BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Permasalahan
Dalam matematika analisis dikenal teori ukuran. Salah satunya ukuran Lebesgue. Royden (1968) menjelaskan bahwa ukuran Lebesgue merupakan perumuman dari konsep “panjang” interval kepada beberapa himpunan dalam r yang lebih umum seperti “panjang” himpunan terbuka sebagai jumlahan panjang interval yang mendekomposisinya. Dalam teori ukuran Lebesgue di r berhasil dibuktikan bahwa ukuran luar Lebesgue suatu interval adalah panjang interval itu sendiri.
Ukuran Lebesgue ternyata masih tetap bisa dikembangkan ke rn. Cohn (1980) mejelaskan bahwa sifat-sifat ukuran Lebesgue di r masih berlaku di rn, namun seiring majunya ilmu pengetahuan dan teknologi, para ilmuwan menemukan beberapa objek di rnyang memerlukan
ketelitian “alat ukur” lebih dari sekedar ukuran Lebesgue. Salah satunya adalah kurva di rn. Kurva di rnjika diliput oleh sekumpulan rectangle maka selalu dapat ditemukan liput rectangle yang lain yang jumlahan volumenya lebih kecil dari jumlahan volume rectangle sebelumnya. Akibatnya ukuran luar Lebesgue kurva di rn selalu bernilai 0. Objek
lainnya adalah fraktal. Falconer (2003) menjelaskan bahwa banyak fenomena fraktal ditemukan dalam pemodelan matematika, seperti data kecepatan angin, data tingkatan-tingkatan reservoir, data populasi dan harga stok suatu pasar yang diperhatikan dalam waktu yang sangat lama.
Pemodelan tersebut lebih banyak muncul dalam bentuk kurva-kurva fraktal. Dijelaskan juga bahwa fenomena fraktal juga sering muncul pada sistem dinamika, teori ergodika dan teori bifurkasi.
Evans dan Gariepy (1992) menjelaskan bahwa salah satu ukuran di rn
yang lain adalah ukuran Hausdorff yang definisinya dibangun tidak berdasarkan panjang interval tetapi berdasarkan “diameter” suatu himpunan. Dijelaskan pula segmen garis dan persegi di r3 berukuran Hausdorff dengan nilai ukurannya adalah panjang segmen garis dan persegi tersebut. Lebih jauh Folland (1999) menjelaskan bahwa ukuran Hausdorff invarian terhadap isometri.
Ukuran Hausdorff ternyata dapat menjawab permasalahan-permasalahan yang telah disebutkan di atas. Falconer (2003) menjelaskan bahwa ukuran Hausdorff suatu kurva yang panjangnya berhingga tidak lain adalah panjang kurva itu sendiri. Evans dan Gariepy (1992) menjelaskan bahwa untuk setiap nN dapat ditemukan suatu konstanta tertentu sehingga ukuran luar Lebesgue suatu himpunan sama dengan hasil perkalian ukuran luar Hausdorff-nya dengan konstanta tersebut. Teorema ini secara tidak langsung menyatakan bahwa ukuran Hausdorff merupakan perumuman dari ukuran Lebesgue.
Evans dan Gariepy (1992) menjelaskan bahwa untuk membuktikan eksistensi konstanta tersebut, diperlukan teorema penting yang menjelaskan hubungan antara ukuran luar Lebesgue suatu himpunan dengan diameternya. Teorema tersebut dinamakan pertidaksamaan isodiametrik. Pertidaksamaan isodiametrik adalah sebagai berikut;
Untuk setiap E rnberlaku Ln*(E)(n)En dengan E adalah diameter
E , Ln*(E) adalah ukuran luar Lebesgue E dan
1 2 2 ) ( 2 n n n n dengan
Pertidaksamaan isodiametrik menyatakan bahwa dapat ditemukan suatu bilangan real positif sehingga ukuran Lebesgue suatu himpunan dalam rn tidak lebih dari panjang diameter himpunan yang dikali dengan
bilangan real positip tersebut.
Dijelaskan pula bahwa untuk membuktikan pertidaksamaan isodiametrik tidak trivial. Diperlukan konsep volume bola di rn, konsep fungsi gamma, teori produk ukuran, konsep simetrisasi Steiner dan teorema Fubini untuk membuktikan teorema tersebut. Evans dan Gariepy (1992) menjelaskan jika diberikan Arn
dan arn
. Simetrisasi Steiner A terhadap Pa adalah himpunan
Sa(A) =
: (1) 1( )
0 a b g A P t t H A g a b a b a b , dengan Pa adalah bidang datar
yang tegaklurus a, gba adalah garis lurus melalui b dengan arah a, dan
H1(A) ukuran Hausdorff A.
Secara Geometris, Simetrisasi Steiner suatu himpunan diiulstrasikan sebagai himpunan lain yang berbentuk simetris dan mempunyai luasan yang sama dengan himpunan tersebut.
Berdasarkan hal tersebut dirumuskan masalah penelitian ini yaitu mencari relasi antara ukuran Lebesgue dengan ukuran Hausdorff menggunakan pertidaksamaan isodiametrik dan mengaplikasikan pertidaksamaan isodiametrik untuk mengatasi masalah ukuran Lebesgue yang sudah diterangkan di atas.
1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian
Berdasarkan perumusan masalah pada subbab 1.1, tujuan penelitian tesis ini dibagi menjadi lima bagian:
2. Membahas simetrisasi Steiner yang akan digunakan untuk membuktikan pertidaksamaan isodiametrik.
3. Membahas dan membuktikan pertidaksamaan isodiametrik.
4. Mengaplikasikan pertidaksamaan isodiametrik dalam mencari relasi antara ukuran Lebesgue dan ukuran Hausdorff.
5. Mencari solusi ukuran Lebesgue di rn pada kurva yang selalu bernilai 0 dengan menggunaan ukuran Hausdorff, sehingga ukuran kurva di rn adalah panjang kurva itu sendiri.
Penelitian ini bermanfaat untuk memberikan insipirasi berupa topik-topik yang lebih spesifik untuk diteliti lebih lanjut. Salah satunya adalah berhasil dibuktikan bahwa ukuran Lebesgue adalah ukuran Radon. Ukuran Radon mempunyai sifat yang sangat istimewa, yaitu untuk setiap himpunan bagian rn selalu dapat ditemukan himpunan terukur yang ukurannya sama dengan ukuran luar himpunan tersebut. Hal ini menginsipirasi untuk meneliti sifat ukuran Lebesgue dan perannya sebagai ukuran Radon.
1.3. Tinjauan Pustaka
Dalam teori himpunan, terdapat suatu konsep keluarga himpunan yang sifat-sifatnya berkaitan erat dengan teori ukuran. Keluarga himpunan tersebut adalah aljabar dan aljabar . Folland (1999), Royden(1968) dan Roussas (1997) menjelaskan konsep aljabar dan aljabar . Roussas juga menjelaskan bahwa sebarang subset 2r
selalu mempunyai aljabar dan aljabar terkecil yang memuatnya.
Royden (1968) membahas teori ukuran Lebegue di r. Dibahas juga teori ukuran ukuran Lebegue di rn yang dijelaskan oleh Folland (1999), Falconer(2003) dan Cohn(1980). Kemudian teori ukuran di sebarang ruang ukuran dibahas oleh Folland (1999), Evans dan Gariepy (1992).
Untuk menyelidiki karakteristik ukuran Lebesgue lebih lanjut, dibahas pula teorema liput Vitali. Teorema ini dijelaskan oleh Evans dan Gariepy
(1992). Salah satu konsep ukuran lainnya adalah konsep ukuran Hausdorff. Folland (1999), Falconer (2003), Lertchoosakul (2012), Evans dan Gariepy (1992) membahas teori ukuran Hausdorff di rn.
Evans dan Gariepy (1992) membahas tentang Simetrisasi Steiner. Dijelaskan pula bahwa diameter Simetrisasi Steiner sebarang himpunan dalam rn selalu tidak lebih besar dari diameter himpunan tersebut. Dibahas pula teorema eksistensi konstanta yaitu untuk setiap E rn
berlaku Ln*(E) = (n)Hn(E) dengan
1 2 2 ) ( 2 x x s x untuk setiap x
bilangan real nonnegatif dan adalah fungsi gamma.
Untuk membuktikan teorema eksistensi konstanta. Evans dan Gariepy (1992) membahas pertidaksamaan isodiametrik, yaitu untuk setiap E rn
berlaku Ln*(E)(n)En dengan E adalah diameter E.
Untuk membuktikan Pertidaksamaan Isodiametrik, dibahas volume bola (dengan jarak Euclid standar) dalam rn. Trench (1999) membahas
tentang fungsi differensiabel dan konsep integral Riemann, sementara Gipple (2014) dalam papernya menjelaskan konsep volume bola.
Pertidaksamaan isodiametrik diaplikasikan dalam beberapa permasalahan. Aplikasi pertidaksamaan isodiametrik untuk mencari relasi antara ukuran Lebesgue dengan ukuran Hausdorff dibahas oleh Evans dan Gariepy (1992). Permasalahan lain adalah membuktikan ukuran Hausdorff dan ukuran Lebesgue adalah ukuran Radon juga dibahas oleh Evans dan Gariepy (1992). Aplikasi pada pengukuran panjang kurva dibahas oleh Falconer (2003) dan Corral (2008).
1.4. Metodologi Penelitian
Penelitian ini menggunakan metode studi literatur. Pada penelitian ini difokuskan untuk membahas pertidaksamaan isodiametrik dan membuktikan teorema-teorema yang diperlukan untuk mempermudah pembuktian pertidaksamaan isodiametrik. Kemudian pertidaksamaan isodiametrik digunakan untuk mencari hubungan antara ukuran Lebesgue dengan ukuran Hausdorff.
Tahap pertama penelitian ini adalah membahas teori ukuran Lebesgue. Selanjutnya dibahas konsep ukuran Lebesgue di rn. Kemudian dibahas konsep ukuran Lebesgue di rndipandang sebagai hasil dari produk ukuran Lebesgue di r. Kemudian dibahas ukuran Hausdorff di rn. Selanjutnya dibahas pula beberapa hal mengenai ruang ukuran umum.
Tahap kedua dari penelitian ini adalah membahas teorema-teorema yang diperlukan untuk membuktikan pertidaksamaan isodiametrik. Teorema pertama adalah teorema yang membahas tentang hubungan antara volume bola di rndengan diameter bola. Dibahas juga beberapa jenis rotasi pada rn yang merupakan suatu isometri. Kemudian dibahas konsep Simetrisasi Steiner.
Tahap ketiga dari penelitian ini adalah membuktikan pertidaksamaan isodiametrik dan mengaplikasikannya dalam membuktikan teorema eksistensi konstanta, yaitu untuk setiap E rn berlaku Ln*
(E) = (n) Hn(E) dengan 1 2 2 ) ( 2 x x s x
untuk setiap x bilangan real nonnegatif
dan adalah fungsi gamma. Kemudian membuktikan bahwa ukuran Lebesgue invariant terhadap isometri dan membuktikan bahwa ukuran Hausdorff dan ukuran Lebesgue adalah ukuran Radon. Selanjutnya membahas ukuran suatu kurva di rn.
1.5. Sistematika Penulisan
Tesis akan dibagi jadi lima bab. Pada BAB I berisi tentang latar belakang masalah, rumusan masalah yang diteliti atau dibahas, tujuan dan mafaat penelitian, dan tinjauan pustaka. Pada BAB II berisi tentang pembahasan teori yang dijadikan sebagai dasar dalam penelitian, yaitu teori ukuran Lebesgue di r dan ukuran Lebesgue di rn. Pada BAB III berisi tentang hasil penelitian mengenai ukuran Hausdorff di rn , produk ukuran Lebesgue, teorema Fubini, teorema liput Vitali dan ruang ukuran umum. Pada BAB IV berisi tentang rumus volume bola di rndan ukuran Lebesguenya. simetrisasi Steiner, pertidaksamaan isodiametrik dan hubungan antara ukuran Lebesgue dengan ukuran Hausdorff. Pada BAB V berisi tentang kesimpulan hasil penelitan.
