KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat rahmat-Nya kami dapat menyelasaikan tugas Matematika teyang berjudul “Statitika” ini dengan tepat waktu.
Dalam pembuatan makalah ini, kami sadar bahwa masih banyak kurang dalam materi, dan tata bahasa. Untuk itu kami mengharapkan saran dan kritikan yang membangun dari ibu dosen pengampuh kapita selekta menengah.
Semoga makalah ini dapat bermanfaat dan dapat memanbah wawasan kita tentang Statistika terima kasih.
Palembang, November 2017
BAB 1 STATISTIKA
A. Pengertian Statistika
Istilah statistik digunakan untuk menggambarkan
sekumpulan data yang telah disusun kedalam daftar atau diagram. Ilmu tentangstatistik dinamakan statistika, yaitu ilmu pengetahuan tentang metode pengumpulan, pengolahan, penafsiran, dan penarikan kesimpulan dari data penelitian. Bagian statistika yang meliputi metode pengumpulan, pengolahan, dan penafsiran secara deskriptif(uraian) dinamakan statistika deskriptif, sedangkan metode penarikan kesimpulan dinamakan statistika inferensi. Penelitian dapat dilakukan terhadap sejumlah objek secara keseluruhan, yang disebut populasi atau hanya sebagian objek disebut sampel.
B. Penyajian Data
a) Penyajian Data dalam Bentuk Diagram
Diagram merupakan gambar-gambar yang menunjukkan data berupa angka yang biasanya berasal dari tabel-tabelyang telah di buat. Beberapa diagram yang akan kita pelajari antara lain sebagai berikut :
1. Diagram Batang
Dalam penyajian data dengan diagram batang, data disajikan dalam bentuk batang yang berbentuk pesegi panjang yang digambarkan vertikal atau horizontal dengan lebar yang sama.
Diagram garis digunakan untuk menyajikan data yang menunjukkan perkembangan suatu data dari waktu ke waktu.
3. Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran digunakan untuk menunjukkan perbandingan antar item data dengan cara membagi lingkaran dalam juring-juring lingkaran dengan sudut pusat yang sesuai dengan perbandingan tersebut
Berikut adalah contoh penyajian dalam bentuk diagram batang, diagram garis, diagram lingkaran dan diagram gambar.
Berikut adalah data nomor sepatu 10 orang siswa : 37, 38, 42, 41, 39, 39, 37, 37, 36, 42
Diagram Batang
Diagram Lingkaran
Diagram lingkaran dalam satuan derjat (o)
b) Penyajian Data dalam Bentuk Tabel
Data dapat kita sajikan dalam bentuk tabel atau daftar. Jika data yang akan kita sajikan cukup besar, maka data tersebut harus dikelompokkan, kemudian disusun dalam bentuk tabel yang disebut daftar sebaran frekuensi atau daftar distribusi frekuensi.
Contohnya adalah :
Berikut adalah data nomor sepatu 10 orang siswa : 37, 38, 42, 41, 39, 39, 37, 37, 36, 42
Data tersebut jika disusun dalam bentuk Tabel/Diagram menjadi sebagai berikut.
NO SEPATU
C. Tabel Distribusi Frekuensi, Frekuensi Relatif dan Kumulatif, Histogram, Poligon Frekuensi, dan Ogive
a. Tabel Distribusi Frekuensi
Data yang berukuran besar (n ≥ 30) lebih tepat disajikan dalam tabel distribusi frekuensi, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu.
Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.
Banyak kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil
pembulatan.
Langkah ke-3 menentukan panjang interval kelas (I) dengan
Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus merupakan batas bawah interval kelas pertama atau data terbesar adalah batas atas interval kelas terakhir.
Langkah ke-5 memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dan menentukan nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus. Menuliskan turus-turus dalambilangan yang bersesuaian dengan
b. Frekuensi Relatif dan Kumulatif
Frekuensi yang dimiliki setiap kelas pada tabel distribusi frekuensi bersifat mutlak. Adapun frekuensi relatif dari suatu data adalah dengan membandingkan frekuensi pada interval kelas itu dengan banyak data dinyatakan dalam persen. Contoh: interval frekuensi kelas adalah 20. Total data seluruh interval kelas = 80 maka frekuensi relatif kelas ini adalah 20/80 = 1/4, sedangkan frekuensi relatifnya adalah 1/4 × 100% = 25%. Dari uraian tersebut, dapatkah nyatakan rumus frekuensi relatif? Cobalah nyatakan rumus frekuensi relatif.
Frekuensi relatif dirumuskan sebagai berikut.
Frekuensi kumulatif kelas ke-k adalah jumlah frekuensi pada kelas yang dimaksud dengan frekuensi kelas-kelas sebelumnya.
Ada dua macam frekuensi kumulatif, yaitu
frekuensi kumulatif "kurang dari" ("kurang dari" diambil terhadap tepi atas kelas);
2) frekuensi kumulatif "lebih dari" ("lebih dari" diambil terhadap tepi bawah kelas).
Dari Tabel 1.6 untuk interval kelas 46 – 55 (kelas 4), hitunglah a. frekuensi relatif;
b. frekuensi kumulatif "kurang dari"; c. frekuensi kumulatif "lebih dari". Jawab :
c. Histogram dan Poligon Frekuensi
Histogram merupakan diagram frekuensi bertangga yang bentuknya seperti diagram batang. Batang yang berdekatan harus berimpit. Untuk pembuatan histogram, pada setiap interval kelas diperlukan tepi-tepi kelas. Tepi-tepi kelas ini digunakan unntuk menentukan titik tengah kelas yang dapat ditulis sebagai berikut.
Poligon frekuensi dapat dibuat dengan menghubungkan titik-titik tengah setiap puncak persegipanjang dari histogram secara berurutan. Agar poligon "tertutup" maka sebelum kelas paling bawah dan setelah kelas paling atas, masing-masing ditambah satu kelas.
Contoh soal:
Tabel distribusi frekuensi hasil ujian matematika Kelas XI SMA Cendekia di Kalimantan Barat diberikan pada Tabel 1.8. Buatlah histogram dan poligon frekuensinya.
d. Ogive (Ogif)
Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari dinamakan poligon kumulatif. Untuk populasi yang besar, poligon mempunyai banyak ruas garis patah yang menyerupai kurva sehingga poligon frekuensi kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut ogif. Ada dua macam ogif, yaitu sebagai berikut.
Ogif dari frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif.
Tabel 1.9 dan 1.10 berturut-turut adalah tabel distribusi frekuensi kumulatif "kurang dari" dan "lebih dari" tentang nilai ulangan Biologi Kelas XI SMA 3. a. Buatlah ogif positif dan ogif negatif dari tabel tersebut.
D. Ukuran Pemusatan Data
Nilai statistim yang dapat menggambarkan keadaansuatu data antara lainadalah Mean (rataan hitung), Modus, dan Median dengan menyatakan ukuran pemusatan data.
a) Ukuran Pemusatan Data untuk Tunggal. Mean
Mean merupakan teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai rata – rata dari kelompok tersebut. Rata – rata (mean) ini didapat dengan menjumlahkan data seluruh individu dalam kelompok itu, kemudian dibagi dengan jumlah individu yang ada pada kelompok tersebut.
Rumus mean data tunggal :
contoh soal mean data tunggal :
data :
4 7 2 3 2 7 7 9 4
Keterangan :
fi : frekuensi untuk nilai untuk Xi yang bersesuaian.
X0 : tanda kelas dengan nilai sandi ci = 0.
Tanda kelas yang lebih besar dari X0 berturut-turut mempunyai harga +1, +2, dst dan
Sebaliknya-1,-2,dst.
contoh soal mean data kelompok :
Diketahui data tinggi badan sekelompok siswa sebagai berikut.
Tinggi
Hitunglah rerata (mean) data tersebut.
Median adalah salah satu teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai tengah dari kelompok data yang telah disusun urutannya dari yang terkecil sampai yang terbesar, atau sebaliknya. Jika ukuran data ganjil, maka median (Me) merupakan data paling tengah setelah data diurutkan menurut nilainya, tetapi jika ukuran data genap, maka median adalah rata-rata dua data tengah setelah diurutkan. Pada data tunggal, pencarian nilai median dilakukan dengan cara mengurutkan data dari nilai terkecil ke nilai terbesar. Kemudian nilai tengah data yag telah diurutkan itu merupakan nilai median.
Rumus mencari median :
Keterangan :
Lo = tepi bawah dari kelas limit yang mengandung median,
Me = nilai median,
N = banyaknya data,
Fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat median,
f0 = frekuensi kelas yang memuat median,
c = panjang intreval kelas
data : 4 7 2 3 2 7 7 9 4
data terurut : 2 2 3 4 4 7 7 7 9
contoh soal median data kelompok :
Kelas Frekuensi F Kumulatif
15-19 5 5
Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa median adalah suku antaran suku ke 29 dan
suku ke 30 dan kelas letak median ada di kelas 30-34. Jadi
Median = 29,5 +[(30-37)/15] 5 = 27,16
Jadi median dari data kelompok di atas adalah 27,16
Modus
Modus merupakan teknik penjelasan kelompok yang didasarkan atas nilai yang sedang populer (yang sdang menjadi mode) atau nilai yang sering muncul dalam kelompok tesebut.
Keterangan :
L = batas bawah nyata (tepi bawah) dari kelas modus
d1 = selisih antara frekuensi dari kelas yang mengandung modus dan frekuensi dari
kelas yang mendahuluinya (sebelumnya).
d2 = selisih antara frekuensi dari kelas yang mengandung modus dan frekuensi dari
kelas berikutnya
i = interval kelas/panjang kelas.
contoh soal modus data tunggal :
data : 4 7 2 3 2 7 7 9 4
modus dari data tersebut adalah : 7
contoh soal modus data kelompok :
Berapa modus dari data kelompok berikut dan bagaimana cara menghitung modusnya? Batas Kelas Frekuensi
Interval Kelas (c) = 5
fo = 150
f1 = 70
f2 = 90
jadi modusnya = 35,5 + 5 (80/(80+60)) = 35,5 + 5 (80/140) = 35,5 + 2,86 = 38,36
D. Ukuran Letak Data
Kuartil
Kuartil adalah nilai yang membagi suatu data terurut menjadi empat bagian yang sama. Kuartil dialmbangkan dengan Q . Jenis kuartil ada 3, yaitu kuartil pertama (Q1) , kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga (Q3).
1. Kuartil untuk Data Tunggal
Keterangan :
Q1 = kuartike ke-i
n = banyaknya data
Contoh Soal Kuartil Data Tunggal
Tentukan Q1 , Q2 dan Q3 dari data : 7,3,8,5,9,4,8,3,10,2,7,6,8,7,2,6,9,
Jawab :
Data terurut : 2,2,3,3,4,5,6,6,7,7,7,8,8,8,9,9,10
2. Kuartil untuk data Bergolong (Berkelompok)
Menentukan letak kuartil untuk data berkelompok
Keterangan : Qi = kuartil ke-i
Tb = tepi bawah kelas kuartil p = panjang kelas
n = banyak data
Contoh Soal Kuartil Data Bergolong
Tentukan Qi dari data berikut:
Jawab :
Desil
Desil merupakan nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian sama besar. Desil sering dilambangkan dengan D. jenis ada 6, yairu D1 , D2 , D3, ….,…,…,D9.
Keterangan : Di = desilk e-i
n = banyaknya data
Contoh Soal Desil Data Tunggal
Tentukan desil ke-8 dari data : 6,3,8,9,5,9,9,7,5,7,4,5,8,3,7,6,.
Jawab:
n = 16
data terurut = 3,3,4,5,5,5,6,6,7,7,7,8,8,9,9,9.
2. Desil untuk data Bergolong ( berkelompok)
Menentukan letak desil untuk data berkelompok
Keterangan : D1 = desil ke-i
Tb = tepi bawah kelas kuartil p = panjang kelas
n = banyak data
Contoh Soal Desil Data Bergolong
Tentukan nilai D6 dari data berikut
Jawab:
Jadi, nilai D6 adalah 21,9
Persentil
Persentil merupakan nilai yang membagi data menjadi serratus bagian sama besar. Persentil sering dilambangakan dengan P. jenis persentil ada 99, yaitu P1, P2, P3 …
1. Data tunggal
Keterangan :
Pi = pesentil ke-i
n = banyaknya data
Contoh Soal Persentil Data Tunggal
Tentukan persentil ke-65 dari data : 6,5,8,7,9,4,5,8,4,7,8,5,8,4,5.
Jawab:
n = 15
data terurut : 4,4,4,5,5,5,5,6,7,7,8,8,8,8,9.
Jadi, nilai persentil ke-65 adalah 7,4.
2. Data bergolong (Berkelompok)
Menetukan letak persentil untuk data berkelompok
Keterangan :
Pi = persentil ke-i
Tb = tepi bawah kelas persentil p = panjang kelas
n = banyak data
Contoh Soal Persentil Data Berkelompok
Tentukan P30 dari data berikut
E. Ukuran Penyebaran Data
Dalam pengukuran statistika terdpat pula Ukuran Penyebaran data. Ukuran penyebaran data merupakan ukuran yang menunjukkan seberapa jauh data menyebar dari rata-rata. Terdapat ukuran penyebaran data yang akan kita pelajari pada artikel ini, yaitu Jangkauan (range), Simpangan rata-rata, Ragam (variasi), dan Simpangan Baku. namun, sebelum anda mempelajari postingan ini, sebaiknya anda baca dulu materi sebelumnya tentang pengertian Statistika, Ukuran Pemusatan data Dan Ukuran Letak Data.
Penjelasan dan uraian lengkapnya akan dijelaskan pada penjelasan di bawah ini.
Jangkauan (Range)
Jangkauan merupakan selisih data terbesar dan data terkecil. Jangkauan sering dilambangkan dengan R.
1. Jangkauan Data
R = xmaks – xmin
Keterangan: R = jangkauan Xmaks = data terbesar
Xmin = data terkecil
Contoh Soal Jangkauan Data
Tentukan jangkauan dari data : 3,6,10,5,8,9,6,4,7,5,6,9,5,2,4,7,8.
Jawab :
R = xmaks – xmin
= 10-2 = 8
Jadi, jangkaun data tersebut adalah 8.
2. Jangkauan interkuartil
Jangkauan interkuartil adalah selisih antara kuartil ketiga dan kuartil pertama.
Keterangan :
H = jangkauan interkuartil Q3 = kuartil ketiga
Q1 = kuartil pertama
3. Simpangan kuartil ( jangkauan semi interkuartil)
Singan kuartil adalah setengah dari selisih kuartil ketiga dan kuartil pertama.
Sk = ½ Q3 – Q1
Keterangan :
Sk = simpangan kuartil Q3 = kuartil ketiga
Q1 = kuartil pertama
Simpangan Rata- Rata
Simpangan rata-rata merupakan nilai rata-rata dari selisih setiap data dengan nilai mean atau rataan hitungnya. Simpangan rata-rata sering dilambangkan dengan SR.
1. Data Tunggal
Keterangan :
SR = simpangan rata-rata Xi = data ke-i
X = rataan hitung n = banyak data
Contoh Soal Simpangan Rata rata Data tunggal
Tentukan simpangan rata-rata dari data 4,6,8,5,4,9,5,7.
Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 1,5
2. Data Bergolong (Berkelompok)
Keterangan :
SR = simpangan rata-rata Xi = data ke-i
X = rataan hitung fi = frekuensi data ke-i
Contoh Soal Simpangan Rata rata Data Berkelompok
Tentukan simpangan rata-rata dari data berikut:
51-55 5 53 265 1,5 7,5
56-60 8 58 464 3,5 28
61-65 8 63 504 8,5 68
Jumlah 30 1.635 165
Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 5,5.
Varian (ragam)
Ragam atau variasi adlah nilai yang menunjukkan besarnya penyebaran data pada kelompok data. Ragam atau variasi dilambangkan dengan s2 .
1. Variasi untuk data tunggal
Keterangan : s2 = variasi
xi = data ke –i
x = rataan hitung n = banyak data
Keterangan : s2 = variasi
xi = data ke –i
x = rataan hitung fi = frekuensi data ke-i
Simpangan baku
Simpangan baku atau disebut juga deviasi standar merupakan akar dari jumlah kuadrat diviasi dibagi banyaknya data. Simpangan baku sering dilambangkan dengan s.
1. Simpangan baku untuk data tunggal
Keterangan :
S = simpangan baku xi = data ke –i
x = rataan hitung n = banyak data
2. Simpangan baku untuk data bergolong (berkelompok)
Keterangan :
xi = data ke –i
x = rataan hitung fi = frekuensi data ke-i
Contoh Soal Simpangan Baku
Tentukan variari dan simpangan baku dari data : 4,6,8,7,9,8.
Data f
41-45 6 43 258 132.25 93.5
46-50 3 48 144 42.25 126.75
51-50 5 53 265 2.25 11.25
56-60 8 58 464 12.25 98
61-65 8 63 504 72.25 578
Jadi, variasinya = 22,53 dan simpangan bakunya = 4,75.
DAFTAR PUSTAKA
Ayu,dhea.2013,”Ukuran Penyebaran Data”, (online),
http://dheaayuwikuningtyas.blogspot.com/2013/10/quartil-range-deviasi-dan-varians.html, (diakses pada 8 november 2017).
Blogspot. Com, 2014, “Statistika”’(online),
http://belajar-soal-
matematika.blogspot.com/2014/01/statistika-matematika-ukuran-penyebaran.html, (diakses pada 8 november 2017).
Suprijanto,H.Sigit. 2006. Matematika. Jakarta: Yudhistira. Study, Matematika .2013,”Statistika”, (online),
http://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/144-statistika-data-ragam-dan-simpangan-baku-html, (diakses
