KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ELGAMAL UNTUK PROSES ENKRIPSI- DEKRIPSI CITRA DIGITAL BERWARNA

(1)

KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK

ELGAMAL UNTUK PROSES

ENKRIPSI-DEKRIPSI CITRA DIGITAL BERWARNA

SEMINAR HASIL TUGAS AKHIR

“Elliptic Curve ElGamal Cryptography For

Encvryption-Decryption Process of Colored Digital Image”

Oleh :

Gestihayu Romadhoni Fithroh Romansa

1209 100 033

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA 2014

(2)

Seminar Hasil Tugas Akhir

TINJAUAN

PUSTAKA METODOLOGI PENELITIAN

PERANCANGAN & IMPLEMENTASI SISTEM UJI COBA PROGRAM PENDAHULUAN PESAN Citra Digital Teks Penerima Pengirim Rawan Penyadapan dan Kebocoran Kriptografi

RSA ElGamal EC-ElGamal_(ECC)

Rumusan Masalah

Latar Belakang

(3)

Seminar Hasil Tugas Akhir

1.

• Bagaimana melakukan proses enkripsi dan

dekripsi citra digital berwarna dengan

menggunakan Elliptic Curve-ElGamal ?

2.

• Bagaimana implementasi hasil setelah

dilakukan proses enkripsi dan dekripsi

dengan menggunakan Elliptic

Curve-ElGamal ?.

TINJAUAN

PERANCANGAN & IMPLEMENTASI SISTEM UJI COBA PROGRAM PENDAHULUAN

(4)

Seminar Hasil Tugas Akhir

• Format citra asli yang digunakan berwarna (RGB) dalam format

JPG.

• Bahasa yang digunakan adalah Java

• Persamaan kurva eliptik yang digunakan adalah y

2

_{= x}

3

_{+ ax + b}

(mod p) pada lapangan berhingga (finite field) F

_p

dengan p

adalah bilangan prima dengan ketentuan nilai a, b, x, y ϵ F

_p

• Parameter yang digunakan adalah SEC2.

Tujuan Manfaat Latar Belakang Masalah Rumusan Masalah _{Batasan Masalah}

TINJAUAN

(5)

Seminar Hasil Tugas Akhir

• Melakukan proses enkripsi dan dekripsi citra digital berwarna

dengan menggunakan Elliptic Curve ElGamal.

• Memperlihatkan hasilnya setelah dilakukan proses enkripsi dan

dekripsi sehingga citra dapat diamankan dari proses penyadapan

dan kebocoran.

Manfaat Latar Belakang Masalah Rumusan Masalah

TINJAUAN

(6)

Seminar Hasil Tugas Akhir

Manfaat yang diharapkan dari penulisan tugas akhir ini adalah

untuk melakukan proses enkripsi-dekripsi citra yang selanjutnya

dapat berguna untuk mengamankan citra digital berwarna pada

proses pengirimannya dari gangguan penyadapan maupun

kebocoran pesan dari pihak yang tidak berkepentingan.

Latar Belakang Masalah Rumusan Masalah

TINJAUAN

(7)

Seminar Hasil Tugas Akhir

Citra Digital Grup ECC

Kriptografi

ENKRIPSI DEKRIPSI

Plaintext Chipertext Plaintext

Kriptografi adalah Ilmu dan seni

untuk menjaga kerahasiaan berita

PENDAHULUAN METODOLOGI _PENELITIAN PERANCANGAN & IMPLEMENTASI SISTEM

UJI COBA PROGRAM

TINJAUAN PUSTAKA

(8)

Seminar Hasil Tugas Akhir

Citra digital adalah representasi citra dari fungsi

kontinu menjadi nilai-nilai diskrit.

Kriptografi Citra Digital Grup ECC Kurva Eliptik Domain Parameter

UJI COBA PROGRAM

(9)

Seminar Hasil Tugas Akhir

Suatu grup adalah suatu himpunan G ≠ 0 dengan operasi biner

*: G x G



G yang mana untuk setiap (a,b) di G x G dengan a b ϵ G*

sedemikian hingga sifat-sifat berikut dipenuhi :

1. (a b) * c = a * (b * c) untuk semua a, b, c ϵ G*

2. Ada e ϵ G, sedemikian hingga e g = g = g * e untuk semua g ϵ G;*

e disebut unsur identitas pada G

3. Untuk setiap g ϵ G ada g

-1

_{ϵ G yang memenuhi g g}*

-1

_{= e = g}

-1

_g*

Jika a b = b * a untuk semua a, b ϵ G, maka grup G dinamakan grup*

abelian / komutatif

Kriptografi Citra Digital Polinomial ECC Kurva Eliptik Domain Parameter

UJI COBA PROGRAM

(10)

Seminar Hasil Tugas Akhir

Suatu lapangan adalah suatu himpunan K ≠ 0 bersama – sama

dengan dua operasi tambah (+) dan kali (-) sehingga untuk semua

a,b, c ϵ K memenuhi [12]:

1. a + b ϵ K (tertutup)

2. a + b = b + a (komutatif)

3. (a + b) + c = a + (b + c) (assosiatif)

4. Ada 0 ϵ K sehingga a + 0 = 0 + a = a (elemen netral)

5. Untuk setiap a ϵ K ada suatu –a ϵ K sehingga a + (–a) = –a + a = 0

(invers)

Kriptografi Citra Digital Polinomial (2) ECC Kurva Eliptik Domain Parameter

UJI COBA PROGRAM

(11)

Seminar Hasil Tugas Akhir

6. a . b ϵ K (tertutup)

7. a . b = b . a (komutatif)

8. (a . b) . c = a . (b . c) (assosiatif)

9. Ada 1 ϵ K sehingga a . 1 = 1 . a = a (elemen identitas)

10.Bila a ≠ 0 dan a ϵ K, maka ada suatu a-1 _{ϵ K sehingga a . (a}-1_{) = a}-1 _{. a = 1 (invers)}

11. a . (b + c) = a . b + a . c dan (a + b) . c = a . c + b . c (distributif)

Dari pengertian di atas suatu himpunan K ≠ 0 dikatakan lapangan jika

i. (K, +) grup abel

ii. (K – {0}, .) grup abel

iii. (K, +, .) bersifat distributif yaitu a . (b + c) = a . b + a . c dan (a + b) . c = a . c + b . C

Misalkan p adalah bilangan prima, bilangan bulat modulo p terdiri dari {0, 1, 2, …, p – 1} dengan penjumlahan dan perkalian oleh modulo p, adalah lapangan berhingga.

UJI COBA PROGRAM

(12)

Seminar Hasil Tugas Akhir

Sebuah polinomial atas lapangan K dinyatakan dalam bentuk [14] :

f(x) = a

₀

+ a

₁

x + a

₂

x

2

_{+ … + a}

n

x

n

, a

i

ϵ K

Misalkan,

f(x) = a

₀

+ a

₁

x + … + a

_n

x

n

_{, a}

i

ϵ K

g(x) = b

₀

+ b

₁

x + … + b

_m

x

m

_{, a}

j

ϵ K

Penjumlahan f(x) dan g(x) dinyatakan sebagai :

f(x) + g(x) = (a

₀

+ b

₀

) + (a

₁

+ b

₁

)x + (a

₁

+ b

₁

) x

2

_{+ …}

Perkalian f(x) dan g(x) dinyatakan sebagai :

f(x) . g(x) = (a

₀

+ a

₁

x + … + a

_n

x

n

_)(b

0

+ b

1

x + … + b

m

x

m

)

= a

₀

b

₀

+ (a

₀

b

₁

+ a

₁

b

₀

)x + …

= c

₀

+ c

₁

x + c

₁

x

2

_{+ … + c}

n+m

x

n+m

Dimana c

_k

= a

₀

b

_k

+ a

₁

b

_k-1

+ … + a

_k

b

₀

UJI COBA PROGRAM

(13)

Seminar Hasil Tugas Akhir

Elliptic Curve Cryptosystem (ECC) diperkenalkan tahun 1985

oleh Neal Koblity dan Victor Miller dari Universitas Washington.

Kurva eliptik mempunyai masalah logaritma yang terpisah

sehingga sulit untuk dipecahkan.

Kriptografi kurva eliptik termasuk sistem kriptografi kunci

publik yang mendasarkan keamanannya pada permasalahan

matematis kurva eliptik. Algoritma kurva eliptik mempunyai

keuntungan bila dibanding algoritma kriptografi kunci publik

lainnya, yaitu dalam hal ukuran kunci yang lebih pendek tetapi

memiliki tingkat keamanan yang sama [8].

Kriptografi Citra Digital Grup Kurva Eliptik Domain Parameter

PENDAHULUAN METODOLOGI _PENELITIAN PERANCANGAN & IMPLEMENTASI SISTEM UJI COBA PROGRAM TINJAUAN PUSTAKA ECC

(14)

Seminar Hasil Tugas Akhir

Pada bagian ini akan dibahas teknik dasar kurva eliptik dalam

bidang terbatas F

_p

dimana p adalah bilangan prima > 3.

Selanjutnya kurva eliptik secara umum didefinisikan sebagai field

berhingga (finite field). Sebuah kurva eliptik pada bidang terbatas

F

_p

didefinisikan dalam persamaan :

y

2

_{= x}

3

_{+ ax + b (mod p)}

_(2.1)

dimana a, b ϵ F

_p

dan dan sebuah titik O yang disebut titik tak

hingga (infinity). Titik tak hingga adalah identitas. Himpunan F

_p

adalah semua titik untuk yang memenuhi persamaan (2.1) pada

titik O.

Kriptografi Citra Digital Grup ECC Domain Parameter

PENDAHULUAN METODOLOGI _PENELITIAN PERANCANGAN & IMPLEMENTASI SISTEM UJI COBA PROGRAM Kurva Eliptik TINJAUAN PUSTAKA

(15)

Seminar Hasil Tugas Akhir

(16)

Seminar Hasil Tugas Akhir

(17)

Seminar Hasil Tugas Akhir

Domain parameter kurva eliptik atas F_p yang sesuai standar SEC2

(Standard Efficient Cryptography : Recommended Elliptic Curve Domain Parameters) didefinisikan sebagai berikut [1]:

T = (p, F_p, a, b, G_k, N_G, h)

Dimana

p : bilangan prima

F_p : lapangan berhingga yang memiliki elemen {0,1,2,…p-1}

a, b : koefisien persamaan kurva eliptik

G_k : titik dasar yaitu elemen pembangun grup kurva eliptik

N_G : order dari G_k yaitu bilangan bulat positif terkecil э N_G. G_k = 0

h : kofaktor, h = #E/N_G , #E adalah jumlah titik dalam grup kurva eliptik

Kriptografi Citra Digital Grup ECC Kurva Eliptik

PENDAHULUAN METODOLOGI _PENELITIAN PERANCANGAN & IMPLEMENTASI SISTEM UJI COBA PROGRAM Domain Parameter Kurva TINJAUAN PUSTAKA

(18)

Seminar Hasil Tugas Akhir

PENDAHULUAN TINJAUAN _PUSTAKA PERANCANGAN & IMPLEMENTASI SISTEM

UJI COBA PROGRAM

METODOLOGI PENELITIAN

(19)

Seminar Hasil Tugas Akhir

PENDAHULUAN TINJAUAN _PUSTAKA METODOLOGI _PENELITIAN PERANCANGAN & _IMPLEMENTASI _PROGRAMUJI COBA

SISTEM Pembuatan Titik

Ketiga ParameterDomain Kunci Publik & Kunci Privat Pembuatan Titik

(x,y) Generate Key Enkripsi Citra Dekripsi Citra

Flowchart

Pembuatan

Titik dalam

ECC

Ya Start a,b,p Cek1 = 4a3_{+ 27b}2 _{mod p} Cek2 = 0 mod p Cek1 == Cek2 x = 0 x < p y = 0 End y < p Hasil1 = y2_{mod p}

Hasil2 = (x3_{+ax+b) mod p}

Hasil1 == Hasil2 x,y y++ x++ Tidak Ya Tidak Ya Tidak Ya Tidak

(20)

Seminar Hasil Tugas Akhir

Contoh perhitungan secara aljabar untuk pembuatan titik kurva eliptik, diberikan persamaan kurva eliptik E: y2 _{= x}3 _{+ x + 5 dengan p = 17, yaitu}

grup F₁₇ (a = 1, b = 5). Maka untuk nilai 4a3 _{+ 27}

b2 _{= 4(1) + 27 (25) ≠ 0, sehingga E ada dalam kurva}

eliptik.

1. Untuk dapat membuat titik kurva (x,y), pertama tentukan elemen dari kurva eliptik E₁₇ (1,5) atas F_p.

F_p = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}

2. Sebelum menentukan daerah elemen kurva eliptik E₁₇ (1,5) , terlebih dahulu mencari QR₁₇ (Quadratic Residue Module) [11].

(21)

Seminar Hasil Tugas Akhir

3. Menentukan elemen grup kurva eliptik E₁₇ (1,5) yang merupakan himpunan penyelesaian dari y2 ₌

x3 _{+ x + 5 (mod 17) untuk x ϵ F}

17 dan y2 = QR17

Jadi, titik-titik dalam kurva eliptik adalah

E₁₇ (1,5) = {(2,7), (2,10), (3,1), (3,16), (5,4), (5,13), (7,7), (7,10), (8,7), (8,10), (11,2), (11,15), (14,3), (14,14)}

(22)

Seminar Hasil Tugas Akhir

(x,y) ParameterDomain Kunci Publik & Kunci Privat Pembuatan Titik

Ketiga (x₃ ,y₃ ) Generate Key Enkripsi Citra Dekripsi Citra

Flowchart

Pembuatan Titik

Ketiga dengan

Titik Awal Sama

(23)

Seminar Hasil Tugas Akhir

(24)

Seminar Hasil Tugas Akhir

Ketiga (x₃ ,y₃ ) Generate Key Enkripsi Citra Dekripsi Citra

Flowchart

Pembuatan Titik

Ketiga dengan

Titik Awal Beda

Start X1,Y1,X2,Y2,X3, Y3,a P = (X1,Y1) Q = (X2,Y2) P != Q Lamda = Y2 – Y1 X2 – X1 X3 = lamda2 – X1 – X2 Y3 = lamda(X1 +X3) – Y1 Ya Tidak End X3,Y3

(25)

Seminar Hasil Tugas Akhir

(26)

Seminar Hasil Tugas Akhir

(x,y) PembuatanTitik Ketiga Kunci Publik & Kunci Privat Domain

Parameter Generate Key Enkripsi Citra Dekripsi Citra

1. Parameter secp112r1

Bilangan prima p

p = DB7C 2ABF62E3 5E668076 BEAD208B

Koefisien a

a = DB7C 2ABF62E3 5E668076 BEAD208B

Koefisien b

b = 659E F8BA0439 16EEDE89 11702B22

Titik Basis G

G = 020948 7239995A 5EE76B55 F9C2F098

Order n

n = DB7C 2ABF62E3 5E7628DF AC6561C5

Kofaktor h

(27)

Seminar Hasil Tugas Akhir

2. Parameter secp112r2

Bilangan prima p

p = DB7C 2ABF62E3 5E668076 BEAD208B

Koefisien a

a = 6127 C24C05F3 8A0AAAF6 5C0EF02C

Koefisien b

b = 51DE F1815DB5 ED74FCC3 4C85D709

Titik Basis G

G = 034BA3 0AB5E892 B4E1649D D0928643

Order n

n = 36DF 0AAFD8B8 D7597CA1 0520D048

Kofaktor h

(28)

Seminar Hasil Tugas Akhir

3. Parameter secp128r1 Bilangan prima p p = FFFFFFFD FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF Koefisien a a = FFFFFFFD FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFC Koefisien b b = E87579C1 1079F43D D824993C 2CEE5ED3 Titik Basis G G = 03 161FF752 8B899B2D 75A30D1B 9038A115 Order n

n = FFFFFFFE 00000000 75A30D1B 9038A115

Kofaktor h

(29)

Seminar Hasil Tugas Akhir

Kunci publik pada algoritma ECC berupa sepasang bilangan minimal sepanjang 112 bit. Kunci tersebut didapat dari operasi QA = dA . G(x₁,y₁) dimana kunci privat = dA,

kunci publik = QA dan G = titik basis yang ada pada domain parameter yang digunakan.

(x,y) PembuatanTitik Ketiga ParameterDomain Generate Key Enkripsi Citra Dekripsi Citra Kunci Publik &

(30)

Seminar Hasil Tugas Akhir

Dari parameter yang sesuai dengan standarisasi SEC 2, diambil sebagian parameter untuk membangkitkan kunci publik dan kunci privat tersebut. Untuk membangkitkan kunci tersebut dapat menggunakan perhitungan Q = d

P yang sesuai dengan aturan kurva eliptik. Jika kunci sudah dibangkitkan,

langkah selanjutnya yakni proses enkripsi dan dekripsi citra.

Algoritma pembangkit kunci ElGamal dengan kurva eliptik yakni : INPUT : Domian Parameter T(p, a, b, G, n, h)

OUTPUT : K_publik = Q , K_privat = d

Pilih G = (x₁, y₁) sebagai titik pembangkit pada grup kurva eliptik E(a,b)

Pilih integer d ϵ_R [1, n-1]

Hitung

Q

=

d .

G

K_publik = Q , K_privat = d

(31)

Seminar Hasil Tugas Akhir

(x,y) PembuatanTitik Ketiga ParameterDomain Kunci Publik & Kunci Privat Generate Key Enkripsi Citra Dekripsi Citra

Citra asli (M) sebagai masukan algoritma enkripsi sistem kriptografi ElGamal dengan Kurva Eliptik. Pengenkripsi memilih secara acak integer k dan kemudian menghitungnya. Berikut adalah algoritma enkripsinya :

INPUT : Domain parameter T(p, a, b, G, n, h), kunci publik Q, plaintext M

OUTPUT : Chipertext (C₁,C₂)

Pilih k ϵ_R [1, n-1]

Hitung C₁= k. G

Hitung C₂= M + k. Q

(32)

Seminar Hasil Tugas Akhir

(x,y) PembuatanTitik Ketiga ParameterDomain Kunci Publik & Kunci Privat Generate Key Enkripsi Citra Dekripsi Citra

Pada perancangan sistem dekripsi ini, akan mengembalikan bentuk citra asli dari bentuk chipertext ke dalam bentuk plaintext (.txt). Citra dalam bentuk

chipertext tersebut kemudian diberikan kunci privat yang berasal dari SEC 2.

Selanjutnya dilakukan proses dekripsi citra untuk mengembalikan citra dalam bentuk plaintext. Kemudian dilakukan proses pembacaan citra menjadi piksel-piksel dan menjadi citra asli. Berikut adalah algoritma dekripsinya :

INPUT : Domain parameter T(p, a, b, G, n, h), kunci privat d , chipertext (C₁,C₂)

OUTPUT : plaintext M Hitung M = C₂ – d. C₁ Plaintext M

(33)

Seminar Hasil Tugas Akhir

PENDAHULUAN TINJAUAN _PUSTAKA METODOLOGI _PENELITIAN PERANCANGAN & IMPLEMENTASI SISTEM

UJI COBA PROGRAM

(34)

Seminar Hasil Tugas Akhir

PENDAHULUAN TINJAUAN _PUSTAKA METODOLOGI _PENELITIAN PERANCANGAN & IMPLEMENTASI SISTEM

UJI COBA PROGRAM

(35)

Akhir

Seminar Hasil Tugas Akhir

Daftar Pustaka

Penutup

Saran

Kesimpulan

1. Dari hasil pengujian titik kurva eliptik terlihat titik-titik yang dihasilkan dipengaruhi oleh nilai a, b dan p nya. Sehingga semakin besar nilai p nya maka titik yang dihasilkan pun semakin banyak. Karena nilai p merupakan nilai yang digunakan untuk membangkitkan titik-titik kurva tersebut.

2. Untuk proses enkripsi dan dekripsi pada bit kecil dengan ukuran citra yang kecil, menghasilkan waktu enkripsi dan dekripsi yang memiliki rata-rata kecil juga. Sedangkan untuk proses enkripsi dengan ukuran citra yang cukup besar pada bit yang cukup besar mempunyai rata-rata waktu yang besar yang artinya proses tersebut membutuhkan waktu yang cukup lama.

3. Semakin tinggi kunci yang dipakai maka kunci publik dan kunci privat pun semakin panjang sehingga membutuhkan waktu yang cukup lama.

4. Semakin tingginya kunci yang dipakai untuk proses enkripsi dan dekripsi maka pesan citra digital tersebut memiliki tingkat keamanan yang cukup tinggi, hanya saja memiliki kelemahan waktu komputasi yang cukup lama.

(36)

Akhir

Seminar Hasil Tugas Akhir

Daftar Pustaka

Penutup

Kesimpulan _Saran

1. Program enkripsi-dekripsi ini masih bersifat statis, sehingga untuk melakukan uji coba dengan variabel berbeda harus diganti secara

manual maka untuk penelitian selanjutnya diharapkan bersifat dinamis agar program lebih mempermudah user dalam melakukan proses

enkripsi-dekripsi citra.

(37)

Akhir

Seminar Hasil Tugas Akhir

Penutup _{Daftar Pustaka}

[1] Research, C. (2000). “SEC2 : Recommanded Elliptic Curve Domain Parameters”

[2] Juhana, N. (2005). “Implementasi Elliptic Curves Cryptosystem (ECC) Pada Proses Pertukaran Kunci Diffie-Hellman dan Skema Enkripsi ElGamal”. Tugas Akhir Teknik Elektro Fakultas Teknologi Industri Program Pascasarjana Institut Teknologi Bandung.

[3] Li, L., Abd El-Latif Ahmed. A, Xiamu, N. (2012). “Elliptic curve ElGamal based homomorphic image encryption scheme for sharing secret images”. Signal Processing Vol 92. Hal 1069-1078.

[4] Heriyanto, T. (2000). “Pengenalan Algoritma RSA”.

[5] Subiono. (2011). “Diktat Ajar SM 091318: Mata Kuliah Aljabar I”.

[6] Tamam, T., Dwiono, W., Hartanto, T. (2010). “Penerapan Algoritma Kriptografi ElGamal untuk Pengaman File Citra”. Jurnal EECCIS Vol. IV No.1.

[7] Wiratna Sari Wiguna, “Kriptografi Kurva Eliptik Analisis”, Universitas Indonesia, 2004. [8] Ariyus, D. (2008). “Pengantar Ilmu Kriptografi, Teori Analisis dan Implementasinya”. [9] Sutoyo, T, Mulyanto, E, dkk. (2009). “Teori Pengolahan Citra Digital”

[10] Pertiwi, P. (2013). “Perencanaan dan Implementasi Elliptic Curve Cryptography dengan Pemrograman Java”.

(38)

KRIPTOGRAFI KURVA ELIPTIK ELGAMAL UNTUK PROSES ENKRIPSI- DEKRIPSI CITRA DIGITAL BERWARNA