Mulyono (NIM : ) BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN. Penelitian ini menghasilkan diagram alir, kode program serta keluaran

(1)

BAB IV

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Penelitian ini menghasilkan diagram alir, kode program serta keluaran berupa tingkat ketelitian metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear satu variabel.

A. Diagram Alir

Diagram alir dibuat untuk mempermudah urutan langkah-langkah penyelesaian masalah. Adapun diagram alir yang dihasilkan secara garis besar terdiri dari :

1. Program Utama

Dalam diagram alir untuk program utama berisi perintah untuk menentukan pilihan pada menu utama (masuk, bantuan dan keluar) serta pilihan untuk memanggil prosedur penyelesaian metode biseksi, penyelesaian metode regula falsi, memasukan jumlah persamaan dan derajat tertinggi serta pernyataan untuk memanggil prosedur perbandingan utama.

2. Prosedur Penyelesaian Metode Biseksi

Dalam diagram alir ini berisi perhitungan penyelesaian persamaan non-linear dengan menggunakan metode Biseksi.

3. Prosedur Penyelesaian Metode Regula Falsi

Dalam diagram alir ini berisi perhitungan penyelesaian persamaan non-linear dengan menggunakan metode Regula Falsi.

(2)

4. Prosedur Perbandingan Utama

Dalam diagram alir untuk prosedur perbandingan utama berisi perhitungan untuk metode Biseksi dan metode Regula Falsi serta perhitungan untuk mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.

Diagram alir secara keseluruhan dapat dilihat pada lampiran 1.

B. Kode Program

Kode program yang dihasilkan diberi nama “NUMERIK” yaitu program yang digunakan untuk mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menentukan akar penyelesaian persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi. Secara garis besar kode program ini terdiri dari :

1. Program Utama

Dalam kode program untuk program utama berisi pernyataan untuk menampilkan menu utama, pernyataan untuk memanggil prosedur penyelesaian metode biseksi, penyelesaian metode regula falsi, memasukan jumlah persamaan dan derajat tertinggi serta pernyataan untuk memanggil prosedur perbandingan utama.

(3)

2. Prosedur-prosedur a). Prosedur Tunggu

Prosedur tunggu menampilkan kondisi pada saat program Numerik sedang menyimpan file hasil perhitungan.

b). Prosedur Judul

Prosedur judul menampilkan judul program pada setiap langkah-langkah program Numerik.

c). Prosedur Bantuan

Prosedur bantuan menampilkan bantuan dari program. d). Prosedur Bye_bye

Prosedur bye_bye menampilkan kondisi pada saat keluar program.

e). Prosedur Penyelesaian Metode Biseksi

Prosedur ini berisi perhitungan untuk menghitung persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi.

f). Prosedur Penyelesaian Metode Regula Falsi

Prosedur ini berisi perhitungan untuk menghitung persamaan non-linear menggunakan metode Regula Falsi.

g). Prosedur Memasukkan Jumlah Persamaan dan Derajat Tertinggi Prosedur ini berisi perintah untuk memasukkan jumlah persamaan dan derajat tertinggi dari persamaan non-linear.

(4)

h). Prosedur Tampil Derajat

Prosedur tampil derajat menampilkan jumlah persamaan dan derajat tertinggi pada setiap langkah-langkah program Numerik. i). Prosedur Pilihan Input

Prosedur ini berisi pilihan cara memasukkan data. j). Prosedur Perbandingan Utama

Dalam prosedur perhitungan utama berisi perhitungan untuk metode Biseksi dan metode Regula Falsi serta perhitungan untuk mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.

Kode program secara keseluruhan dapat dilihat pada lampiran 2.

C. Hasil Keluaran

Pada saat pemanggilan pertama program, tampak MENU UTAMA :

Gambar 7. Tampilan Menu Utama

************************************************* ****Program penyelesaian Persamaan Non-Linear**** ***Menggunakan Metode Biseksi dan Regula Falsi*** ************************************************* < < < M E N U U T A M A > > > 1. Masuk 2. Bantuan 3. Keluar/Exit Pilihan anda (1/2/3) = 1

(5)

Jika pilihannya adalah 1 maka selanjutnya akan muncul pilihan untuk jenis penyelesaian persamaan non-linear.

Gambar 8. Tampilan Pilihan Jenis Penyelesaian

Setelah dipilih penyelesaian yang pertama yaitu penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi, selanjutnya muncul perintah untuk memasukan derajat tertinggi persamaan non-linear, koefisien dari x serta nilai awal x1 dan nilai awal x2.

Gambar 9. Tampilan Memasukkan Koefisien x dan Nilai Awal x1, x2 ************************************************* ****Program penyelesaian Persamaan Non-Linear**** ***Menggunakan Metode Biseksi dan Regula Falsi*** *************************************************

Penyelesaian Persamaan Non-Linear Menggunakan Metode Biseksi

Masukkan pangkat tertinggi = 3

Menentukan Koefisien x^1, x^2, x^3, ..., x^n Nilai a ==>> 1

Nilai b ==>> 0 Nilai c ==>> -7 Nilai d ==>> 1

Menentukan 2 Nilai Awal x1 dan x2 Masukkan nilai x1 awal ==>> 2.5 Masukkan nilai x2 awal ==>> 2.6

************************************************* ****Program penyelesaian Persamaan Non-Linear**** ***Menggunakan Metode Biseksi dan Regula Falsi*** ************************************************* Silahkan pilih !!!

1. Penyelesaian Persamaan Non-Linear Menggunakan Metode Biseksi

2. Penyelesaian Persamaan Non-Linier Menggunakan Metode Regula Falsi

3. Penyelesaian Metode Biseksi dan Metode Regula Falsi untuk mengetahui ketelitiannya

(6)

Apabila derajat tertinggi, koefisien dari x serta nilai awal x1 dan nilai awal x2 telah ditentukan, sebagai ilustrasi untuk derajat tertingginya adalah 3 nilai a = 1 (koefisien x3), b = 0 (koefisien x2), c = -7 (koefisien x1), d = 1 (koefisien x0) dengan nilai x1 awal = 2,5 dan nilai x2 awal = 2,6. Selanjutnya akan ditampilkan hasil perhitungan menggunakan metode Biseksi.

Gambar 10. Tampilan Hasil Perhitungan Menggunakan Metode Biseksi Untuk pilihan penyelesaian yang kedua yaitu penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Regula Falsi, tampilannya hampir sama dengan pilihan penyelesaian yang pertama, perbedaannya hanya pada nilai hasil perhitungan karena menggunakan rumus iterasi yang berbeda.

Gambar 11. Tampilan Hasil Perhitungan Menggunakan Metode Regula Falsi ************************************************* ****Program penyelesaian Persamaan Non-Linear**** ***Menggunakan Metode Biseksi dan Regula Falsi*** ************************************************* Hasil Perhitungan Menggunakan Metode Regula Falsi Salah satu akar pendekatannya = 2.571201416725671 diperoleh pada iterasi ke 29

dengan error = 0.000000074738637 (ε = 1E-7) nilai fungsinya = -0.000000074738637

************************************************* ****Program penyelesaian Persamaan Non-Linear**** ***Menggunakan Metode Biseksi dan Regula Falsi*** ************************************************* Hasil Perhitungan Menggunakan Metode Biseksi Salah satu akar pendekatannya = 2.571201419843419 diperoleh pada iterasi ke 20

dengan error = 0.000000034720870 (ε = 1E-7) nilai fungsinya = -0.000000034720870

(7)

Jika yang dipilih adalah penyelesaian yang ke tiga yaitu penyelesaian metode Biseksi dan metode Regula Falsi untuk mengetahui perbedaan kecepatan dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi, maka akan muncul perintah untuk memasukkan jumlah persamaan non-linear, pangkat tertinggi dan batas jumlah iterasi.

Gambar 12. Tampilan Perintah Memasukkan Jumlah Persamaan dan Derajat Tertinggi serta Batas Jumlah Iterasi

Setelah jumlah dan pangkat tertinggi ditentukan sebagai ilustrasi jumlah persamaannya adalah 10 dengan derajat tertinggi 2, selanjutnya muncul pilihan cara memasukkan data yaitu data dimasukkan satu persatu dari

keyboard atau data didapat dari angka random untuk menentukan koefisien

dari x2 (Nilai a), x1 (Nilai b) dan x0 (Nilai c) serta dua nilai awal x1 dan x2.

Gambar 13. Tampilan Pilihan Memasukkan Data

************************************************* ****Program penyelesaian Persamaan Non-Linear**** ***Menggunakan Metode Biseksi dan Regula Falsi*** ************************************************* P i l i h a n M a s u k k a n

1. Masukkan dari Keyboard

2. Masukkan berupa angka Random Pilihan ==>> 2

************************************************* ****Program penyelesaian Persamaan Non-Linear**** ***Menggunakan Metode Biseksi dan Regula Falsi*** *************************************************

Masukkan jumlah persamaan ==>> 10 Masukkan derajat tertinggi ==>> 2 Masukkan batas jumlah iterasi ==>> 10

(8)

Jika yang dipilih memasukkan data satu persatu, maka muncul perintah untuk memasukkan nilai koefisien dari x serta dua nilai awal x1 dan x2 sejumlah persamaan yang ditentukan sebelumnya. Tetapi jika yang dipilih adalah cara memasukkan berupa angka random maka program secara otomatis menentukan nilai koefisien dari x serta dua nilai awal x1 dan x2 sejumlah persamaan yang ditentukan sebelumnya.

Gambar 14. Tampilan Program Menentukan Koefisien serta Nilai x1 dan x2 Awal dengan Angka Random

Pada saat program menentukan nilai x1 awal dan x2 awal, syarat yang harus dipenuhi adalah f(x1).f(x2)<0, jika tidak ditemukan nilai yang memenuhi persyaratan maka program akan menentukan nilai a, b, c, …, n yang baru.

Setelah semua persamaan non-linear mempunyai nilai koefisien dan nilai awal x1 dan x2 maka selanjutnya program melakukan perhitungan menggunakan rumus iterasi pada masing-masing metode. Pada metode Biseksi, langkah-langkahnya adalah :

10 Persamaan || Derajat 2 Persamaan ke 10 dari 10 persamaan

Menentukan Koefisien x^1, x^2, x^3, ..., x^n Nilai c ==>> 0.32

Menentukan 2 Nilai Awal x1 dan x2 Menentukan nilai x1 awal ==>> -0.14 Menentukan nilai x2 awal ==>> 2.08

(9)

1. Menentukan nilai x3 dengan rumus 2 2 x 1 x 3 x = + dan nilai f(x3)

2. Jika f(x1).f(x3) < 0, maka akar berada pada selang x1 dan x3. Ulangi langkah ke 1 dengan x2 = x3.

3. Jika f(x1).f(x3) > 0, maka akar berada pada selang x1 dan x2. Ulangi langkah ke 1 dengan x1 = x3.

4. Jika f(x1).f(x3) = 0, maka akar persamaan non-linearnya adalah x3 dan perhitungan selesai.

Sedangkan pada metode Regula Falsi, langkah-langkahnya adalah :

1. Menentukan nilai x3 dengan rumus (x2 x1) ) 1 x ( f ) 2 x ( f ) 2 x ( f 2 x 3 x − − − = dan nilai f(x3)

2. Jika f(x1).f(x3) < 0, maka akar berada pada selang x1 dan x3. Ulangi langkah ke 1 dengan x2 = x3.

3. Jika f(x1).f(x3) > 0, maka akar berada pada selang x1 dan x2. Ulangi langkah ke 1 dengan x1 = x3.

4. Jika f(x1).f(x3) = 0, maka akar persamaan non-linearnya adalah x3 dan perhitungan selesai.

Proses perhitungan pada kedua metode berjalan ketika pada layar monitor tampak :

(10)

Gambar 15. Tampilan Proses Iterasi Metode Biseksi dan Metode Regula Falsi Jika proses iterasi untuk metode Biseksi dan metode Regula Falsi sudah selesai, maka selanjutnya muncul pertanyaan apakah hasil perhitungan akan ditampilkan langsung pada layar monitor. Jika menginginkan langsung ditampilkan maka ketikkan ‘y’ atau ‘Y’ dan jika tidak ingin menampilkan hasilnya maka ketikkan ‘t’ atau ‘T’.

Gambar 16. Tampilan Pertanyaan Tampilkan Hasil Perhitungan

Setelah dipilih untuk menampilkan hasil perhitungan oleh metode Biseksi dan metode Regula Falsi dengan mengetikkan ‘y’ atau ‘Y’ maka selanjutnya akan ditampilkan nilai a, b, c, …, n serta nilai x1 awal dan nilai x2 awal untuk setiap persamaan. Selanjutnya akan ditampilkan pula salah satu

10 Persamaan || Derajat 2 Tampilkan Hasil perhitungan (Y/T) ? Y

10 Persamaan || Derajat 2 Silahkan tunggu ... !!! Persamaan Ke 10

Iterasi metode Biseksi ke = 21 0.0000001

0.000000004350076077

Iterasi metode Regula Falsi ke = 35 0.0000001

(11)

akar pendekatan dan akar pada saat iterasi ke 10 serta kesimpulan yang didapat.

Gambar 17. Tampilan Koefisien serta Nilai x1 Awal dan x2 Awal Persamaan ke 10

Gambar 18. Hasil Perhitungan berupa Salah-satu akar Penyelesaian ************************************************* ****Program penyelesaian Persamaan Non-Linear**** ***Menggunakan Metode Biseksi dan Regula Falsi*** *************************************************

10 Persamaan || Derajat 2

Persamaan Ke=10 (x1awal = -0.14 dan x2awal = 2.08) Nilai a = -0.69

Nilai b = 0.61 Nilai c = 0.32

Tekan tombol ENTER ...!!!

************************************************** **** Program penyelesaian Persamaan Non-Linear *** *** Menggunakan Metode Biseksidan Regula Falsi *** **************************************************

10 Persamaan || Derajat 2 Salah satu akar penyelesaiannya

================================================== |Pers.| Metode Biseksi | Metode Regula Falsi | ================================================== | 1 | -5.190668262539352 | -5.190668287775875 | | 2 | -0.343954970409300 | -0.343955057289213 | | 3 | -0.631551361084128 | -0.631551389332977 | | 4 | -0.830031606470087 | -0.830031684094307 | | 5 | -0.172372954227747 | -0.172372869036705 | | 6 | -0.148858722887580 | -0.148858744394033 | | 7 | 1.728295951387191 | 1.728295973844414 | | 8 | 0.585063956223199 | 0.585063956292722 | | 9 | 0.003716290471007 | 0.003716285895996 | | 10 | 1.253684443395722 | 1.253684502218005 | ================================================== |Rata2| -0.374667723614108 | -0.374667731367197 | ==================================================

(12)

Gambar 19. Hasil Perhitungan berupa Salah-satu akar pada Iterasi ke 10

Gambar 20. Tampilan Kesimpulan

10 Persamaan || Derajat 2 K E S I M P U L A N

Selisih metode Biseksi = 0.000925733469827 Selisih metode Regula Falsi = 0.015402486104670 Karena selisih rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada iterasi ke 10 metode Biseksi lebih KECIL dari selisih rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada iterasi ke 10 metode Regula falsi maka dapat disimpulkan bahwa :

Metode Biseksi lebih teliti dari metode Regula Falsi karena hanya dengan 10 iterasi, akar metode Biseksi sudah mendekati akar pendekatannya. Ini ditunjukan dengan selisih untuk metode Biseksi yang lebih KECIL dari selisih metode Regula Falsi.

Akar penyelesaian pada saat iterasi ke 10 ================================================== |Pers.| Metode Biseksi | Metode Regula Falsi | ================================================== | 1 | -5.196309407550139 | -4.882481880756661 | | 2 | -0.344651613554551 | -0.343129733838454 | | 3 | -0.632031250000144 | -0.632281360213726 | | 4 | -0.830285993303823 | -0.843275260142023 | | 5 | -0.173851682428792 | -0.200284018005079 | | 6 | -0.148861533717144 | -0.151899792875074 | | 7 | 1.728896484375898 | 1.719297374422460 | | 8 | 0.585046472253729 | 0.581724805486349 | | 9 | 0.002867542613415 | -0.067674822486298 | | 10 | 1.253246410472204 | 1.227352313314129 | ================================================== |Rata2| -0.375593457083934 | -0.359265237509438 | ==================================================

(13)

Setelah ditampilkan hasil perhitungan metode Biseksi dan metode Regula Falsi serta kesimpulannya, selanjutnya muncul pertanyaan apakah hasil perhitungan akan disimpan di file. Jika menginginkan hasil perhitungan disimpan maka ketikkan ‘y’ atau ‘Y’ selanjutnya ketikkan nama file untuk menyimpannya (misal nama filenya hasil).

Gambar 21. Tampilan Pertanyaan Simpan Hasil Perhitungan

Gambar 22. Tampilan Perintah Ketikkan Nama File

Gambar 23. Tampilan Keterangan Hasil Perhitungan Telah Disimpan ************************************************* ****Program penyelesaian Persamaan Non-Linear**** ***Menggunakan Metode Biseksi dan Regula Falsi*** *************************************************

10 Persamaan || Derajat 2 Hasil perhitungan sudah disimpan pada file ===>>> c:\numerik\hasil.txt

Hasil perhitungan akan disimpan dalam file text Ketikkan nama filenya ===>>> hasil

10 Persamaan || Derajat 2 Simpan hasil perhitungan (Y/T) ? Y

(14)

(15)

Pertanyaan terakhir yang muncul adalah apakah akan mengulang menjalankan program. Jika menginginkan mengulangi dan melakukan perhitungan lagi maka ketikkan ‘y’ atau ‘Y’ dan program akan kembali ke MENU UTAMA.

Gambar 25. Tampilan Pertanyaan Apakah Akan Mengulang

Selanjutnya jika yang dipilih nomor 2 pada MENU UTAMA, maka akan muncul penjelasan tentang program NUMERIK. Tekan ENTER untuk kembali ke MENU UTAMA.

Gambar 26. Tampilan Penjelasan Program Numerik < < B A N T U A N > >

Program ini berfungsi untuk menentukan salah satu akar penyelesaian persamaan Non-Linier dengan menggunakan metode Numerik yaitu metode Biseksi dan metode Regula Falsi serta mengetahui ketelitian ke dua metode dengan membandingkan selisih antara rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada saat iterasi ke 10.

Untuk dapat mengoperasikannya silahkan pada MENU UTAMA

- ketik 1 untuk Masuk Program - ketik 2 untuk Bantuan Program - ketik 3 untuk Keluar Program

Jika menginginkan hasil perhitungan disimpan di file maka pilih "Y" pada pertanyaan Simpan hasil perhitungan (Y/T) ? dan ketikan NAMA FILE nya. Jika ingin melakukan perhitungan lagi ketikkan "Y" pada pernyataan Apakah akan mengulang (Y/T) ?

<< E N T E R >> ************************************************* ****Program penyelesaian Persamaan Non-Linear**** ***Menggunakan Metode Biseksi dan Regula Falsi*** *************************************************

(16)

Jika pada MENU UTAMA dipilih 3 maka program akan berhenti.

Gambar 27. Tampilan Terakhir Program Numerik

D. Perbandingan Metode Biseksi dan Metode Regula Falsi

Setelah dilakukan perbandingan selisih rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada iterasi ke n untuk metode Biseksi dengan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear khususnya persamaan polinomial satu variabel maka didapat data seperti pada tabel berikut (ε = 1 x 10-7

dan n = 10).

Tabel Hasil Perhitungan Selisih untuk Berbagai Jumlah Persamaan dan Derajat Tertinggi Jumlah Persamaan Derajat Tertinggi Selisih rata-rata metode Biseksi Selisih rata-rata metode Biseksi 100 2 0.0001115879 0.2696024492 75 2 0.0001893593 0.0229433158 50 4 0.0000367736 0.0148569387 50 2 0.0002691039 0.0081416507 25 4 0.0005576837 0.0917223574 25 2 0.0007035599 0.0277696914 10 4 0.0003280580 0.2511075020 10 2 0.0000933324 0.1053634945

Dari contoh-contoh keluaran di atas dengan jumlah persamaan dan derajat tertinggi yang berbeda-beda diperoleh selisih rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada iterasi ke n (iterasi ke 10) untuk metode Biseksi yang selalu lebih kecil dari selisih metode Regula Falsi. Karena selisih

############################## T E R I M A K A S I H

Bye … !!!

(17)

metode Biseksi selalu lebih kecil dari selisih metode Regula falsi maka dapat disimpulkan bahwa metode Biseksi lebih dari metode Regula Falsi karena hanya dengan 10 iterasi, akar metode Biseksi sudah mendekati akar pendekatannya.