Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI
Substitusi Trigonometri
Metode substitusi Trigonometri dapat digunakan untuk menghitung integral dengan bentuk integran adalah : a2−x2, a2 +x2, x2 −a2 . Substitusi yang digunakan berturut-turut : x = a sin t , x = a tan t dan x = a sec t. Didapatkan diferensiasinya : dx = a cos t dt, dx = a sec2t dt dan dx = a sec t tan t dt. Oleh karena itu diperoleh :
a2 −x2 =a cos dengan -t π/2 ≤ t ≤π/2
a2 +x2 =atant dengan −π/2< <t π/2
x2−a2 = a sect dengan0≤ <t π/2 atau π≤ <t 3π/2
Contoh. a. dx
x2 4−x2
∫
Misal x = 2 sin t dan dx = 2 cos t dt. Maka :
(
)
dx
x x
t dt
t t
t dt t C
2 2 2
2
4
2
2 2
1 4
1 4
− =
∫
=∫
= − +∫
cossin cos
sec cot
= −1 − +
4
4 x2
x C
b. dx
x
1+ 2
∫
Misal x = tan t dan dx = sec2 t dt. Maka :
(
)
dx
x
t dt
t t dt t t C
1 2
2
+ =
∫
=∫
= + +∫
secsec sec ln sec tan=ln 1+x2 +x +C
c. x
x dx
2 25 −
∫
Misal x = 5 sec t dan dx = sec t tan t dt. Maka :
(
)
x
x dx
t
t t t dt t dt t t C
2
2
25 5
5 5 5 5 5
− = = = − +
∫
∫
tan∫
sec sec tan tan tan
= x2−25−5 −1x +C
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung Substitusi bentuk Akar
Bila integran memuat faktor berbentuk nax+b, maka kita dapat menyelesaikan integral dengan menggunakan substitusi : u = nax+b sehingga didapatkan un = ax + b dan nu du
a dx
n−
= 1
. Kadang-kadang kita jumpai juga suatu integral dengan integran dalam bentuk akar namun bukan merupakan suatu suku banyak akan tetapi merupakan fungsi eksponen, misal integran n1+ex . Maka seperti diatas juga kita ambil substitusi u e atau x
( )
u dan dx n uu
du
n x n n
n = + = − = − − 1 1 1 1 ln .
Sedang untuk integran yang terdiri dari beberapa bentuk akar yang pangkatnya berbeda namun dengan fungsi dasar sama, kita dapat melakukakan substitusi dengan memisalkan dengan u berpangkat KPK dari akar pangkatnya. Bentuk integral setelah dilakukan substitusi akan lebih mudah untuk diselesaikan menggunakan metode yang dikenal sebelumnya.
Contoh. a. dx
x
2+2
∫
. Misal u2 = x dan 2u du= dx. Maka :(
)
dx
x
u
udu u du u u C
2 2
2
2 2 1
1 1 1 + = + = − + = − + +
∫
∫
∫
ln(
)
= x −ln 1+ x +C
b.
∫
1+e dxx . Misal u e x( )
u dan dx u udu
x
2 2
2
1 1 2
1
= + ⇔ = − =
−
ln . Maka :
1 2 1 2 1 1 1 1 2 + = − =
∫
+ − − + ∫
∫
e dx u uu
du
u u du
x = + − + + = + + + − + + + 2 1
1 2 1
1 1
1 1
u u
u C e
e e C x x x ln ln
c. x
x dx
1+3
∫
. Misal u6 = x dan 6u du5 = dx. Maka :x
x dx
u
u
du u u u
u du
1 6 1
6 1 1
1 3
8
2
6 4 2
2 + = + = − + − + +
∫
∫
∫
= 6 − + − + − +
7
6
5 2 6 6
7 5 3 1
u u u u tan u C
( )
= 6 − + − + − +
7
6
5 2 6 6
7 6 5 6 1 2 1 6 1 1 6
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung Substitusi bentuk Kuadrat.
Integral dengan integran memuat bentuk kuadrat ax2 + bx + c dengan b ≠ 0 dapat juga dikerjakan dengan menggunakan substitusi sebagai berikut :
ax bx c a x b
a c
b a
2 2 2
2 4
+ + = + + −
Bila disubstitusikan u x b a = +
2 ke bentuk kuadrat di atas didapatkan bentuk :
au d d c b
a
2 2
4
+ ; = − .
Contoh.
a. x
x x
dx
2
4 8
− +
∫
Misal u = x - 2 dan du = dx. Maka :
( )
x
x x
dx u
u
du u u C
2 2
2 1
4 8
2 4
1
2 4 2
− + =
+
+ = + +
+ −
∫
∫
ln tan(
)
[
]
= 1 − + + − − +
2 2 4
2 2
2 1
ln x tan x C
b. dx
x x
5−4 −2 2
∫
Misal u = x + 1, didapatkan dari 5 - 4x - 2x2 = 7 - 2 ( x+1 )2. Maka :
(
)
(
)
dx
x x
du
u
du
u
u C
5 4 2 7 2
1
2 7 2
1
2 2 7
2 2 2
1
− − = − = − = +
−
∫
∫
∫
/
sin /
(
)
[
]
= 1 − + +
2 2 7 1
1
sin / x C
Soal Latihan
( Nomor 1 sd 12 ) Pilihlah substitusi yang tepat untuk mencari solusi dari : 1.
x dx
x
2
2 9−
∫
2. 2 3 4 2
x
x dx − −
∫
3. dx
x2 x2−1
∫
4. dx
x x2+9
∫
5.
( )
x2 +dx9 3 2∫
/6.
∫
x 3x+4 dx7. x x
x dx
2 2 1 +
+
∫
8. t
t+ dt
∫
19. 3
2 5 2
x dx
Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung 10.
∫
5−4x−x2 dx11. 2 1
2 2
2
x
x x dx
+
+ +
∫
12. 2 1 6 18 2
x
x x dx
−
− +
