Barisan dan Deret Takhingga

Disusun oleh :

Anna Mariska Diana P, S.Pd dan Tim MGMP

Tahun Pelajaran 2016 – 2017

SMA Santa Angela

Jl. Merdeka No. 24 Bandung

Barisan Dan Deret

Tak Hingga

Pengantar:

Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.

Tujuan Pembelajaran :

1. Memahami notasi sigma dengan baik.

2. Menganalisis dan membuat kategori dari unsur-unsur yang terdapat pada pengertian barisan dan deret tak hingga dengan tekun.

3. Mengingat kembali konsep barisan dan deret .

4. Menyelesaikan persoalan-persoalan yang terkait dengan barisan dan deret dengan tekun.

5. Memahami deret konvergen dan tak konvergen.

Peta Konsep :

Barisan dan deret Tak Hingga

Notasi Sigma

Konsep Barisan

Dan Deret

Menghitung Barisan

Dan Deret Tak Hingga

Konvergensi

A. Prasyarat

1. Misal diketahui pola :

B, U, R, S, A, B, U, R, S, A, B, ...

Berdasarkan barisan tersebut, Tentukan : a. Suku ke – 15

b. Suku ke – 18 c. Suku ke – 20 d. Suku ke – 1.000 e. Suku ke – 1.009

2. Suku-suku suatu barisan bilangan memenuhi rumus :

n 5 7

Un   . Tentukan :

a. Suku ke – 100

b. Jumlah 100 suku pertama

3. Jika jumlah n suku pertama suatu barisan adalah 4

n 3

S 2

n   . Tentukan suku ke – 200.

Ingat :

Barisan Aritmatika :

1. Barisan U1, U2, U3, ..., Un, .... disebut barisan aritmatika jika _Un - _{Un-1 = konstan. Un} disebut unsur ke n barisan itu, dan konstanta tersebut disebut beda, yang dinotasikan dengan b.

2. Jika U_1, U_2, U_{3, ..., Un}, .... merupakan barisan aritmatka dengan beda b dan unsur pertama U1 = a, maka rumus unsur ke n dari barisan itu adalah _Un = a + (n - 1)b

4. Jumlah n suku deret aritmatika dengan beda b dan unsur

pertama U_{1 =} a adalah Sn = ( ) 2

1

n U a

n  atau Sn =

) ) 1 ( 2 ( 2 1

b n a

n   _.

Barisan Geometri :

1. Barisan U1, U2, U3,..., Un,...disebut barisan geometri jika

 1

n n U

U

konstan

dengan n = 2, 2, 3,.... Konstanta pada barisan geometri di atas disebut rasio dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan r.

2. Rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan

U_{1 =} a dan rasio r adalah: _Un = arn-1

3. Jika U_1, U_2, U_{3, ..., Un},.... merupakan barisan geometri dengan unsur pertama adalah a = _U1 dan rasio r, maka

U1 + U2 + U3 + ... + Un + ....disebut deret geometri dengan

Un = arn-1

4. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah:

r r a S

n n

  

1 ) 1 (

untuk r < 1 atau

1 ) 1 (

  

r r a S

n

n untuk r >

1

disebut deret divergen.

5. Jumlah tak hingga suatu deret geometri dengan suku pertama

a dan rasio r adalah Sn = r a



1

B. Notasi Sigma

Perhatikan penjumlahan bilangan-bilangan di bawah ini :

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50

Penulisan notasi sigma :

Bentuk umum :

Keterangan : 1 = batas bawah

n = batas atas

k = indeks

= suku umum

Contoh :

Jawab :

= ...

Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma :

a. 2 + 4 + 6 + 8 + 10

2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 2 x 5 = 2 (1+2+3+4+5)

Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma :

a. 4 + 8 + 12 + 16 + .... + 40 b. 3 + 4+ 5 + 6 + ... +100 c. 3 + 6 + 9 + ... + 24

d. ₂1₃2₄3₅4

e. _ab5 _a2_b4 _a3_b3 _a4_b2

  

2. Tentukan apakah hasilnya sama dengan ( 7-3 +1) x 5

3. Apakah sama dengan

Perhatikan jumlahan bilangan-bilangan berikut.

1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.

2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.

3.

27 1 9 1 3 1



4. 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola dapat dituliskan dengan notasi



(dibaca: sigma), sehingga jumlahan bilangan diatas dapat ditulis kembali :

1.



       

7

1

7 6 5 4 3 2 1

n n

2.



      

6

1

2 12 10 8 6 4 2

n n

3.



   

3

13

1 27

1 9 1 3 1

n n

4.



  

   

5

1

) 1 2 ( 9 7 5 3 1

n n

Beberapa sifat notasi sigma

Jika m dan n adalah bilangan asli, dengan m ≤ n dan c  R

,maka berlaku:

1.   

 









n

m k k n

m k k n

m

k

(

a

k

b

k

)

a

b

2.  







n

m k k n

m

k

ca

k

c

a

3.   





 





n

m k

p

1 n k

p

m k k k

k

a

a

a

4. n

c

(

n

m

1

)

c

m

5.         p n p m k k p n

m

k ak a atau  





 





n p

p m k k p n

m

k

a

k

a

6.    

   









n m k 2 k n m k k k n m k 2 k n m k 2 k

k

b

)

a

2

a

.

b

b

a

(

Ex. 1 Nyatakan dalam bentuk penjumlahan 









5

1

k

k

k

1

























30 20 12 6 2 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 5 5 1 4 4 1 3 3 1 2 2 1 1 1 1 k k 5 1 k                            

Ex. 2 Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma:

a. 2+ 4 + 6 + 8 + 10

= 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 2 x 5

=2(1 + 2 + 3 + 4 + 5)

= 



5

1 k

2

k

b. ₂1₃2₄34₅

 

 

 

 

 

                    



 1 1 1 4 4 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 1 1 1 4 1 4 3 2 k k k k

c. _ab5 _a2_b4 _a3_b3 _a4_b2

Ex. 3 Tentukan nilai dari :

a. 



10 1 p

p

b. 



6

3 n

2

n

2

c. 









5

1

k

2

k

1

d.













 

 

5

1

n n 1

3 n 2 2 n 3

e. 





4

2 k

2

4

k

3

Ex. 4Buktikan :





  

  









n

1 k

n

1 k

n

1 k 2

2

4

k

16

k

16

n

4

k

2

Ex. 5 Ubahlah batas bawah sigma menjadi 4 dari notasi sigma berikut:

a.





  

 



 

  

 

 

 

 4

2 k

6 4

6 2 k

10

4

k 2k 13

6 k 1

6 k 2

6 k 1

k 2

k

b. 









10

6 k

2

1

k

C. Deret Khusus dalam Notasi Sigma

 Deret Bilangan Asli

Suku ke- n adalah Unn

1 n

n 2 1

Sn  , sehingga dapat ditulis :







  

n 1

i 2n1 n

1 i

 Deret Kuadrat Bilangan Asli

Himpunan kuadrat bilangan asli



₁2_,22_,32_,....,n2



Suku ke-n adalah 2 n n U 



1



2 1



6

1

 

 n n n

S_{n ,sehingga dapat ditulis :}



1



2 1



6 1

1 2

 







n n

n i

n

i

 Deret Kubik Bilangan Asli

Himpunan kuadrat bilangan asli



₁3_,23_,33_,....,n3



Suku ke-n adalah 3 n n U 

 

2

n ₂nn 1 1

S 

  



 _

 , sehingga dapat ditulis :





2 n

1 i

3 _{nn 1}

2 1

i _

  



 _







Ex. 6 Diketahui barisan : 1, 4, 9,16, 25, 36, ...., n2_{. Tentukan jumlah dari}

suku ke-50 sampai suku ke-60.

Ex. 7 Berapakan nilai dari ₂₆2 ₂₅2 ₂₄2 ₂₃2 _{.... 4}2 ₃2 ₂2 ₁2

       

Jawab :

2 2 2 2 2 2 2

2 _{25 24 23 .... 4 3 2 1} 26       

=



₂₆2 ₂₄2 _{.... 4}2 ₂2

 

₂₅2 ₂₃2 _{.... 3}2 ₁2



        





 







 





 





 





2 2 2 2



2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 .... 1 12 2 1 13 2 1 2 .... 12 13 2               =  





 





13 1 i 2 13 1 i

2

2

i

1

i

4

=  





 







13 1 i 2 13 1 i

2

4

i

4

i

1

i

4

=        







13 1 i 13 1 i 13 1 i 2 13 1 i

2

4

i

4

i

1

i

4

=

4

13

i

1

 

13

1

i



D. Barisan dan Deret Tak Hingga

Misal :

Barisan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...., 100 dinamakan barisan berhingga.

Barisan bilangan ,.... 4 1 , 3 1 , 2 1 ,

1 dinamakan barisan tak hingga.

Bagaimana dengan deret??

Deret bilangan merupakan penjumlahan suku-suku barisan.

Deret : u1u2u3u4...

Ex. 8 Tentukan suku ke-2, suku ke-5, dan suku ke 12 jika diketahui

1 n

1

u_{n 2}

 

E.

Limit dari Suatu Barisan

Suatu bilangan L dikatakan sebagai limit dari sebuah barisan tak berhingga u1,u2,u3,u4...apabila untuk setiap

bilangan Є > 0 yang diberikan (berapa pun kecilnya), dapat ditrmukan sebuah bilangan N sedemikian sehingga

  L

u_{n ,untuk semua bilangan bulat n > N.}

Misalnya :

n 1 n 3 n 1 3

un    . Barisannya adalah 4.

Teorema Limit Pusat

Jika diketahui _nliman dan_nlimbn   

 ada maka :

1. _nlim



an bn



_nliman _nlimbn

  

 

   

2. _nlim



an bn



_nliman _nlimbn

  

 

   

3. ,asallimb 0

b lim

a lim

b a

lim _n n

n n

n n n n

n    

 

  



4.  

p n n p n

nlima lima _  

  

  



Ex. 9 Diketahui sebuah barisan dengan rumus suku ke-n adalah

n 1 n

un  . Tentukan nilai limitnya.

Jawab :

1 0 1 n 1 lim 1 lim n 1 1 lim n 1 n lim u lim n n n n n

n     

    _             

F. Barisan Konvergen dan Divergen

1. Konvergen

Deret geometri yang tidak dapat dihitung banyak seluruh sukunya disebut deret geometri tak berhingga.

a. 1 + 2 + 4 + 8 + ....

b. 5 – 10 + 20 – 40 + ....

c. ....

4 1 2 1 1  

d. ....

3 1 1 3

9   

Dalam contoh a dan b rasionya 2 dan -2, jika deret tersebut diteruskan maka nilainya akan makin besar dan tak terbatas. Deret yang demikian disebut deret divergen, dengan r 1.

Dalam contoh c dan d rasionya dan ₃1 2

1

 , dapat

dihitung jumlahnya,deret ini disebut deret konvergen dengan r 1.





r 1 r 1 a lim S lim S n n n n _        

Karena deret konvergen r 1,untuk n → ∞ maka

0 rn

 ,sehingga :





r 1 a r 1 0 a r 1 ar a lim r 1 r 1 a lim S lim S n n n n n

n _  _

               

1 r dengan , r 1 a S    

Ex. 10 Tentukan jumlah deret tak berhingga suku dari deret berikut : a. .... 8 1 4 1 2 1

1   

Deret ini konvergen,

Dengan a = 1 dan r = 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 r 1 a

S  

     b. .... 4 1 2 1 1 2

2   

Deret ini konvergen,

Dengan a = 2 dan r = 2

1_, 4

2 1 1 2 r 1 a S      

Ex. 11 Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m danmemantul kembali dengan ketinggian

4

3_{kali tinggi}

sebelumnya.pemantulan berlangsung terus menerus sehingga bola berhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan bola. 4 3 r ; m 10 u0 

m 4 30 m 10 4 3

u1  

m 70 4 3 1 4 3 2 10 r 1 u 2 10 S 2 10 S 1                            _ 

Cara lain :

Suatu benda dijatuhkan dari ketinggian H secara vertikal dan memantul ke atas dengan tinggi pantulan

b

a _{kali dari}

ketinggian semulamaka panjang lintasan pantulan S

hingga berhenti adalah :

H a b

a b

S 

    

  



Uji Rasio untuk Konvergensi Suatu Deret

Misal diketahui deret

dengan tanda yang sama

atau campuran (berselang-seling antara + dan -) kita dapat menunjukkan

konvergensinya dengan menggunakan uji rasio, yaitu dengan