Page | 1
KONSEP DUALITAS
DI SUSUN OLEH :
Miswari Fathur Nasution (7123341069)
Nela Permata Sari Lubis (7123341075)
Theresia A. Hutabarat (7123341115)
Kelas B – Eks
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN EKONOMI
FAKULTAS EKONOMI
Page | 2
KONSEP DUALITAS
I. Dualitas Fungsi Keuntungan
Sebuah konsep yang penting dalam dualitas adalah yang merupakan bagian dari fungsi keuntungan tak langsung, yang didefinisikan sebagai keuntungan maksimum yang berhubungan dengan harga factor dan harga produk tertentu. Satu cara untuk memperoleh fungsi keuntungan yang tak langsung, walaupun tidak praktis, merupakan usaha untuk menyelesaikan masalah primal untuk fungsi suplai produk dan permintaan factor(nonkonsional). Ini berarti, dengan memberikan asumsi terhadap kasus dua factor, produk tunggal,akhirnya diperoleh persamaan :
̃ ̃ ̃ ̃ …… ….pers (5.3)
̃ ̃
Yang merupakan fungsi permintaan untuk factor ̃ dan ̃ , dan fungsi suplai produk ̃ secara berrurutan. Lakukan subsititusi pers 5.3 terhadap ̃ dan yang optimal ke dalam pers 5.1, maka diperoleh hasil :
̃ ̃
Ini berarti,keuntungan maksimum, ̃, sekarang akan diungkapkan sebagai suatu fungsi dari harga input dan produknya.
Contoh aplikasi
Anggaplah bahwa fungsi keuntungan tak langsung adalah : ̃
Dengan hotteling’s Lemma (HL)maka akan diperoleh persamaan suplai produk sebagai berikut :
̃
Page | 3
Dan persamaan permintaan factor : ̃ Dan ̃
Apabila diketahui fungsi keuntungan tak langsung dapat diperoleh fungsi suplai produk dan permintaan factor nonkondisional dengan menggunakan diferensial parsial yang sederhana, dan ini sungguh merupakan keunggulan analitis.
II. Dualitas Fungsi Biaya
Fungsi biaya tak langsung adalah sebagai biaya minimum yang dibutuhkan untuk memproduksi output tertentu, Y, pada harga factor yang telah tertentu.
̃ ̃
Hasil lain dari teorema amplop yang penting, yakni yang biasa dikenal sebagai sheppard’s Lemma (SL) adalah :
̃
Yang merupakan persamaan permintaan factor untuk factor ke I adalah yang kondisional (c ) pada tingkat outputnya Y (yaitu permintaan factor kondisional).
III.
Teorema Amplop
Untuk membuktikan teori ini, perhatikan masalah maksimisasi,dengan respek terhadap w, fungsi :
Page | 4
adalah parameter ataub seperangkat parameter. Dengan anggapan f(.),adalah hal yang pada suatu saat akan dapat diturunkan secara terus-menerus, maka kondisi order-pertama untuk maksimasi adalah :
Dengan melakukan substitusi pers.(5.13) ke dalam fungsi objektif (5.11), diperoleh fungsi obyektif tak langsung :
̃ ⌈ ⌉
Menurut teorema amplop, tingkat perubahan dari fungsi maksimum, Y* , dengan respeknya terhadap parameter , memungkinkan semua nilai w1 untuk disesuaikan, akan sama dengan
tingkat perubahan yang terjadi, terhadap fungsi langsung, Y, dengan respeknya terhadap perubahan yang terjadi pada dengan anggapan semua nilai w1 konstan. Dicoba derivasi
parsial dari persamaan (5.14) dengan respeknya terhadap :
∑
Karena semuanya = 0. Apabila kondisi turunan pertama terpenuhi, maka pers. (5.15) :
Yang mendasari teorema amplop tersebut.
a). Hotteling’s Lemma
Teorema amplop dapat diterapkan untuk fungsi keuntungan yang tak langsung. Untuk generalisasi, digunakan kasus factor ganda, produk ganda. Derivasi-derivasi sebelumnya menunjukkan bahwa tingkat output yang memaksimalkan keuntungan merupakan fungsi dari harga-harga dan bahwa tingkat factor yang memaksimalkan keuntungan merupakan fungsi – fungsi dari harga-harga. Kalau tingkat factor dan output ini ditunjukan dengan
Page | 5
secara berururan. Pada tingkat tertentu maka keuntungan tak langsung atau maksimum menjadi :
̃ ∑ ∑
Karena merupakan fungsi harga yang dapat didiferensiasikan, sehingga :
̃ ∑ ∑
Ingatlah kembali bahwa kondisi order pertama untuk maksimasi keuntungan dalam kasus factor ganda produk-ganda adalah :
λ ( )
λ ( )
Kita substitusikan pers (5.19) ke dalam persamaan (5.18) sehingga :
̃ ∑ ∑
Fungsi produksi dengan tingkat output dan factor yang memaksimumkan keuntungan : ∑ ∑
Substitusikan pers. (5.22) ke dalam persamaan (5.20), sehingga : ̃
Page | 6
Langkah akhir dalam pembuktian HL adalah bahwa dengan catatan bahwa fungsi keuntungan langsung keuntungan akan diperoleh hasil ̃ dan dari teorema amplop (5.23) diperoleh ̃
. Dapat diturunkan sifat suplai produk HL yaitu :
̃
( )
b). Shephard’s Lemma
Derivasi dari shephard’s Lemma (SL) adalah parallel derivasi dari HL. Dengan memisahkan ysng menunjuk pada tingkat factor I yang meminimalkan biaya, maka biaya langsungnya akan dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan berikut ini :
̃ ∑
Karena = fungsi yang dapat dideferensi dari semua harga factor yang ada, maka :
̃
∑
l
Metode Lagrange masalah minimisasi biaya :
∑ ( )
Dengan kondisi order pertama :
Substitusi pers (5.32) ke dalam pers.(5.31) : ̃
∑
Masukkan kendala fungsi produksi yang telah dievaluasi pada tingkat factor minimisasi biaya :
Page | 7
Diferensiasi parsial dari persamaan (5.34) sebagai respek terhadap n didapat hasil : ̃
∑
Substitusi dari pers 95.35) ke dalam pers (5.33) sehingga : ̃
Yang telah Nampak, dan dari teorema amplop, didapat persamaan berikut ̃
Yang dengan demikian akan menciptakan SL.
c). Penghasilan Pendamping bagi Shephard’s Lemma
Dengan memisalkan y untuk menunjukkan y yang dimaksimalkan subjek penghasilan bagi tingkat factor produksi yang tetap, maka akan didefinisikan fungsi pendapatan yang tak langsung.
̃ ∑
Kerna persamaan suplai produk kondisional , merupakan fungsi dari harga produk yang dapat didiferensiasikan, maka dirivas parsial dari pers.(5.38) dengan respeknya terhadap P2
akan memberikan hasil :
̃ ∑
Rumusan lagrange adalah :
Page | 8
Dengan kondisi order pertama :
Yang memberikan implikasi bahwa :
Substitusi pers.5(42) ke dalam pers (5.39) maka : ̃ ∑
Dari fungsi produksi implicit yang telah dievaluasi pada , maka akan diperoleh hasil sebagai berikut : ∑ Karena itu ̃
Dan dari teorema amplop akan didapatkan, bahwa ̃ , sehingga :
̃
Page | 9
IV.
Contoh Primal-Dual-Primal
a). Maksimasi keuntungan
Substitusikan profit kedalam fungsi profit, sehingga :
{ }
Kondisi order pertama derivasi prasial dari fungsi profit diturunkan terhadap K dan L dan set=0, maka : 1). = 2). Dari pers 2 : =r ( )
Substitusikan pers ke dalam pers (1) :
⌈( ) ⌉ =w ( )
Adalah fungsi permintaan input tenaga kerja. Substitusikan lagi ke pers
Page | 10
(
)
Adalah fungsi permintaan input modal.
Persamaan output suplai dapat ditemukan dengan mensubstitusikan kedua fungsi permintaan input kedalam fungsi produksi :
Adalah fungsi penawaran output (output supply function).
1). 2). 3).
Subtitusikan dari pers suplai produk dan persamaan permintaan factor (K*) dan (L*) ke dalam fungsi keuntungan langsung :
∑
Atau
Jika persamaan-persamaan tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi profit seperti yang ditunjukkan dalam uraian berikut :
Setelah disusun menjadi :
Page | 11
Sekarang digunakan pendekatan dual untuk menderivasi persamaan permintaan input dan penawaran output dari persamaan profit optimal ( ). Menurut Hotelling’s Lemma, persamaan penawaran output boleh didapat dengan men-setting derivasi parsial dari fungsi profit terhadap harga output sama dengan jumlah output (output quantity) yaitu :
Hotelling’s Lemma menyatakan bahwa persamaan permintaan input dapat diperoleh dengan men-setting derivasi parsial dari fungsi profit terhadap harga input sama dengan negative dari masing-masing quantitas input, yaitu :
Dan
Suatu perbandingan singkat dari persamaan di atas dengan persamaan penawaran output dan permintaan input yang menggunakan pendekatan primal (primal approach) mengkonfirmasikan bahwa kedua pendekataan (primal dan dual approach) menghasilkan persamaan yang identik. Ini adalah suatu ilustrasi dari Hotelling’s Lemma.
b). Minimisasi Biaya
Fungsi biaya(variabel) langsungnya adalah :
Yang kita kehendaki untuk meminimalkan tingkat output yang telah ditentukan, y, subjek terhadap fungsi produksi. Seperti yang telah ditunjukkan di dalam kepuasan sebelumnya, bundle input minimisasi biayanya akan dapat ditemukan dengan menyelesaikan soal minimisasi lagrange :
Nilai yang meminimalkan biaya L dan K diperoleh menggunakan penyelesaian simultan dari persamaan :
Page | 12
1). 2). 3).
Dari pers (1) dan (2) didapatkan jalur ekspansi yaitu :
( )
Setelah disusun dan penyederhanaan matematis didapat :
Dengan menyelesaikan celah ekspansi untuk L sebagai fungsi K, r dan w, serta dengan melakukan substitusi hasil tersebut ke dalam persamaan L maka diperoleh hasil persamaan permintaan kondisional untuk factor L,
Fungsi biaya tak langsung diperoleh dengan melakukan substitusi terhadap persamaan permintaan factor kondisional K dan L, ke dalam fungsi biaya langsung (3) yang akan menghasilkan persamaan sebagai berikut :
̃ )
Spesifikasi dari fungsi biaya tak langsung biasanya menjadi titik awal bagi derivasi dualitas yang menyangkut biaya.
̃
Seperti yang seharusnya, merupakan invers dari persamaan penawaran produk apabila MC sama dengan p.
Page | 13
V. Sifat Fungsi Dual
Spesifikasi bentuk fungsional untuk fungsi keuntungan yang tak langsung atau untuk fungsi biaya yang tak langsung, bertentangan dari awalnya yang dilakukan dengan fungsi produksi dalam pendekatan primal.
Ciri-ciri teori dualitas :
1). Terdapat satu hubungan antara satu set fungsi produksi yang cembung, dan satu set fungsi profit yang cekung terhadap titik origin
2). Atau dengan kata lain, setiap fungsi produksi yang cekung mempunyai dua yaitu fungsi profit yang cekung.
3). Fungsi profit mengestimasi parameter fungsi produksi lebih efisien dibandingkan dengan hasil yang didapat dengan menggunakan fungsi produksi langsung.
4). Hotelling’s Lemma (HL) membantu menurunkan fungsi permintaan factor variable input dan fungsi penawaran secara lebihefisien dengan menggunakan fungsi profit.
5). Unit output profit function adalah menurun dalam harga variable input yang sudah dinormalisasikan dan meningkat dalam factor produksi yang tetap.
