Journal de Th´
eorie des Nombres
de Bordeaux
20
(2008), 431–464
Partitions sans petites parts (II)
par
Elie MOSAKI
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R´esum´e. On d´esigne par r(n, m) le nombre de partitions de
l’entier n en parts sup´erieures ou ´egales `a m, et R(n, m) = r(n−m, m) le nombre de partitions de nde plus petite part m. Dans un pr´ec´edent article (voir [?]) un d´eveloppement asympto-tique der(n, m) est obtenu uniform´ement pour 1≤m=O(√n) ; on compl`ete ce d´eveloppement uniform´ement pour 1 ≤ m = (nlog−3n). Afin de prolonger les r´esultats jusqu’`a m ≤ n, on donne un encadrement der(n, m) valable pourn2/3
≤m≤nen utilisant la relationr(n, m) =P⌊n/m⌋t=1 P(n−(m−1)t, t) o`uP(i, t)
d´esigne le nombre de partitions de i en exactement t parts. On donne aussi une preuve combinatoire ´el´ementaire de la d´ecroissan-ce enm,m≤n−1, deR(n, m).
Abstract. Letr(n, m) denote the number of partitions ofninto parts, each of which is at leastm, andR(n, m) =r(n−m, m) the number of partitions of n with smallest part m. In a precedent paper (see [?]) the asymptotics forr(n, m) is obtained uniformly for 1≤m=O(√n) ; we complete this asymptotics uniformly for 1≤m= (nlog−3
n). To prolong the results until m≤n, we give an estimate forr(n, m) which holds for n2/3
≤m≤n, by use of the relationr(n, m) =P⌊n/m⌋t=1 P(n−(m−1)t, t),P(i, t) denoting
the number of partitions of i into exactly t parts. We also give an elementary combinatorial proof for the decrease ofR(n, m) in terms ofm, m≤n−1.
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ElieMosaki
Universit´e de Lyon ; Universit´e Lyon 1 ; INSA de Lyon F-69621 ; Ecole Centrale de Lyon ;
CNRS, UMR 5208, Institut Camille Jordan, 43 blvd du 11 novembre,
F-69622 Villeurbanne-Cedex, France
E-mail:[email protected]
