BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Geometri merupakan salah satu cabang dari matematika yang memuat konsep mengenai titik, garis, bidang, dan benda-benda ruang beserta sifat-sifatnya, ukuran-ukurannya, dan hubungannya antara satu dengan yang lain. Selain itu, pada konteks kehidupan sehari-hari, hal-hal yang terkait dengan geometri pun seringkali dijumpai oleh siswa, misalnya melalui bentuk papan tulis, atap rumah, jendela, pintu, danbenda lainnya yang mengandung unsur dari geometri.
Salah satu topik dalam geometri yang dipelajari oleh siswa di jenjang Sekolah Menengah Atas (SMA) adalah mengenai dimensi tiga. Materi dimensi tiga yang diajarkan tersebut meliputi konsep kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga; jarak dari titik ke garis dan jarak dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga; serta besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga.
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga? 2. Bagaimana menentuka kedudukan titik ke garis dan dari titik ke bidang
dalam ruang dimensi tiga?
C. Tujuan Penulisan
Untuk menjawab segala permasalahan yang ada pada rumusan masalah dan mengaplikasikannya dalam bentuk soal.
TEORI DIMENSI TIGA (BANGUN RUANG) 1. Unsur-unsur Bangun Ruang
Beberapa istilah dalam menggambar bangun ruang, antara lain:
1. Bidang Gambar
Bidang gambar adalah suatu tempat untuk menggambar. 2. Bidang Frontal
Bidang gambar yang sejajar dengan bidang gambar. Bidang ABFE dan DCHG adalah frontal.Keistimewaan bidang frontal adalah ukuran dan bentuk sama dengan bentuk dan ukuran sebenarnya.
3. Garis frontal
Garis yang terletak pada bidang frontal. Contoh garis frontal AE, BF, CG, DH, AB, EF, GH, dan CD.
4. Garis ortogonal
Sudut dalam gambar ruang yang besarnya ditentukan oleh garis frontal horisontal ke kanan dengan garis ortogonal ke belakang. Pada gambar di atas sudut surutnya ∠BAD dan ∠FEH. Sudut - sudut itu sebenarnya 90°, tetapi dalam gambar ruang dilukis kurang dari 90° atau lebih dari 90°.. 6. Perbandingan Ortogonal (perbandingan proyeksi)
Perbandingan antara panjang garis ortogonal yang digambar dengan panjang garis ortogonal yang sebenarnya..
Misal panjang AD yang digambar 3 cm sedangkan panjang AD yang sebenarnya 6 cm maka :
7. Irisan Suatu Bidang Dengan Bangun Ruang
Irisan antara bidang dan bangun ruang merupakan bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis potong antara bidang itu dengan bidang sisi dari bangun ruang yang bersangkutan serta membagi dua bangun ruang itu. Ada 2 cara untuk menggambar bangun ruang yaitu :
a) Sumbu afinitas
2. Ruang Dimensi Tiga
1. Kedudukan Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang a. Titik
Sebuah hanya dapat ditentukan oleh letaknya, tetapi tidak memiliki ukuran (besaran) sehingga dapat dikatakan titik tidak berdimensi. Sebuah titik dilukiskan dengan tanda noktah dan diberi huruf kapital.. b. Garis
Garis hanya mempunyai ukuran panjang tetapi tidak mempunyai ukuran lebar. Garis merupakan himpunan titik - titik yang hanya memiliki ukuran panjang, sehingga dikatakan garis berdimensi satu.. c. Bidang
Bidang merupakan himpunan titik - titik yang memiliki ukuran panjang dan luas, sehingga dapat dikatakan bidang berdimensi dua..
d. Aksioma Garis dan Bidang
Aksioma/postulat adalah pernyataan yang diandaikan benar dalam sebuah sistem dan kebenaran itu diterima tanpa pembuktian..
1. Melalui sebuah titik sebarang yang tidak berimpit hanya dapat dibuat sebuah garis lurus
2. Jika sebuah garis dan sebuah bidang memiliki dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang 3. Melalui tiga buah titik sebarang tidak segaris hanya dapat dibuat
Berdasarkan aksioma - aksioma ini dapat diturunkan dalil - dalil untuk menentukan sebuah bidang :
1. Sebuah bidang ditentukan oleh tiga titik sebarang yang tidak segaris
2. Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik (titik terletak di luar garis)
3. Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis berpotongan 4. Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis sejajar
2. Kedudukan Titik Terhadap Garis dan Titik Terhadap Bidang a. Titik Terletak pada Garis
Sebuah titik dikatakan terletak pada garis, jika titik tersebut dapat dilalui oleh garis
b. Titik di Luar Garis
c. Titik Terletak pada Bidang
Sebuah titik dikatakan terletak pada bidang α, jika titik tersebut dapat dilalui oleh bidang α
d. Titik di Luar Bidang
Sebuah titik dikatakan berada di luar bidang α, jika titik tersebut tidak dapat dilalui oleh bidang α
3. Kedudukan Garis Terhadap Garis Lain a. Dua Garis Berpotongan
Dua buah garis dikatakan berpotongan, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini disebut titik potong. Jika dua buah garis berpotongan pada lebih dari satu titik potong, maka kedua garis ini dikatakan berimpit
b. Dua Garis Sejajar
Dua buah garis dikatakan sejajar, jika kedua garis itu terletak pada sebuah bidang dan tidak memiliki satupun titik persekutuan
Dua buah garis dikatakan bersilangan (tidak berpotongan dan tidak sejajar) jika kedua garis itu tidak terletak pada sebuah bidang.
d. Aksioma Dua Garis Sejajar
Melalui sebuah titik yang berada di luar sebuah garis tertentu hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu.
Dalil tentang dua garis sejajar :
a. Jika garis a sejajar dengan garis b dan garis b sejajar dengan garis c, maka garis a sejajar dengan garis c..
b. Jika garis a sejajar garis b dan memotong garis c, garis b sejajar garis a dan juga memotong garis c, maka garis - garis a,b, dan c terletak pada sebuah bidang.
c. Jika garis a sejajar dengan garis b dan garis b menembus bidang, maka garis a juga menembus bidang.
4. Kedudukan Garis Terhadap Bidang a. Garis Terletak pada Bidang
Sebuah garis dikatakan terletak pada bidang, jika garis dan bidang itu sekurang - kurangnya memiliki dua titik persekutuan.
b. Garis Sejajar Bidang
Sebuah garis dikatakan sejajar bidang, jika garis dan bidang itu tidak memiliki satupun titik persekutuan.
Sebuah garis dikatakan memotong atau menembus bidang, jika garis tersebut dan bidang hanya memiliki sebuah titik persekutuan. Titik persekutuan ini dinamakan titik potong atau titik tembus.
Sebagai contoh, perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini : 1. Rusuk - rusuk kubus yang terletak pada bidang α adalah rusuk
-rusuk EF, EH, FG, dan GH
2. Rusuk - rusuk kubus yang sejajar dengan bidang α adalah rusuk - rusuk AB, AD, BC, dan CD
3. Rusuk - rusuk kubus yang memotong atau menembus bidang α adalah rusuk - rusuk AE, BF, CG, dan DH
Dalil - Dalil Garis Sejajar Bidang
1. Jika garis g sejajar dengan garis h dan garis h terletak pada bidang α, maka garis g sejajar dengan bidang α
2. Jika bidang α melalui garis g dan garis g sejajar terhadap bidang β, maka garis potong antara bidang α dengan bidang β akan sejajar terhadap garis g
4. Jika bidang α dan bidang β berpotongan dan masing - masing sejajar terhadap garis g maka garis potong antara bidang α dan bidang &beta akan sejajar dengan garis g.
Titik Tembus Garis dan Bidang yang Berpotongan 1. Buat bidang β melalui garis g
2. Tentukan garis potong abtara bidang α dan β, yaitu garis (α, β)
3. Titik potong gartis g dengan garis (α, β) adalah titik tembusnya adalah titik T
5. Kedudukan Bidang Terhadap Bidang Lain a. Dua bidang Berimpit
Bidang α dan β dikatakan berimpit, jika setiap titik yang terletak pada bidang &alpha juga terletakpada bidang β.
b. Dua Bidang Sejajar
c. Dua Bidang Berpotongan
Bidang α dan β dikatakan berpotongan, jika kedua bidang itu tepat memiliki tepat sebuah garis persekutuan.
d. Tiga Bidang Berpotongan
Jika tiga buah bidang berpotongan dan memiliki tiga buah garis persekutuan, maka kemungkinan kedudukan dari ketiga garis persekutuan itu adalah berimpit, sejajar, atau melalui sebuah titik..
6. Jarak dari Titik ke Titik, Titik ke Garis, dan Titik ke Bidang a. Jarak antara Titik dan Titik
Jarak antara titik P dan garis q ditentukan dengan cara menarik garis dari titik P tegak lurus garis q, maka garis PP' adalah jarak antara titik P dan garis q, kemudian untuk memudahkan penghitungan kita buat bentuk segitiga.
Apabila segitiga yang terjadi berbentuk segitiga sebarang maka penyelesaiannya bisa kita gunakan aturan cosinus, aturan sinus, atau perbandingan sudut trigonometri yang berelasi.
c. Jarak antara Titik dan Bidang
Jarak antara titik P dengan bidang α adalah panjang ruas garis PP', dengan P' merupakan proyeksi titk P pada bidang α.
7. Jarak dari Garis ke Garis, Garis ke Bidang, dan Bidang ke Bidang
a. Jarak dua garis bersilangan
Jarak garis BC dan AH adalah garis AB
Pada gambar diatas mencari jarak antara garis BE dan CF, kemudian dibuat bidang yang dilalui oleh kedua garis tadi, jarak dua bidang yang sejajar itu merupakan jarak antara garis BE dengan CF ( garis PQ )
Pada gambar di atas mencari jarak antara 2 garis yang sejajar yaitu EH dengan BC, karena kedua garis itu sejajar maka dapat dibuat sebuah bidang yang melalui kedua garis itu, jarak kedua garis itu adalah garis BE atau CH.
c. Jarak garis dan bidang yang sejajar
Gambar diatas, mencari jarak dari garis AE ke bidang DBFH yang sejajar, dibuat bidang yang melalui garis AE dimana bidang tersebut juga memotong tegak lurus bidang DBFH, dari garis persekutuan antara dua bidang ditarik garis tegak lurus AE.
d. Jarak dua bidang yang sejajar
A = sebarang
1. Sudut antara dua garis berpotongan
Dua garis dikatakan berpotongan,maka dua garis tersebut berada dalam bidang yang sama. Maka menentukan sudut dua garis yang berpotongan sama seperti menentukan sudut berpotongan pada bidang datar.
2. Sudut antara dua garis bersilangan
Sudut yang terbentuk setelah pergeseran adalah sudut antara dua garis
bersilangan yang dimaksud.
Gambar di atas cara menentukan besar sudut antara dua garis yang bersilangan DE dan HF
3. Sudut antara garis dan bidang
Jika suatu garis tidak tegak lurus pada bidang, maka sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis dan proyeksi garis
tersebut pada bidang.
P'Q = proyeksi garis PQ
pada bidang
4. Sudut antara dua bidang
garis potong antara kedua bidang tersebut.
Gambar diatas menunjukkan sudut antara bidang TBA dengan bidang ABC
Latihan Soal dan Pembahasannya
1. Lukislah suatu bidang α yang melalui titk - titik A,B, dan C
Penyelesaian:
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Jika S merupakan proyeksi titik C pada AFH maka jarak titik A ke titik S adalah…
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan luas permukaannya adalah 216 dm² . Jarak diagonal ruang BH dan diagonal sisi AC adalah… Penyelesaian:
Jarak garis BH dengan garis AC sama dengan yz lihat gambar di bawah ini :
4. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang diagonal ruangnya 12√3 cm. Jarak bidang CFH dan bidang BDE adalah…
Lihat gambar di atas jarak kedua bidang sama dengan jarak titik x dan y (xy)..
BAB II
APLIKASI DIMENSI TIGA DAN PENERAPANNYA Pendahuluan
Jika ada dua buah bola, apa yang dimaksud jarak antara keduanya? Apakah jarak antara kedua pusatnya? Atau lainnya? Bagaimana pula menentukan jarak antara dua bagian gedung yang satu dengan lainnya agar dapat ditentukan misalnya kebutuhan kabel untuk keperluan tertentu?
