Pemodelan Data Runtun Waktu : Kasus Data Tingkat Pengangguran di Amerika Serikat pada Tahun 1948 – 1978.
Adi Setiawan
Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana, Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711
Abstrak
Data yang diperoleh dari pengamatan atas suatu fenomena selama waktu tertentu merupakan data yang banyak dijumpai. Dalam makalah ini, dijelaskan tentang bagaimana memodelkan data runtun waktu, melakukan diagnosi dan pemilihan ulang model sampai diperoleh model sesuai yang diharapkan serta menggunakan model tersebut untuk memprediksi data pada waktu yang akan datang. Pemodelan yang digambarkan masih terbatas pada data yang dapat dimodelkan dengan menggunakan model ARIMA. Untuk penelitian selanjutnya dapat digunakan data yang lain atau data yang tidak bisa digunakan model ARIMA.
Kata kunci : data runtun waktu, pemodelan, diagnosis, prediksi
1. Pendahuluan
Data yang diperoleh dari pengamatan atas suatu fenomena selama waktu tertentu merupakan data yang banyak dijumpai. Dalam bisnis dan ekonomi, kita mengamati laju tingkat suku bunga mingguan, harga saham pada penutupan hari, indeks harga bulanan, penjualan tahunan dan sebagainya. Dalam bidang meteorologi, kita mengamati tinggi rendah temperatur, indeks kekeringan dan kecepatan angin tiap jam. Tujuan dari analisis runtun waktu secara umum adalah untuk mengerti atau memodelkan mekanisme stokastik yang muncul pada deretan atau runtun pengamatan dan untuk memprediksi atau meramalkan nilai yang akan datang dari runtun waktu berdasarkan pada sejarah dari runtun waktu tersebut.
Dalam makalah ini, dijelaskan tentang bagaimana memodelkan data runtun waktu, melakukan diagnosi dan pemilihan ulang model sampai diperoleh model sesuai yang diharapkan serta menggunakan model tersebut untuk memprediksi data pada waktu yang akan datang. Kasus digunakan untuk menggambarkan bagaimana data digunakan dalam menjelaskan langkah-langkah pemodelan data runtun waktu.
2. Dasar Teori
Penemuan model yang sesuai untuk runtun waktu merupakan tugas yang tidak ringan. Kita akan mengembangkan suatu strategi pembangunan model seperti yang disarankan oleh Box dan Jenkins (1976). Terdapat tiga langkah utama dalam prosedur ini, masing-masing dapat digunakan beberapa kali :
1. Identifikasi atau spesifikasi model 2. Model fitting
3. Model diagnosis
Dalam identifikasi model, kelas dari model runtun waktu dipilih yang mungkin sesuai untuk data runtun waktu yang diberikan. Dalam langkah ini kita melihat pada diagram dari runtun waktu dan menghitung banyak statistik berdasarkan data dan juga menggunakan daerah subyek dari
mana data muncul, seperti ekonomi, fisika, kimia atau biologi. Seharusnya ditekankan bahwa model yang dipilih pada hal ini adalah tentatif dan harus diubah dalam analisis kemudian.
Dalam pemilihan model, kita akan berusaha untuk tetap menggunakan prinsip parsimoni yaitu bahwa model seharusnya menggunakan banyak parameter sekecil mungkin yang sesuai untuk model. Albert Einstein seperti yang dikutip oleh Parzen (1982) menyatakan bahwa ”segala sesuatu seharusnya dibuat sesederhana mungkin tetapi tidak sepele”.
Model akan menggunakan satu atau lebih parameter yang nilainya harus diestimasi dari deret pengamatan. Model fitting terdiri dari penentuan estimasi yang mungkin dan terbaik dari parameter yang tidak diketahui dalam model yang diberikan. Kita akan memperhatikan kriteria seperti jumlah kuadrat terkecil dan MLE untuk estimasi.
Karena perhitungan yang harus dilakukan untuk setiap langkah dalam pembangunan model cukup berat maka dipercayakan pada paket program yang dapat digunakan. Dalam hal ini digunakan paket program R yang dapat digunakan untuk mengolah data runtun waktu.
Model ARMA
Model ARMA (autoregressive moving average) dengan orde p dan q dan disingkat dengan ARMA(p,q) mempunyai bentuk umum :
Misalkan diinginkan untuk mendiskusikannya sebagai kasus khusus yang pertama yaitu ARMA(1,1).
Model ARMA(1,1)
Persamaan yang dimaksud dapat dituliskan sebagai
1
Untuk menurunkan tipe persamaan Yule-Walker, kita mencatat bahwa
2
Jika kita mengalikan persamaan (1) dengan Zt-k dan mengambil nilai harapannya, kita akan
mempunyai kovariansi pada lag 0 atau variansi dari Zt yaitu
Selanjutnya kovariansi pada lag 1 dan kovariansi pada lag k dengan k ≥ 2 berturut-turut adalah
2
Dengan menyelesaikan dua persamaan pertama maka akan diperoleh
2
dan kemudian menyelesaikan rekursi sederhana akan memberikan
1
Perlu dicatat bahwa fungsi autokorelasi meluruh secara eksponensial sebagaimana lag k naik.
Faktor penurunan adalah tetapi peluruhan mulai dari nilai awal yang juga tergantung pada θ.
Hal ini bertentangan dengan autokorelasi AR(1) yang juga meluruh dengan faktor peluruhan
sebesar φ tetapi selalu dari nilai awal ρ0 = 1. Sebagai contoh, jika φ = 0.8 dan θ = 0.4 maka ρ1 = 0,523, ρ2 = 0,418, ρ3 = 0.335 dan seterusnya. Beberapa ukuran untuk ρk adalah mungkin
tergantung pada tanda ρ dan tanda dari φ.
Bentuk linear umum dari model dapat diperoleh. Kita menemukan
∑
∞Kita seharusnya menyebutkan syarat stasioner yaitu | φ | < 1 atau ekuivalen dengan akar dari
Untuk model ARMA(p,q), kita menyatakan kenyataan berikut tanpa bukti : dengan syarat
at tidak tergantung pada Zt-1, Zt-2, .... penyelesaian stasioner {Zt } memenuhi persamaan 4.35 ada
jika dan hanya jika akar dari persamaan karakteristik AR φ(x) = 0 semua melampaui satuan dalam modulus.
Secara detail untuk pemilihan model, estimasi parameter, diagnosis dan prediksi data untuk waktu mendatang dapat digunakan pustaka Cryer (1986) dan pustaka Cryer dan Chan (2008).
3. Metode Penelitian
Dalam makalah ini, digunakan data tingkat pengangguran kuartalan dari tahun 1948 kuartal I sampai dengan tahun 1978 kuartal I di Amerika Serikat seperti yang ada pada Cryer (1986). Spesifikasi model dari data tersebut dilakukan untuk memilih model yang terbaik. Selanjutnya dilakukan diagnosis, dan apabila dalam diagnosis ternyata model yang terpilih belum sesuai dengan asumsi yang digunakan maka dilakukan spesifikasi model dan diagnosis model sampai diperoleh model yang memenuhi asumsi yang disyaratkan. Akhirnya, dengan menggunakan model terpilih dapat dilakukan peramalan untuk waktu yang akan datang.
4. Hasil dan Pembahasan
Berdasarkan data tingkat pengangguran yang telah dijelaskan di atas maka
diperoleh plot data runtun waktu pada Gambar 1. Terlihat bahwa tidak terdapat trend naik dalam data tersebut. Fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial digunakan dalam pemilihan model dan dinyatakan pada Gambar 2. Gambar 2 bagian atas menyatakan fungsi autokorelasi sampai lag 20 sedangkan bagian bawah menyatakan fungsi autokorelasi parsial sampai lag 20. Terlihat bahwa fungsi autokorelasi makin lama makin kecil sedangkan fungsi autokorelasi parsial yang bernilai di atas garis biru adalah lag 1 dan lag 2. Dalam hal ini, karena datanya mempunyai panjang n = 121 maka garis biru adalah garis dengan persamaan
y = 2/√121 = 0,18 dan y = - 2/√121 = - 0,18. Hal itu berarti kita memilih spesifikasi model
Gambar 1. Tingkat Pengangguran di Amerika Serikat 1948:1 – 1978:1
0 20 40 60 80 100 120
345
6789
Tahun 1948:1 - 1978:1
T
Fungsi autokorelasi sampai lag 20
5 10 15 20
Dengan memilih model AR(2) untuk data tersebut, selanjutnya dilakukan estimasi
parameter dari model AR(2) yaitu
t t t
t Z Z a
Z =ϕ + φ1 −1+φ2 −2+
dengan at saling bebas, mempunyai mean 0 dan variansi σ2. Dengan menggunakan paket
program R diperoleh estimasi dari parameter φ1 adalah 1,5456 dengan standard error estimasi
0,0684 dan estimasi dari parameter φ2 adalah -0,6430 dengan standard error estimasi 0,0689
serta estimasi interceptnya adalah 5,0826 dengan standard error estimasi 0,3285. Terlihat bahwa nilai mutlak dari rasio antara estimasi dan standard errornya berturut-turut adalah 22,5965, 9,3324 dan 15,4722. Hal itu berarti bahwa koefisien dalam model AR(2) tersebut penting atau harus ada. Akibatnya diperoleh model AR(2) sebagai berikut :
t t t
t Z Z a
Z =5,0826+ 1,5456 −1−0,643 −2+ .
Berdasarkan output paket program R juga diperoleh estimasi yaitu 0,1292 dan AIC (Aikike Information Criteria) bernilai 107,04.
Dengan menggunakan model terpilih maka dilakukan diagnosis dari residunya. Gambar 3 memperlihatkan hasil diagnosi dari residu. Terlihat bahwa residu terstandard (standardized
Gambar 3. Grafik hasil diagnosis residu
Dengan menggunakan model terpilih AR(2) dengan intercept, selanjutnya model digunakan untuk memprediksi tingkat pengangguran 8 kuartal mendatang sehingga diperoleh prediksi beserta nilai standard error-nya yang dinyatakan dalam Tabel 1. Hasil prediksi tersebut juga dapat dinyatakan dalam plot beserta dengan batas prediksinya dengan koefisien kepercayaan 95 % pada Gambar 4. Terlihat bahwa makin jauh dari data realnya makin lebar batas prediksinya.
Tabel 1. Tabel hasil prediksi berdasarkan model AR(2)
1978:2 1978:3 1978:4 1979:1 1979:2 1979:3 1979:4 1980:1
Prediksi 5,81 5,50 5,25 5,08 4,96 4,90 4,88 4,89
S.E. 0,36 0,66 0,91 1,10 1,23 1,30 1,35 1,37
Standardized Residuals
Time
0 20 40 60 80 100 120
-2
0
2
0 5 10 15 20
-0
.2
0
.4
0
.8
Lag
AC
F
ACF of Residuals
2 4 6 8 10
0.
0
0.
4
0.
8
p values for Ljung-Box statistic
lag
p v
al
Gambar 3. Grafik tingkat pengangguran di Amerika Serikat pada tahun 1948:1 sampai 1978:1 dan prediksinya dari 1978:2 sampai 1980:1.
5. Kesimpulan
Dalam makalah di atas telah dijelaskan bagaimana memodelkan data runtun waktu. Pemodelan yang digambarkan masih terbatas pada data yang dapat dimodelkan dengan menggunakan model ARIMA. Untuk penelitian selanjutnya dapat digunakan data yang lain atau
data yang tidak bisa digunakan model ARIMA.
0 20 40 60 80 100 120
345
6789
Tahun 1948:1 - 1978:1
T
ingk
a
t P
e
nganggur
an (
d
al
am
pr
os
en)
&
pr
edi
k
s
iny
6. Daftar Pustaka
Cryer, J. D. , 1986, Time Series Analysis, PWS-Kent Publishing Company, Boston.
Cryer, J. D. dan Kung-Sik Chan, 2008, Time Series Analysis with Application in R, Springer, New York.
