197 23 547 33 1097
4 53 14 223 24 593 34 1163
5 61 15 252 25 641 35 1231
6 71 16 281 26 691 36 1301
7 83 17 313 27 743 37 1373
8 97 18 347 28 797 38 1447
9 113 19 383 29 853 39 1523
Jika diteruskan untuk n = 41 diperoleh f(n) 1681. Ternyata 1681 habis dibagi 1, 41, dan 1681. Maka 1681 bukan bilangan prima. Sehingga rumus tersebut di atas gagal untuk menentukan bilangan prima karena tidak berlaku untuk setiap n.
c. Terdapat rumus lain untuk menentukan bilangan prima yaitu f(n) = n2 – 79 + 1601.
Teryata rumus ini gagal untuk n = 81 karena f(81) = 812 -79.81 + 1601
= 1763
= 41.43 (bukan prima)
d. Rumus lain adalah f(n) = 22n
+ 1
Rumus ini juga gagal untuk menentukan bilangan prima karena untuk n = 5 diperoleh
f(5) = 4194967297 (habis dibagi 641) Rumus ini dikenal dengan rumus Fermat
e. Salah satu bilangan prima besar yang pernah diketahu adalah 211213 – 1
Peristiwa ini ditemukan di University of Illinois pada tahun 1913. Karena menjadi kebanggaan pada waktu itu maka monumentalnya menjadi gambar dari salah satu perangko di Amerika Serikat.
f. Pada tahun 1971, bilangan 219937 – 1 diketahui sebagai bilangan prima
yang terdiri dari 6002 angka.
Dalil 5.1
Jika p adalah bilangan prima dan p │ ab, maka p │a, atau p │ b
Bukti:
Anggaplah p ┼ a, karena p adalah suatu bilangan prima, maka p hanya
mempunyai factor 1 dan p sehingga (a,p) = 1
Menurut dalil sebelumnya p │ ab dan (a,p) = 1 berakibat p │ b.
Dengan cara yang sama, jika dianggap p ┼ b maka dapat dibuktikan
bahwa p │a.
Dalil 5.2
Jika p adalah bilangan prima dan p │a1 a2 a3 … an, maka paling sedikit
membagi
satu faktor ai (1 i n ).
Bukti:
Karena p │a1 a2 a3 … an, maka p │a1 (a2 a3 … an,).
Menurut dalil sebelumnya maka p │a1 atau p │a2 a3 … an,
Jika p │a1 maka terbukti p paling sedikit membagi satu faktor ai
Jika p ┼ a1, maka p │a1 (a2 a3 … an,) atau p │a2 (a3 … an,). Hal ini berarti
p │a2 atau p │a3 … an,. Demikian seterusnya diperoleh p │an-1 an
Sehingga p membagi paling sedikit membagi satu faktor ai.
Jika n adalah sebarang bilangan bulat positip lebih dari 1, maka n dapat dinyatakan secara tunggal sebagai hasil kali faktor-faktor prima.
Bukti
Misal n
Z+ dan n > 1, maka n adalah suatu bilangan prima atau n suatubilangan komposit.
Jika n adalah prima, maka terbukti n mempunyai faktor prima n.
Jika n bilangan komposit, maka terdapat bilangan-bilangan bulat n1, n2
dengan (1<n1,n2<n) sehingga n = n1n2.
Jika n1 dan n2 keduanya bilangan prima maka terbukti n mempunyai faktor
prima.
Untuk menunjukkan ketunggalan faktor prima, dimisalkan pemafktorannya tidak prima (bukti negasi) yaitu:
n = p1, p2, p3, p4, … ,pk dan
n = q,, q2, q3, q4, … ,qm dengan pi dan qi adalah bilangan prima.
p1 │n berati p1 │ q1, q2, q3, q4, … ,qk
Karena pi adalah bilangan prima, maka menurut dalil sebelumnya berlaku
p1 │ qi
untuk beberapa i. Selanjutnya karena qi juga suatu bilangan prima yaitu bilangan yang faktornya 1 dan qi, maka jelaslah bahwa p1 = qi.
n = p1, p2, p3, p4, … ,pk dan n = q,, q2, q3, q4, … ,qm
hal ini berarti n = p1, p2, p3, p4, … ,pk = q,, q2, q3, q4, … ,qm
Misal tempat qi di qi maka p1 = q1 sehingga diperoleh
p2, p3, p4, … ,pk = q2, q3, q4, … ,qm
Jika proses sama dilakukan maka diperolah p2 = q2, p3 = q3, p4 = q4 dan seterusnya.
1 = qk+1qk+2 ... qm.
Hal ini tidak mungkin terjadi, sebab tidak ada bilangan-bilangan prima yang hasil kalinya 1 sehingga terjadi hal yang bertentangan (kontradiksi). Jika k > m juga deemikian. Berdasarkan hal tersebut haruslah k = m yaitu pemfaktorannya adalah tunggal.
Dalil 5.4
Terdapat tak hingga banyaknya bilangan prima
Bukti
Anggaplah banyaknya bilangan prima adalah hingga yaitu p1, p2, p3, p4,
… ,pk
selanjutnya p1, p2, p3, p4, … ,pk+1
Maka ada dua kemungkinan nilai dari n
1. Jika N adalah suatu bilangan komposit, maka menurut dalil sebelumnya
N dapat dinyatakan sebagai hasil kali faktor-faktor prima. Faktor-faktor
prima ini terdapat dalam p1, p2, p3, p4, … ,pk. Misal pi adalah faktor
prima dari N, maka
pi │n atau pi │ p1, p2, p3, p4, … ,pk maka dan pi │1. Hal ini terjadi
kontradiksi.
Jadi banyaknya bilangan prima adalah tak hingga.
2. Jika N adalah suatu bilangan prima, maka
N = pj (j = 1,2,3, ... ,k)
N │N berarti pj │ (p1, p2, p3, p4, … ,pk ) + 1
Maka pj │1. Hal ini terjadi kontradiksi.
Jadi banyaknya bilangan prima adalah tak hingga.
Selanjutnya dalil-dalil yang berkaitan dengan keprimaan dapat
digunakan untuk menentukan faktor-faktor persekutuan terbesar dari dua
bilangan dengan lebih sederhana.
Contoh.
1. Carilah (24,80)
Jawab
24 = 2 (12) = 2(2.6) = 2 (2.2.3)
= 23.3
80 = 2 (40) = 2 (2.20) = 2 (2.2.10) = 2(2.2.2.5)
= 24.10
Karena (24,80) tidak dapat memuat faktor 2 lebih dari 3, maka (24,80)
= 23 = 8
2. Carilah (2700,9000)
Jawab
2700 = 23.33.52
9000 = 23.32.53
Karena (2700,9000) tidak dapat mempunyai faktor 2 lebih dari 2 kali, faktor 3
3. Carilah (54,72,84). Jawab
Dengan cara yang sama diperoleh (54,72) = 2.32 = 18
(72,84) = 22.3 = 12
Sehingga (54,72,84) = (18,12) = 6
Soal-soal
1. Carilah banyaknya bilangan-bilangan:
a. antara 50 dan 500 yang habis dibagi 3
b. antara 75 dan 750 yang habis dibagi 7
c. antara 100 dan 1000 yang habis dibagi 3 dan 5
d. antara 100 dan 2000 yang habis dibagi 3 dan 4
e. antara 100 dan 1000 yang habis dibagi 3,4, dan 5.
2. Tunjukkan bahwa
a. Perkalian tiga bilangan bulat yang berurutan habis dibagi 6.
b. Perkalian empat bilangan bulan berurutan habis dibagi 24.
3. Carilah
a. (60,75) b. (107,91) c. (18,78,144) d. (180,125)
e. (629,357) f. (44239,140299) g. (5321,544)
4. Carilah
a. [12,15] b. [9,21], c.[2,5,11] d. [3,4,6] e.[4,5,9]
