Perbandingan Grafik Pengendali Grand Median dan Cumulative Sum pada Variabel Berat Shuttlecock di CV Marjoko Kompas dan Domas ARTIKEL

(1)

commit to user

PERBANDINGAN GRAFIK PENGENDALI

GRAND MEDIAN

DAN CUSUM PADA VARIABEL BERAT

SHUTTLECOCK

DI CV MARJOKO KOMPAS DAN DOMAS

Nurul Musdalifah, Sri Sulistijowati Handajani, Etik Zukhronah Program Studi Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret

Abstrak. Persaingan antar perusahaan sejenis menyebabkan perusahaan harus mam-pu menjamin kualitas produksi agar tidak mengalami kebangkrutan. Untuk menjamin kualitas produksi maka dilakukan pengontrolan produksi menggunakan pengendali-an kualitas statistik yaitu grafik pengendali. Grafik pengendali ypengendali-ang biasa digunakpengendali-an untuk data berdistribusi normal adalah grafik pengendaliShewhart. Namun data pro-duksi seringkali tidak berdistribusi normal dan mengalami pergeseran rata-rata yang kecil. Grafik pengendali grand median merupakan grafik untuk data tidak berdis-tribusi normal sedangkan grafik pengendali CUSUM merupakan grafik yang sensitif dalam mendeteksi pergeseran rata-rata yang kecil. Kedua grafik pengendali diterap-kan pada data berat shuttlecock di CV Marjoko Kompas dan Domas. Untuk dapat membandingkan kedua grafik pengendali, dibangkitkan data sesuai distribusi sebenar-nya. Data yang dibangkitkan digunakan untuk simulasi nilai pengali standar deviasi grafik grand median dan CUSUM. Simulasi dilakukan untuk menghasilkan Average Run Length (ARL_{) sebesar 370. Grafik pengendali}_{grand median} _{mendeteksi 10 titik} yang tidak terkendali sedangkan grafik pengendali CUSUM mendeteksi 1 titik tidak terkendali. Dari banyaknya titik tidak terkendali dapat disimpulkan grafik pengen-dali grand median lebih baik digunakan karena lebih banyak mendeteksi titik tidak terkendali daripada grafik pengendali CUSUM.

Kata Kunci_{: grafik pengendali grand median, grafik pengendali CUSUM, ARL.}

1.

Pendahuluan

Pasar bebas menyebabkan transaksi perdagangan antar wilayah di berbagai

belahan dunia dapat dilakukan secara mudah dan cepat. Hal tersebut

menye-babkan banyak perusahaan sejenis dapat memasarkan produknya pada wilayah

yang sama sehingga menimbulkan persaingan antar perusahaan sejenis. Jaminan

kualitas produksi merupakan suatu cara agar perusahaan mampu bersaing

de-ngan perusahaan sejenis. Upaya untuk menjaga dan meningkatkan kualitas dari

produk yang dihasilkan dapat dilakukan dengan pengendalian kualitas proses

se-cara statistik (Ramadhani [6]).

(2)

commit to user

Grafik pengendali yang biasa digunakan adalah grafik pengendali

Shewhart

(¯

x

) dengan asumsi yang harus dipenuhi yaitu variabel random berdistribusi

nor-mal. Pada karakteristik kualitas produksi seringkali ditemukan data tidak

me-nyebar sesuai distribusi normal atau dapat dikatakan data tidak berdistribusi

normal. Oleh karena itu digunakan pendekatan dengan grafik pengendali

nonpa-rametrik yang tidak memerlukan asumsi distribusi normal yaitu grafik pengendali

grand median. Grafik pengendali

grand median

menggunakan pengamatan yang

nilainya melebihi nilai

grand median

(Altukife [1]).

Data produksi juga seringkali mengalami pergeseran rata-rata yang kecil.

Oleh karena itu digunakan grafik pengendali CUSUM yang sensitif dalam

men-deteksi terjadinya pergeseran rata-rata yang kecil. Perbandingan kedua grafik

dilakukan untuk mengetahui grafik pengendali yang lebih sensitif dalam

mende-teksi pergeseran proses kecil pada data yang tidak berdistribusi normal. Data

yang digunakan adalah data berat

shuttlecock

di CV Marjoko Kompas dan

Do-mas.

2.

Grafik Pengendali

GRAND MEDIAN

Grand median

merupakan statistik yang digunakan untuk mengukur pusat

dari

m

sampel pengamatan yang berukuran

n

(Altukife [1]).

Grand median

di-definisikan sebagai

e

diperoleh dengan mencari median dari kombinasi total

N

,

dimana

N

adalah

m

sampel yang masing-masing berukuran

n

. Struktur data

sampel selengkapnya dapat dilihat pada Tabel 1.

Tabel 1. Struktur Data Sampel

1

2

· · ·

n

x

1.1

x

1.2

· · ·

x

1.n

x

2.1

x

2.2

· · ·

x

2.n

...

. ..

...

x

m.1

x

m.2

· · ·

x

m.n

Grafik pengendali

grand median

merupakan grafik pengendali yang

meng-gunakan pengamatan yang nilainya melebihi

grand median. Diasumsikan

O

1i

adalah jumlah pengamatan yang nilainya melebihi

e

pada sampel ke-

i

dan

O

2i

adalah jumlah pengamatan yang nilainya kurang dari atau sama dengan

e

pada

sampel ke-

i

. Peluang terjadinya kejadian

O

1i

dan

O

2i

adalah 0.5. Dengan

demi-kian distribusi

O

1i

untuk

i

= 1

,

2

,

3

, ...m

adalah binomial(

n,

1

/

2). Rata-rata dan

variansi distribusi binomial yaitu

µ

=

n

2

(2.1)

σ

2

=

n

(3)

commit to user

Batas pengendali grafik pengendali

grand median

didefinisikan sebagai

LCL

=

µ

−

D

√

σ

2

(2.3)

CL

=

µ

U CL

=

µ

+

D

√

σ

2

(2.4)

dengan

D

adalah pengali standar deviasi yang dipilih untuk menghasilkan

ni-lai probabilitas kesalahan tipe I (Altukife [1]). Persamaan (2.1) dan (2.2)

di-substitusikan ke persamaan (2.3) dan (2.4) menghasilkan batas pengendali grafik

pengendali

grand median

sebagai berikut.

LCL

=

n

2

−

D

√

n

4

(2.5)

CL

=

n

2

U CL

=

n

2

+

D

√

n

4

.

(2.6)

3.

Grafik Pengendali CUSUM

Grafik pengendali CUSUM menghimpun semua informasi dari sampel

per-tama sampai sampel terakhir. Misalkan sampel-sampel berukuran

n

≥

1

dikum-pulkan dan ¯

x

i

adalah rata-rata sampel ke

i, µ

0

adalah target dari rata-rata proses.

Jika rata-rata tersebut bergeser misalkan menjadi

µ

1

> µ

0

, maka terjadi

perge-seran positif pada nilai CUSUM

C

i

. Jika rata-rata tersebut bergeser misalkan

menjadi

µ

1

< µ

0

,

maka terjadi pergeseran negatif pada nilai CUSUM

C

i

. Besar

pergeseran proses didefiniskan dengan

δ

=

µ

1

−

µ

0

σ

.

Titik-titik pengamatan grafik pengendali CUSUM dapat dibentuk

menggu-nakan tabular CUSUM didefinisikan Koshti [4] sebagai berikut.

C

i+

=

maks

[

0

,

x

¯

i

−

(

µ

0

+

K

) +

C

i−1

+

]

(3.1)

C

i−

=

maks

[

0

,

(

µ

0

−

K

)

−

x

¯

i

+

C

i−1−

]

(3.2)

dengan nilai awal

C

0+

dan

C

0−

bernilai 0. Sedangkan

K

adalah nilai referensi

yang didefinisikan sebagai

K

=

δ

2

σ

=

|

µ

1

−

µ

0

|

2

(4)

commit to user

sebagai

LCL

=

−

hσ

(3.3)

U CL

=

hσ

(3.4)

dengan

h

adalah pengali standar deviasi yang dipilih untuk menghasilkan nilai

Average Run Lenght

(

ARL

) yang diharapkan (Montgomery [5]).

4.

Average Run Length

(

ARL

)

Average Run Lenght

(ARL) adalah rata-rata banyaknya sampel yang harus

diamati sampai ditemukan tanda tidak terkendali yang pertama.

ARL

dihitung

dari rata-rata simulasi

run length

.

Run length

didefinisikan sebagai jumlah sampel

yang diperlukan sampai ditemukan sampel yang keluar dari batas pengendali.

Secara umum persamaan untuk menghitung

ARL

adalah

ARL

=

1

P r

(

menolak H

0

|

H

0

benar

)

=

1

α

,

(4.1)

dengan

α

adalah probabilitas kesalahan tipe I yaitu probabilitas mengatakan

grafik tidak terkendali padahal sebenarnya grafik terkendali (Montgomery [5]).

Teknik pendekatan untuk menghitung

ARL

adalah menggunakan

pende-katan Siegmund untuk satu sisi

C

i+

dan

C

i−

yang didefinisikan Montgomery [5]

sebagai

ARL

=

{

exp(−2∆b)+2∆b−1

2∆2

; untuk ∆

̸

= 0

b

2

; untuk ∆ = 0

(4.2)

dengan

∆ =

δ

−

k

untuk

C

_i+

dan ∆ =

−

δ

−

k

untuk

C

−

i

,

b

=

h

+ 1

.

166,

k

=

K

σ

.

Untuk

ARL

dua sisi dapat dituliskan

1

ARL

=

1

ARL

+

1

ARL

−

.

Perbandingan kedua grafik pengendali dapat dilakukan apabila kedua grafik

pengendali memiliki nilai

ARL

yang sama. Nilai

ARL

diperoleh dengan

mene-tapkan nilai

α

. Simulasi nilai pengali standar deviasi (

D

dan

h

) dilakukan untuk

menghasilkan nilai

ARL

yang diharapkan. Simulasi dilakukan dengan

membang-kitkan data sesuai distribusi data pengamatan.

5.

Uji Distribusi Data

(5)

commit to user

(1) Hipotesis

H

0

: Data produksi berat

shuttlecock

berdistribusi tertentu.

H

1

: Data produksi berat

shuttlecock

tidak berdistribusi tertentu.

(2) Taraf signifikasi

α

=0.05.

(3) Daerah kritis (DK)

DK =

{

A

∗

|

A

∗

> A

α

}

.

H

0

ditolak apabila

A

∗

∈

DK.

(4) Statistik uji

AD

=

−

N

−

N

∑

i=1

(2

i

−

1)

N

[

lnF

(

Z

t

+

ln

(1

−

F

(

Z

N+1−t

))]

,

dengan

AD

: statistik uji Anderson-Darling,

N

: banyak pengamatan,

Z

t

: data yang telah distandardisasi,

F

(

Z

t

) : nilai fungsi distribusi kumulatif normal baku di

Z

t

.

Uji untuk data berdistribusi normal menggunakan modifikasi statistik uji

AD dituliskan sebagai

A

∗

=

AD

(1 +

0

.

75

N

+

0

.

25

N

2

)

.

Uji distribusi yang memiliki nilai AD paling kecil mengindikasikan bahwa

distri-busi tersebut paling tepat mendasari proses (Wibawati [7]).

6.

Metode Penelitian

Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data primer variabel berat

shuttlecock

dari produsen

shuttlecock

CV Marjoko Kompas dan Domas di

Kabu-paten Sukoharjo. Data yang diambil sebanyak 50 sampel, dengan setiap sampel

berukuran 20.

Sebelum menerapkan kedua grafik pengendali, terlebih dahulu ditentukan

nilai pengali standar deviasi

D

dan

h

. Nilai pengali tersebut dipilih untuk

meng-hasilkan

ARL

yang diharapkan. Langkah-langkah dalam menentukan nilai

D

dinyatakan sebagai berikut.

(1) Membangkitkan data sesuai distribusi data yang sebenarnya sebanyak

1000, kemudian menghitung

grand median.

(2) Menentukan sembarang nilai

D

kemudian dibuat batas pengendali.

(3) Membangkitkan data dengan distribusi yang sesuai dengan data

sebenar-nya dengan ukuran sampel 20, kemudian menghitung statistik

O

1i

yaitu

(6)

commit to user

(5) Jika nilai

O

1i

berada dalam grafik pengendali maka kembali lagi langkah 3

dan jika berada di luar batas pengendali maka dicatat sebagai

Run Length

(

RL

).

(6) Langkah ke (3) sampai langkah ke (5) diulangi sebanyak 1000 kali.

(7) Menghitung

ARL

dengan menjumlahkan nilai

RL

keseluruhan kemudian

dibagi 1000.

Sedangkan langkah-langkah untuk menentukan nilai

h

grafik pengendali CUSUM

dinyatakan sebagai berikut.

(1) Menentukan besar pergeseran proses.

(2) Memberikan nilai awal

h

dan menghitung

ARL

grafik pengendali

CU-SUM.

(3) Mengulangi langkah (1) dan (2) sampai diperoleh

ARL

yang diharapkan.

Selanjutnya adalah menerapkan kedua grafik pengendali pada data

penga-matan. Langkah-langkahnya sebagai berikut.

(1) Menerapkan grafik pengendali

grand median.

(a) Menentukan

grand median

kemudian mencari pengamatan pada

se-tiap sampel yang nilainya melebihi

grand median

.

(b) Banyaknya pengamatan yang nilainya melebihi

grand median

pa-da setiap sampel diplotkan papa-da batas pengenpa-dali grafik pengenpa-dali

grand median.

(c) Menghitung dan mencatat titik-titik yang berada di luar batas

pe-ngendali.

(2) Menerapkan grafik pengendali CUSUM.

(a) Menentukan besarnya pergeseran proses dan pengali standar deviasi.

(b) Menghitung nilai tabular CUSUM untuk

C

_i+

dan

C

−

i

sebagai titik

pengamatan grafik pengendali CUSUM.

(c) Menghitung dan mencatat titik-titik yang berada di luar batas

pe-ngendali.

(3) Membandingkan kedua grafik pengendali.

7.

Hasil dan Pembahasan

Menguji data merupakan hal yang harus dilakukan untuk mengetahui data

pengamatan mengikuti suatu bentuk distribusi tertentu. Langkah-langkah uji

hipotesis menggunakan statistik uji AD dituliskan sebagai berikut.

(1) Hipotesis

(7)

commit to user

(2) Taraf signifikasi

α

=0.05.

(3) Daerah kritis (DK)

DK =

{

A

∗

|

A

∗

> A

α

=

A

0.05

= 0

.

752

}

.

H

0

ditolak apabila

A

∗

∈

DK.

(4) Statistik uji

A

∗

=

AD

(1 +

0

.

75

N

+

0

.

25

N

2

)

Pada Tabel 2 diperoleh nilai AD untuk beberapa distribusi sehingga dapat

diperoleh statistik uji

A

∗

bernilai 1.068.

(5) Kesimpulan

Karena

A

∗

sebesar 1

.

068

∈

DK

,

H

0

ditolak artinya data produksi berat

shuttlecock

tidak berdistribusi normal.

Hasil statistik uji AD pada beberapa distribusi ditunjukkan pada Tabel 2.

Uji distribusi yang memenuhi nilai

AD

paling kecil adalah distribusi Weibull 3

parameter. Selanjutnya dilakukan uji hipotesis untuk data berdistribusi Weibull 3

parameter. Uji hipotesis menggunakan

H

0

data berdistribusi Weibull 3 parameter

diperoleh nilai statistik uji

A

∗

= 0

.

648

< A

0.05

= 2

.

492. Karena

A

∗

̸∈

DK, H

0

tidak ditolak yang artinya data pengamatan berdistribusi Weibull 3 parameter.

Tabel 2. Hasil Statistik Uji Anderson-Darling

Distribusi

AD p

−

value

Distribusi

AD p

−

value

Normal

1.067

0.008 Smallest EV 18.927

<

0

.

001

Lognormal

0.762

0.047 Largest EV

5.705

<

0

.

001

Exponential

442.195

<

0

.

003 Gamma

0.857

0.028

2-p Exp

176.951

<

0

.

0010 Logistic

1.384

<

0

.

005

Weibull

17.243

<

0

.

001 Loglogistic

1.237

<

0

.

005

3-p Weibull

0.648

0.068

Uji distribusi data dilakukan untuk membangkitkan data sesuai distribusi

sebenarnya. Data yang dibangkitkan digunakan untuk simulasi pengali standar

deviasi yang menghasilkan

ARL

sebesar 370. Hasilnya diperoleh nilai

D

sebesar

2.71 melalui persamaan (4.1) dan nilai

h

sebesar 4.87 melalui persamaan (4.2).

Banyaknya pengamatan yang melebihi

grand median

(

O

1i

) merupakan titik-titik

pengamatan grafik pengendali

grand median. Melalui persamaan (2.5) dan (2.6)

diperoleh LCL sebesar 3.9043 dan UCL sebesar 16.0597.

(8)

commit to user

UCL

LCL UCL

LCL

(a) (b)

Gambar 1. Grafik Pengendali (a)Grand Median dan (b)CUSUM

Gambar 1(a) menunjukkan grafik pengendali

grand median

dengan LCL

sebesar 3.94 dan UCL sebesar 16.06 mendeteksi 10 titik yang berada di luar

ba-tas pengendali, sedangkan Gambar 1(b) menunjukkan grafik pengendali CUSUM

dengan LCL sebesar

−

0

.

2922 dan UCL sebesar 0.2922 mendeteksi 1 titik yang

tidak terkendali. Titik pengamatan yang berada di luar batas pengendali LCL

dan UCL pada grafik

grand median

adalah sampel ke 11, 24, 27, 29, 30, 31, 38,

39, 41, dan 45, sedangkan pada grafik pengendali CUSUM adalah sampel ke 18.

8.

Kesimpulan

Simulasi pengali standar deviasi yang menghasilkan

ARL

sebesar 370

di-peroleh nilai

D

sebesar 2.71 dan

h

sebesar 4.87 untuk mendapatkan LCL dan

UCL kedua grafik pengendali. Dari banyaknya titik yang tidak terkendali dapat

disimpulkan bahwa grafik pengendali

grand median

lebih baik digunakan untuk

data berat

shuttlecock

berdistribusi Weibull 3 parameter dibandingkan grafik

pe-ngendali CUSUM karena mendeteksi lebih banyak titik tidak terkendali.

Daftar Pustaka

1. Altukife, F.S., A New Nonparametric Control Chart Based on Observations Exceeding The Grand Median, Pakistan Journal of Statistic19 (2003), no. 3, 343–351.

2. Fallo, J.O., Setiawan, dan Susanto, B., Perbandingan Uji Berdasarkan Anderson-Darling, Cramer, dan Liliefors, Prosiding Seminar Nasional Matematika, UNNES, Semarang, 2013. 3. Ferdinant, P.F., Pengendalian Kualitas Proses dengan Peta Kendali CUSUM dan EWMA,

Prosiding Seminar Nasional Industrial Services (SNIS) III, UNTIRTA, Banten, 2013. 4. Koshti, V.V.,Cumulative Sum Control Chart, International Journal of Phisics And

Mathe-matical Sciences 1(1)(2011), 28–32.

5. Montgomery, D.C., Introduction to Statistical Quality Control, 6th

ed., John Willey and Sons, Washington, 2009.

6. Ramadhani, G.S.,Analisis Pengendalian Kualitas Menggunakan Diagram Kendali Demerit, Skripsi, FMIPA Universitas Diponegoro, Semarang, 2014.