d. Alternatif 1: - Halaman 21-40

21 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

d. Alternatif 1:

Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.

_cos8_x_a_bcos2x_ccos4x_dcos6x_ecos8x

Alternatif 2:

22 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

e. Alternatif 1:





Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.

23 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

Alternatif 2:

C

f. Alternatif 1:

24 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

Kita dapat menjabarkan rumus itu sebagai berikut.

Alternatif 2:

25 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

x x xC

1024 231 sin

cos 1024

231

6. Selesaikanlah

a.



cosxdx c.



cos5xdx e.



cos9xdx

b.



cos3xdx d.



cos7xdx f.



cos11xdx

Solusi:

a.



cosxdxsinxC

b. Alternatif 1:





_

_





cos3xdx



cos2xcosxdx 1sin2x cosxdx cosxdx sin2xcosxdx

 x sin3 xC

3 1 sin

Alternatif 2:

C x x

C x x

xdx     



3 3 _sin3

3 1 sin sin

3 1 sin 1 1

cos

Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.

Alternatif 3:

C I n n x x n

xdx

I_n 



cosn 1cosn1 sin  1 _n2

C I x

x xdx

I₃ 



3  31   _32

3 1 3 sin cos 3 1

cos  2 x x I₁C

3 2 sin cos 3 1

 x x



cosxdxC

3 2 sin cos 3

1 ₂

C x x

x  

 sin

3 2 sin cos 3

1 ₂

c. Alternatif 1:



x



xdx



x x



xdx

dx x x

xdx cos cos 1 sin cos 1 2sin sin cos

cos5 4



2 2



2 4







    







cosx2sin2xcosxsin4xcosx



dx





cosxdx2



sin2xcosxdx



sin4xcosxdx x 3x sin5 xC

5 1 sin 3 2 sin

Alternatif 2:

C x x

x C x x

x

xdx       



5 3 5 3 _sin5

5 1 sin 3 2 sin sin

5 1 sin 3 2 sin 1 1

cos

Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.

Alternatif 3:

_{I C}

n n x x n

xdx

I_n 



cosn 1cosn1 sin  1 _n2

I₅ 



5 xdx 51x x  I_52C

5 1 5 sin cos 5 1

cos  4 x x



cos3xdxC

5 4 sin cos 5 1

x x x x xC

  



 _



 sin

3 2 sin cos 3 1 5 4 sin cos 5

1 4 2 _{ x x x x sinxC}

15 8 sin cos 15

4 sin cos 5

1 4 2

d. Alternatif 1:



x



xdx

dx x x

xdx cos cos 1 sin cos

cos7 6



2 3

26 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014







cosx3sin2xcosx3sin4xcosxsin6xcosx



dx





cosxdx3



sin2xcosxdx3



sin4xcosxdx



sin6xcosxdx

 x 3 x 5x sin7 xC

7 1 sin 5 3 sin 3 3

sin  x 3 x 5 x sin7 xC

7 1 sin 5 3 sin sin

Alternatif 2:



7 xdx x 3 x 5x sin7 xC

7 1 sin 5 3 sin 3 3 sin 1 1

cos  x 3 x 5x sin7 xC

7 1 sin 5 3 sin

sin

Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.

Alternatif 3:

_{I C}

n n x x n

xdx

I_n 



cosn 1cosn1 sin  1 _n2

I₇ 



7 xdx 71x x  I_72C

7 1 7 sin cos

7 1

cos  6 x x I₅C

7 6 sin cos 7 1

C xdx x

x  

 6



_cos5

7 6 sin cos 7 1

C x x

x x

x x

x 

  



 _{ }



 cos

15 8 sin cos 15

4 sin cos 5 1 7 6 sin cos 7

1 6 4 2

C x x

x x

x x

x    

 cos

35 16 sin cos 35

8 sin cos 35

6 sin cos 7

1 _{6 4 2}

e. Alternatif 1:



x



xdx

dx x x

xdx cos cos 1 sin cos

cos9 8



2 4







 







14sin2x6sin4x4sin6xsin8x



cosxdx







cosx4sin2xcosx6sin4xcosx4sin6xcosxsin8xcosx



dx





cosxdx4



sin2xcosxdx6



sin4xcosxdx4



sin6xcosxdx



sin8xcosxdx

 x 3 x 5 x 7 x sin9 xC

9 1 sin 7 4 sin 5 6 sin 3 4

sin

Alternatif 2:



9 xdx x 3x 5 x 7 x sin9 xC

9 1 sin 7 4 sin 5 6 sin 3 4 sin 1 1

cos

 x 3 x 5 x 7 x sin9 xC

9 1 sin 7 4 sin 5 6 sin 3 4 sin

Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.

Alternatif 3:

_{I C}

n n x x n

xdx

I_n 



cosn 1cosn1 sin  1 _n2

I 



xdx  x x  I92C

1 9 9

9

9 1 9 sin cos

9 1

cos  8 x x I₇C

9 8 sin cos 9 1

C xdx x

x  

 8



_cos7

27 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

x x x x x x x x xC

  

 

 _{ }



 cos

35 16 sin cos 35

8 sin cos 35

6 sin cos 7 1 9 8 sin cos 9

1 _{8 6 4 2}

 x x x x x x x x cosxC

315 128 sin

cos 315

64 sin cos 105

16 sin cos 63

8 sin cos 9

1 8 6 4 2

f. Alternatif 1:



x



xdx

dx x x

xdx cos cos 1 sin cos

cos11 10



2 5







 







15sin2x10sin4x10sin6x5sin8xsin10x



cosxdx







cosx5sin2xcosx10sin4xcosx10sin6xcosx5sin8xcosxsin10xcosx



dx 



cosxdx5



sin2xcosxdx10



sin4xcosxdx10



sin6xcosxdx5



sin8xcosxdx



sin10xcosxdx

 x 3x 5 x 7 x 9x sin10xC

11 1 sin 9 5 sin 7 10 sin

5 10 sin

3 5

sin

 x 3x 5x 7 x 9 x sin10xC

11 1 sin 9 5 sin 7 10 sin

2 sin 3 5

sin

Alternatif 2:



11xdx x 3x 5 x 7 x 9x sin10xC

11 1 sin 9 5 sin 7 10 sin

5 10 sin

3 5 sin 1 1

cos

 x 3x 5 x 7 x 9 x sin10 xC

11 1 sin 9 5 sin 7 10 sin

2 sin 3 5 sin

Perhatikan hasil integralnya, tandanya berganti-ganti, penyebutnya merupakan bilangan ganjil yang nilainya sama dengan pangkat dari cos, dan pembilangnya merupakan koefisien binomial.

Alternatif 3:

_{I C}

n n x x n

xdx

I_n 



cosn 1cosn1 sin  1 _n2

I₁₁



11xdx 111x x  I_112C

11 1 11 sin cos

11 1

cos  10x x I₉C

11 10 sin cos 11

1

C xdx x

x  

 10



_cos9

11 10 sin cos 11

1

 

 

 _{ }



 x x x x x x x x cos xsinx

315 64 sin cos 105

16 sin cos 63

8 sin cos 9 1 11 10 sin cos 11

1 _{10 8 6 4 2}

xC

 

cos 315 128

 

 



 x x x x x x x x cos xsinx

693 128 sin

cos 231

32 sin cos 693

80 sin cos 99 10 sin cos 11

1 10 8 6 4 2

cosxC

693 256

7. Selesaikanlah

a.



2

π

0 8

sin xdx b.



2

π

0 11

sin xdx c.



2

π

0 8

cos xdx d.



2

π

0 10

cos xdx

28 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

sin xdx

n

sin xdx

n

cos xdx

n

cos xdx xdx xdx xdx

2

cos xdx

29 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014 C

xdx x

n

n

n _{ }



 _tan 1



_tan 2

1 1

C I x n

xdx n _n

n _{ }

 





 2

1

tan 1 1

tan (qed)

9. Selesaikanlah

a.



tan2xdx c.



tan6xdx e.



tan10xdx

b.



tan4xdx d.



tan8xdx f.



tan12xdx

Solusi:

a. Alternatif 1:



x



dx xdx dx x x C

xdx



 







  



tan2 sec2 1 sec2 tan

Alternatif 2:

C I x n

xdx

I_n n n  _n 

 





 2

1

tan 1 1 tan

C I x C I x

xdx     



  _



2 2 0

1 2

2 _{tan tan}

1 2

1

tan tanx



tan0xdxC tanx



dxC

tanxxC

b. Alternatif 1:





_

_







tan4xdx tan2xtan2xdx tan2xsec2x1dx tan2xsec2xdx tan2xdx

 x



xx



C tan xtanxxC

3 1 tan

tan 3

1 3 3

Alternatif 2:

C I x n

xdx

I_n n n  _n 

 

  _



2

1

tan 1 1 tan

C I x I

x

xdx    



  



2

3 2

4 1 4

4 _tan

3 1 tan

1 4

1

tan  tan3 x



tan2dxC

3

1

_

_

C x x

x  

 tan tan 3

1 3

 tan xtanxxC

3

1 ₃

c. Alternatif 1:





_

_







tan6xdx tan4xtan2xdx tan4xsec2x1dx tan4xsec2xdx tan4xdx

x x x xC

  



 _{ }



 tan tan

3 1 tan

5

1 5 3 _{ x tan xtanxxC}

3 1 tan 5

1 5 3

Alternatif 2:

C I x n

xdx

I_n n n  _n 

 

  _



2

1

tan 1 1 tan

4 5 2

6 1 6

6 _tan

5 1 tan

1 6

1

tan xdx xI  xI



  



 tan5 x



tan4dxC

5 1

x x x xC

  



 _{ }



 tan tan

3 1 tan

5

1 5 3 _{ x tan xtanxxC}

3 1 tan 5

1 5 3

d. Alternatif 1:





_

_







tan8xdx tan6xtan2xdx tan6xsec2x1dx tan6xsec2xdx tan6xdx

x x x x xC

  



 _{  }



 tan tan

3 1 tan 5 1 tan

7

1 7 5 3

 x x tan xtanxxC

3 1 tan 5 1 tan 7

30 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

Alternatif 2:

C I x n

xdx

I_n n n  _n 

 





 2

1

tan 1 1 tan

C I x I

x

xdx    



  



6

7 2

8 1 8

8 _tan

7 1 tan

1 8

1

tan  tan7 x



tan6dxC

7 1

x x x x xC

  



 _{  }



 tan tan

3 1 tan 5 1 tan

7

1 _{7 5 3}

 x x tan xtanxxC

3 1 tan 5 1 tan 7

1 7 5 3

e. Alternatif 1:











tan10xdx tan8xtan2xdx tan8xsec2x1dx 



tan8xsec2xdx



tan8xdx

x x x x x xC

  



 _{   }



 tan tan

3 1 tan 5 1 tan 7 1 tan

9

1 _{9 7 5 3}

 x x x tan xtanxxC

3 1 tan 5 1 tan 7 1 tan 9

1 9 7 5 3

Alternatif 2:

C I x n

xdx

I_n n n  _n 

 

  _



2

1

tan 1 1 tan

C I x I

x

xdx    



  



8

9 2

10 1 10

10 _tan

9 1 tan

1 10

1

tan  tan9 x



tan8dxC

9 1

x x x x x xC

  



 _{   }



 tan tan

3 1 tan 5 1 tan 7 1 tan

9

1 9 7 5 3

 x x x tan xtanxxC

3 1 tan 5 1 tan 7 1 tan 9

1 9 7 5 3

f. Alternatif 1:











tan12 xdx tan10xtan2xdx tan10 xsec2x1dx



tan10xsec2xdx



tan10xdx

x x x x x x xC

  



 _{    }



 tan tan

3 1 tan 5 1 tan 7 1 tan 9 1 tan

11

1 11 9 7 5 3

 x x x x tan xtanxxC

3 1 tan 5 1 tan 7 1 tan 9 1 tan

11

1 11 9 7 5 3

Alternatif 2:

C I x n

xdx

I_n n n  _n 

 





 2

1

tan 1 1 tan

C I x I

x

xdx    



  



10

11 2

12 1 12

12 _tan

11 1 tan

1 12

1

tan  tan11x



tan10dxC

11 1

x x x x x x xC

  



 _{    }



 tan tan

3 1 tan 5 1 tan 7 1 tan 9 1 tan

11

1 11 9 7 5 3

 x x x x tan xtanxxC

3 1 tan 5 1 tan 7 1 tan 9 1 tan

11

1 _{11 9 7 5 3}

10. Selesaikanlah

a.



tanxdx c.



tan5xdx e.



tan9xdx

31 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

Solusi:

a.



tanxdxlnsecxC

b. Alternatif 1:





_

_







tan3xdx tanxtan2xdx tanxsec2x1dx tanxsec2xdx tanxdx tan xlnsecx C

2

1 2

Alternatif 2:

C I x n

xdx

I_n n n  _n 

 





 2

1

tan 1 1 tan

C I x I

x

xdx    



  _



1

2 2

3 1 3

3 _tan

2 1 tan

1 3

1

tan  tan x



tanxdxC

2

1 ₂

C x

x 

 tan lnsec 2

1 ₂

c. Alternatif 1:





_

_







tan5xdx tan3xtan2xdx tan3xsec2x1dx tan3xsec2xdx tan3xdx

x x xC

  



 _



 tan lnsec

2 1 tan

4

1 4 2 _{ x tan xlnsecxC}

2 1 tan 4

1 4 2

Alternatif 2:

C I x n

xdx

I_n n n  _n 

 

  _



2

1

tan 1 1 tan

C I x I

x

xdx    



  



3

4 2

5 1 5

5 _tan

4 1 tan

1 5

1

tan  tan4 x



tan3xdxC

4 1

x x xC

  



 _



 tan lnsec

2 1 tan

4

1 4 2 _{ x tan xlnsecxC}

2 1 tan 4

1 4 2

d. Alternatif 1:





_

_







tan7xdx tan5xtan2xdx tan5xsec2x1dx tan5xsec2xdx tan5xdx

x x x xC

  



 _{ }



 tan lnsec

2 1 tan 4 1 tan

6

1 _{6 4 2}

 x x tan xlnsecx C

2 1 tan 4 1 tan 6

1 6 4 2

Alternatif 2:

C I x n

xdx

I_n n n  _n 

 





 2

1

tan 1 1 tan

C I x I

x

xdx    



  



5

6 2

7 1 7

7 _tan

6 1 tan

1 7

1

tan  tan6 x



tan5 xdxC

6 1

x x x xC

  



 _{ }



 tan lnsec

2 1 tan 4 1 tan

6

1 6 4 2 _{ x x tan xlnsecx C}

2 1 tan 4 1 tan 6

1 6 4 2

e. Alternatif 1:





_

_







tan9xdx tan7xtan2xdx tan5xsec2x1dx tan7xsec2xdx tan7xdx

x x x x xC

  



 _{  }



 tan lnsec

2 1 tan 4 1 tan 6 1 tan

8

1 8 6 4 2

 x x x tan xlnsecx C

2 1 tan 4 1 tan 6 1 tan 8

1 _{8 6 4 2}

Alternatif 2:

C I x n

xdx

I_n n n  _n 

 





 2

1

32 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014 C

I x I

x

xdx    



  



7

8 2

9 1 9

9 _tan

8 1 tan

1 9

1

tan  tan8 x



tan7 xdxC

8 1

x x x x xC

  



 _{  }



 tan lnsec

2 1 tan 4 1 tan 6 1 tan

8

1 8 6 4 2

 x x x tan xlnsecx C

2 1 tan 4 1 tan 6 1 tan 8

1 _{8 6 4 2}

f. Alternatif 1:



tan11xdx



tan9xtan2xdx



tan9x



sec2x1



dx



tan9xsec2xdx



tan9xdx

x x x x x xC

  



 _{   }



 tan lnsec

2 1 tan 4 1 tan 6 1 tan 8 1 tan

10

1 10 8 6 4 2

 x x x x tan xlnsecxC

2 1 tan 4 1 tan 6 1 tan 8 1 tan

10

1 _{10 8 6 4 2}

Alternatif 2:

C I x n

xdx

I_n n n  _n 

 





 2

1

tan 1 1 tan

C I x I

x

xdx    



  _



9

10 2

11 1 11

11 _tan

10 1 tan

1 11

1

tan  tan10 x



tan9 xdxC

10 1

x x x x x xC

  



 _{   }



 tan lnsec

2 1 tan 4 1 tan 6 1 tan 8 1 tan

10

1 _{10 8 6 4 2}

 x x x x tan xlnsecx C

2 1 tan 4 1 tan 6 1 tan 8 1 tan

10

1 10 8 6 4 2

11. Jika I_n 



cotnxdx, buktikan bahwa 





 

  

C xdx x

n

I_n cotn 1 cotn 2 1

1

C I x n

xdx n _n

n _{ }

  





 2

1

cot 1 1

cot .

Bukti:











  

  

dx x x xdx

x xdx

I_n cotn cotn 2 cot2 cotn 2 csc2 1

dx xdx

x n

n



 _





 _cot 2 _csc2 _cot 2

C xdx x

n

n

n _{ }

 

 1



2

cot cot

1 1

C I x

n n

n _{ }

 

  2

1

cot 1 1

(qed)

12. Selesaikanlah

a.



cot2xdx c.



cot6xdx e.



cot10xdx

b.



cot4xdx d.



cot8xdx f.



cot12xdx

Solusi:

a. Alternatif 1:



x



dx xdx dx x x C

xdx



 







  



cot2 csc2 1 csc2 cot

Alternatif 2:

x I C

n xdx

I_n n n  _n 

  





 2

1

33 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

xdx xI C xI C

 

  



2 2 0

1 2

2 _{cot cot}

1 2

1 cot

cotx



cot0xdxC cotx



dxCcotxxC

b. Alternatif 1:















cot4xdx cot2xcot2xdx cot2xcsc2x1dx cot2xcsc2xdx cot2xdx

 cot x



cotxx



C

3

1 3 _{ cot xcotxxC}

3

1 3

Alternatif 2:

x I C

n xdx

I_n n n  _n 

  





 2

1

cot 1 1 cot

xdx xI C xI C

 

  _



4 2 2

1 4

4 _cot

3 1 cot

1 4

1 cot

 cot3 x



cot2 xdxC

3

1

_

_

C x x

x   



 cot cot

3

1 3 _{ cot xcotxxC}

3

1 3

c. Alternatif 1:















cot6xdx cot4xcot2xdx cot4xcsc2x1dx cot4xcsc2xdx cot4xdx

x x x xC

  



_{  }

 

 cot cot

3 1 cot

5

1 _{5 3}

C x x x

x   



 cot cot

3 1 cot 5

1 _{5 3}

Alternatif 2:

x I C

n xdx

I_n n n  _n 

  





 2

1

cot 1 1 cot

xdx xI C xI C

 

  _



4

5 2

6 1 6

6 _cot

5 1 cot

1 6

1 cot

 cot5x



cot4 xdxC

5 1

C x x x

x 

  



_{  }

 

 cot cot

3 1 cot

5

1 _{5 3}

 x cot xcotxxC

3 1 cot 5

1 5 3

d. Alternatif 1:















cot8xdx cot6xcot2xdx cot6xcsc2x1dx cot6xcsc2xdx cot6xdx

x x x x xC

  



_{   }

 

 cot cot

3 1 cot 5 1 cot

7

1 _{7 5 3}

 x x cot xcotxxC

3 1 cot 5 1 cot 7

1 7 5 3

Alternatif 2:

x I C

n xdx

I_n n n  _n 

  





 2

1

cot 1 1 cot

xdx xI C xI C

 

  



6

7 2

8 1 8

8 _cot

7 1 cot

1 8

1

cot  cot7 x



cot6 xdxC

7 1

x x x x xC

  



_{   }

 

 cot cot

3 1 cot 5 1 cot

7

1 7 5 3

 x x cot xcotxxC

3 1 cot 5 1 cot 7

1 7 5 3

34 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014















cot10xdx cot8xcot2xdx cot8xcsc2x1dx cot8xcsc2xdx cot8xdx

x x x x x xC

  



_{    }

 

 cot cot

3 1 cot 5 1 cot 7 1 cot

9

1 9 7 5 3

 x x x cot xcotxxC

3 1 cot 5 1 cot 7 1 cot 9

1 _{9 7 5 3}

Alternatif 2:

x I C

n xdx

I_n n n  _n 

  





 2

1

cot 1 1 cot

xdx xI C xI C

 

  



8

9 2

10 1 10

10 _cot

9 1 cot

1 10

1

cot  cot9 x



cot8 xdxC

9 1

x x x x x xC

  



_{    }

 

 cot cot

3 1 cot 5 1 cot 7 1 cot

9

1 _{9 7 5 3}

 x x x cot xcotxxC

3 1 cot 5 1 cot 7 1 cot 9

1 9 7 5 3

f. Alternatif 1:















cot12xdx cot10xcot2xdx cot10xcsc2x1dx cot10xcsc2xdx cot10xdx C x x x x

x x

x 

  



_{     }

 

 cot cot

3 1 cot 5 1 cot 7 1 cot 9 1 cot

11

1 _{11 9 7 5 3}

 x x x x cot xcotxxC

3 1 cot 5 1 cot 7 1 cot 9 1 cot 11

1 11 9 7 5 3

Alternatif 2:

x I C

n xdx

I_n n n  _n 

  

  _



2

1

cot 1 1 cot

xdx xI C xI C

 

  



10

11 2

12 1 12

12 _cot

11 1 cot

1 12

1

cot  cot11x



cot10xdxC

11 1

x x x x x x xC

  



_{     }

 

 cot cot

3 1 cot 5 1 cot 7 1 cot 9 1 cot

11

1 11 9 7 5 3

 x x x x cot xcotxxC

3 1 cot 5 1 cot 7 1 cot 9 1 cot 11

1 11 9 7 5 3

13. Selesaikanlah

a.



cotxdx c.



cot5xdx e.



cot9xdx

b.



cot3xdx d.



cot7xdx f.



cot11xdx

Solusi:

a.



cotxdxlnsinx C

b. Alternatif 1:















cot3xdx cotxcot2xdx cotxcsc2x1dx cotxcsc2xdx cotxdx

 cot xlnsinx C

2

1 2

Alternatif 2:

x I C

n xdx

I_n n n  _n 

  





 2

1

35 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

xdx xI C xI C

 

  



1

2 2

3 1 3

3 _cot

2 1 cot

1 3

1 cot

 cot x



cotxdxC

2

1 2 _{ cot xlnsinxC}

2

1 2

c. Alternatif 1:















cot5xdx cot3xcot2xdx cot3xcsc2x1dx cot3xcsc2xdx cot3xdx

 x cot xlnsinxC

2 1 cot 4

1 4 2

C x x

x 

  



_{ }

 

 cot lnsin

2 1 cot

4

1 4 2

Alternatif 2:

x I C

n xdx

I_n n n  _n 

  

  _



2

1

cot 1 1 cot

xdx xI C xI C

 

  



3

4 2

5 1 5

5 _cot

4 1 cot

1 5

1 cot

 cot4 x



cot3xdxC

4 1

C x x

x 

  



_{ }

 

 cot lnsin

2 1 cot

4

1 4 2

 x cot xlnsinxC

2 1 cot 4

1 _{4 2}

d. Alternatif 1:















cot7xdx cot5xcot2xdx cot5xcsc2x1dx cot5xcsc2xdx cot5xdx

x x x xC

  



_{  }

 

 cot lnsin

2 1 cot 4 1 cot

6

1 6 4 2

 x x cot xlnsinx C

2 1 cot 4 1 cot 6

1 6 4 2

Alternatif 2:

x I C

n xdx

I_n n n  _n 

  





 2

1

cot 1 1 cot

xdx xI C xI C

 

  _



5

6 2

7 1 7 7

cot 6 1 cot

1 7

1

cot  cot6 x



cot5 xdxC

6 1

x x x xC

  



_{  }

 

 cot lnsin

2 1 cot 4 1 cot

6

1 _{6 4 2}

 x x cot xlnsinx C

2 1 cot 4 1 cot 6

1 6 4 2

e. Alternatif 1:















cot9xdx cot7xcot2xdx cot7xcsc2x1dx cot7xcsc2xdx cot7xdx

x x x x xC

  



_{   }

 

 cot lnsin

2 1 cot 4 1 cot 6 1 cot

8

1 8 6 4 2

 x x x cot xlnsinx C

2 1 cot 4 1 cot 6 1 cot 8

1 _{8 6 4 2}

Alternatif 2:

x I C

n xdx

I_n n n  _n 

  





 2

1

cot 1 1 cot

xdx xI C xI C

 

  



7

8 2

9 1 9

9 _cot

8 1 cot

1 9

1

cot  cot8 x



cot7 xdxC

36 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

x x x x xC

  



_{   }

 

 cot lnsin

2 1 cot 4 1 cot 6 1 cot

8

1 _{8 6 4 2}

 x x x cot xlnsinx C

2 1 cot 4 1 cot 6 1 cot 8

1 8 6 4 2

f. Alternatif 1:















cot11xdx cot9xcot2xdx cot9xcsc2x1dx cot9xcsc2xdx cot9xdx

x x x x x xC

  



_{    }

 

 cot lnsin

2 1 cot 4 1 cot 6 1 cot 8 1 cot

10

1 _{10 8 6 4 2}

 x x x x cot xlnsinxC

2 1 cot 4 1 cot 6 1 cot 8 1 cot 10

1 10 8 6 4 2

Alternatif 2:

x I C

n xdx

I_n n n  _n 

  

  _



2

1

cot 1 1 cot

xdx xI C xI C

 

  



9

10 2

11 1 11

11 _cot

10 1 cot

1 11

1

cot  cot10 x



cot9 xdxC

10 1

x x x x x xC

  



_{    }

 

 cot lnsin

2 1 cot 4 1 cot 6 1 cot 8 1 cot

10

1 10 8 6 4 2

 x x x x cot xlnsinxC

2 1 cot 4 1 cot 6 1 cot 8 1 cot 10

1 10 8 6 4 2

14. Jika I_n 



secnxdx, buktikan bahwa xdx C

n n x x n

xdx

I_n n n n 

   







2



_sec 2

1 2 tan

sec 1 1

sec

C I n n x x

n n

n _

   

  2

2

1 2 tan

sec 1 1

Bukti:





_ 

xdx x

xdx n

n 2 2

sec sec

sec

Misalnya usecn2 x dan dvsec2 xdx, maka du(n2)secn3xsecxtanxdx xdx

x n 2)secn tan

(  2

 dan vtanx, sehingga





_ 

xdx x

xdx n

n 2 2

sec sec

sec

secn2xtanx(n2)



secn2xtan2xdxC

secn2xtanx(n2)



secn2x



sec2x1



dxC

secn2xtanx(n2)



secn2xdx(n2)



secnxdxC C xdx n

x x xdx

n

xdx n n n

n  



  







_{sec ( 2) sec sec} 2 _{tan ( 2) sec} 2

C xdx n

n x x n

xdx n n

n _

   







2 _sec 2

1 2 tan

sec 1 1 sec

C xdx n

n x x n

xdx

I_n n n n 

   







2



2

sec 1 2 tan

sec 1 1 sec

I C

n n x x

n n

n _

   

  2

2

1 2 tan

sec 1 1

(qed)

15. Selesaikanlah

37 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

b.



sec4xdx d.



sec8xdx f.



sec12xdx

Solusi:

a. Alternatif 1:

C x

xdx 



sec2 tan

Alternatif 2:

C I n n x x n

xdx

I_n n n _n 

   







 2

2

1 2 tan

sec 1 1 sec

C x C I x

x

xdx   

   

  _



tan

1 2

2 2 tan sec

1 2

1

sec2 2 2 _{2 2}

b. Alternatif 1:





_

_





sec4xdx



sec2xsec2xdx sec2xtan2x1dx sec2xtan2xdx sec2xdx





xd x



xdx tan xtanxC

3 1 sec

tan

tan2 2 3

C x

x 

 tan tan 3

1 3

(cukup sampai di sini, jika dilanjutkan akan diperoleh jawaban yang

sama dengan jawaban pada alternatif 2)





sec x1



tanxtanxC

3

1 ₂

C x x x

x   

 tan tan

3 1 tan sec 3

1 ₂

 x x tanxC

3 2 tan sec 3

1 2

Alternatif 2:

_{I C}

n n x x n

xdx

I_n n n _n 

   



  _



2

2

1 2 tan

sec 1 1 sec

4 4 2 _{4 2} 2 ₂

3 2 tan sec 3 1 1

4 2 4 tan sec

1 4

1

sec xdx x x I C x x I

   

  



 x x tanxC

3 2 tan sec 3

1 2

c. Alternatif 1:





_

_





sec6xdx



sec4xsec2xdx sec4xtan2x1dx sec4xtan2xdx sec4xdx





sec2x



tan2x1



tan2xdx



sec4xdx



sec2x



tan4xtan2x



dx



sec4xdx





sec2xtan4xdx



sec2xtan2xdx



sec4xdx





tan4xdtanx



tan2xdtanx



sec4xdx x x tan xtanxC

3 1 tan 3 1 tan 5

1 5 3 3

C x x

x  

 tan tan

3 2 tan 5

1 _{5 3}

(cukup sampai di sini, kalau dilanjutkan akan diperoleh

jawaban yang sama dengan jawaban pada alternatif 2)





x



x



tan x



tanxtanxC

3 2 tan tan

5

1 2 2 2



x



x



x



x xC

 sec 1tan tan

3 2 tan 1 sec 5

1 ₂ 2 ₂



x x



x x x x xC

 tan tan

3 2 tan sec 3 2 tan 1 sec 2 sec 5

1 4 2 2

C x x

x x

x x x

x     

 tan

3 1 tan sec 3 2 tan 5 1 tan sec 5 2 tan sec 5

38 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

 x x x x tanxC

15 8 tan sec 15

4 tan sec 5

1 4 2

Alternatif 2:

_{I C}

n n x x n

xdx

I_n n n _n 

   







 2

2

1 2 tan

sec 1 1 sec

xdx x x I C x x I C

   

  



4

4 2

6 2

6 6

5 4 tan sec 5 1 1

6 2 6 tan sec

1 6

1 sec

x x x x xC

  



 _



 tan

3 2 tan sec 3 1 5 4 tan sec 5

1 4 2

 x x x x tanxC

15 8 tan sec 15

4 tan sec 5

1 _{4 2}

d. Alternatif 1:





_

_





sec8xdx



sec6xsec2xdx sec6xtan2x1dx sec6xtan2xdx sec6xdx





sec2 x



tan2 x1



2 tan2 xdx



sec6 xdx





sec2x



tan4x2tan2x1



tan2xdx



sec6xdx





sec2xtan6xdx2



sec2xtan4xdx



sec2xtan2xdx



sec6xdx





tan6xdtanx2



tan4xdtanx



tan2xdtanx



sec6xdx

 x x x x tan xtanxC

3 2 tan 5 1 tan 3 1 tan 5 2 tan 7

1 7 5 3 5 3

C x x x

x   

 tan tan tan

5 3 tan 7

1 _{7 5 3}

(cukup sampai di sini, kalau dilanjutkan akan

diperoleh jawaban yang sama dengan jawaban pada strategi 2)





x



x



tan x



tanxtan xtanxtanxC

5 3 tan tan

7

1 2 3 2 2 2



x



x



x



x



x



x xC

 sec 1 tan sec 1tan tan

5 3 tan 1 sec 7

1 ₂ 3 ₂ 2 ₂



  







 



 

 x x x x sec x 2sec x 1tanx sec xtanx

5 3 tan 1 sec 3 sec 3 sec 7

1 6 4 2 4 2 2

tanxtanxC

 

 

 

 x x x x x x x x x sec xtanx

5 6 tan sec 5 3 tan 7 1 tan sec 7 3 tan sec 7 3 tan sec 7

1 _{6 4 2 4 2}

C x x xsec tan  tan

5

3 2

C x x

x x

x x

x    

 tan

35 16 tan sec 35

8 tan sec 35

6 tan sec 7

1 _{6 4 2}

Alternatif 2:

C I n n x x n

xdx

I_n n n _n 

   







 2

2

1 2 tan

sec 1 1 sec

C I x x C

I x

x

xdx    

   

  _



6

6 2

8 2

8 8

7 6 tan sec 7 1 1

8 2 8 tan sec

1 8

1 sec

x x x x x x xC

  



 _{ }



 tan

15 8 tan sec 15

4 tan sec 5 1 7 6 tan sec 7

39 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014

e. Alternatif 1:





_

_

dilanjutkan akan diperoleh jawaban yang sama dengan jawaban pada alternatif 2)





x



x



x



x



x



x tan xtanxtanxC

Alternatif 2:

C

f. Alternatif 1:





_

_



40 | Husein Tampomas, Pendalaman Materi: Integral Fungsi Trigonometri, MGMP, Bandung, Jabar, 5 Agustus 2007, 2014





sec2 x



tan2x1



4tan2 xdx



sec10xdx





sec2x



tan8x4tan6x6tan4x4tan2x1



tan2xdx



sec10xdx





sec2xtan10xdx4



sec2xtan8xdx6



sec2xtan6xdx4



sec2xtan4xdx



sec2xtan2xdx



sec10xdx





tan10xdtanx4



tan8xdtanx6



tan6xdtanx4



tan4xdtanx



tan2xdtanx



sec10xdx

 11x 9x 7x 5x 3x 9x 7x tan5x

5 6 tan 7 4 tan 9 1 tan 3 1 tan 5 4 tan 7 6 tan 9 4 tan 11

1

C x xtan  tan

3

4 3

C x x x

x x

x     

 tan tan

3 5 tan 5 10 tan

7 10 tan

9 5 tan

11

1 11 9 7 5 3 _{(cukup sampai di sini,}

kalau dilanjutkan akan diperoleh jawaban yang sama dengan jawaban pada alternatif 2)





x



x



x



x



x



x



x



x tan xtanx

3 5 tan tan

5 10 tan tan

7 10 tan tan

9 5 tan tan

11

1 2 5 2 4 2 3 2 2 2

tanxC





x



x



x



x



x



x



sec x1



tanx

5 10 tan 1 sec 7 10 tan 1 sec 9 5 tan 1 sec 11

1 ₂ 5 ₂ 4 ₂ 3 ₂ 2



sec x1



tanxtanxC

3

5 ₂



    





 sec x 5sec x 10sec x 10sec x 5sec x 1tanx

11

1 10 8 6 4 2



x x x x



x



sec x3sec x3sec x1



tanx

7 10 tan 1 sec 4 sec 6 sec 4 sec 9

5 _{8 6 4 2 6 4 2}



x x



x sec xtanx

3 5 tan 1 sec 2 sec 5

10 4 2 2

C x xtan  tan

3 5

 

 

 

 x x x x x x x x x x tanx

11 1 tan sec 11

5 tan sec 11 10 tan sec 11 10 tan sec 11

5 tan sec 11

1 _{10 8 6 4 2}

 

 



 x x x x x x x x x

x

x sec tan

7 10 tan 9 5 tan sec 9 20 tan sec 9 30 tan sec 9 20 tan sec 9

5 8 6 4 2 6

 

 



 x x x x x x x x

x

x tan

5 10 tan sec 5 20 tan sec 5 10 tan 7 10 tan sec 7 30 tan sec 7

30 _{4 2 4 2}

C x x x

x  tan tan  3

5 tan sec 3

5 2

 

 



 x x x x x x x x sec xtanx

693 128 tan

sec 231

32 tan sec 693

80 tan sec 99 10 tan sec 11

1 _{10 8 6 4 2}

C x

tan 693 256

Alternatif 2:

_{I C}

n n x x n

xdx

I_n n n _n 

   







 2

2

1 2 tan

sec 1 1 sec