1.1 Latar Belakang Masalah
Mekanika geometrik merupakan bidang kajian yang membahas subyek-subyek seperti persamaan diferensial, kalkulus variasi, analisis vektor dan tensor, aljabar mul- tilinear, forma diferensial, keragaman licin, geometri diferensial (termasuk geometri Riemannan), grup Lie dan aljabar Lie, yang terkait dengan sistem dinamik (Talman, 2004).
Keragaman adalah kurva atau permukaan yang licin atau obyek yang serupa dengan dimensi lebih tinggi. Keragaman pada dasarnya adalah ruang yang secara lokal mirip dengan ruang Euclidean (Holm et al., 2009). Secara umum, ruang kon- figurasi untuk sistem dinamik adalah keragaman Riemannan. Dalam rangka mem- bangun teori sistem dinamik dibutuhkan pendekatan, sehingga digunakan perlakuan geometris untuk masalah-masalah dalam fisika khususnya mekanika. Pendekatan ini dilakukan dalam konteks koordinat lokal dan invarian (Calin dan Chang, 2006).
Holm et al. (2009) mengungkapkan bahwa ruang konfigurasi sistem mekanik dapat berupa grup Lie. Aksi grup Lie adalah konsep matematis untuk menyatakan aspek simetrik sistem mekanik. Suatu sistem dikatakan simetrik ketika keadaannya tidak berubah terhadap suatu transformasi tertentu. Aspek simetri berdampak pada pengurangan derajat kebebasan dari suatu sistem mekanik. Oleh karena itu teori grup dapat digunakan untuk mencari penyelesaian persamaan gerak sistem. Persamaan Poincaré merupakan persamaan gerak untuk sistem yang memiliki ruang konfigurasi yang berupa grup Lie (Talman, 2004). Selain itu, persamaan Poincaré dapat meng- gambarkan dinamika sistem yang berupa sistem persamaan diferensial.
Dalam mekanika ada gerak sistem yang tidak bebas yakni dibatasi oleh suatu kendala. Kendala diklasifikasikan menjadi dua jenis, yaitu kendala holonomik dan kendala non-holonomik. Suatu kendala dikatakan holonomik jika kendala tersebut dapat dinyatakan sebagai persamaan yang menghubungkan posisi partikel-partikel se- bagai fungsi waktu dan koordinat umum. Kendala ini dapat mengurangi derajat kebe- basan sistem mekanik. Kendala non-holonomik melibatkan fungsi waktu, koordinat umum, dan kecepatan sistem. Kendala non-holonomik tidak mengurangi derajat ke- bebasan tetapi membatasi gerakan sistem dalam ruang konfigurasi atau dalam ruang
1
kecepatan.
Selanjutnya, subyek kalkulus variasi adalah perluasan kalkulus yang bekerja di suatu keragaman. Kalkulus variasi adalah perluasan dari kalkulus biasa yang perha- tian utamanya tentang teori ekstremum. Kalkulus variasi merupakan suatu cara untuk menyelidiki nilai maksimum atau minimum suatu ungkapan integral termasuk fungsi dari suatu fungsi atau fungsional (Sadiku, 2000).
Persamaan Euler-Lagrange bisa digunakan untuk menyelesaikan masalah eks- tremum dalam kalkulus variasi, namun biasanya permasalahan terhenti pada persa- maan yang tidak dapat diselesaikan dengan mudah. Ide dasar metode langsung dalam memecahkan masalah variasi adalah menggantikan ekstremum suatu fungsional de- ngan suatu himpunan parameter yang berhingga (Babolian et al., 2007).
Metode Rayleigh-Ritz adalah pendekatan yang paling umum digunakan da- lam metode langsung untuk menyelesaikan masalah variasi. Metode Rayleigh-Ritz adalah metode variasi langsung untuk meminimumkan suatu fungsional yang dibe- rikan. Penyelesaian permasalahan dalam mekanika geometrik bisa dilakukan dengan menggunakan metode langsung atau dengan kata lain tanpa harus menyelesaikan per- samaan Euler-Lagrangannya.
Dalam penelitian ini peneliti menganalisis sistem mekanik dengan kendala, yaitu pendulum ganda sebagai kasus. Menurut Sen (2014) pendulum ganda mempu- nyai suatu perilaku dinamis yang bervariasi dan dinyatakan dengan satu himpunan persamaan diferensial biasa terkopel. Pendulum ganda adalah sistem mekanik yang terdiri dari dua buah pendulum tegar yang dikaitkan bersama. Pendulum ganda ter- diri dari dua partikel titik bermassa yang dihubungkan oleh tali tak bermassa secara seri dan bebas bergerak pada suatu bidang. Ruang kongurasi bagi sistem mekanik ini adalah 𝑆 × 𝑆 (torus).
Penelitian tentang pendulum ganda telah banyak dilakukan. Akan tetapi dalam penelitian ini akan ditekankan pada mekanika geometri dan metode langsung yang di- terapkan di kasus pendulum ganda. Persamaan gerak pendulum ganda akan diturun- kan melalui persamaan Poincaré. Pendekatan persamaan Poincaré dapat digunakan dalam merumuskan dinamika pendulum ganda karena ruang konfigurasi pendulum ganda berupa grup Lie, 𝑆 × 𝑆 . Selain itu dalam persamaan diferensial pada pen- dulum ganda, masalah syarat batas menarik untuk dikaji. Masalah syarat batas yang digunakan untuk menganalisis dinamika pendulum ganda merupakan permasalahan kompleks sehingga dibutuhkan suatu pendekatan. Salah satu pendekatan yang digu- nakan adalah metode langsung Rayleigh-Ritz. Jadi tesis ini merupakan upaya untuk
memahami gerak pendulum ganda dengan menggunakan teori grup untuk memahami (mendapatkan insight) aspek geometris dan simetri persamaan gerak pendulum ganda melalui persamaan Poincaré dan metode langsung Rayleigh-Ritz.
1.2 Rumusan Masalah
Masalah yang akan dipelajari dalam tesis ini adalah sebagai berikut
1. Bagaimana aspek geometris dan aspek simetris pendulum ganda sederhana pada ruang konfigurasi 𝑆 × 𝑆 ?
2. Bagaimana gerak pendulum ganda sederhana pada ruang konfigurasi 𝑆 × 𝑆 yang diselesaikan melalui metode langsung?
1.3 Batasan Masalah
Pendulum ganda yang dibicarakan dalam tesis ini adalah pendulum ganda se- derhana yakni pendulum ganda yang bebas dari redaman ataupun paksaan. Adapun pendekatan langsung yang digunakan adalah Rayleigh-Ritz dan persamaan Poincaré.
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan masalah-masalah di atas maka tujuan penelitian ini secara rinci dapat dirumuskan sebagai berikut:
1. Memahami aspek geometris dan simetris pendulum ganda sederhana berdasar- kan persamaan Poincaré.
2. Menurunkan dan memahami persamaan gerak pendulum ganda sederhana pada ruang konfigurasi 𝑆 × 𝑆 melalui metode langsung.
1.5 Manfaat Penelitian
Hasil kajian ini dapat diterapkan untuk menambah wacana mengenai mekanika geometrik dan penerapannya dalam menganalisis sistem mekanik, serta memahami gerak-gerak kompleks yang ada di alam.
1.6 Keaslian Tesis
Berdasarkan pelacakan literatur di berbagai sumber, permasalahan yang dikaji dalam tesis ini yaitu penerapan persamaan Poincaré dan metode langsung Rayleigh- Ritz pada kasus pendulum ganda belum pernah diteliti.
1.7 Tinjauan Pustaka
Zhou dan Whiteman (1996) dalam artikelnya mengungkapkan tentang gerakan pendulum ganda yang diilustrasikan dengan integrasi numerik linear maupun nonline- ar. Pendulum ganda yang dimaksud adalah dua buah batang tipis, seragam, dan tegar yang masing-masing bermassa 𝑚 dan 𝑚 dikaitkan bersama pada salah satu ujung batang. Persamaan gerak pendulum ganda merupakan pesamaan diferensial biasa no- nlinear orde kedua yang terkopel dan diselesaikan menggunakan metode Runge-Kutta orde keempat.
Sadiku (2000) menyatakan bahwa metode Rayleigh-Ritz merupakan salah satu metode langsung kalkulus variasi yang digunakan untuk meminimumkan suatu fung- sional yang diberikan.
Oliva (2002) mengungkapkan melalui suatu proposisi bahwa energi mekanik mengurangi "ukuran" ruang kongurasi.
Talman (2004) menyatakan dinamika sistem yang dapat disederhanakan me- lalui penerapan teori grup dalam perumusan persamaan geraknya, karena dinamika sistem memiliki ruang kongurasi berupa grup Lie. Persamaan Poincaré diterapkan untuk ruang kongurasi yang berupa grup Lie.
Awrejcewicz dan Sendkowski (2007) dalam makalahnya telah menggunakan geometri Riemannan untuk menganalisis dinamika sistem berdimensi rendah yang sederhana dengan kendala, yaitu pendulum ganda. Dinamika dianalisis dengan me- makai persamaan Jacobi-Levi-Civita. Mereka menunjukkan bahwa pendekatan geo- metrik ini secara kualitatif sesuai dengan metode klasik dalam menjelaskan dinamika sistem.
Rafat et al. (2009) telah menyelidiki variasi dari pendulum ganda sederhana.
Dua titik massa digantikan dengan pelat persegi. Pendulum persegi ganda menun- jukkan perilaku yang lebih beragam dari pendulum ganda sederhana dan memiliki dinamika nonlinear. Dari penelitian tersebut diperoleh konfigurasi keseimbangan dan mode normal osilasi serta menurunkan persamaan gerak yang diselesaikan secara nu-
merik untuk menghasilkan Poincaré section.
Benenti (2011) dalam makalahnya menunjukkan suatu contoh sistem mekanik nonholonomik dengan kendala nonlinear yaitu pendulum ganda nonholonomik.
1.8 Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat kajian teoretis matematis. Penelitian dilakukan dengan tinjauan terhadap beberapa pustaka mengenai sistem mekanik pada kasus pendulum ganda yang telah dikembangkan sebelumnya. Penelitian teoretis-matematis pada da- sarnya tidak memiliki langkah-langkah yang baku, namun dalam penelitian ini penye- lesaian masalah dilakukan dengan beberapa tahapan. Pertama, menggunakan persa- maan Poincaré untuk memahami aspek simetri pendulum ganda. Kedua, menerapkan metode langsung Rayleigh-Ritz yaitu menentukan keberadaan peminim bagi fungsio- nal persamaan pendulum ganda.
1.9 Sistematika Penulisan
Tesis ini tersusun atas enam bab, dengan uraian singkat berikut ini:
1. Bab I pendahuluan, yang terdiri dari latar belakang yang menjelaskan alasan pe- milihan tema penelitian, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, pernyataan keaslian tesis, tinjauan pustaka, metode peneli- tian dan sistematika penulisan.
2. Bab II berisi teori dasar geometri dan mekanika yang menampilkan keragaman, grup matriks, aljabar Lie pada grup Lie matriks, geometri pada keragaman, ak- si grup, kendala, koordinat umum, ruang konfigurasi, gaya umum, persamaan Euler-Lagrange, Persamaan Poincaré, dan penyederhanaan persamaan Poincaré dengan teori grup.
3. Bab III berisi kalkulus variasi, metode langsung Rayleigh-Ritz.
4. Bab IV berisi pembahasan mengenai sifat analitik dari pendulum ganda , pene- rapan mekanika geometri dan memahami aspek simetri pendulum ganda seder- hana melalui persamaan Poincaré, serta penerapan metode langsung Rayleigh- Ritz pada pendulum ganda sederhana.
5. Bab V berisi simpulan dan saran.
