DAFTAR PUSTAKA

(1)

Universitas Hasanuddin

DAFTAR PUSTAKA

Asmiati, dkk. (2019). Dimensi Metrik Hasil Operasi Tertentu pada Graf Petersen Diperumum. Limits: Journal of Mathematics and Its Applications, 16(2), 87-93.

Chartrand, G. et al. (2000). Resolvability in Graphs and the Metric Dimension of a Graph. Discrete Applied Mathematics, 105, 99-113.

Chartrand, G., & Zhang, P. (2012). A First Course in Graph Theory. New York:

Dover Publications, Inc.

Chartrand, G., & Zhang, P. (2003). The Theory and Applications of Resolvabiliy in Graph: A Survey. Congressus Numerantium, 160, 47-68.

Wilayah. (2016). Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) Daring. Diambil 15 Ags 2022, darihttps://kbbi.kemdikbud.go.id/entri/Wilayah.

Area. (2016). Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) Daring. Diambil 15 Ags 2022, darihttps://kbbi.kemdikbud.go.id/entri/Area.

Epp, S. S. (2011). Discrete Mathematics with Applications (4^th ed). Boston:

Brooks/Cole Cengage Learning.

Harary, F., & Melter, R. A. (1976). On the Metric Dimension of a Graph. Ars Comb, 2, 191-195.

Hasmawati. (2015). Bahan Ajar Teori Graf. pp. 1-77.

Hasmawati. (2020). Pengantar dan Jenis-Jenis Graf (I). UPT Unhas Press, Makassar.

Rosen, K. H. (2019). Discrete Mathematics And Its Applications (8^thed). New York: McGraw-Hill.

Shulhany, dkk. (2021). Dimensi Metrik pada Graf Calendula 3, . Asimetris:

Jurnal Pendidikan Matematika dan Sains, 2(1), 7-9.

Slater, P. J. (1975). Leaves Trees. Proceeding of International Conference On Research, Implementation And Education Of Mathematics And Sciences Proceeding of the 6^thSoutheastern Conference on Combinatorics, Graph Theory, and Computing, Congressus Numerantium, 549-559.

(2)

Utomo, T. dan Dewi, N.R. (2018). Dimensi Metrik Graf . Limits:

Journal of Mathematics and Its Applications, 15(1), 71-77.

Wahyudi, S. (2018). Aplikasi Dimensi Metrik Untuk Meminimalkan Pemasangan Sensor Kebakaran Sebuah Gedung. Limits: Journal of Mathematics and Its Applications, 15(2), 89-96.

Wilson, R. (1996). Introduction to Graph Theory (4^th ed). England: Edinburgh Gate.

(3)

LAMPIRAN

Pada lampiran berikut diberikan himpunan 1 = 3, 20, 27, 38 , 2 =

3, 13, 27, 38 , 3 = 3, 21, 32, 36 , 4 = 3, 22, 30, 36 dan 5 =

3, 9, 20, 27, 37 . Dengan 1, 3 dan 4 adalah basis yang memuat titik pusat, 2 adalah basis yang tidak memuat titik pusat, 5 adalah himpunan pembeda dan untuk setiap dengan ≤ 3 bukan himpunan pembeda. Untuk lebih jelasnya, berikut adalah representasi semua titik di graf terhadap himpunan tersebut.

1. Untuk = 4

a. Dipilih 1= 3, 20, 27, 37 , maka representasi setiap titik ∈ terhadap 1 adalah

1| 1 = 1,6,9,12

2| 1 = 2,5,8,11

3| 1 = 0,6,9,12

4| 1 = 1,5,8,11

5| 1 = 3,5,8,11

6| ₁ = 3,4,7,10

7| 1 = 2,4,7,10

8| 1 = 4,5,8,11

9| 1 = 4,4,7,10

10| 1 = 3,3,6,9

11| 1 = 4,3,6,9

12| 1 = 4,2,5,8

13| 1 = 8,2,5,7

14| 1 = 9,3,6,8

15| 1 = 10,4,7,9

16| 1 = 11,5,8,10

17| 1 = 5,1,4,7

18| 1 = 7,1,4,6

19| 1 = 6,1,3,6

20| 1 = 6,0,4,6

21| ₁ = 7,2,2,5

22| 1 = 7,2,3,5

23| 1 = 7,1,3,5

24| 1 = 8,3,3,5

25| 1 = 8,3,1,4

26| 1 = 8,2,2,4

27| 1 = 9,4,0,4

28| 1 = 9,4,1,3

29| 1 = 9,3,2,3

30| 1 = 10,5,1,3

31| 1 = 11,5,2,2

32| 1 = 10,4,2,2

33| 1 = 10,4,3,2

34| 1 = 12,6,3,2

35| 1 = 11,5,3,1

36| ₁ = 11,5,4,1

37| 1 = 12,6,4,1

38| 1 = 12,6,4,0

39| 1 = 12,6,5,2

40| 1 = 13,7,5,1

41| 1 = 13,7,6,3

42| 1 = 5,5,8,11

43| 1 = 6,6,9,12

b. Dipilih 2= 3, 13, 27, 38 , maka representasi setiap titik ∈ terhadap 2 adalah

(4)

5| 2 = 3,7,8,11

6| 2 = 3,6,7,10

7| 2 = 2,6,7,10

8| 2 = 4,7,8,11

9| ₂ = 4,6,7,10

10| 2 = 3,5,6,9

11| 2 = 4,5,6,9

12| 2 = 4,4,5,8

13| 2 = 8,0,5,7

14| 2 = 9,1,6,8

15| 2 = 10,2,7,9

20| 2 = 6,2,4,6

21| 2 = 7,4,2,5

22| 2 = 7,3,3,5

23| 2 = 7,2,3,5

24| ₂ = 8,4,3,5

25| 2 = 8,4,1,4

26| 2 = 8,3,2,4

27| 2 = 9,5,0,4

28| 2 = 9,5,1,3

29| 2 = 9,4,2,3

30| 2 = 10,6,1,3

35| 2 = 11,6,3,1

36| 2 = 11,6,4,1

37| 2 = 12,7,4,1

38| 2 = 12,7,4,0

39| ₂ = 12,7,5,2

40| 2 = 13,8,5,1

41| 2 = 13,8,6,3

42| 2 = 5,5,7,11

43| 2 = 6,6,8,12

c. Dipilih 3= 3, 21, 32, 36 , maka representasi setiap titik ∈ terhadap 3 adalah

1| 3 = 1,8,10,11

2| 3 = 2,7,9,10

3| ₃ = 0,8,10,11

4| 3 = 1,7,9,10

5| 3 = 3,7,9,10

6| 3 = 3,6,8,9

7| 3 = 2,6,8,9

8| 3 = 4,7,9,10

9| 3 = 4,6,8,9

10| 3 = 3,5,7,8

11| 3 = 4,5,7,8

12| 3 = 4,4,6,7

13| 3 = 8,0,5,6

14| 3 = 9,1,6,7

16| 3 = 11,3,8,9

17| 3 = 5,3,5,6

18| ₃ = 7,1,4,5

19| 3 = 6,3,4,5

20| 3 = 6,2,4,5

21| 3 = 7,4,3,4

22| 3 = 7,3,3,4

23| 3 = 7,2,3,4

24| 3 = 8,4,3,4

25| 3 = 8,4,2,3

26| 3 = 8,3,2,3

27| 3 = 9,5,2,4

28| 3 = 9,5,1,3

29| 3 = 9,4,1,2

31| 3 = 11,6,1,3

32| 3 = 10,5,0,3

33| ₃ = 10,5,2,1

34| 3 = 12,7,2,3

35| 3 = 11,6,1,2

36| 3 = 11,6,3,0

37| 3 = 12,7,2,2

38| 3 = 12,7,2,1

39| 3 = 12,7,4,1

40| 3 = 13,8,3,2

41| 3 = 13,8,5,2

42| 3 = 5,7,9,10

43| 3 = 6,8,11,11

(5)

15| ₃ = 10,2,7,8 ₃₀| ₃ = 10,6,1,4

d. Dipilih 4= 3, 22, 30, 36 , maka representasi setiap titik ∈ terhadap 4 adalah

1| 4 = 1,7,10,11

2| ₄ = 2,6,9,10

3| 4 = 0,7,10,11

4| 4 = 1,6,9,10

5| 4 = 3,6,9,10

6| 4 = 3,5,8,9

7| 4 = 2,5,8,9

8| 4 = 4,6,9,10

9| ₄ = 4,5,8,9

10| 4 = 3,4,7,8

11| 4 = 4,4,7,8

12| 4 = 4,3,6,7

13| 4 = 8,3,6,6

14| 4 = 9,4,7,7

15| 4 = 10,5,8,8

16| 4 = 11,6,9,9

17| ₄ = 5,2,5,6

18| 4 = 7,2,5,5

19| 4 = 6,1,4,5

20| 4 = 6,2,5,5

21| 4 = 7,1,3,4

22| 4 = 7,0,4,4

23| 4 = 7,1,4,4

24| ₄ = 8,1,4,4

25| 4 = 8,2,2,3

26| 4 = 8,1,3,3

27| 4 = 9,3,1,4

28| 4 = 9,3,1,3

29| 4 = 9,2,2,2

30| 4 = 10,4,0,4

31| 4 = 11,4,1,3

32| ₄ = 10,3,1,3

33| 4 = 10,3,3,1

34| 4 = 12,5,2,3

35| 4 = 11,4,2,2

36| 4 = 11,4,4,0

37| 4 = 12,5,3,2

38| 4 = 12,5,3,1

39| ₄ = 12,5,5,1

40| 4 = 13,6,4,2

41| 4 = 13,6,6,2

42| 4 = 5,6,9,10

43| 4 = 6,7,10,11

2. Untuk = 5

Dipilih 5= 3, 9, 20, 27, 37 , maka representasi setiap titik ∈ terhadap 5 adalah

1| 5 = 1,3,6,9,12

2| 5 = 2,2,5,8,11

3| 5 = 0,4,6,9,12

4| 5 = 1,3,5,8,11

5| ₅ = 3,2,5,8,11

6| 5 = 3,1,4,7,10

7| 5 = 2,2,4,7,10

16| 5 = 11,9,5,8,10

17| 5 = 5,3,1,4,7

18| 5 = 7,5,1,4,6

19| 5 = 6,4,1,3,6

20| ₅ = 6,4,0,4,6

21| 5 = 7,5,2,2,5

22| 5 = 7,5,2,3,5

31| 5 = 11,9,5,2,2

32| 5 = 10,8,4,2,2

33| 5 = 10,8,4,3,3

34| 5 = 12,10,6,3,1

35| ₅ = 11,9,5,3,1

36| 5 = 11,9,5,4,2

37| 5 = 12,10,6,4,0

(6)

12| 5 = 4,2,2,5,8

13| 5 = 8,6,2,5,7

14| 5 = 9,7,3,6,8

15| 5 = 10,8,4,7,9

27| 5 = 9,7,4,0,4

28| 5 = 9,7,4,1,3

29| 5 = 9,7,3,2,3

30| 5 = 10,8,5,1,3

42| 5 = 5,1,5,8,11

43| 5 = 6,2,6,9,12

3. Untuk = 3 Misalkan :

1 = 1, 2, . . . , 12, 42, 43 , 1 = 14,

2 = 12, 13, 14, . . . , 41 , 2 = 30,

1 = 6, 7, 9, 10, 11, 42, 43 , 1 = 7,

2 = 13, 14, . . . , 32 , 2 = 20,

2 = 33, 34, . . . , 41 , 2 = 9,

2 = 13, 14, 15, 16, 18, 20, . . . , 24 , 2 = 10,

2 = 17, 19, 25, . . . , 32 , 2 = 10,

2 = 33, 36, 39 , ₂ = 3,

2 = 35, 40, 41 , 2 = 3,

Kasus 1. Dibentuk himpunan = 1, 2, 3| 1, 2, 3 ∈ 1 , sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah ₃¹⁴ = 364 himpunan. Namun, terdapat 19, 20 ∈ 2 sedemikian sehingga 19| = 20| . Akibatnya, untuk setiap = 1, 2, 3| 1, 2, 3 ∈ 1 , bukanlah himpunan pembeda.

Kasus 2. Dibentuk himpunan = 4, 5, 6| 4, 5, 6 ∈ 2 , sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah ₃³⁰ = 4060 himpunan.

Namun, terdapat 10, 11 ∈ 1 sedemikian sehingga 10| = 11| . Akibatnya, untuk setiap = ₄, ₅, ₆| ₄, ₅, ₆ ∈ ₂ , bukanlah himpunan pembeda.

Kasus 3. Dibentuk himpunan = 7, 8, 9| 7, 8 ∈ 1, 9 ∈ 2 , sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah 214× 20 = 1820

(7)

himpunan. Namun, terdapat 37, ₃₈ ∈ 2 sedemikian sehingga 37| =

38| . Akibatnya, untuk setiap = 7, 8, 9| 7, 8∈ 1, 9∈ 2 , bukanlah himpunan pembeda.

Kasus 4. Dibentuk himpunan = 10, 11, 12| 10, 11 ∈ 1, 12 ∈ 2 , sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah 214× 9 = 819 himpunan. Namun, terdapat 19, 20 ∈ 2 sedemikian sehingga 19| =

20| . Akibatnya, untuk setiap = 10, 11, 12| 10, 11 ∈ 1, 12 ∈

2 , bukanlah himpunan pembeda.

Kasus 5. Dibentuk himpunan = 13, 14, 15| 13 ∈ 1 , 14, 15 ∈ 2/

12 , sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah 7 × ₂²⁹ = 3248 himpunan. Namun, terdapat 2, 5∈ 1 sedemikian sehingga 2| =

5| . Akibatnya, untuk setiap = 13, 14, 15| 13 ∈ 1 , 14, 15 ∈

2 , bukanlah himpunan pembeda.

Kasus 6. Dibentuk himpunan = 1, 16, 17| 16, 17 ∈ 2/ 12 , sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah 1 × ₂²⁹= 406 himpunan.

Namun, terdapat 6, 7 ∈ 1 sedemikian sehingga 6| = 7| . Akibatnya, untuk setiap = 1, 16, 17| 16, 17 ∈ 2 , bukanlah himpunan pembeda.

Kasus 7. Dibentuk himpunan = 2, 18, 19| 18, 19 ∈ 2/ 12 , sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah 1 × ₂²⁹= 406 himpunan.

Kasus 8. Dibentuk himpunan = 3, 20, 21| 20, 21 ∈ 2 , sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah 1 × 220 = 190 himpunan.

Kasus 9. Dibentuk himpunan = 3, 22, 23| 20, 21 ∈ 2 , sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah 1 × ₂⁹ = 36 himpunan. Namun,

(8)

banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah 10 himpunan. Namun, terdapat

27, 28 ∈ 2 sedemikian sehingga 28| = 27| . Akibatnya, untuk setiap = 3, 24, 34| 24 ∈ 2 , bukanlah himpunan pembeda.

Kasus 11. Dibentuk himpunan = 3, 25, 37| 25 ∈ 2 , sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah 10 himpunan. Namun, terdapat

31, 36 ∈ 2sedemikian sehingga 31| = 36| . Akibatnya, untuk setiap = 3, 25, 37| 25 ∈ 2 , bukanlah himpunan pembeda.

Kasus 12. Dibentuk himpunan = 3, 26, 38| 26 ∈ 2 , sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah 10 himpunan Namun, terdapat

31, 36 ∈ 2 sedemikian sehingga 32| = 33| . Akibatnya, untuk setiap = 3, 26, 38| 26 ∈ 2 , bukanlah himpunan pembeda.

Kasus 13. Dibentuk himpunan = ₃, ₂₇, ₂₈| ₂₇∈ ₂ , ₂₈ ∈ ₂ , sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah 10 × 9 = 90 himpunan Namun, terdapat 22, 23 ∈ 2 sedemikian sehingga 22| =

23| . Akibatnya, untuk setiap = 3, 27, 28| 27 ∈ 2 , 28 ∈ 2 , bukanlah himpunan pembeda.

Kasus 14. Dibentuk himpunan = 3, 29, 30| 29 ∈ 2 , 30 ∈ 2 , sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah 10 × 3 = 30 himpunan Namun, terdapat 40, 41 ∈ 2 sedemikian sehingga 40| =

41| . Akibatnya, untuk setiap = 3, 29, 30| 29∈ 2 , 30∈ 2 , bukanlah himpunan pembeda.

Kasus 15. Dibentuk himpunan = ₃, ₃₁, ₃₂| ₃₁ ∈ ₂ , ₃₂ ∈ ₂ , sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah 10 × 3 = 30 himpunan Namun, terdapat 37, 38 ∈ 2 sedemikian sehingga 37| =

38| . Akibatnya, untuk setiap = 3, 31, 32| 31∈ 2 , 32∈ 2 , bukanlah himpunan pembeda.

Kasus 16. Dibentuk himpunan = 4, 33, 34| 33, 34 ∈ 2/ 12 , sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah 1 × ₂²⁹ = 406 himpunan. Namun, terdapat , ∈ sedemikian sehingga | =

(9)

9| . Akibatnya, untuk setiap = ₄, ₃₃, ₃₄| ₃₃, ₃₄∈ ₂ , bukanlah himpunan pembeda.

Kasus 17. Dibentuk himpunan = 5, 35, 36| 35, 36 ∈ 2/ 12 , sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah 1 × 229 = 406 himpunan. Namun, terdapat 4, 42 ∈ 1 sedemikian sehingga 4| =

42| . Akibatnya, untuk setiap = 5, 35, 36| 35, 36∈ 2 , bukanlah himpunan pembeda.

Kasus 18. Dibentuk himpunan = 8, 37, 38| 37, 38 ∈ 2/ 12 , sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah 1 × ₂²⁹ = 406 himpunan. Namun, terdapat 2, 42 ∈ 1 sedemikian sehingga 2| =

42| . Akibatnya, untuk setiap = 8, 37, 38| 37, 38∈ 2 , bukanlah himpunan pembeda.

4. Untuk = 2.

Misalkan :

1 = 1, 2, . . . , 12, 42, 43 , 1 = 14,

2 = 12, 13, 14, . . . , 41 , 2 = 30,

1 = 6, 7, 9, 10, 11, 42, 43 , 1 = 7,

2 = 13, ₁₄, . . . , ₃₂ , 2 = 20,

2 = 33, 34, . . . , 41 , 2 = 9,

Kasus 1. Dibentuk himpunan = ₁, ₂| ₁, ₂ ∈ ₁ , sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah ₂¹⁴= 91 himpunan. Namun, terdapat

19, 20 ∈ 2 sedemikian sehingga 19| = 20| . Akibatnya, untuk setiap = 1, 2| 1, 2 ∈ 1 , bukanlah himpunan pembeda.

Kasus 2. Dibentuk himpunan = 4, 5| 4, 5 ∈ 2 , sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah ₂³⁰ = 435 himpunan. Namun, terdapat 10, 11 ∈ 1 sedemikian sehingga 10| = 11| . Akibatnya, untuk setiap = ₄, ₅| ₄, ₅ ∈ ₂ , bukanlah himpunan pembeda.

Kasus 3. Dibentuk himpunan = 7, 9| 7 ∈ 1/ 12, 9∈ 2 , sehingga

(10)

sehingga banyak himpunan yang dapat dibentuk adalah 13 × 9 = 126 himpunan. Namun, terdapat 19, 20 ∈ 2 sedemikian sehingga 19| =

20| . Akibatnya, untuk setiap = 10, 12| 10 ∈ 1/ 12, 12 ∈ 2 , bukanlah himpunan pembeda.