UKURAN SIMPANGAN DAN VARIANSI

UKURAN SIMPANGAN DAN VARIANSI

Ukuran Simpangan

RENTANG

Misal 𝑋

₁

, 𝑋

₂

, 𝑋

₃

, …, 𝑋

_𝑛

adalah hasil pengamatan dari sampel, 𝑋

_𝑚𝑎𝑥

= max 𝑋

₁

, 𝑋

₂

, 𝑋

₃

, … , 𝑋

_𝑛

dan 𝑋

_𝑚𝑖𝑛

= min 𝑋

₁

, 𝑋

₂

, 𝑋

₃

, … , 𝑋

_𝑛

, maka rentang data tersebut adalah

𝑅𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑔 = 𝑋max − 𝑋

𝑚𝑖𝑛

Contoh:

Jika data hasil pengamatan adalah: 9,3,2,4,5,2,6,2,9,10,14,13, dan 4. Tentukan berapakah rentang dari data tersebut!

Jawab:

𝑋

_𝑚𝑎𝑥

= 14 dan 𝑋

_𝑚𝑖𝑛

= 2 Maka 𝑅𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑔 = 14 − 2 = 12

RENTANG ANTAR KUARTIL

Misal 𝑋

₁

, 𝑋

₂

, 𝑋

₃

, …, 𝑋

_𝑛

adalah hasil pengamatan dari sampel, 𝐾

₁

adalah kuartil k e-1 dari data tersebut dan 𝐾

₃

adalah kuartil ke-3, maka rentang antar kuartil yan g dilambangkan (RAK) adalah

𝑅𝐴𝐾 = 𝐾

₃

− 𝐾

₁

Latihan:

Tentukan rentang antar kuartil dari data berikut:

Interval Kelas F 0.2 – 1.2

1.3 - 2.3 2.4 – 3.4 3.5 – 4.5 4.6 – 5.6 5.7 – 6.7

10 21 16 8 2 3

SIMPANGAN ANTAR KUARTIL

Misal 𝑋

₁

, 𝑋

₂

, 𝑋

₃

, …, 𝑋

_𝑛

adalah hasil pengamatan dari sampel, 𝐾

₁

adalah kuartil k e-1 dari data tersebut dan 𝐾

₃

adalah kuartil ke-3, maka simpangan antar kuartil y ang dilambangkan (SK) adalah

𝑆𝐾 = 1

2 𝐾

₃

− 𝐾

₁

Contoh:

Jika data hasil pengamatan adalah: 9,3,2,4,5,2,6,2,9,10,14,13, dan 4. Tentukan berapakah simpangan antar kuartil dari data tersebut!

Jawab:

RATA-RATA SIMPANGAN

Data Tunggal

Untuk sampel berukuran n yaitu 𝑋

₁

, 𝑋

₂

, …, 𝑋

_𝑛

dan rata-ratanya 𝑥 maka rata-rata simpang nya adalah:

Contoh:

Jika data hasil pengamatan adalah: 9,3,2,6,5. Tentukan berapakah simpangan antar kuartil dari data tersebut!

Jawab:

n x X n

x X x X x X RS

n

i

n



i





 









 ¹ ² ... ¹

𝒙𝒊

9 3 2 6 5

4 2 3 1 0

Jumlah 9

x x

|

| x  x

RATA-RATA SIMPANGAN

Data Kelompok

Dengan:

𝑋𝑖 : Nilai tengah kelas ke-i

𝑓𝑖 : frekuensi kelas ke-1 𝑘 : banyak kelas

𝑥 : rata-rata hitung

Dari tabel dapat dilihat 𝑓

_𝑖

𝑥

_𝑖

− 𝑥 = Maka 𝑅𝑆 =

Kelas f 𝑥𝑖 𝑥𝑖− 𝑥 𝑓𝑖𝑥𝑖− 𝑥 31-40

41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100

2 3 5 14 24 20 12

35.5 45.5 55.5 65.5 75.5 85.5 95.5 Jumlah 80











 















  _k

i i k

i i i

n n n

f x X f f

f f

x X f x X f x X f RS

1 1 2

1 2 2 1 1

...

...

𝑥 =6070 80

Ukuran Dispersi

Varians

Ukuran-ukuran yang diperoleh dari populasi disebut parameter. Untuk populasi berukuran N dan rata-ra tanyaμ maka variansnya

𝜎²= 𝑥_𝑖− 𝜇 ² 𝑁

Ukuran-ukuran yang diperoleh dari sampel disebut statistik. Untuk sampel berukuran n dan rata-ratany a 𝑥 maka variansnya

𝑠²= 𝑥_𝑖− 𝑥 ² 𝑛 − 1

Contoh:Berapakah varians dari 5, 7, 1, 2, 4 dengan rata-rata 𝑥 = 3.8 ?

Berdasarkan tabel di atas didapat: 𝑥_𝑖− 𝑥 ²= dan n = 5 Maka𝑠²=

𝑥𝑖 𝑥𝑖− 𝑥 𝑥𝑖− 𝑥²

5 7 1 2 4

1.2 3.2 -2.8 -1.8 0.2

1.44 10.24

7.84 3.24 0.04

Jumlah 22.8

Jika data sampel tidak diketahui rata-ratanya maka formula varians:

𝑠

²

= 𝑛 𝑥

_𝑖²

− 𝑥

_𝑖 ²

𝑛 𝑛 − 1 Contoh: Berapakah varians dari 5, 7, 1, 2, 4?

𝑥𝑖 𝑥_𝑖² 5 7 1 2 4

25 49 1 4 16 19 95

Berdasarkan tabel di samping diperoleh: n = 5, 𝑥_𝑖²= 95 dan 𝑥𝑖= 19. Maka variansnya

𝑠²=

Data Kelompok

𝑠²= 𝑓_𝑖 𝑥𝑖− 𝑥 ² 𝑛 − 1 Dengan

𝑥_𝑖= nilai tengah kelas ke-i 𝑥 = rata-rata hitung 𝑛 = 𝑓𝑖

Contoh:

Berdasarkan tabel di atas diperoleh: n = 80 dan 𝑓𝑖 𝑥𝑖− 𝑥 ²= Maka diperoleh: 𝑠²=

Kelas f 𝑥𝑖 𝑥𝑖− 𝑥 𝑓𝑖𝑥𝑖− 𝑥² 31-40

41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100

2 3 5 14 24 20 12

35.5 45.5 55.5 65.5 75.5 85.5 95.5 Jumlah 80

𝑥 = 75.875

Untuk data kelompok yang rata-ratanya belum diketahui formula varians dapat menggunakan 𝑠²=𝑛 𝑓_𝑖𝑥_𝑖²− 𝑓_𝑖𝑥_𝑖 ²

𝑛 𝑛 − 1 Dengan

𝑥_𝑖= nilai tengah kelas ke-i 𝑛 = 𝑓𝑖

Contoh:

Berdasarkan tabel di atas diperoleh: n = 80, 𝑓_𝑖𝑥_𝑖²= dan 𝑓𝑖𝑥𝑖=

Maka diperoleh: 𝑠²= Kelas f 𝑋𝑖 𝑓𝑖𝑥𝑖 𝑓𝑖𝑥_𝑖²

31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100

2 3 5 14 24 20 12

35.5 45.5 55.5 65.5 75.5 85.5 95.5 Jumlah 80

Untuk data kelompok yang panjang kelasnya sama untuk formula variansnya menjadi:

𝑠²= 𝑝² 𝑛 𝑓_𝑖𝑐_𝑖²− 𝑓_𝑖𝑐_𝑖 ² 𝑛 𝑛 − 1 Dengan

𝑐_𝑖= kode kelas ke-i (pengkodean sama sewaktu menentukan rata-rata hitung) 𝑛 = _𝑖=1^𝑘 𝑓_𝑖

𝑝 = panjang kelas Contoh:

Berdasarkan tabel diperoleh: p = 10, n = 80, 𝑓𝑖𝑐_𝑖²= dan 𝑓_𝑖𝑐_𝑖=

Maka diperoleh: 𝑠²= Kelas f 𝑐𝑖 𝑓𝑖𝑐𝑖 𝑓𝑖𝑐_𝑖²

31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100

2 3 5 14 24 20 12 Jumlah 80

SIMPANGAN BAKU

Simpangan baku adalah akar positif dari varians

𝑠 = ^𝑖=1

𝑛 𝑥_𝑖− 𝑥 ² 𝑛 − 1

Contoh: Untuk data kelompok di atas dengan varians𝑠²= 203.66, maka simpangan bakunya 𝑠 = 203.66 = 14.27

ANGKA BAKU

Angka baku adalah mengukur perbedaan nilai observasi dengan 𝑥 per simpangannya baku) 𝑧_𝑖 =𝑥_𝑖− 𝑥

𝑠 Contoh:

A mendapat nilai 86 pada ujian akhir Matematika, di mana rata-rata dan simpangan baku kelompok masing- masing 78 dan 10. Padas ujian akhir Statistika di mana rata-rata kelompok 84, dan simpangan baku kelomp ok 18, A mendapat nilai 92. Dalam mata ujian manakah A mencapai kedudukan yang lebih baik?

Jawab:

𝑧_𝑀𝑎𝑡=⁸⁶⁻⁷⁸

10 = 0.8 𝑧_{𝑠𝑡𝑎𝑡}=⁹²⁻⁸⁴

12 = 0.44

Harga z ini menunjukkan bahwa, A mendapatkan 0,8 s di atas rata-rata nilai Matematika dan 0,44 s di atas r ata-rata nilai Statistika. Berarti kedudukan A lebih tinggi dalam Matematika.

KOEFISIEN VARIASI

Definisi: Jika dari sebuah sampel dihitung 𝑥 dan s, maka koefisien variasi didefinisikan sebagai formula berikut:

𝐾𝑉 =𝑠 𝑥× 100%

Kategori tafsiran KV:

Contoh:

Menurut sensus pendapatan perbulan di Malaysia setara dengan Rp. 5000000,00 dengan simpangan baku Rp. 30 00000,00. Di Indonesia rata-rata Rp. 4000000,00 dengan simpangan baku Rp. 2000000,00. Tunjukkanlah secara s tatistik negara mana yang lebih merata pendapatannya.

Jawab:

Malaysia: 𝐾𝑉 =^3000000_5000000× 100% = 60%

Indonesia : 𝐾𝑉 =^2000000_4000000× 100% = 50%

Jadi yang lebih merata adalah Indonesia, sebab makin kecil koefisien variasi makin seragam/homogen pendapatan No Kategori (%) Interpretasi KV

1 2 3 4 5

45 atau lebih 40– 44 30– 39 25– 29 Kurang dari 25

Sangat heterogen Heterogen Normal Homogen Sangat homogen

SELESAI