ESTIMASI EKSPONEN SPEKTRAL DAN KEMUNCULAN DERAU KEDIP (FLICKER NOISE) PADA SINYAL ULF GEOMAGNET

(1)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika

Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY, 5 Desember 2009 993

T‐4

ESTIMASI EKSPONEN SPEKTRAL DAN KEMUNCULAN DERAU

KEDIP (FLICKER NOISE) PADA SINYAL ULF GEOMAGNET

John Maspupu

Pusfatsainsa LAPAN, Jl. Dr. Djundjunan No. 133 Bandung 40173,

Tlp. 0226012602 Pes. 106. Fax. 0226014998

E‐mail: john_mspp@yahoo.com

Abstrak Makalah ini membahas rancangan estimasi nilai eksponen spektral dari suatu

sinyal ULF geomagnet, yang nantinya terkait dengan kemunculan derau kedip (flicker

noise). Oleh karena itu tujuan pembahasan dalam makalah ini adalah menentukan

formulasi estimasi dari eksponen spektral tersebut. Untuk mencapai tujuan di atas ini

diperlukan beberapa konsep matematik dan statistik antara lain , kuat spektral (power

spectrum) yang terkait dengan eksponen spektral dalam wilayah frekuensi, dan

kuadrat terkecil (least square ) serta estimasi selang (interval estimation) secara

statistik. Hasil pembahasan ini merupakan suatu alat komputasi yang dapat diterapkan

pada data sinyal ULF untuk mendeteksi terjadinya badai geomagnet ataupun gempa

bumi (earthquake).

Kata kunci : Eksponen spektral , Derau kedip(flicker noise), Sinyal ULF, Geomagnet.

1. Pendahuluan

Salah satu jenis karakteristik fraktal sinyal ULF yang dikenal sebagai konyugasi dari

dimensi fraktal adalah eksponen spektral. Pengertian tentang eksponen spektral

sinyal ULF ini umumnya merupakan faktor pangkat dari ukuran presisi

f

1

dalam skala

frekuensi (lihat [8]). Atau secara matematis didefinisikan sebagai minus kemiringan

(slope) regresi linier dari hasil plot logaritma frekuensi versus logaritma kuat spektral

dalam wilayah frekuensi (log f versus log P(f)). Sedangkan menurut [3] dan [9] ciri

kemunculan derau kedip (flicker noise) akan terlihat pada saat penurunan nilai

eksponen spektral (β) secara gradual mendekati satu ( β =1, flicker noise signature).

Oleh karena itu perlu dirancang suatu formulasi untuk mengestimasi nilai eksponen

spektral yang dapat memprediksi kemunculan derau kedip pada data sinyal ULF.

Dengan demikian tujuan pembahasan makalah ini adalah untuk menentukan formulasi

(2)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

tersebut. Namun yang menjadi masalah adalah bagaimana merancang proses estimasi

eksponen spektral tersebut?, bagaimana menentukan prosedur numerik untuk

taksiran eksponen spektral dan kemunculan derau kedip tersebut? Sebenarnya banyak

metode statistik yang dapat diterapkan pada proses estimasi ini , namun untuk

keperluan pembahasannya dipilih suatu metode yang cukup sederhana yaitu metode

kuadrat terkecil (Least Square Method) dengan mengacu pada [4] dan [7]. Manfaat

dari hasil pembahasan kajian ini dapat digunakan untuk mendeteksi dan juga

memprediksi prekursor terjadinya badai geomagnet ataupun gempa bumi.

2. Analisis metode estimasi model linier

Umumnya model linier sederhana mempunyai bentuk seperti Y = A + B X , dengan A

dan B adalah parameter‐parameter yang nilainya harus diperkirakan. Apabila populasi

dari seluruh pasangan nilai ( xi , yi ) diketahui , maka kita dapat menghitung nilai

sebenarnya dari parameter A dan B. Didalam prakteknya kita tidak tahu nilai

parameter tersebut, akan tetapi dapat diperkirakan dengan menggunakan data

empiris, hasil observasi berdasarkan sampel yang diambil dari suatu populasi yang

tidak terbatas (infinite population). Data empiris tersebut sering berupa data berkala

(time series data) yaitu: x1 , x2 , x3 , ..., xn dan y1 , y2 , y3 ,..., yn . Untuk

memperkirakan A dan B kita gunakan metode kuadrat terkecil . Model sebenarnya

adalah Y = A + B X + U, sedangkan Model perkiraan adalah Y = a + b X + e . Dengan a ,

b dan e adalah taksiran untuk A , B dan U. Metode kuadrat terkecil adalah suatu

metode untuk menghitung a dan b sebagai perkiraan dari A dan B sedemikian rupa

sehingga jumlah galat kuadrat (sum of square error) terkecil. Dengan bahasa

matematik dapat dinyatakan sebagai berikut:

Yi = a + b Xi + ei , i = 1,2,....,n. Atau ei = Yi – a – b Xi adalah galat (error) ke i.

Sedangkan ∑ = n i 1ei 2₌ ₍ ₎2 1 X b a Y i n i i − − ∑

= adalah jumlah galat kuadrat. Prosedur metode

kuadrat terkecil di [2] dan [7] ini adalah membuat turunan parsiil dari ∑ = n i 1ei

2_,

mula‐mula

(3)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

1 2 2 = ∂ ∑ ∂ = a e n i i ₍ ₎₍ ₁₎ ₀ 1 − − − = ∑ = Y a bXi n i i atau 0 . 1 1 = ∑ − − ∑ = = n i n i X i b n a Y i ...(1) 2 1 2 = ∂ ∑ ∂ = b e n i i ₍ ₎₍ ₎ ₀ 1 − − − = ∑ = Y a bXi Xi n i i atau 0 1 2 1 1 − ∑ − ∑ = ∑ = = = n i i n i i i n i i X b X a Y X ...(2)

Persamaan‐persamaan (1) dan (2) ini dikenal sebagai persamaan‐persamaan normal

dari regresi Y = a + b X + e di atas. Jika persamaan (1) dikalikan dengan faktor ∑

= n i 1Xi

dan persamaan (2) dikalikan dengan faktor n maka akan diperoleh persamaan‐

persamaan (3) dan (4) sebagai berikut, . . ( .)2 0

1 1 1 1 ∑ − ∑ − ∑ = ∑ = = = = n i i n i i n i i n i Xi Y an X b X ....(3) Dan . . . . 0 1 2 1 1 = ∑ − ∑ − ∑ = = = n i i n i i n i i i X n b X n a Y X n ...(4)

Selisih dari persamaan (3) dan (4) akan menghasilkan parameter‐parameter a , b

sebagai berikut: ∑ − ∑ ∑ −∑ ∑ = = = = = = n i n i i i n i n i n i i i i i X X n Y X Y X n b 1 1 2 2 1 1 1 . ) ( . . dan a = n X b Y n i n i i i ∑ − ∑ =1 =1 ₌_Y_‐_b_._X _....(5)

Didalam analisa regresi , ataupun suatu hasil penelitian biasanya kesalahan baku

dipakai sebagai ukuran tingkat ketelitian. Umumnya jika Y = a + b X maka Sa dan Sb

masing‐masing adalah nilai taksiran untuk a dan b. Akan tetapi sering juga nilai

taksiran ini merupakan nilai observasi untuk pengujian hipotesa (lihat [2]). Apabila Se2

adalah taksiran σ2 ( variansi Y ) dan agarSe2 juga merupakan “unbiased estimator”dari

σ2 maka haruslah E(Se2) = σ2. Untuk itu Se2 harus dihitung dengan

formulasiSe2 ∑ − = = n i ei k n 1 2 1

atau juga dapat dihitung dengan formula

k n Se2= ₋1

)

2 1(Y a bXi n i i− − ∑

= di [7] , dimana n adalah banyak sampel data dan k adalah

banyak variabel. Sedangkan Sa2 = ⎟_⎠⎞

∑ + ⎜ ⎝ ⎛ = n i i e X X n S 1 2 2 2 1 _dan Sb2 = ∑ = n i i e X S 1 2 2 . Dalam praktek

(4)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

juga sering diperlukan taksiran selang untuk parameter A dan B. Untuk sampel yang

besar berlaku selang kepercayaan untuk masing‐masing parameter A dan B sebagai

berikut ,a Z .Sa A a Z .Sa 2 2 α α _≤ _≤ ₊ − dan b Z .Sb B b Z .Sb 2 2 α α _≤ _≤ ₊

− . Jika pada sampel‐sampel

yang besar digunakan distribusi Z (distribusi normal baku) untuk penentuan selang

kepercayaannya, maka pada sampel‐sampel yang kecil, distribusi Z diganti dengan

distribusi t (distribusi studen), sehingga selang kepercayaan dari parameter‐parameter

A dan B menjadi ,a t .Sa A a t .Sa

2 2 α α _≤ _≤ ₊ − dan b t .Sb B b t .Sb 2 2 α α _≤ _≤ ₊

− . Dalam hal ini “α”

adalah tingkat keberartian (level of significant) dan biasanya ditentukan 5%.

3. Hasil dan Pembahasan

Menurut relasi hukum pangkat di [1], enersi fungsi densitas spektral atau kuat spektral

semua derau selalu sebanding dengan

fβ 1 . Atau ditulis P(f) ~ fβ 1 ...(6)

Secara matematis ditulis P(f) =

f k β = k f β − ....(7)

Jika diambil logaritma dari kedua ruas persamaan (7) di atas, maka diperoleh model

persamaan linier dalam logaritma sebagai berikut, log P(f) = ‐βlog f + log k dengan k

adalah suatu konstanta. Selanjutnya tinjaulah model perkiraan persamaan linier dalam

bentuk logaritma sebagai berikut, P fi =−β fi+ k+εi

∧ ∧ log log ) ( log .

Akibatnya diperoleh εi2=

(

log ( ) log log )

2 k f f P _i +β∧ _i− ∧ Jadi ∑ = = n i 1 i 2

ε (log ( ) log log )2

1 P fi fi k n i ∧ ∧ = + − ∑ β ...(8)

Dengan menerapkan kriteria kuadrat terkecil yaitu 1 0

2 = ∂ ∑ ∂ ∧ = β ε n i i dan 0 log 1 2 = ∂ ∑ ∂ ∧ = k n i εi pada persa‐

maan (8) akan diperoleh, β∧ =−tgγ =

∑ − ∑ ∑ ∑ − ∑ = = = = = n i n i i i n i n i n i i i i i f f n f P f n f P f 1 1 2 2 1 1 1 ) log ( ) (log ) ( log log ) ( log log ...(9)

(5)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

sumbu koordinat log f positif , seperti terlihat pada gambar 4 di [6].

Dengan demikian γ = arc tg

∑ − ∑ ∑ ∑ − ∑ = = = = = n i n i i i n i n i n i i i i i f f n f P f n f P f 1 1 2 2 1 1 1 ) log ( ) (log ) ( log log ) ( log log ...(10)

Sedangkan log ( ) log( )

log ) ( log log 1 1 _P _f _f n f f P k i i n i n i i i β β _∧ = = ∧ ∧ − = ∑ − ∑ = ...(11)

Selanjutnya dengan menggunakan formulasi yang serupa seperti di bawah ini yaitu,

j n S − = 1 2

ε (log ( ) log log )2

1 P fi fi k n i ∧ ∧ = + − ∑ β dapat dihitung Sb2 = ∑ = n i i e f S 1 2 2 ) (log .

Dalam hal ini n adalah banyaknya data yang digunakan dan j=2 adalah banyaknya

variabel dari kedua komponen kuat spektral P(f) dan frekuensi f. Dalam pembahasan

data sinyal ULF ini, juga diperlukan taksiran selang untuk parameter eksponen

spektralβ. Jika sampel data yang digunakan cukup banyak maka selang kepercayaan

untuk parameter β ditentukan sebagai berikut, Z .Sb Z .Sb

2 2

α

α β β

β∧ − ≤ ≤ ∧ + . Dalam hal

ini “α” adalah tingkat keberartian (level of significant) yang biasanya ditentukan 5% ,

sedangkan Z adalah suatu variabel acak yang berdistribusi normal baku.

Untuk mengimplementasi formulasi taksiran eksponen spektral β∧ di persamaan (9) ke

dalam situasi nyata diperlukan langkah‐langkah perhitungan numeriknya yang dapat

dinyatakan sebagai berikut :

i). Lakukan prosedur standar pengolahan data sinyal ULF (lihat [5]).

ii). Tentukan nilai‐nilai frekuensi fi dan kuat spektral P(fi) tiap detik untuk setiap selang waktu 10 menit.

iii). Hitung log fi , (log fi )2 , log P(fi) dan log fi log P(fi) tiap detik untuksetiap selang waktu 10 menit. iv). Hitung∑ = n i 1log fi, (∑= n i 1log fi) 2_,_n ₍_log ₎2 1 ∑ = n i fi , ∑=1log ( ) n

i P fi dan ‐n 1(log f )(logP(fi)) n

i i

∑

=

(6)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

v). Hitung β_i dan γ_i dengan menggunakan formulasi pada persamaan‐persamaan

(9) dan (10) setiap 10 menit.

Selanjutnya kemunculan derau kedip, menurut [8] dan [9] akan terlihat pada saat nilai

eksponen spektral β konvergen ke 1 (β →1 ) dan secara bersamaan juga, sudut

miring γ dengan arah berlawanan jarum jam terhadap sumbu koordinat log f positif

mendekati 1350 (γ →1350 ).

4. Simpulan

Formulasi taksiran eksponen spektral β dan parameter γ yang diperoleh dari

persamaan‐persamaan (9) dan (10), ini dapat digunakan untuk menghitung nilai kedua

parameter tersebut ( yaitu β dan γ ), dengan memanfaatkan data mentah sinyal ULF

yang diamati secara langsung tanpa ada jedah waktu (real time data).

Selain itu prosedur perhitungan eksponen spektral β maupun parameter γ yang telah

dibahas secara numerik, ini perlu diterjemahkan ke dalam program komputernya

sehingga dapat diimplementasikan pada data sinyal ULF yang siap dipakai (real time

data or near real time data). Hal ini dimaksudkan untuk mempermudah dan

mempercepat hasil‐hasil perhitungan nilai parameter β danγ , sehingga dapat melihat

kecenderungan ataupun kekonvergenan dari parameter‐parameter tersebut ke suatu

nilai tertentu (β →1 dan γ →1350 ).

Kemudian yang harus dipikirkan (open problem) untuk penelitian berikutnya adalah

bagaimana memodelkan nilai‐nilai eksponen spektral tersebut terhadap waktu dengan

memanfaatkan data sinyal ULF, sehingga dapat memprediksi terjadinya gempa bumi

ataupun badai geomagnet.

5. Ucapan Terimakasih

Secara khusus saya ucapkan terima kasih kepada rekan‐rekan sekerja di bidang

Apgeomagsa – LAPAN yaitu saudara La Ode Musafar, drs. MSc dan saudara Bachtiar

Anwar, MSc. DSc. yang telah memberikan banyak sumbangan pemikiran didalam

(7)

PROSIDING ISBN : 978‐979‐16353‐3‐2

Daftar Pustaka

[1]. Addison P.S, (1997) Fractals and Chaos: An illustrated course, IOP Publishing Ltd., Philadelphia USA.

[2]. Draper N R & Smith H (1996) Applied Regression Analysis, John Wiley & sons, Inc., New‐York.

[3]. Gotoh K. et. al., (2002) Fractal analysis of the ULF geomagnetic data obtained at Izu Peninsula, Japan in relation to the nearby earthquake swarm of June – August 2000, Journal NHESS, pp. 229 – 236.

[4]. Maspupu J, (2007) Rancangan Estimasi Fungsi Transfer Data Variasi Geomagnet ,

Prosiding Seminar Nasional Matematika FMIPA ‐UNPAR, Bandung, hal.133 – 137.

[5]. Maspupu J. (2007) Disain Pengolahan data Variasi Geomagnet berdasarkan Filter

tertentu, Prosiding Seminar Nasional Matematika FMIPA ‐ UNPAR, Bandung, Vol.2, hal.166 – 172.

[6]. Maspupu J, (2009) Penentuan Hubungan Eksponen Spektral dan Dimensi

Fraktal Sinyal ULF Geomagnet, Prosiding Seminar Nasional

Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA ‐ UNY, Yogyakarta , hal. – .

[7]. Mendenhall W.and ScheafferR.L.(1998)., Mathematical Statistics with

Applications, John Wiley & Sons , Inc., New‐York.

[8]. Smirnova N. et.al., (1999) Structure of the ULF geomagnetic noise in a seismo active zone and its relation to the earthquake, in : Noise Physical System and

f

1 _{Fluctuations,}_Proc._15th_Int._Conf._ICNF’99,₂₃_‐₂₆

August,Hong Kong , (Ed) Surya.Ch. World Scientific, pp.471‐474.

[9]. Smirnova N. et.al., (2001) Scaling characteristic of ULF geomagnetic fields at the Guam seismoactive area and their dynamics in relation to the earthquake, Journal Natural Hazards and Earth System Sciences (J. NHESS), pp.119 – 126.