ANUITAS
OVERVIEW…
• Anuitas adl suatu pembayaran dalam jumlah tertentu, yang dilakukan setiap selang waktu dan lama tertentu, secara berkelanjutan.
• Suatu anuitas yg pasti dilakukan selama jangka pembayaran disebut Anuitas Tentu.
• Suatu anuitas yg pembayarannya tergantung hidup matinya seseorang disebut Anuitas Hidup.
• Pembayaran premi yg dilakukan oleh pemegang polis dalam bentuk anuitas.
• Anuitas Awal adl anuitas yg dibayarkan di awal jangka waktu pembayaran anuitas.
• Anuitas Akhir adl anuitas yg dibayarkan di akhir jangka waktu pembayaran anuitas.
• Nilai Tunai (Present Value) yaitu nilai seluruh
pembayaran jika anuitas dibayar sekaligus dlm satu kali.
• Nilai Akhir (Cumulative Value) yaitu jumlah seluruh pembayaran pada suatu waktu di kemudian hari.
• Konsep asuransi tak lepas dari tingkat bunga (interest rate) yang digunakan (istilah dalam ISLAM, “RIBA”) dalam penentuan besar
anuitas ataupun yg lainnya. Demikian pula jika ingin mengetahui nilai tunai dan nilai akhir.
TINGKAT BUNGA
• Bila seseorang pinjam uang Rp. 1juta dg bunga 10% per tahun, mk orang tsb harus membayar bunga uang tsb tiap akhir tahun sebanyak Rp. 100rb, dan hutangnya tetap Rp. 1juta.
• Bagaimana jika ia menunggak membayar bunganya selama 5 tahun, berapakah ia harus membayar agar seluruh hutang dan bunganya lunas?
– Jika bunganya ikut dibungakan maka perhitungan bunga seperti ini disebut Bunga Majemuk
– Jika bunganya tidak ikut dibungakan maka disebut Bunga Tunggal.
BUNGA TUNGGAL
• Misal: P adl pokok, yakni besarnya pinjaman atau modal pertama, i adl tingkat bunga setahun, n jangka waktu pinjaman, dan S adl nilai akhir (nilai ke-n)
• KONSEP BUNGA TUNGGAL:
Pd tahun pertama menjadi P + Pi Pd tahun kedua menjadi P + 2Pi
…
Pd tahun ke-n menjadi P + Pni
1
S P I P Pni P ni
• Bunga tunggal sebenarnya dan biasa:
– Bunga tunggal sebenarnya : dihitung dengan asumsi satu tahun adl 365 hari.
– Bunga tunggal biasa : dihitung dengan asumsi satu tahun adl 360 hari.
• Waktu sebenarnya dan waktu pendekatan:
– Waktu sebenarnya: dihitung menurut hari yang
sebenarnya dari seluruh jumlah hari pada kalender.
– Waktu pendekatan: dianggap bahwa setiap bulan terdiri atas 30 hari.
• Contoh: Hitung bunga tunggal sebenarnya dan biasa dari Rp. 2juta untuk 50 hari dengan
bunga 5% per tahun!
6
6
Bunga tunggal sebenarnya:
50 10 10
, 2 10 0, 05 .13.700,
365 73 73
Bunga tunggal biasa :
50 5 5
, 2 10 0, 05 .13.890,
360 36 36
n I Pni Rp
n I Pni Rp
• Contoh: Tentukan waktu sebenarnya dan waktu pendekatan dari tanggal 3 Juni 2012 sampai
dengan 18 September 2012!
Waktu sebenarnya:
Jumlah hari tersisa dari bulan Juli + Jumlah hari sampai tgl yang dinyatakan dalam bulan September = 27+31+31+18 = 107 hari.
Waktu pendekatan:
18 September 2012 2012 : 9 : 18 3
Juni 2012 2012 : 6 : 3 _
0 : 3 : 15 (3 bulan 15 hari) atau 105 hari (diasumsikan 1 bulan = 30 hari).
• Contoh: Tentukan bunga tunggal sebenarnya dan biasa dari Rp. 2juta,- untuk bunga 6% per tahun dari tanggal 20 April 2012 sampai 1 Juli 2012 dengan
menggunakan: (a). Waktu sebenarnya, (b). Waktu pendekatan.!
6
6
Bunga tunggal sebenarnya:
a.Waktu sebenarnya:
72 72
, 2 10 0, 06 .23.670,
365 365
b.Waktu pendekatan:
71 71
, 2 10 0, 06 .23.340,
365 365
n I Pni Rp
n I Pni Rp
6
6
Bunga tunggal biasa:
a.Waktu sebenarnya:
72 72
, 2 10 0, 06 .24.000,
360 360
b.Waktu pendekatan:
71 71
, 2 10 0, 06 .23.670,
360 360
n I Pni Rp
n I Pni Rp
BUNGA MAJEMUK
• KONSEP BUNGA MAJEMUK:
Pd tahun pertama menjadi P1 = P + iP
Pd tahun kedua menjadi P2 = P1 + iP1 = P + iP + i (P + iP) = P + 2iP + i2P = P (1 + i)2
…
Pd tahun ke-n menjadi
S = P (1 + i)
n.
1
1
, 1 , .
1
n
n
n
S P i P S
i
jika v maka P v S i
• Contoh:
Rp. 1000 dibungakan selama 3 tahun dg tingkat bunga 7% setahun. Berapakah besarnya seluruh uang pada akhir tahun ketiga?
>> Bunga tunggal
S = 1000 (1+3i) = 1000 (1+0,21) = Rp. 1.210
>> Bunga majemuk
S = 1000 (1+i)3 = 1000 (1+0,07)3 = 1000 (1,22504)
= Rp. 1.225,04
• Contoh:
Seorang ayah mpy anak berumur 8 thn. Si ayah ingin mendepositokan uangnya di bank dan akan memberikannya pd si anak sbg biaya di universitas waktu si anak tepat berumur 18 thn. Bila bank memberi bunga majemuk 12%
setahun dan si ayah ingin menyerahkan Rp.
1juta pd si anak 10thn kemudian, berapakah dia harus mendepositokan uangnya sekarang?
• Jawab:
S10 = Rp. 1juta, i = 0,12 P = S10 (1+i)-n
= S10 (1+0,12)-10
= (1.000.000,00) (1,12)-10
= 321.973,24
Jadi, jika si Ayah ingin memberikan si anak Rp.
1juta pada 10 thn yg akan datang maka si Ayah harus mendepositokan sebesar Rp. 321.973,24.
TINGKAT BUNGA NOMINAL &
TINGKAT BUNGA RIIL
• Beberapa bank, asuransi, atau yg lain terkadang dlm perhitungan bunganya menggunakan dasar setengah tahunan.
• Contoh i per tahun 6%, maka 1 tahun kemudia menjadi sebesar:
0, 06 2
1 2
S P
• Secara umum, jika setahun terjadi pembayaran k kali, dg bunga tahunan sebesar i , maka 1 tahun kemudian Pokok beserta Bunganya menjadi sebesar
• Atau setahun kemudian besarnya bunga adl
1
j k
k
1 1
j k
i k
• Dimana:
• Tingkat bunga nominal dinyatakan dg i(k), dan tingkat bunga riil dinyatakan dg i.
jumlah konversi bunga dalam 1 tahun 1 jangka waktu tiap konversi
tingkat bunga nominal yang digunakan setiap 1 tahun
bunga nominal k
k
j k
j k
• Contoh: Jika modal awal Rp. 1juta,- diinvestasikan dengan bunga majemuk kwartalan. Hitung jumlah uang pada saat 8,5 tahun mendatang jika
diketahui tingkat bunga 7% pertahun!
.1.000.000, 0, 07
0, 0175 (1 tahun = 4 kwartal) 4
34 (4 8, 5 34 )
P Rp i
n tahun kwartal
ANUITAS TENTU
• Anuitas tentu adl serangkaian pembayaran berkala yg dilakukan selama jangka waktu tertentu.
• Nominal pembayaran tiap periode dianggap sama.
• Anuitas tentu yang dibayarkan di awal jangka waktu pembayaran anuitas disebut anuitas tentu awal, sedang bila di akhir jangka waktu disebut anuitas tentu akhir.
ANUITAS TENTU AKHIR
• Pembayaran dilakukan di akhir periode. Misal,
angsuran sebesar Rp. 1,- dan banyaknya angsuran adalah n kali, maka nilai tunai dari anuitas tentu akhir dpt dicari sbb:
an
2 2
Nilai tunai pembayaran pertama: 1
(1 ) Nilai tunai pembayaran kedua: 1
(1 ) i v
i v
2
Sehingga nilai tunai keseluruhan:
merupakan deret geometri turun : 1 1
(1 ) 1 1 1 (1 )
1 .
1 1 1
1
n n
n
n n n
n
a v v v
v v v i i
a v i i
v
1
: nilai akhir/nilai akumulasi dari anuitas tentu akhir dg tiap pembayaran sebesar .1,
dapat dicari sebagai berikut:
Nilai akumulasi dari pembayaran pertama: (1 ) Nilai akumulasi dari p
n
n
n
S
Rp S
i
2
3
2 1
embayaran kedua : (1 ) Nilai akumulasi dari pembayaran ketiga : (1 )
Nilai akumulasi dari pembayaran ke- : (1 ) 1 ,
1 (1 ) (1 ) (1 )
n n
n n
n n
i i
n i
Sehingga
S i i i
Hubungan antara dan : (1 )
(1 )
n n
n
n n
n
n n
a S
S a i
a S i
• Contoh: Suatu pinjaman Rp. 100juta dengan bunga 3% setahun akan dilunasi dalam waktu 25thn. Hitung anuitas yang harus dibayar tiap akhir tahun!
8 25
8 8
25
: 10
10 10
.5.742.787,18.
1 (1 0, 03) Jawab
Xa
X Rp
a
ANUITAS TENTU AWAL
• Setiap awal tahun, selama n tahun dibayar anuitas
sebesar Rp. 1,-, maka nilai tunai dari anuitas tentu awal
dapat dicari sbb: an
2 2
Bayar ke-1 sekarang dan nilai tunainya: Rp.1,-
Bayar ke-2 di awal periode ke-2 & nilai tunainya: 1
(1 ) Bayar ke-3 di awal periode ke-3 & nilai tunainya: 1
(1 )
Bayar ke- di awal periode ke- & n
i v
i v
n n
1 1
ilai tunainya: 1
(1 )
n
n v
i
2 1
1 2
Sehingga nilai tunai keseluruhan:
1 1
1 (1 ) . .
n n
n n
n
n n
n n
a v v v
a a
va v v v a
a i
i v
: nilai akhir/nilai akumulasi dari anuitas tentu awal dg tiap pembayaran sebesar .1,
dapat dicari sebagai berikut:
Nilai akumulasi dari pembayaran pertama: (1 ) Nilai akumulasi dari
n
n
n
S
Rp S
i
1
2
( 1)
pembayaran kedua : (1 ) Nilai akumulasi dari pembayaran ketiga : (1 )
Nilai akumulasi dari pembayaran ke- : (1 ) (1 )
n n
n n
i i
n i i
2
1
,
(1 ) (1 ) (1 )
(1 ) 1 (1 ) 1
(1 ) (1 )
(1 ) 1 (1 ) .
1.
n n
n n
n
n n
Sehingga
S i i i
i i
i i
i i
i S
S S
• Contoh: Setiap selang 6 bulan, Ali menyimpan Rp. 100.000,-. Penyimpanan dimulai sejak
anaknya berusia 6 bulan dan diakhiri sesudah anaknya berusia 20 tahun (setiap awal
periode). Selanjutnya uang tersebut tetap
tidak diambil dan sesudah anaknya berusia 25 thn uang tsb diberikan kepada anaknya
sebagai modal usaha. Hitung berapa banyak uang yang akan diterima anaknya! (bunga = 1,5% per periode).
40
5 5
40
10
:
Setelah menyimpan Rp.100.000,- selama 20×2 = 40 periode, uangnya menjadi :
(1 0, 015) 1
10 10 .5.426.789, 34
0, 015
Setelah anak berusia 25thn (ada10periode), maka uangnya menjadi:
Jawab
P S Rp
S
(1 )10 (5.426.789, 34)(1 0, 015)10 .6.298.010, 58.
P i
Rp
• Beberapa hubungan:
1
1
1 1
1 ; 1 1 ; 1
1 ; 1 ;
n n n n
n n n n
n n n n
n n
n n n n
s i s s s
s s a i a
a a a a
v s a v s a
• Anuitas yang pembayarannya dijanjikan akan dilakukan selang beberapa waktu kemudian disebut anuitas tunda, sedang anuitas yang pembayaran pertama dilakukan pada waktu anuitas tersebut dimulai disebut anuitas
segera.
• Nilai sekarang dari anuitas yang pembayaran pertamanya dilakukan f tahun kemudian dan dilakukan selama n tahun, dinotasikan dg (anuitas awal) atau (anuitas akhir). Berikut rumus-rumusnya:
| f an
| f an
1 1
|
1 2
|
|
|
f f f n f
f n n
f f f n f
f n n
f n f n f
f n f n f
a v v v v a
a v v v v a
a a a
a a a
ANUITAS TENTU
PEMBAYARAN k KALI SETAHUN
• Persamaan yg lalu dikaitkan dg pembayaran k kali setahun adl
1 1
1
1 2
1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1
n n
k k k
n
n n
k
k k
n n
k k k
n
n
s i i i
k
i i i
i d
s i i
k
• Untuk anuitas:
1 1
1
1 2
1 1
1 1 1
1 1
k k n k
n
n n
k
k k
k k k n
n
n k
a v v
k
i v v
i d
a v v v
k v i
• Contoh:
Hitunglah nilai tunai dan akhir dari suatu rangkaian pembayaran sebesar Rp. 150 tiap akhir tahun selama 20 thn bila tingkat bunga 5% pertahun!
• Jawab:
n = 20; i = 0,05 Maka,
I. Nilai tunainya: II. Nilai akhirnya:
20 20
[1 (1, 05) ]
150. 150.
0, 05 a
150(1 0,376889) / 0, 05 150(12, 4622)
20
20 20
150.s 150.a v.
1869,33(1/1, 05)20
1869,33(2, 653298)
• Contoh:
Suatu polis asuransi jiwa memberikan pilihan sbg berikut: Jika si Ali mati, mk Ny. Ali dpt menerima uang tunai sebesar Rp. 1jt atau menerima santunan selama 10thn. Pembayaran dilakukan tiap awal tahun dg tingkat bunga diperhitungkan 6% pertahun. Hitunglah pembayaran tahunan tsb!
• Jawab:
Nilai tunai = Rp. 1jt; n = 10; i = 0,06 Misal: x = pembayaran tahunan.
Jika nilai tunai Rp. 1jt artinya ke-10 pembayaran tahunan tsb haruslah sama dengan Rp. 1jt.
Jadi,
10 1 9
a a
[1 (1, 06) ]9
1 0, 06
1 (1 0,591898) / 0, 06 1 6,80169
. 10 1.000.000
x a
10
1.000.000 x a
1.000.000
128.177,3191 7,80169
LATIHAN
1. Buktikanlah secara aljabar dan verbal:
2. Seseorang akan menerima 10 kali pembayaran tahunan Rp. 5jt, pembayaran pertama dilakukan sekarang. Berapakah nilai tunai dan nilai akhir seluruh pembayaran jika:
a. Tingkat bunga 5% pertahun b. Tingkat bunga 8% pertahun
3. Hitunglah nilai tunai dan nilai akhir suatu anuitas selama 10 tahun sebesar Rp. 100 pertahun, pembayaran ditunda selama 5thn. Tingkat bunga 8% pertahun.
1
( 1) 1
a).
b).
n
n n
n
n n
a a v
s s v
4. Seorang ayah menruh uang di bank untuk membiayai sekolah anaknya selama 12thn. Jika si anak menerima Rp.
1.000 tiap akhir tahun, pembayaran pertama dilakukan pada akhir tahun ke enam dari sekarang dan seluruh uang dan bunganya habis dibayarkan pada waktu pembayaran yang ke 12 dilakukan, berapa banyakkah si ayah menaruh uangnya di bank bila bank memberi bunga 12% pertahun?
5. Sebuah rumah dibeli dengan uang mukaa Rp. 2jt dan cicilan tiap akhir tahun sebesar Rp. 500.000,- selama 10thn. Bila bunga uang sebesar 5% pertahun, berapakah harga rumah tersebut bila dibeli tunai?
