KALKULUS MULTIVARIABEL II
Integral Garis Medan Vektor dan Sifat Integral Garis (Minggu ke-8)
Supama dan Hadrian Andradi
Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia
1 Integral Garis Medan Vektor
Definisi Integral Garis Medan Vektor Penghitungan Integral Garis Medan Vektor
2 Sifat Integral Garis
Sifat Integral Garis Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk Integral Garis Kebebasan Lintasan
Diberikan kurva mulus C pada R2 dengan rumus parameter x = x(t) y = y(t) z = (t) a ≤ t ≤ b, dengan C merupakan kurva yang terorientasi secara positif.
Titik awal kurva C adalah A = (x(a), y(a)) dan titik ujung kurva C adalah B = (x(b), y(b)). Diperhatikan integral garis dengan bentuk
∫
C
f (x, y, z) dx + g(x, y, z) dy + h(x, y, z) dz
dengan f , g, dan h merupakan fungsi kontinu bernilai pada C.
Misal
1 F fungsi pada C, dengan
F(x, y, z) = f (x, y, z)i + g(x, y, z)j + h(x, y, z)k, menyatakan vektor gaya yang dikerjakan pada suatu partikel di sepanjang kurva C
2 r = x(t)i + y(t)j + z(t)k menyatakan vektor posisi titik R = (x(t), y(t), z(t)) pada kurva C
3 T(R) menyatakan vektor singgung satuan kurva C di titik R = (x(t), y(t), z(t))
Besarnya usaha yang dibutuhkan untuk memindahkan partikel dari titik R ke titik S di sepanjang kurva C dengan panjang busur RS adalah ∆s (∆s cukup kecil) mendekati
(F(R) ⋅ T(R)) .∆s.
Ditinjau partisi P = {t0, t1, t2, . . . , tn} pada [a, b] dengan a = t0 <t1 <t2 < ⋯ <tn=b.
Partisi P membagi kurva C ke dalam n kurva bagian Ci, dengan Cimerupakan kurva dengan titik awal Pi−1= (x(ti−1), y(ti−1), z(ti−1)) dan titik ujung Pi= (x(ti), y(ti), z(ti)).
Misalkan ∆simenyatakan panjang kurva Cidan ∥P ∥ menyatakan norma partisi P . Diperhatikan jumlahan Riemann berikut
n
∑
i=1
(F(Pi−1) ⋅T(Pi−1)).∆si.
Diperoleh bahwa besarnya usaha yang diperlukan untuk memindahkan partikel dari titik A ke titik B di sepanjang kurva C adalah
lim
∥P ∥→0 n
∑
i=1
(F(Pi−1) ⋅T(Pi−1)).∆si
yang disebut integral garis medan vektor F di sepanjang kurva C dari A ke B dan dituliskan dengan
∫
C
(F ⋅ T) ds.
Dengan memperhatikan bahwa T = drds, integral di atas dapat ditulis sebagai
∫
C
F ⋅ dr,
dengan dr = dxi + dyj + dzk. Lebih lanjut, dengan memandang F(x, y, z) = f (x, y, z)i + g(x, y, z)j + h(x, y, z)k diperoleh bahwa
∫
C
F ⋅ dr =∫
C
f (x, y, z) dx + g(x, y, z) dy + h(x, y, z) dz.
Ruas kanan persamaan di atas, dapat dikerjakan seperti menger- jakan integral garis fungsi bernilai real.
Pendefinisian integral garis medan vektor pada ruang
berdimensi 2 pada dasarnya sama dengan pendefinisian integral garis medan vektor pada ruang berdimensi 3. Pendefinisian dilakukan dengan cara yang analog dengan ruang berdimensi tiga, namun dengan menghilangkan “faktor” z.
Contoh Soal
1 Tentukan nilai integral garis ∫
C
F ⋅ dr, jika diketahui C kurva yang diberikan oleh fungsi bernilai vektor r, dengan
F(x, y) = xyi + 3y2j dan r(t) = 11t4i + t3j, 0 ≤ t ≤ 1.
2 Diberikan medan gaya F pada R2 dengan
F(x, y) = (x3−y3)i + xy2j dan kurva C dengan rumus parameter x = t2, y = t3, −1 ≤ t ≤ 0. Tentukan besarnya usaha yang diperlukan untuk memindahkan partikel dari titik awal hingga titik ujung kurva C.
Kebebasan Lintasan
Sifat Integral Garis Terkait Lintasan
Diberikan fungsi f ∶ K ⊆ R2→R (atau f ∶ K ⊆ R2→R) kontinu pada domainnya dan kurva C, C1, dan C2 pada K.
1 Jika C = C1+C2, yaitu titik ujung C1 merupakan titik awal C2 (perhatikan gambar), maka
∫
C
f (x, y) ds =∫
C1
f (x, y) ds +∫
C2
f (x, y) ds.
Kebebasan Lintasan
Sifat Integral Garis Terkait Lintasan
2 Jika C = C1∪C2 dengan C1∩C2= ∅, maka
∫
C
f (x, y) ds =∫
C1
f (x, y) ds +∫
C2
f (x, y) ds.
Kebebasan Lintasan
Sifat Integral Garis Terkait Lintasan
3 Didefinisikan kurva −C sebagai kebalikan dari kurva C, yaitu titik awal kurva −C adalah titik ujung kurva C dan titik ujung kurva −C merupakan titik awal kurva C (perhatikan gambar). Diperoleh bahwa
∫
−C
f (x, y) ds =∫
C
f (x, y) ds.
Kebebasan Lintasan
Teorema Fundamental
Misalkan C kurva mulus sepotong-sepotong yang secara parametrik diberikan oleh r = r(t), a ≤ t ≤ b, dengan titik awal r(a) dan titik ujung r(b). Jika fungsi bernilai real f memiliki vektor gradien ∇f yang kontinu pada suatu himpunan terbuka yang memuat C, maka
∫
C
∇f (r) ⋅ dr = f (b) − f (a).
Kebebasan Lintasan
Definisi Integral Bebas Lintasan
Diketahui F kontinu pada suatu himpunan terbuka dan terhubung D. Integral∫
C
F ⋅ dr dikatakan bebas lintasan jika untuk sebarang dua titik A dan B anggota D dan setiap kurva C1 dan C2 pada D yang memiliki titik awal A dan titik akhir B, berlaku
∫
C1
F ⋅ dr =∫
C2
F ⋅ dr.
Kebebasan Lintasan
Teorema Terkait Kebebasan Lintasan
Diketahui D himpunan terbuka dan terhubung. Misalkan medan vektor F kontinu pada D. Tiga pernyataan berikut ekuivalen.
1 ∫
C
F ⋅ dr bebas dari lintasan dalam D.
2 Terdapat fungsi bernilai real f sehingga F(r) = ∇f (r) untuk setiap r di D.
3 ∫
C
F ⋅ dr = 0 untuk setiap lintasan tertutup dalam D.
