Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pembelajarannya. Jurusan Matematika, FMIPA UM. 13 Agustus 2016
SIFAT KELENGKAPAN RUANG METRIK BERNILAI KOMPLEKS
Dahliatul Hasanah FMIPA Universitas Negeri Malang dahliatul.hasanah.fmipa@um.ac.id
Abstrak
Ruang metrik bernilai kompleks dapat dibangun dari ruang metrik (klasik) dengan mendefinisikan metrik bernilai kompleks dari metrik bernilai real. Dalam artikel ini, hubungan sifat kelengkapan antara ruang metrik dan ruang metrik bernilai kompleks yang dibangun dari ruang metrik bernilai real diperiksa lebih mendalam dengan memberikan beberapa contoh. Hubungan sifat kelengkapan antara ruang metrik bernilai kompleks dengan ruang bagiannya yang tertutup juga diteliti apakah mengikuti hubungan kelengkapan ruang metrik bernilai real dengan ruang bagian yang tertutup.
Kata kunci: ruang metrik bernilai kompleks, ruang metrik lengkap, himpunan tutup
PENDAHULUAN
Ruang metrik bernilai komp leks y ang dikenalkan oleh Azzam, dkk (2011) melahirkan bany ak p enelitian untuk memeriksa sifat-sifat y ang dimiliki oleh ruang metrik y ang baru ini.
Sebagian besar p enelitian memeriksa sifat keberadaan titik tetap dan ketunggalanny a p ada ruang metrik bernilai komp leks, di antararany a adalah p enelitian oleh Sitthikul dan Saejung (2012) dan oleh Ahmad, dkk (2013). Para p eneliti memeriksa ap akah Teorema Titik Tetap Banach y ang bany ak digunakan di bidang terap an dapat berlaku pada ruang metrik bernilai komp leks dengan beberap a kondisi y ang disesuaikan.
Penemuan ruang metrik y ang baru ini memberikan ruang bagi p eneliti lainny a untuk memeriksa sifat-sifat y ang dimiliki oleh ruang metrik bernilai komp leks y ang diturunkan dari sifat-sifat y ang dimiliki oleh ruang metrik (klasik). Salah satu sifat yang p enting untuk dipelajari adalah sifat kelengkap an (comp leteness). Sifat kelengkap an y ang akan ditunjukkan dalam artikel ini adalah hubungan ruang metrik lengkap terhadap ruang metrik bernilai kompleks y ang dibangunnya. Lebih jauh lagi, sifat kelengkap an antara ruang metrik bernilai komp leks dengan ruang bagianny a y ang tertutup juga dip eriksa ap akah mengikuti hubungan ruang metrik (klasik) dengan ruang bagianny a y ang tertutup .
Sebelum mengenalkan ruang metrik bernilai komp leks, terlebih dahulu dikenalkan dengan urutan p arsial p ada himp unan bilangan komp leks. Urutan p arsial ini y ang digunakan untuk mendefinisikan metrik y ang bernilai komp leks. M isal ℂ adalah himpunan bilangan komp leks dan 𝑧1, 𝑧2∈ ℂ, didefinisikan urutan parsial ≼ pada ℂ sebagai berikut:
(i) Re(𝑧1) = Re(𝑧2) dan Im(𝑧1) < Im(𝑧2), (ii) Re(𝑧1) < Re(𝑧2) dan Im(𝑧1) = Im(𝑧2), (iii) Re(𝑧1) < Re(𝑧2) dan Im(𝑧1) < Im(𝑧2), (iv) Re(𝑧1) = Re(𝑧2) dan Im(𝑧1) = Im(𝑧2).
Jika 𝑧1≠ 𝑧2 dan salah satu dari (i), (ii), atau (iii) terp enuhi maka bisa dituliskan 𝑧1⋨ 𝑧2. Secara khusus dap at dituliskan 𝑧1≺ 𝑧2 jika kondisi (iii) y ang terp enuhi.
Urutan p arsial p ada bidang komp leks memp uny ai sifat:
(i) 0 ≼ 𝑧1⋨ 𝑧2 maka |𝑧1| < |𝑧2|;
2 (ii) 𝑧1≼ 𝑧2 dan 𝑧2≺ 𝑧3 maka 𝑧1≺ 𝑧3;
(iii) Jika 𝑧 ∈ ℂ, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ dan 𝑎 ≤ 𝑏, maka 𝑎𝑧 ≼ 𝑏𝑧.
Dengan didefinisikannya urutan parsial pada bilangan komp leks, metrik y ang sebelumny a adalah bernilai real dapat diganti dengan metrik y ang bernilai komp leks sehingga ruang metrik bernilai komp leks didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 1.1 Misal X adalah himpunan tak kosong. Pemetaan 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℂ disebut metrik bernilai komp leks p ada X jika kondisi berikut terp enuhi:
(M 1) 0 ≼ 𝑑(𝑥, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦;
(M 2) 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋;
(M 3) 𝑑(𝑥, 𝑦) ≼ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋.
Selanjutny a (𝑋, 𝑑) disebut ruang metrik bernilai kompleks.
Berdasarkan definisi di atas dapat dilihat bahwa ruang metrik bernilai komp leks merup akan p erumuman dari ruang metrik klasik. Perhatikan bahwa jika 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ memenuhi sifat (M 1), (M 2), dan (M3) maka d merupakan metrik (dalam ruang metrik klasik), yaitu memenuhi sifat-sifat berikut:
(K1) 0 ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dan 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⟺ 𝑥 = 𝑦;
(K2) 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋;
(K3) 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦,𝑧 ∈ 𝑋.
Contoh 1.2 (Singh, dkk., 2015) M isal didefinisikan 𝑑: ℂ × ℂ → ℂ sebagai berikut:
𝑑(𝑧1, 𝑧2) = |𝑧1− 𝑧2| + 𝑖|𝑧1− 𝑧2|.
M aka (ℂ, 𝑑) adalah ruang metrik bernilai kompleks.
Himpunan buka dan himpunan tutup p ada ruang metrik bernilai komp leks didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 1.3 (Nashine, dkk., 2014) Misal (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik bernilai kompleks dan 𝐵 ⊆ 𝑋.
(i) 𝑏 ∈ 𝐵 disebut sebagai titik interior dari 𝐵 jika terdapat 0 ≺ 𝑟 ∈ ℂ sehingga 𝑁(𝑏, 𝑟) ⊆ 𝐵 dengan 𝑁(𝑏, 𝑟) = {𝑦 ∈ 𝑋: 𝑑(𝑏, 𝑦) ≺ 𝑟}.
(ii) Titik 𝑥 ∈ 𝑋 disebut sebagai titik limit dari 𝐵 jika untuk setiap 0 ≺ 𝑟 ∈ ℂ, 𝑁(𝑥, 𝑟) ∩ (𝐵 − {𝑥}) ≠ ∅.
(iii) Himpunan bagian 𝐴 ⊆ 𝑋 disebut himpunan buka jika setiap anggota dari 𝐴 adalah titik interior dari 𝐴, sedangkan himpunan 𝐵 ⊆ 𝑋 disebut himpunan tutup jika setiap titik limit dari 𝐵 termuat dalam 𝐵.
Sep erti halnya definisi barisan p ada ruang metrik, barisan kovergen, barisan Cauchy, dan kelengkap an ruang metrik bernilai komp leks didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 1.4 (Nashine, dkk., 2014) Misal (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik bernilai kompleks, (𝑥𝑛) adalah barisan dalam 𝑋 dan 𝑥 ∈ 𝑋. Didefinisikan
(i) Barisan (𝑥𝑛) konvergen ke 𝑥 jika untuk setiap 𝑐 ∈ ℂ dengan 0 ≺ 𝑐 terdapat 𝑛0∈ ℕ sehingga untuk semua 𝑛 > 𝑛0, 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) ≺ 𝑐. Kita tuliskan dengan lim 𝑥𝑛= 𝑥 atau 𝑥𝑛→ 𝑥 ketika 𝑛 →
∞.
(ii) Barisan (𝑥𝑛) adalah barisan Cauchy jika untuk setiap 𝑐 ∈ ℂ dengan 0 ≺ 𝑐 terdapat 𝑛0∈ ℕ sehingga untuk semua 𝑛, 𝑚 > 𝑛0, 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) ≺ 𝑐.
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pembelajarannya. Jurusan Matematika, FMIPA UM. 13 Agustus 2016
(iii) Ruang metrik (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik bernilai kompleks yang lengkap jika setiap barisan Cauchy dalam 𝑋 adalah barisan konvergen.
PEMBAHAS AN
M elihat contoh-contoh yang diberikan oleh Singh, dkk (2015) dalam artikelny a, p enulis memeriksa hubungan antara ruang metrik dan ruang metrik bernilai kompleks. Pada bagian ini akan diberikan beberap a teorema y ang p enulis bangun mengenai ruang metrik bernilai komp leks y ang dap at dibangun dari ruang metrik (klasik) beserta hubunganny a dilihat dari sifat kelengkap an ruang metrik. Selain itu hubungan kelengkap an ruang metrik bernilai komp leks dengan ruang bagianny a juga dip eriksa lebih mendalam.
Teorema 1. (Hasanah, 2014) M isal (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik, maka (𝑋, 𝑑𝑐) adalah ruang metrik bernilai komp leks dengan 𝑑𝑐: 𝑋 × 𝑋 → ℂ diberikan oleh
𝑑𝑐(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑑(𝑥, 𝑦), ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.
Teorema 2. M isal (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik dan (𝑋, 𝑑𝑐) adalah ruang metrik bernilai komp leks y ang didefinisikan p ada Teorema 1. Ruang metrik (𝑋, 𝑑) adalah lengkap jika dan hany a jika ruang metrik bernilai komp leks (𝑋, 𝑑𝑐) adalah lengkap.
Bukti.
Untuk menunjukkan (𝑋, 𝑑𝑐) adalah ruang lengkap, kita ambil sebarang barisan Cauchy (𝑥𝑛) dalam (𝑋, 𝑑𝑐) dan akan kita tunjukkan bahwa (𝑥𝑛) konvergen dalam (𝑋, 𝑑𝑐). Sebelum itu, kita akan tunjukkan bahwa barisan (𝑥𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑).
Ambil 𝜀 > 0. Kita pilih bilangan kompleks 𝑐 = 𝜀 + 𝑖𝜀. Karena (𝑥𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑𝑐) maka terdapat bilangan asli 𝑁 sehingga untuk 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑𝑐(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) ≺ 𝑐.
Berdasarkan definisi metrik bernilai komp leks p ada Teorema 1 dip eroleh 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) < 𝜀.
Dengan demikian barisan (𝑥𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑). Karena ruang metrik adalah ruang lengkap , maka barisan (𝑥𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑). M isal barisan (𝑥𝑛) konvergen ke 𝑥 ∈ 𝑋 dalam (𝑋, 𝑑). Akan ditunjukkan bahwa (𝑥𝑛) konvergen ke titik yang sama dalam (𝑋, 𝑑𝑐).
Ambil 𝑐 ∈ ℂ dengan 0 ≺ 𝑐. M isal 𝑐 = 𝑐1+ 𝑖𝑐2, 𝑐1,𝑐2∈ ℝ dengan 𝑐1> 0, 𝑐2> 0.
Untuk 𝑐1> 0, karena (𝑥𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑), maka ada bilangan asli 𝑁1 sehingga berlaku 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) < 𝑐1 untuk 𝑛 ≥ 𝑁1.
Untuk 𝑐2> 0, karena (𝑥𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑), maka ada bilangan asli 𝑁2 sehingga berlaku 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) < 𝑐2 untuk 𝑛 ≥ 𝑁2.
Pilih 𝑁 = max{𝑁1, 𝑁2} sehingga untuk setiap 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) < 𝑐1 dan 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) < 𝑐2.
Hal ini berarti 𝑑𝑐(𝑥𝑛, 𝑥) ≺ 𝑐. Dengan demikian barisan (𝑥𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑𝑐). Jadi ruang metrik bernilai kompleks (𝑋, 𝑑𝑐) adalah ruang lengkap.
Sebalikny a, untuk menunjukkan ruang metrik (𝑋, 𝑑) lengkap, kita ambil barisan Cauchy (𝑦𝑛) dalam (𝑋, 𝑑). Akan ditunjukkan bahwa barisan (𝑦𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑𝑐).
Ambil 𝑐 ∈ ℂ dengan 0 ≺ 𝑐. M isal 𝑐 = 𝑐1+ 𝑖𝑐2, 𝑐1,𝑐2∈ ℝ dengan 𝑐1> 0, 𝑐2> 0.
Untuk 𝑐1> 0, karena (𝑦𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑), maka ada bilangan asli 𝑁1 sehingga berlaku 𝑑(𝑦𝑛, 𝑦𝑚) < 𝑐1 untuk 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁1.
Untuk 𝑐2> 0, karena (𝑦𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑), maka ada bilangan asli 𝑁2 sehingga berlaku 𝑑(𝑦𝑛, 𝑦𝑚) < 𝑐2 untuk 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁2.
Pilih 𝑁 = max{𝑁1, 𝑁2} sehingga untuk setiap 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑(𝑦𝑛, 𝑦𝑚) < 𝑐1 dan 𝑑(𝑦𝑛, 𝑦𝑚) < 𝑐2.
Hal ini berarti 𝑑𝑐(𝑦𝑛, 𝑦𝑚) ≺ 𝑐. Dengan demikian barisan (𝑦𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑𝑐). Karena ruang metrik bernilai kompleks (𝑋, 𝑑𝑐) adalah ruang lengkap, maka barisan
4
(𝑦𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑𝑐). M isal 𝑦 ∈ 𝑋 adalah limit barisan (𝑦𝑛) dalam (𝑋, 𝑑𝑐). Akan ditunjukkan bahwa 𝑦 adalah limit dari (𝑦𝑛) dalam (𝑋, 𝑑). Ambil 𝜀 > 0. Pilih bilangan komp leks 𝑐 = 𝜀 + 𝑖𝜀. Karena (𝑦𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑𝑐) maka ada bilangan asli 𝑁 sehingga untuk 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑𝑐(𝑦𝑛, 𝑦) < 𝜀 + 𝑖𝜀. Hal ini mengakibatkan 𝑑(𝑦𝑛, 𝑦) < 𝜀. Dengan kata lain barisan (𝑦𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑). Dengan demikian ruang metrik (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik lengkap. Teorema berikutny a membahas mengenai ruang metrik bernilai komp leks lainny a y ang dibangun dari ruang metrik (klasik) dan hubungannya terhadap sifat kelengkap an ruang metrik.
Teorema 3. M isal (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik, maka (𝑋, 𝑑𝜃) adalah ruang metrik bernilai komp leks dengan 𝑑𝜃: 𝑋 × 𝑋 → ℂ diberikan oleh
𝑑𝜃(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑥, 𝑦)𝑒𝑖𝜃, 0 < 𝜃 <𝜋
2, ∀𝑥,𝑦 ∈ 𝑋.
Bukti.
Perhatikan bahwa 𝑑𝜃(𝑥, 𝑦) dapat dinyatakan sebagai 𝑑(𝑥, 𝑦) cos 𝜃 + 𝑖𝑑(𝑥, 𝑦) sin 𝜃. Akan ditunjukkan bahwa 𝑑𝜃(𝑥, 𝑦) memenuhi sifat-sifat metrik bernilai kompleks.
(i) Untuk 0 < 𝜃 <𝜋
2, cos 𝜃 > 0 dan sin 𝜃 > 0 sehingga 𝑑(𝑥, 𝑦) cos 𝜃 ≥ 0 dan 𝑑(𝑥, 𝑦) sin 𝜃 ≥ 0, akibatnya 0 ≼ 𝑑𝜃(𝑥, 𝑦).
(ii) 𝑑𝜃(𝑥, 𝑦) = 0 jika dan hanya jika 𝑑(𝑥, 𝑦) cos 𝜃 = 0 dan 𝑑(𝑥, 𝑦) sin 𝜃 = 0. Karena cos 𝜃 ≠ 0 dan sin 𝜃 ≠ 0 untuk 0 < 𝜃 <𝜋
2, maka 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0. Berdasarkan sifat metrik, 𝑥 = 𝑦.
(iii) Perhatikan bahwa 𝑑𝜃(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑥, 𝑦)𝑒𝑖𝜃= 𝑑(𝑦, 𝑥)𝑒𝑖𝜃= 𝑑𝜃(𝑦, 𝑥).
(iv) Berdasarkan sifat ketaksamaan segitiga p ada metrik, dip eroleh
𝑅𝑒 (𝑑𝜃(𝑥, 𝑦)) = 𝑑(𝑥, 𝑦) cos 𝜃 ≤ (𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦))cos 𝜃 = 𝑅𝑒(𝑑𝜃(𝑥, 𝑧) + 𝑑𝜃(𝑧, 𝑦)).
𝐼𝑚 (𝑑𝜃(𝑥, 𝑦)) = 𝑑(𝑥, 𝑦) sin 𝜃 ≤ (𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦))sin 𝜃 = 𝐼𝑚 (𝑑𝜃(𝑥, 𝑧) + 𝑑𝜃(𝑧, 𝑦)).
Dengan demikian didap atkan 𝑑𝜃(𝑥, 𝑦) ≼ 𝑑𝜃(𝑥, 𝑧) + 𝑑𝜃(𝑧, 𝑦).
Berdasarkan sifat (i) – (iv), 𝑑𝜃 adalah metrik bernilai komp leks. Jadi (𝑋, 𝑑𝜃) adalah ruang metrik bernilai komp leks.
Teorema 4. M isal (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik dan (𝑋, 𝑑𝜃) adalah ruang metrik bernilai komp leks y ang didefinisikan p ada Teorema 3. Ruang metrik (𝑋, 𝑑) adalah lengkap jika dan hany a jika ruang metrik bernilai komp leks (𝑋, 𝑑𝜃) adalah lengkap.
Bukti.
M isal ruang metrik (𝑋, 𝑑) adalah lengkap. M isal (𝑥𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑𝜃).
Sebelum menujukkan bahwa (𝑥𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑𝜃), kita akan tunjukkan terlebih dahulu barisan (𝑥𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑). Ambil 𝜀 > 0. Perhatikan bahwa 𝜃 adalah bilangan yang tetap (fixed), sehingga kita dapat mendefinisikan 𝛿 = min{cos 𝜃 , sin 𝜃} > 0. Kita pilih bilangan kompleks 𝑐 = 𝛿𝜀 + 𝑖𝛿𝜀. Karena (𝑥𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑𝜃) maka terdapat bilangan asli 𝑁 sehingga untuk 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑𝜃(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) ≺ 𝑐.
Hal ini mengakibatkan 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) cos 𝜃 < 𝛿𝜀 dan 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) sin 𝜃 < 𝛿𝜀. Perhatikan bahwa 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) < 𝜀 karena 𝛿
cos 𝜃≤ 1 dan 𝛿
sin𝜃≤ 1. Dengan demikian (𝑥𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑). Karena (𝑋, 𝑑) adala ruang metrik lengkap, maka (𝑥𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑), sebut ke 𝑥 ∈ 𝑋. Kita akan tunjukkan bahwa (𝑥𝑛) konvergen ke 𝑥 dalam (𝑋, 𝑑𝜃).
Ambil 0 ≺ 𝑐 ∈ ℂ, dengan 𝑐 = 𝑐1+ 𝑖𝑐2, 𝑐1,𝑐2∈ ℝ. Hal ini mengakibatkan 𝑐1> 0 dan 𝑐2> 0.
Untuk 𝑐1> 0, terdapat bilabgan asli 𝑁1 sehingga untuk 𝑛 ≥ 𝑁1 berlaku 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) < 𝑐1. Untuk 𝑐2> 0, terdapat bilabgan asli 𝑁2 sehingga untuk 𝑛 ≥ 𝑁2 berlaku 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) < 𝑐2. Perhatikan bahwa untuk 0 < 𝜃 <𝜋
2 berlaku 0 < sin 𝜃 < 1 dan 0 < cos 𝜃 < 1, sehingga 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) cos 𝜃 < 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) < 𝑐1 dan 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) sin 𝜃 < 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) < 𝑐2. Kita p ilih 𝑁 =
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pembelajarannya. Jurusan Matematika, FMIPA UM. 13 Agustus 2016
max{𝑁1, 𝑁2}, sehingga untuk 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑𝜃(𝑥𝑛, 𝑥) ≺ 𝑐.
Dengan demikian (𝑥𝑛) adalah barisan konvergen dalam (𝑋, 𝑑𝜃). Jadi (𝑋, 𝑑𝜃) adalah ruag bernilai komp leks y ang lengkap .
Sebalikny a, misal (𝑋, 𝑑𝜃) adalah lengkap. Kita akan tunjukkan bahwa (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik lengkap . M isal (𝑦𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑). Kita akan tunjukkan terlebih dahulu bahwa (𝑦𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑𝜃). Ambil 0 ≺ 𝑐 ∈ ℂ, dengan 𝑐 = 𝑐1+ 𝑖𝑐2, 𝑐1, 𝑐2∈ ℝ. Hal ini mengakibatkan 𝑐1> 0 dan 𝑐2> 0. Karena (𝑦𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑) maka ada bilangan asli 𝑁1 sehingga 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) < 𝑐1 untuk 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁1 dan ada bilangan asli 𝑁2 sehingga 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) < 𝑐2 untuk 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁2. Didefinisikan 𝑁 = max{𝑁1, 𝑁2} sehingga untuk 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) < 𝑐1 dan 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) < 𝑐2.
Hal ini mengakibatkan untuk 0 < 𝜃 <𝜋
2 berlaku
𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) cos 𝜃 < 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) < 𝑐1 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) sin 𝜃 < 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) < 𝑐2. Akibatkny a untuk setiap 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑁 berlaku
𝑑𝜃(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) = 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) cos 𝜃 + 𝑖𝑑(𝑥𝑛, 𝑥𝑚) sin 𝜃 ≼ 𝑐1+ 𝑖𝑐2= 𝑐,
y aitu (𝑦𝑛) adalah barisan Cauchy dalam (𝑋, 𝑑𝜃). Karena ruang metrik bernilai kompleks (𝑋, 𝑑𝜃) adalah lengkap maka barisan (𝑦𝑛) konvergen dalam (𝑋, 𝑑𝜃).
M isal barisan (𝑦𝑛) konvergen ke 𝑦 ∈ 𝑋 dalam (𝑋, 𝑑𝜃). Akan ditunjukkan (𝑦𝑛) konvergen (𝑋, 𝑑) dengan limit yang sama.
Ambil 𝜀 > 0. Pilih bilangan kompleks 0 ≺ 𝑐 = 𝛿𝜀 + 𝑖𝛿𝜀 dengan 𝛿 = min{sin 𝜃 , cos 𝜃}, maka ada bilangan asli 𝑁 sehingga setiap 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑𝜃(𝑦𝑛, 𝑦) ≺ 𝑐. Perhatikan bahwa untuk 0 <
𝜃 <𝜋
2 berlaku
𝑑(𝑦𝑛, 𝑦) < 𝛿𝜀 cos 𝜃≤ 𝜀.
Dengan demikian barisan (𝑦𝑛) konvergen ke 𝑦 ∈ 𝑋 dalam (𝑋, 𝑑). Jadi ruang metrik (𝑋, 𝑑) adalah ruang lengkap .
Pada ruang metrik (klasik) terdapat hubungan antara ruang metrik lengkap dengan ruang bagianny a y ang tertutup . Teorema berikut ini meny atakan hubungan y ang sama berlaku p ada ruang metrik bernilai komp leks y ang lengkap dengan ruang bagianny a y ang tertutup . Namun sebelum membuktikan teorema tersebut, akan ditunjukkan terlebih dahulu hubungan barisan konvergen dengan himp unan p enutup (closure) suatu himp unan dalam ruang metrik bernilai komp leks.
Teorema 5. Misal (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik bernilai kompleks, 𝑀 ⊆ 𝑋 dan 𝑀̅ adalah penutup (closure) dari 𝑀. 𝑥 ∈ 𝑀̅ jika dan hanya jika terdapat barisan (𝑥𝑛) dalam 𝑀 sehingga 𝑥𝑛→ 𝑥 ketika 𝑛 → ∞.
Bukti.
M isal 𝑥 ∈ 𝑀̅. Jika 𝑥 ∈ 𝑀, maka pilih barisan konstan (𝑥, 𝑥, 𝑥,… ) dalam 𝑀 yang konvergen ke 𝑥. Jika 𝑥 ∉ 𝑀 maka 𝑥 adalah titik limit dari 𝑀. Akibatnya jika kita pilih 𝑟1= 1 + 𝑖 maka terdap at bola buka 𝑁(𝑟1, 𝑥) yang memuat 𝑥1∈ 𝑀, 𝑥1≠ 𝑥 dan 𝑑(𝑥1, 𝑥) ≺ 𝑟1. Untuk 𝑟2=1
2+ maka terdap at bola buka 𝑁(𝑟2, 𝑥) yang memuat 𝑥2∈ 𝑀, 𝑥2≠ 𝑥 dan 𝑑(𝑥2, 𝑥) ≺ 𝑟2. Proses ini dilanjutkan sampai terbentuk barisan (𝑥𝑛) dalam 𝑀, yaitu untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ, 0 ≺ 𝑟𝑛=1
𝑛+ 𝑖1
𝑛 terdap at 𝑥𝑛∈ 𝑀, 𝑥𝑛≠ 𝑥 sehingga 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) ≺ 𝑟𝑛. Akan ditunjukkan bahwa barisan (𝑥𝑛) konvergen ke 𝑥. Ambil 0 ≺ 𝑐 ∈ ℂ dengan 𝑐 = 𝑐1+ 𝑖𝑐2, sehingga 𝑐1> 0 dan 𝑐2> 0. Untuk
6 𝑐1> 0 terdapat bilangan asli 𝑁1> 1
𝑐1 sehingga untuk 𝑛 ≥ 𝑁1 berlaku 𝑅𝑒 (𝑑(𝑥𝑛, 𝑥)) <1
𝑛≤ 1 𝑁1< 𝑐1. Untuk 𝑐2> 0, terdapat bilangan asli 𝑁2>1
𝑐2 sehingga untuk 𝑛 ≥ 𝑁2 berlaku 𝐼𝑚 (𝑑(𝑥𝑛, 𝑥)) <1
𝑛≤ 1 𝑁2< 𝑐2. Pilih 𝑁 = max{𝑁1, 𝑁2} sehingga untuk 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku
𝑅𝑒 (𝑑(𝑥𝑛, 𝑥)) < 𝑐1 dan 𝐼𝑚 (𝑑(𝑥𝑛, 𝑥)) < 𝑐2. Dengan kata lain 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) ≺ 𝑐. Jadi (𝑥𝑛) konvergen ke 𝑥.
Sebalikny a, misal terdap at barisan (𝑥𝑛) dalam 𝑀 dan 𝑥𝑛→ 𝑥. Jika 𝑥 ∈ 𝑀 maka 𝑥 ∈ 𝑀̅. Jika 𝑥 ∉ 𝑀 akan kita tunjukkan bahwa 𝑥 adalah titik limit 𝑀. Ambil 0 ≺ 𝑟 ∈ ℂ. Karena 𝑥𝑛→ 𝑥 maka terdap at bilangan asli 𝑁 sehingga untuk 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku 𝑑(𝑥𝑛, 𝑥) ≺ 𝑟. Hal ini menyatakan bahwa bola buka 𝑁(𝑟, 𝑥) memuat 𝑥𝑛∈ 𝑀 dan 𝑥𝑛≠ 𝑥. Jadi 𝑥 adalah titik limit dari 𝑀.
Berdasarkan definisi p enutup , 𝑥 ∈ 𝑀̅.
Teorema 6. M isal (𝑋, 𝑑) adalah ruang metrik bernilai kompleks yang lengkap dan 𝑀 ⊆ 𝑋 adalah ruang bagian bernilai komp leks. (𝑀, 𝑑) adalah ruang lengkap jika dan hanya jika 𝑀 adalah himp unan tutup .
Bukti.
M isal 𝑀 adalah ruang bagian bernilai kompleks yang lengkap. Untuk menunjukkan 𝑀 adalah himp unan tutup , kita ambil sebarang titik limit dari 𝑀 dan kita tunjukkan bahwa titik limit tersebut termuat dalam 𝑀. M isal 𝑥 ∈ 𝑋 adalah titik limit dari 𝑀. Berdasarkan Teorema 5 terdap at barisan (𝑥𝑛) dalam 𝑀 yang konvergen ke 𝑥. Jelas bahwa (𝑥𝑛) adalah barisan Cauchy dalam 𝑀. Karena 𝑀 adalah lengkap maka (𝑥𝑛) konvergen dalam 𝑀. Karena sifat ketunggalan limit barisan konvergen maka 𝑥 ∈ 𝑀. Dengan demikian 𝑀 adalah himpunan tutup.
Sebalikny a, misal 𝑀 adalah himpunan tutup dan (𝑦𝑛) adalah barisan Cauchy dalam 𝑀.
Perhatikan bahwa (𝑦𝑛) merupakan barisan Cauchy dalam 𝑋. Karena (𝑋, 𝑑) adalah ruang lengkap maka (𝑦𝑛) konvergen dalam 𝑋, sebut konvergen ke 𝑦 ∈ 𝑋. Hal ini mengakibatkan 𝑦 adalah titik limit dari 𝑀. Karena 𝑀 adalah himpunan tutup maka 𝑦 ∈ 𝑀. Jadi (𝑦𝑛) konvergen ke 𝑦 ∈ 𝑀 sehingga 𝑀 adalah ruang bagian bernilai kompleks yang lengkap.
KES IMPULAN DAN S ARAN
Ruang metrik bernilai kompleks merup akan p erluasan dari ruang metrik (klasik) dengan mengganti definisi metrik y ang digunakan menjadi metrik bernilai komp leks. Dengan menggunakan urutan parsial p ada bilangan kompleks, metrik bernilai komp leks memiliki sifat- sifat y ang mirip dengan metrik bernilai real. Ruang metrik bernilai komp leks juga dap at dibangun dari ruang metrik bernilai real. Dalam makalah ini dikonstruksi dua ruang metrik bernilai komp leks, yaitu (𝑋, 𝑑𝑐) dan (𝑋, 𝑑𝜃), dari ruang metrik bernilai real. Sifat kelengkapan ruang metrik dap at meny ebabkan kelengkap an ruang metrik bernilai komp leks y ang dibangunny a dan berlaku p ula sebalikny a. Lebih jauh lagi, dengan menggunakan definisi himp unan buka dan tutup yang sudah disesuaikan, ruang metrik bernilai komp leks memp uny ai sifat y ang sama dengan ruang metrik bernilai real dalam hubunganny a dengan ruang bagian.
Ruang bagian dari ruang metrik bernilai kompleks yang lengkap merup akan ruang lengkap jika dan hany a jika ruang bagian tersebut merup akan himp unan tutup dalam ruang metrik bernilai komp leks.
Ruang metrik bernilai komp leks merup akan ruang metrik jenis baru sehingga masih bany ak asp ek y ang p erlu digali lebih dalam, y aitu ap akah sifat-sifat y ang berlaku p ada ruang metrik bernilai real juga berlaku p ada ruang metrik bernilai komp leks. Sebagai contoh, p ada
Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pembelajarannya. Jurusan Matematika, FMIPA UM. 13 Agustus 2016
ruang metrik bernilai real, himp unan buka atau himp unan tutup dap at dip eriksa melalui p emetaan y ang kontinu. Sifat ini adalah salah satu sifat y ang p erlu dip eriksa keberlakuanny a dalam ruang metrik bernilai komp leks.
DAFTAR RUJUKAN
Ahmad, J., Azzam, A., Saejung, S. 2014. Common Fixed Point Results for Contractive M appings in Complex Valued M etric Spaces. Fixed Point Theory and Applications.
2014:67
Azzam, A., Fisher, B., Khan, M. 2011. Common Fixed Point Theorems in Complex Valued- M etric Spaces. Number.Funct.Anal.Optim. 32(3):244-253
Hasanah, D. 2014. Ruang-Ruang M etrik Bernilai Kompleks. Prosiding Seminar Nasional Pembelajaran Bermakna melalui Exchange Esperiences TEQIP. 2014: 372-378.
Nashine, H. K., Imdad, M., Hasan, M. 2014. Common Fixed Point Theorems Under Rational Contractions in Complex Valued M etric Sp aces. Journal of Nonlinear Science and Applications. 7(2014): 42-50
Singh, N., Singh, D., Badal, A., Joshi, V. 2015. Fixed Point Theorems in Complex Valued M etric Spaces. Journal of the Egyptian Mathematical Society.
http://dx.doi.org/10.1016/j.joems.2015.04.005
Sitthikul, K. dan Saejung, S. 2012. Some Fixed Point Theorems in Complex Valued M etric
Sp aces. Fixed Point Theory and Applications. 2012:189 Commented [MM1]: Artikel ini layak diterbitkan dalam prosiding, dengan catatan:
1.P erlu ditambahkan apakah teorema-teorema dalam pembahasan merupakan hasil sendiri dan tidak ada dalam buku atau artikel, atau penulis memberikan bukti lain atau melengkapi bukti. Kuatir di buku/artikel sudah ada.
