MODUL PERKULIAHAN
Matematika Dasar
Sistem Bilangan (2)
Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh
Fakultas Ilmu
Komputer
Teknik Informatika
02
MK10230 Ir. Zuhair, M.Eng..
Abstract Kompetensi
Sistem bilangan (2) merupakan langkah awal berikutnya dalam mempelajari matematika dasar yang diarahkan untuk dapat dijadikan dasar dalam mempelajari keteknikan
informatika.
Mahasiswa mengetahui dan memahami langkah awal matematika dasar untuk mempelajari mata kuliah lain dalam penyelesaian studi maupun dalam kehidupan sehari-hari.
Mata kuliah : Matematika Dasar Semester : Ganjil (Satu)
SKS : 3 sks
Jam : 13.30 – 16.00
Sistem kerja : Individu
Pengerjaan di kelas
Eksplorasi ide menggunakan model matematika dasar Pengembangan ide dalam kehidupan sehari‐hari Tujuan perkuliahan:
Memahami sistem bilangan dengan kelengkapan pertidaksamaan dan sistem koordinat kartesius, himpunan dengan berbagai operasinya, fungsi dengan seluruh jenisnya serta limit fungsi dan kekontinuan.
Memahami matematika dasar secara menyeluruh sebagai dasar yang diarahkan untuk dapat dijadikan dasar dalam mempelajarai keteknikan informatika.
Target:
1. Mahasiswa dapat menggunakan notasi‐notasi yang biasa dipakai dalam matematika dasar.
2. Mahasiswa dapat menghitung penyelesaian pertidaksamaan linier dengan satu dan dua peubah serta pertidaksamaan kuadrat dalam sistem bilangan.
3. Mahasiswa dapat menghitung jarak antara dua titik dan kemiringan suatu garis dalam sistem koordinat kartesius.
4. Mahasiswa dapat menyelesaikan problema yang berkaitan dengan himpunan dan berbagai operasinya.
5. Mahasiswa memiliki kemampuan dalam menyelesaikan problema yang berkaitan dengan fungsi dan seluruh jenisnya.
6. Mahasiswa dapat mengembangkan ide untuk menyelesaikan problema limit fungsi dan kekontinuan.
Pertemuan 2
Sistem Bilangan (2)
1.3.4 Nilai mutlak
Nilai mutlak dari x dinyatakan dengan x dan didefinisikan sebagai :
Teorema-teorema
Jika a dan b adalah bilangan riil, maka :
Contoh 1.9
Selesaikan pertidaksamaan , gambarkan garis bilangan dan selangnya Penyelesaian :
(lihat teorema iii)
Dengan memperhatikan sifat pertidaksamaan xvii halaman 5, maka kita dapatkan dua buah pertidaksamaan, yaitu x – 5 ≥ – 4 dan x – 5 ≤ 4.
Selanjutnya kita selesaikan satu persatu pertidaksamaan tersebut.
x – 5 ≥ –4 → x ≥1
x – 5 ≤ 4 → x ≤ 9
Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah
Gambar 1.7 Contoh 1.10
Selesaikan pertidaksamaan , gambarkan garis bilangan dan selangnya!
Penyelesaian
(lihat teorema iii)
Dengan memperhatikan sifat pertidaksamaan xvii, maka kita dapatkan dua buah pertidaksamaan, yaitu x – 7 < –3 dan x – 7 > 3.
Selanjutnya kita selesaikan satu persatu pertidaksamaan tersebut.
x – 7 < –3 → x < 4 x – 7 > 3 → x > 10
Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah .
Gambar 1.8 Soal-soal
Selesaikan pertidaksamaan :
1.3.5 Pertidaksamaan linier dua peubah
Bentuk umum pertidaksamaan linier dua peubah adalah : ax + by + c (?) 0 ; konstanta- konstanta a, b dan c adalah bilangan-bilangan riil dan a ≠ 0. Tanda (?) adalah salah satu dari tanda <, >, ≤ atau ≥. Untuk membantu mahasiswa dalam menggambarkan grafik pertidaksamaan linier dua peubah, berikut diberikan prosedurnya.
1. Ganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan dan selanjutnya gambarkan grafik persamaan linier yang dimaksud. Setelah digambar kita akan melihat bahwa grafik persamaan linier adalah garis yang membagi bidang menjadi dua bagian.
2. Jika pada pertidaksamaan menggunakan tanda ≤ atau ≥ berarti garis tersebut termasuk pada grafik yang akan digambarkan. Selanjutnya garis tersebut digambarkan secara penuh.
Jika pertaksamaan menggunakan tanda < atau > berarti garis tersebut tidak termasuk pada grafik yang akan digambarkan. Selanjutnya garis tersebut digambarkan putus-putus.
3. Pilih salah satu titik koordinat pada masing-masing bidang dan kemudian substitusikan pada pertaksamaan. Jika substitusi tersebut menghasilkan pernyataan yang benar berarti bidang tempat kedudukan titik tersebut adalah bidang yang dimaksud. Sebaliknya jika substitusi menghasilkan pernyataan yang salah maka bidang tempat kedudukan titik tersebut bukan bidang yang dimaksud. Untuk keseragaman bidang yang memenuhi pertaksamaan diarsir. Akan menjadi lebih sederhana jika kita memilih titik koordinat (0,0) asalkan titik koordinat tersebut tidak dilalui oleh garis.
Contoh 1.11
Gambarkan grafik pertidaksamaan 3x – 2y ≥ 8 Penyelesaian :
Langkah 1. Ganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan → 3x - 2y = 8 Langkah 2. Gambarkan grafiknya.
Gambar 1.9
Gambar 1.10 Langkah 3. Memilih titik koordinat.
Pilih satu titik koordinat yaitu (0,0) dan substitusikan ke pertidaksamaan. Ternyata substitusi ini menghasilkan pernyataan yang salah. Berarti bidang tempat kedudukan titik koordinat tersebut bukan bidang yang dicari. Sehingga bidang disebelahnya merupakan bidang yang dicari. Selanjutnya bidang tersebut diarsir.
Contoh 1.12
Gambarkan grafik pertidaksamaan 5x + 3y < 6 Penyelesaian :
Langkah 1. Ganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan → 5x + 3y = 6 Langkah 2. Gambarkan grafiknya.
Gambar 1.11 Langkah 3. Memilih titik koordinat.
Pilih satu titik koordinat yaitu (0,0) dan substitusikan ke pertidaksamaan. Ternyata substitusi ini menghasilkan pernyataan yang benar. Berarti bidang tempat kedudukan titik koordinat tersebut merupakan bidang yang dicari. Sehingga bidang disebelahnya bukan bidang yang dicari. Selanjutnya arsir yang dicari tersebut.
Gambar 1.12
Soal-soal
Gambarkan grafik dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut!
1. x + y < 3 2. y + 2x > 4 3. 4x – 5 y ≤ 6 4. 5y + 3x ≥ 1
1.3.6 Sistem pertidaksamaan linier
Dalam penerapannya sering terdapat lebih dari satu pertaksamaan yang harus diselesaikan secara serentak. Pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut dinamakan “sistem pertidaksamaan linier” Dalam pembahasan sistem pertidaksamaan linier kita hanya akan membahas sistem pertidaksamaan linier yang mempunyai tidak lebih dari dua peubah.
Langkah-langkah penyelesaian sistem pertidaksamaan linier.
1. Ganti semua tanda pertaksamaan menjadi tanda sama dengan.
2. Gambarkan grafiknya.
3. Periksa salah satu titik koordinat pada bidang. Jika menghasilkan pernyataan yang benar, berarti bidang tersebut adalah bidang yang dicari.
Contoh 1.13
Gambarkan grafik sistem pertidaksamaan 2y + 3x < 5 dan x – y ≥ 3 Penyelesaian :
Langkah 1.
2y + 3x = 5
x – y = –3 Langkah 2.
Gambar 1.13 Langkah 3.
Periksa koordinat (0,0). Setelah dilakukan substitusi harga x=0 dan y=0 kedalam sistem pertaksamaan ternyata menghasilkan pernyataan yang benar. Berarti bidang tempat kedudukan titik tersebut adalah bidang yang dicari. Selanjutnya bidang tersebut diarsir.
Gambar 1.14
Contoh 1.14 (penerapan sistem pertidaksamaan linier)
Sebuah pabrik kendaraan bermotor akan memproduksi dua jenis kendaraan yaitu jenis diesel dan bensin. Biaya pembuatan jenis kendaraan diesel adalah Rp. 100 juta/ kendaraan, sedangkan untuk jenis kendaraan bensin adalah Rp. 80 juta /kendaraan. Jika pabrik tersebut mempunyai kemampuan produksi 120 kendaraan setiap bulan dan dan untuk pembuatan kedua jenis kendaraan tersebut tidak lebih dari Rp 10 milyar / bulan, tentukan bentuk pertidaksamaan dari persoalan diatas dan gambarkan grafiknya.
Penyelesaian:
(100 juta)(x) + (80 juta)(y) ≤ 10.000 juta atau 100 x + 80 y ≤ 10.000 x + y ≤120
x ≥ 0 ; y ≥ 0
Gambar 1.15 Soal-soal
Gambarkan grafik dari pertaksamaan linier berikut :
5. Sebuah industri komputer akan memproduksi sekurang-kurangnya 1000 buah komputer yang terdiri dari dua jenis yaitu jenis PC dan Laptop. Diperkirakan biaya untuk memproduksi sebuah PC adalah Rp 4.000.000,00 sedangkan untuk memproduksi Laptop adalah Rp 6.000.000,00. Jika dana yang tersedia untuk memproduksi kedua jenis komputer tersebut adalah Rp 10 milyar rupiah tentukan sistem pertidaksamaan linier dari persoalan diatas dan gambarkan grafiknya!
1.3.7 Pertidaksamaan kuadrat
Bentuk umum dari pertidaksamaan kuadrat adalah : ax2 + bx + c (?) 0, dimana a, b dan c adalah bilangan-bilangan riil dan a ≠ 0 Sedangkan (?) adalah salah satu dari tanda <, >, ≤,
atau ≥. Penyelesaian dari pertidaksamaan adalah menentukan harga-harga peubah yang memenuhi pertidaksamaan.
Contoh 1.15
Selesaikan pertidaksamaan x2 – 7x + 12 > 0 Penyelesaian :
Lakukan pemfaktoran terhadap pertidaksamaan :
x2 – 7x + 12 > 0 → (x – 4)(x – 3) > 0 Titik-titik kritis adalah 3 dan 4
Grafik pertidaksamaan :
Gambar 1.16
Dari gambar diatas didapat bahwa daerah yang memenuhi pertidaksamaan adalah x < 3 atau x > 4.
Contoh 1.16
Tentukan himpunan pen elesaian dari pertidaksamaan . Penyelesaian :
Titik-titik kritis adalah –3, 2 dan 3
Gambar 1.17
Himpunan penyelesaiannya adalah .
Soal-soal
Selesaikan pertidaksamaan berikut dan tentukan selangnya ! 1. (x + 2)(x – 3) > 0
2. (x – 4)(x + 5) < 0 3. x(x + 6) ≥ 0 4. (x – 7)x ≤ 0 5. x2 + 4x – 5 < 0 6. x2 > 5x – 6 7. 7x – 12 ≤ x2 8. x2 + 21 ≥ 10x
Daftar Pustaka
1. Sudiadi, “Matematika Dasar”, STMIK Global Informatika MDP dan AMIK MDP, September 2011.
2. Edwin J. Purcell, ”Kalkulus dan Geometri Analitik”, Jilid 1 dan Jilid 2, Penerbit Erlangga.
3. K.A. Stroud, ”Matematika untuk Teknik”, Penerbit Erlangga.
