Siva Pembezaan Fainal Finaldocx

1 | P a g e

Isi Kandungan

1.Halaman pengakuan………(2)

2.Penghargaan……….(3)

3.Pengenalan………...(4)

4.Objektif kerja kursus…….(5)

5. Jadual kerja kursus……..(8)

6.Set :1

Pembezaan Asas………..(9-27)

7.Set: 2

Penyelesaian Masalah dengan

Pembezaan………(18-35)

9.Refleksi……….(36-38)

10.Bibliografi……...(39)

11.Lampiran………(40)

Isi Kandungan

1.Halaman pengakuan………(2)

2.Penghargaan……….(3)

3.Pengenalan………...(4)

4.Objektif kerja kursus…….(5)

5. Jadual kerja kursus……..(8)

6.Set :1

Pembezaan Asas………..(9-27)

7.Set: 2

Penyelesaian Masalah dengan

Pembezaan………(18-35)

9.Refleksi……….(36-38)

10.Bibliografi……...(39)

11.Lampiran………(40)

“ Saya akui karya ini adalah hasil kerja saya sendiri.”

Tandatangan:

...

Nama Penuh

:SIVASANTHIRAN A/L KANIAPPAN

No.KP

:881111-43-5529

Kelas

:MATEMATIK 2

Tarikh

:22.03.2013

2 | P a g e

Terlebih dahulu saya bersyukur kepada Tuhan kerana telah mengurniakan kesihatan kami yang baik untuk menyempurnakan kerja kursus tanpa sebarang halangan dan saya berjaya menyiapkan kerja kursus yang diberikan kepada kami pada waktu yang ditetapkan.

Pada kesempatan ini, kami ingin merakamkan sekalung penghargaan dan mengucapkan ribuan terima kasih kepada pensyarah pembimbing kami, Puan Juriah Binti Abu Bakar kerana telah memberikan pandangan dan idea serta memberikan maklumat yang berguna dan berkaitan tentang kerja kursus ini di samping memberi nasihat dan bimbingan kepada kami sepanjang proses melaksanakan dan menyiapkan kerja kursus ini.

Terima kasih juga diucapkan kepada ibu bapa kami kerana telah memberi sokongan yang padu untuk menyiapkan kerja kursus ini dengan cemerlang. Mereka telah banyak memberi sumbangan terutamanya dari aspek sokongan moral dan motivasi kepada kami untuk menyiapkan dan menyempurnakan kerja kursus ini dengan gemilangnya.

Di samping itu juga, tidak ketinggalan juga untuk semua rakan seperjuangan, terima kasih kerana telah sudi berkongsi maklumat, pandangan dan buah fikiran yang bernas untuk menyiapkan kerja kursus ini. Akhir sekali, segala teguran dan nasihat amatlah dialu-alukan supaya kami tidak lagi mengulangi kesilapan yang telah kami lakukan. Akhir kata, terima kasih.

Pembezaan merupakan salah satu tajuk dalam sukatan pelajaran Matematik II PPISMP SEM3. Pembezaan merupakan satu cabang Kalkulus yang diperkenalkan kepada pelajar guru. Terdapat beberapa kajian yang menyatakan kesukaran tajuk ini untuk dikuasai oleh pelajar guru. Antara faktor yang menyumbang kepada kesukaran pelajar untuk menguasai tajuk ini adalah kerana kurang atau tidak menguasai sepenuhnya komponen kemahiran berfikir dengan baik. kemahiran berfikir disebatikan dalam proses pengajaran dan pembelajaran supaya pelajar-pelajar dapat berfikir apa yang mereka telah pelajari dan seterusnya meminimumkan kesilapan berfikir.

Menurut Orton (1983) lagi, kajian yang dijalankan olehnya mengenai kefahaman pelajar kalkulus tentang konsep pembezaan dalam kadar perubahan menunjukkan mereka menganggapnya sebagai nombor nisbah. Dalam kalkulus, pembezaan atau terbitan merupakan suatu ukuran bagi perubahan dalam fungsi y = ƒ (x) berhubung dengan perubahan pemboleh ubah bebas.

Kerja kursus ini memberi peluang kepada pelajar guru untuk menerokai dan menyediakan soalan-soalan berkaitan pembezaan dan pengamiran yang digunakan. Kerja kursus ini juga melengkapkan buku lembaran kerja yang berkaitan dengan soalan-soalan pembezaan dan pengamiran serta menerangkan aktiviti pengajaran dengan menggunakan contoh-contoh soalan yang sesuai dengan tajuk. Setiap set aktiviti pembelajaran mempunyai objektif aktiviti pembelajaran, hasil pengajaran, resos pengajaran, langkah-langkah menjalankan aktiviti yang jelas dan terperinci dan akhir sekali lembaran kerja. Set ini jelas dan terperinci supaya boleh diguna oleh guru matematik untuk mengajar topik tersebut dengan berkesan dan mencapai objektif pengajarannya.

Pelajar guru dapat melaksanakan tugas-tugas berikut:

1.Menyediakan soalan-soalan berkaitan pembezaan dan pengamiran.

2.Menerangkan aktiviti pengajaran dengan soalan-soalan pembezaan dan pengamiran. 3.Memilih resos pengajaran yang sesuai.

4.Melengkapkan buku lembaran kerja soalan-soalan pembezaan dan pengamiran.

Tujuan utama kerja kursus ini dijalankan untuk mengetahui tahap penguasaan pelajar guru dalam menggunakan kemahiran berfikir untuk menyelesaikan masalah. Selain itu, tugasan ini juga dijalankan untuk mengenal pasti komponen-komponen kemahiran berfikir yang diterapkan dalam lampiran bagi tajuk Pembezaan dalam sukatan pelajaran Matematik II bagi PPISMP SEM3.

Bertujuan untuk membentuk individu yang pemikiran matematik dan berketerampilan mengaplikasikan pengetahuan matematik dengan berkesan dan bertanggungjawab dalam menyelesaikan masalah dan membuat keputusan supaya berupaya menangani cabaran dalam kehidupan harian bersesuaian dengan perkembangan sains dan teknologi.

Berikut adalah beberapa strategi-strategi penyelesaian masalah:

* Permudahkan masalah

 Kadang kala masalah yang diberikan terlalu rumit dan kompleks. Pemudahan masalah tersebut bermakna mewujudkan masalah yang serupa dengan menggunakan angka-angka yang berbeza dan mudah. Kemudian buatkan perbandingan dan akhirnya kita yang memperoleh jawapan.

*Melukis gambarajah

 Dengan melukis gambarajah kita dapat melihat pergerakan masalah tersebut secara tersusun.

*

Menyenaraikan / Menjadualkan secara

sistematik

 Jadual yang dibina seharusnya teratur dan tersusun agar maklumat dapat dilihat dengan cepat dan mudah. Graf juga boleh digunakan untuk menunjukkan

perhubungan di antara pemboleh ubah-pemboleh ubah.

*

Kerja ke belakang

 Bekerja ke belakang antara strategi yang sesuai untuk menyelesaikan masalah ‘sequence’, pola, persamaan dan lain-lain.

*

Menggunakan kaedah algebra

 Kaedah algebra akan membentuk beberapa persamaan dan ia dapat membantu menyelesaikan masalah matematik tersebut.

Tugasan 1

Anda dikehendaki menyiapkan 2 set aktiviti pembelajaran yang menarik bagi pengajaran konsep matematik berikut:

1.Pembezaan Asas / Pengamiran Asas

2.Penyelesaian masalah dengan Pembezaan / Pengamiran

Tugasan 2

Setiap set aktiviti pembelajaran harus mengandungi butir-butir berikut: 1. Objektif aktiviti pembelajaran

2. Resos pengajaran

3. Langkah-langkah menjalankan aktiviti

4. Lembaran kerja

Tugasan 3

Tuliskan refleksi secara individu, mengaitkan pengalaman dan pengetahuan yang anda peroleh sepanjang melengkapkan tugasan ini.

8 | P a g e Tajuk Tarikh Minggu 1 08/03-09/03 Minggu 2 09/03-10/03 Minggu 3 15/03-17/03 Minggu 4 18/03-22/03 Mendapat k. kursus Membuat perancangan Mencari bahan

Membuat lakaran awal Mula menyediakan soalan Pembezaan

Melaksanakan aktiviti pembelajaran

Menggabungkan hasil kerja

Mengemas kini kerja kursus Hantar kerja kursus

Set 1: Pembezaan Asas

Tajuk

Pembezaan

Sub topik

Pembezaan hasil tambah dan hasil tolak

Objektif

Pembelaj

aran

Di akhir pembelajaran, pelajar guru akan dapat:

i. Menyelesaikan bahawa hasil tambah atau hasil tolak sebutan-sebutan boleh dibezakan sebutan demi sebutan. ii. Memilih resos pengajaran yang sesuai.

iii. Menyediakan soalan-soalan berkaitan dengan pembezaan hasil tambah dan hasil tolak.

Hasil

Pembelaj

aran

i.Dapat mengenal pasti sebutan-sebutan.

ii.Dapat memahami asas pembezaan hasil tambah dan hasil tolak. iii.Dapat mengaplikasikan rumus bagi n _=nxn-1 _{dengan betul.}

Pengetah

uan

Sedia

Ada

i. Pelajar telah menguasai hasil tambah dan hasil tolak sebutan dan hubungan dengan pembezaan.

ii. Pelajar telah menguasai cara untuk mencari hasil tambah atau hasil tolak sebutan-sebutan yang boleh dibezakan.

iii. Pelajar telah menguasai konsep pembezaan hasil tambah dan hasil tolak.

iv. Pelajar telah mempelajari topik ini di tingkatan 4

Resos

Mengajar

i.Power point (Sila rujuk lampiran)

KBKK

i. Menjana idea ii.Mentafsir maklumat iii.Merancang strategi iv.Menyelesaikan masalah

Kecerdas

an

Pelbagai

i.Kecerdasan logikal ii.Kecerdasan imaginasi

Penerapa

n nilai

i.Keyakinan diri 9 | P a g e

Media

Pengajar

an

i.Transparensi ii.Kertas edaran iii.Kad manila iv.Papan putih

Matlamat

Bertujuan mempertingkatkan pengetahuan dan keupayaan matematik secara mendalam dan dapat melakukan pengiraan yang melibatkan penambahan dan penolakan sebutan untuk menyelesaikan masalah serta menyelesaikan semua masalah yang melibatkan pembezaan hasil tambah dan hasil tolak tanpa merujuk buku dan dalam masa yang ditetapkan.

Aktiviti

Pengajar

an dan

Pembelaj

aran

Pengenalan

Sebelum kita memulakan sesuatu pengiraan kita perlu mengetahui maksud bagi sesuatu ayat dan peraturan-peraturan yang ditetapkan misalnya,

1) Apakah maksud pembezaan hasil tambah dan hasil tolak? o Pembezaan hasil tambah dan hasil tolak ialah ia

menunjukkan bahawa hasil tambah atau hasil tolak sebutan-sebutan boleh dibezakan dengan sebutan demi sebutan

2) Apakah maksud bagi

o Tatatanda yang selalu digunakan bagi fungsi ini ialah

bermaksud terbitan pertama atau pembezaan y terhadap x.

o Ia mengukur kadar perubahan y terhadap x.

o Jika y= f(x), boleh ditulis sebagai f’(x)

Untuk menyelesaikan soalan pembezaan hasil tambah dan hasil tolak, kita perlu mengetahui dua peraturan yang penting iaitu :

Katakan y = 4x2 _{+ 3x-1, di mana}

=

2 _{+ 3x - 1) = 8x +3}

=

2

₎

₊

₎

-Catatan :Ini menunjukkan bahawa hasil tambah atau hasil tolak

11 | P a g e PERATURAN1 SECARA AM Jika y = f(x) + g(x) maka, = f’(x) + g’(x) dan Jika y = f(x) - g(x) maka, = f’(x) - g’(x) Pembezaan hasil

tambah fungsi yang mempunyai angkubah

yang sama. Jika h(x) = f(x) + g(x) maka, h’(x) = f’(x) + g’(x) Contohnya: Bezakan fungsi ini y = x2 _{+ x}3 = x2 _{+ x}3₎ Pembezaan hasil tolak fungsi yang mempunyai angkubah yang sama. Jika h(x) = f(x) – g(x) maka, h’(x) = f’(x) - g’(x) Contohnya: Bezakan fungsi ini y = x2 _{- x}3 = x2 _{- x}3₎ PERATURAN 2 Sebutan demi sebutan

sebutan-sebutan boleh dibezakan dengan sebutan demi sebutan.

Seterusnya bezakan fungsi-fungsi berikut terhadap x

Jadual bi bawah menunjukkan beberapa keputusan yang telah didapati apabila y = 4x2_+3x-1

F (x) 4X2 _{3X 1}

8x 3 0

Daripada jadual tersebut dapat dibuat kesimpulan bahawa pembezaan xn _{ialah nx}n-1 _{untuk sebarang nombor n, iaitu}

Langkah di bawah ini merupakan cara mengaplikasikan rumus bagi

2

₎

₊

₎

+ 3 - 0) = 8x +3

Kesimpulan

:Keputusan ini boleh dibuktikan benar dengan menggunakan teorem binominal

Kemahiran Generik

: i) Berkongsi idea

ii)Merancang strategi penyelesaian masalah. 12 | P a g e n _=nxn-1 4x2_{, di mana n=2,} Gantikan dalam n =nxn-1 _4x2 =(2 × 4)x2-1 _{= 8x} n _=nxn-1

Sebelum menjawab soalan di lembaran, kita perlu mengukuhkan lagi pemahaman berkenaan hubungan antara n

=nx

n-1 dan mengenal pasti penyelesaian pembezaan hasil tambah dan hasil tolak.

TIPS PENTING

Di bawah ini menunjukkan tiga contoh soalan

yang berkaitan dengan hasil tambah dan hasil

tolak serta penyelesaiannya.

Contoh :1

Memahami masalah dahulu

 kembangan terlebih dahulu sebelum menyelesaikan soalan ini, seterusnya bentukkan satu persamaan kuadratik.

 Tuliskan persamaan kuadratik dalam bentuk am ax2_{+ bx + c = 0}

 Tujuan menulis persamaan kuadratik dalam bentuk am adalah untuk memudahkan penyelesaiannya melalui pemfaktoran.

Kesimpulannya, gunakan konsep persamaan kuadratik untuk menyelesaikan soalan begini.

Membuat perancangan dan

melaksanakan perancangan

Contoh Penyelesaian

(x – 1)(2x + 3) = 2x

2

_{+3x – 2x -3}

_{(kembangan terlebih dahulu)}

=2x

2

_{+ x -3}

13 | P a g e

Apabila persamaan kuadratik ditulis dalam bentuk am, nilai pekali x2

perlu dijadikan positif. Apabila persamaan kuadratik ditulis dalam bentuk am, nilai pekali x2

perlu dijadikan positif. Darabkan setiap sebutan dalam tanda kurung dengan sebutan di luar. Darabkan setiap sebutan dalam tanda kurung dengan sebutan di luar.

Diberi y = (x-1)(2x+3), Bezakan

yang berikut terhadap x

 Seterusnya bezakan terhadap x

(x – 1)(2x + 3) = 2x

2

_{+3x – 2x -3}

_{(susun dengan urutan yang betul)}

=

2x

2

_{+ x - 3}

=

2 _{+ x - 3)}

=

2

₎

₊

₎

- Seterusnya bezakan fungsi-fungsi berikut terhadap x

 Jadual di bawah ini memberikan keputusan yang telah didapati terhadap fungsi-fungsi berikut apabila y = (x-1)(2x+3),

F (x) 2X2 _{X 3}

4x 1 0

 Daripada jadual tersebut dapat dibuat kesimpulan bahawa pembezaan xn _{ialah nx}n-1 _{untuk sebarang nombor n, iaitu}

 seterusnya mengaplikasikan rumus bagi

2

₎

₊

₎

_-

14 | P a g e n _=nxn

-Susun sebutan –

sebutan dengan

betul.

Susun sebutan –

sebutan dengan

betul.

n _=nxn

+ 1 - 0)

= 4x +1 (jawapan)

Kesimpulan:

Keputusan ini boleh dibuktikan benar dengan

menggunakan teorem binominal. Kita mengaplikasikan rumus

n

_=nx

n-1 _{ini untuk menyelesaikan pembezaan hasil}

tambah dan hasil tolak.

Contoh 2

15 | P a g e

Bezakan sebutan

demi sebutan.

Indeks bagi

berkurangan

sebanyak 1

Bezakan sebutan

demi sebutan.

Indeks bagi

berkurangan

sebanyak 1

Diberi y = (x

2

₊₂₎

2

_.

Cari

Menyemak

semula

Menyemak

semula

Petunjuk n

nx

n-1 2x2 _{(2 x 2)x}2-1 ₌ 4x X X1-1 _{= 1} 3 0

Memahami masalah dan membuat

perancangan dahulu

Y =(x2 _{+ 2)}2 _{kembangkan terlebih duhulu}

=(x2 _{+2 )(x}2 ₊₂₎ = x4 _+4x2 _{+4 seterusnya bezakan} terhadap x

Melaksanakan perancangan

=

4 _{+ 4x}2 _{+ 4)} 4

_{) +}

_x

2

_{) +}

= 4x3 _{+ 8x+0} =4x 3 _{+8x (jawapan)} 16 | P a g e

*Bezakan sebutan demi sebutan. *Indeks bagi berkurangan sebanyak 1 *Bezakan sebutan demi sebutan. *Indeks bagi berkurangan sebanyak 1 Darabkan setiap sebutan dalam tanda kurung dengan sebutan di luar. Darabkan setiap sebutan dalam tanda kurung dengan sebutan di luar.

MENYEMAK

SEMULA

Petunjuk n

nx

n-1 X4 _(4)x4-1 _=4x3 4X2 _{(2x 4)X}2-1 = 8x 4 0

Contoh 3

Memahami masalah dan membuat

perancangan

Diberi bahawa y = 2x3 _{+ x}2 _{+9, maka}

=

3

_{+ x}

2

_{- 9)}

Melaksanakan perancangan

 Seterusnya bezakan sebutan demi sebutan

3

_{) +}

_x

2

₎

-17 | P a g e

Kembangkan terlebih dahulu supaya memudah untuk menyelesainya.

Tugar fungsi pecahan kepada fungsi dengan indeks negatif sebelum membezakan fungsi tersebut.

Kembangkan terlebih dahulu supaya memudah untuk menyelesainya.

Tugar fungsi pecahan kepada fungsi dengan indeks negatif sebelum membezakan fungsi tersebut.

Tip

pentin

Diberi y = 2x

3

_{+ x}

2

_{+9 .}

Cari

Susun sebutan –

sebutan dengan

betul.

Susun sebutan –

sebutan dengan

betul.

 mengaplikasikan rumus n

=nx

n-1 ini untuk menyelesaikan sebutan demi sebutan.

= (2×3) x

3-1

_{+ 2x}

2-1

_{- 0}

=6x

2

_+2x

_(jawapan)

Menyemak semula

F (x) 2X3 _X2 ₉

6x2 _{2x 0}

 Jadual ini memberikan keputusan yang telah didapati terhadap fungsi-fungsi berikut apabila y = 2x3 _+x2 ₊₉

Kesimpulan:

Mengaplikasikan rumus n

=nx

n-1 ini untuk menyelesaikan pembezaan hasil tambah dan hasil tolak.

Lembara

n kerja

dan

jawapan

Lembaran kerja

nama:...

Bezakan yang berikut terhadap x. Cari

i)x2 _{– 6x + 4} jawapan: 2x -6 ii )x3 _-8x2 _{+ 13x} jawapan:3x2_{-16x +13} iii) (x – 5)2 18 | P a g e

jawapan:2x -10

iv) 4 + 5x –x2

jawapan:5 – 2x

v) x2 ₊

jawapan:2x – 4x-2

---Semoga Berjaya Menjawab

Soalan---Set 2 : Penyelesaian masalah dengan

pembezaan.

Tajuk

Penggunaan Pembezaan

Sub topik

Tangen Dan Normal

i. Persamaan tangen dan normal kepada sesuatu titik pada suatu lengkung.

Objektif

Pembelaj

aran

Di akhir pembelajaran, pelajar akan dapat:

i. Menentukan persamaan tangen dan normal kepada sesuatu titik pada suatu lengkung.

ii. Menyediakan soalan-soalan berkaitan pembezaan. iii. Melengkapkan buku lembaran kerja soalan-soalan

pembezaan.

Hasil

Pembelaj

aran

i. Dapat menentukan persamaan tangen dan normal kepada sesuatu titik pada suatu lengkung.

ii. Dapat mengetahui kecerunan tangen dan normal. iii. Dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan

persamaan tangen dan normal.

iv. Dapat menyediakan soalan-soalan berkaitan persamaan tangen dan normal.

Pengetah

uan

Sedia

Ada

i. Pelajar telah menguasai idea tangen kepada lengkung dan hubungan dengan pembezaan.

ii. Pelajar telah menguasai cara untuk mencari terbitan pertama untuk fungsi algebra.

iii. Pelajar telah menguasai konsep kecerunan tangen kepada sesuatu titik pada suatu lengkung.

iv. Pelajar telah mempelajari topik ini di tingkatan 4

Pendekat

an

Pengajar

an

Berpusatkan pelajar

KBKK

ii. Menjana idea iii.Mentafsir maklumat iv.Merancang strategi v.Menyelesaikan masalah

Kecerdas

an

Pelbagai

i.Kecerdasan logikal ii.Kecerdasan Interpersonal iv.Kecerdasan imaginasi

Resos

pengajar

an Media

Pengajar

an

Resos merupakan bahan–bahan yang boleh digunakan untuk

membantu proses pengajaran dan pembelajaran supaya menjadi lebih berkesan dan menarik.

Power point (sila rujuk lampiran)

Matlamat

Bertujuan mempertingkatkan pengetahuan dan keupayaan matematik secara mendalam dan dapat melakukan pengiraan yang melibatkan kecerunan tangen dan normal serta menyelesaikan semua masalah yang melibatkan persamaan tangen dan normal kepada sesuatu titik pada suatu lengkung tanpa merujuk buku.

Aktiviti

Pengajar

an dan

Pembelaj

aran

Pengenalan

Kita perlu mengetahui bahawa apakah maksud bagi tangen dan normal sebelum kita menyelesaikan sesuatu persamaan tangen dan normal.

Maksud

Tangen Garis lurus yang menyentuh suatu lengkung pada suatu titik.

Normal Garis lurus yang berserenjang dengan tangen bagi suatu

lengkungan pada suatu titik.

kita telah pelajari satu asas untuk pembezaan iaitu :

Apakah kah cara yang mudah untuk mencari persamaan tangen dan normal?

Sebelum itu, kita perlu mengetahui beberapa maklumat yang penting iaitu,

Dalam rajah 1, titik P(x1, y1) ialah suatu titik pada suatu lengkung

y =f(x)

a) Kita akan melihat bagaimana persamaan tangen dan persamaan normal bagi lengkung pada titik P ditentukan.

b) Kita akan mula dengan menentukan kecerunan normal pada titik P terlebih dahulu.

21 | P a g e

Rajah 1

-c) Tangen kepada lengkung y=f(x) ialah garis lurus yang menyentuh lengkung itu pada sesuatu titik tertentu.

Rajah ini menunjukkan bahawa kecerunan tangen pada titik P ialah

22 | P a g e

Rajah 2

Terlebih dahulu kita perlu mengetahui bahawa maksud bagi y=f(x)?

TIP PENTING

Maksud y=f(x) ialah persamaan suatu lengkung di mana, kecerunan tangen pada suatu titik tertentu kepada lengkung tersebut.

M1 =

atau

f’ (x

1

).

d) Normal kepada lengkung y= f(x) ialah garis lurus yang

berserenjang dengan tangen kepada lengkung itu pada titik

yang sama.

Apakah maksud berserenjang?

 Dua garis lurus dikatakan berserenjang apabila kedua-duanya

bersilang 90 darjah seperti mana dalam gambar rajah 3.

 Sifat garis serenjang ini ialah nilai kecerunan dua garis lurus itu apabila didarabkan akan bersamaan dengan -1.

23 | P a g e

Terlebih dahulu kita perlu mengetahui bahawa maksud bagi kecerunan tangen?

TIP PENTING

Kecerunan tangen pada lengkungan di mana, kecerunan lengkungan pada suatu titik.

Kecerunan lengkung di sebarang titik ditakrifkan sebagai kecerunan garis tangen pada lengkung di titik tersebut. Kecerunan garis tangen pada lengkung berubah dan dan boleh diperoleh dengan menggantikan koordinat titik itu ke dalam dy/dx.

Rajah ini menunjukkan bahawa kecerunan normal pada titik P ialah

M2 =

atau

e) Seterusnya kita akan menentukan persamaan tangen dan normal pada titik P. Ingat kembali pelajaran yang rumus-rumus yang terpenting.

f) Dengan ini, persamaan garis lurus yang berkecerunan m dan melalui satu titik (x1, y1) ialah y- y1 = m (x - x1)

24 | P a g e

Rajah 4 Rajah 3

Seterusnya persamaan tangen kepada lengkung pada titik P (X1 ,Y1 )

ialah y - y1 = m1 (x - x1)

Di mana m1

=

=f’ (x1

)

g) Dengan ini, persamaan normal kepada lengkung pada titik P(x1, y1) ialah y - y1 = m2 (x - x1), seperti mana dalam gambar

rajah 5

Di mana , m2 =

=

=

 Mengukuhkan lagi pemahaman berkenaan hubungan antara m1

dan m2 dengan menunjukkan contoh penyelesaian persamaan

25 | P a g e

tangen dan normal. Dengan ini kita dapat membuat kesimpulan mengenai hubungan m1 dan m2.

Catatan: - Menghubung kait

maklumat yang dikumpul untuk menghasilkan satu perkaitan antara m1 dan m2.

Contoh

latihan

dan

penyeles

aian

Di bawah ini menunjukkan tiga contoh soalan

yang berkaitan dengan persamaan tangen dan

normal serta penyelesaiannya.

Contoh :1

Memahami masalah dan membuat

perancangan

 Diberi bahawa y = 3+ 2x – x2 _{pada titik di mana lengkung itu}

memotong paksi-y

 pertama sekali kita memahami maksud bagi lengkung itu memotong pada paksi-y

 Menyelesaikan masalah ini, kita menggunakan kaedah melukis gambar rajah.

 Ini merupakan contoh gambar rajah bagi soalan ini, rajah di bawah menunjukkan bahawa y = 3 +2x –x2 _{di mana}

lengkung itu memotong pada paksi -y

26 | P a g e

Cari persamaan tangen dan persamaan

normal kepada lengkung y = 3 + 2x –

x

2

_{pada titik di mana lengkung itu}

Melaksanakan perancangan

 Y= 3 + 2x – x2 _{memotong paksi-y, apabila x=0 dan y=3}

 Bezakan y berbanding dengan x Maka,

= 2- 2x

Jadi,

) +

) -

x

2

₎

+ 2 – 2x) = 2 - 2x

Kesimpulan

:Pembezaan xn _{ialah nx}n-1 _{untuk sebarang}

nombor n, iaitu

Catatan

:Keputusan ini boleh dibuktikan benar dengan menggunakan teorem binominal.

 kecerunan tangen dan normal pada (0,3) ialah nilai

27 | P a g e Paksi -y memotong paksi-y , apabila x=0 dan y=3 Lengkung pada titik di mana x=0 dan y=3 dengan Paksi -x n

_=nx

n-Bezakan sebutan

demi sebutan.

Indeks bagi

berkurangan

sebanyak 1

Bezakan sebutan

demi sebutan.

Indeks bagi

berkurangan

sebanyak 1

 = 2- 2x, Oleh sebab x = 0, maka gantikan nilai x = 0 ke

dalam Maka

,

= 2-2(0)

=2 m1 (kecerunan tangen)

 Seterusnya kita perlu menggunakan rumus persamaan tangen untuk dapat persamaan tangen.

 Gunakan rumus persamaan tangen untuk menyelesaikan persamaan tangen.

= f’(x) = 2

 Persamaan tangen pada koordinat (0, 3) ialah

y-y1 = m (x- x1) x1 y1 28 | P a g e y-y1=m(x-x1) Garis tangen

Rumus

persamaan

tangen

y- y

₁

=

m

₁

(x - x

₁

)

TIP PENTING

y - y1= f’ (x1) (x-x1)

y – 3 = 2 (x - 0)

y -3 = 2x

y = 2x +3 (jawapan persamaan tangen)

 Langkah yang seterusnya cari persamaan normal dengan diberi y = 3 + 2x –x2

 Ingat kembali dengan cara mengaplikasikan rumus m1m2 = -1 dalam membentuk persamaan normal.

 Dengan ini, persamaan normal kepada lengkung pada titik (0, 3) ialah y - y1 = m2 (x - x1)

=

=

(kecerunan normal)

29 | P a g e

ialah kecerunan tangen kepada lengkung pada suatu titik

Garis normal

 Persamaan normal dengan kecerunan

dan melalui

titik (0 , 3) ialah,

y - y1

=-

(x1) (x-x1)

y – 3 = (x - 0) 2 (y - 3) = -x 2 y – 6 = -x 2y = -x +6 Y =

+

Y =

+

(jawapan persamaan normal)

Contoh : 2

30 | P a g e

[-1/] ialah kecerunan Normal kepada lengkung pada suatu titik

Garis lurus yang selari mempunyai kecerunan yang sama.

TIP PENTING

Carikan persamaan tangen dan

persamaan normal kepada lengkungan y

= 4x

2

_{- 12x + 10 pada titik di mana x =}

Memahami masalah dan Membuat

perancangan

 Menyelesaikan masalah ini, kita menggunakan kaedah melukis gambar rajah.

 Ini merupakan contoh gambar rajah bagi soalan ini, rajah di bawah menunjukkan bahawa y = 4X2 _{-12X +10 di mana X = 4}

Penyelesaian

 Diberi bahawa lengkungan y = 4x2 _{– 12 x + 10 di mana x =4}

 Apakah nilai bagi y? di mana x adalah sama dengan 4

 Untuk mendapatkan nilai y kita perlu gantikan nilai x =4 , ke dalam lengkungan y = 4x2 _{– 12 x + 10 ini.}

Y = 4x2 _{– 12x +10 (Gantikan nilai x =4)}

y = 4(4)2 _{-12(4) +10}

=26 (dibuktikan)

Jadi, nilai x = 4 dan nilai y = 26

31 | P a g e y= 4x2 _{– 12 x + 10} 10 x y 4 • 26 Garis Tangen

 Seterusnya bezakan y berbanding x, y = 4x2 _{– 12 x + 10}

-

) +

10)

)

Kesimpulan

:Pembezaan xn _{ialah nx}n-1 _{untuk sebarang}

nombor n, iaitu

 Seterusnya cari nilai bagi _dxdy maka

dx dy

= 8x – 12

Oleh kerana x = 4, maka gantikan nilai x = 4 ke dalam dx dy dx dy = 8(4) – 12 dx dy =20 (kecerunan tangen)

Kesimpulan

:Kecerunan lengkungan pada x = 4 ialah 20.  Seterusnya cari persamaan tangen apabila x = 4 dan y =26  Gunakan rumus ini untuk menyelesaikan persamaan tangen

y – y1 = dx dy (x – x1) y – y1 = dx dy (x – x1) y – 26 = 20 ( x – 4) y = 20x – 80 + 26 y = 20x – 54 (jawapan) 32 | P a g e

Rajah 8.2

ialah kecerunan tangen kepada

lengkung pada suatu titik

n- Seterusnya carikan persamaan normal kepada lengkungan y = 4x2 _{- 12x + 10 pada titik di mana x = 4.}

 Gambar di bawah ini menunjukkan garis normal, dan ia akan berserenjang dengan garis tangen, bermakna

(kecerunan tangen) × (kecerunan normal) = -1

atau m1 m2 = -1

 Dengan diberi bahawa y = 4x2 _{– 12 x + 10}

 Sebelum menyelesaikan masalah ini, kita perlu mencari kecerunan normal dengan bantuan gambar rajah.

 Dengan ini, persamaan normal kepada lengkung pada titik (4, 26) ialah y - y1 = m2 (x - x1)

=

=

(kecerunan normal) 33 | P a g e y= 4x2 _{– 12 x + 10} 10 x y 4 • 26 Garis Tangen Garis Normal

Rumus

persamaan

normal

y - y₁ = m₂ (x - x₁) TIP PENTING

 Persamaan normal dengan kecerunan dan melalui titik (4 , 26) ialah,

y - y1

=-

(x1) (x-x1)

y – 26 ₌ (x - 4) 20 (y - 26) = -1 (x - 4) 20 y – 520 = -x + 4 20y = -x + 524 Y =

+

Y =

+

(jawapanpersamaan normal)

Contoh 3

34 | P a g e

[-1/] ialah kecerunan normal kepada lengkung pada suatu titik.

Rumus

persamaan

normal

y - y₁ = m₂ (x - x₁)

Cari persamaan tangen dan normal

kepada lengkung y =x

2

_-3x

+2 pada titik dengan koordinat-x ialah

3.

Memahami masalah dan membuat

perancangan

Penyelesaian:

 Pertama sekali kita memahami soalan dahulu. Diberi bahawa y =x2_{-3x +2 pada titik dengan koordinat-x ialah 3.}

 Menyelesaikan masalah ini, kita perlu mengaplikasikan rumus ini

Melaksanakan perancangan

Diberi bahawa y = x2_{- 3x +2}

F (x) X2 _{3X 2}

2x 3 0

Jadual ini memberikan keputusan yang telah didapati terhadap fungsi-fungsi berikut apabila y = x2 _{- 3x +2}

Maka,

= 2x -3

 Apabila x =3, maka apakah nilai bagi y? Kita perlu mencari nilai y dengan diberi bahawa y =x2 _{-3x +2}

y =x2 _{-3x +2}

=(3)2_{-3(3) +2}

=2

Jadi nilai y =2 dan nilai x =3 dan koordinat pada titik ialah (3, 2)

35 | P a g e

n

_=nx

n-Apabila x =3, maka kecerunan lengkung,

= 2x -3

= 2(3)-3 (Gantikan nilai x =3 ke dalam

)

=3 (kecerunan tangen)

 Maka, kecerunan tangen pada titik (3,2) ialah 3.

 Langkah yang seterusnya mencari persamaan tangen kepada lengkung itu pada titik (3,2)

 Kes ini, kita perlu menggunakan rumus bagi persamaan tangen untuk mendapat persamaan tangen kepada lengkung itu.

Rumus persamaan tangen ialah y –y1 = m (x –x1)

y –y1 = m (x –x1) y – 2 = 3(x – 3)

y = 3x -7 (jawapan)

 Langkah yang seterusnya mencari kecerunan normal

supaya memudahkan lagi untuk menyelesaikan persamaan

36 | P a g e Gantikan m=3, x₁ =3, y₁ =2 ke dalam y – y₁ =m(x –x₁)

(kecerunan tangen) × (kecerunan normal) = -1

TIP PENTING

normal kepada lengkung itu.

 Sebelum menyelesaikan soalan ini, kita perlu mengetahui bahawa rumus bagi kecerunan normal

(kecerunan tangen) × (kecerunan normal) = -1 3 × kecerunan normal = -1 Kecerunan normal =

-

Dengan persamaan normal kepada lengkung itu pada titik (3, 2) ialah

y – 2 =

-

(x -3) y =

-

x +3 (jawapan)

kesimpulan

:Persamaan tangen atau normal boleh

ditentukan

dengan menggunakan rumus y –y1 = m1(x –x1) dan

y - y1 = m2 (x - x1) dengan m1 dan m2 ialah kecerunaan

tangen atau kecerunan normal kepada sesuatu titik pada suatu lengkung.

Lembaran kerja

Cari persamaan tangen kepada setiap lengkung berikut pada titik

37 | P a g e m₁ m₂= -1 3 m₂ = -1 m₂ =

-

PETUNJUK

Rumus

persamaan

normal

y - y 1 = m2 (x - x1) TIP PENTING

Garis lurus yang selari mempunyai

kecerunan yang sama.

TIP PENTING

dengan koordinat-x yang diberikan.

i)y =x2 _{– 6x + 4 , (x=2)}

jawapan:persamaan tangen y = -2x + 4

persamaan normal

ii) y =x3 _-8x2 _{+ 13x , (x=5; y =1)}

jawapan:persamaan tangen y = -5x + 26

persamaan normal y =

iii) 2y = x4 _{, (x = -3)}

jawapan:persamaan tangen y =18x + 54

persamaan normal

iv) y = 4 + 5x –x2 _{, (x=3 ; y= 2)}

jawapan:persamaan tangen y = -x + 5 persamaan normal

v) y = (1 + 3x)2 _{, (x =1 )}

jawapan:persamaan tangen y = 24x - 24

persamaan normal

---Semoga Berjaya Menjawab

Soalan---Tajuk kerja kursus bagi subjek Matematik tambahan ialah “Pembezaan”. Saya ingin mengucapkan ribuan terima kasih kepada pensyarah saya kerana memberi peluang keemasan bagi menerokai ilmu yang luas. Saya telah menyiapkan kerja kursus ini dengan jayanya dengan merujuk pelbagai bahan ilmiah berkaitan dengan tajuk yang

diberi. Tugasan ini juga dilakukan dengan bantuan beberapa kenalan saya yang lebih pakar mengenai tugasan ini. Dengan ini, saya juga akan menyatakan pengalaman pembelajaran yang diperoleh ketika dalam proses membuat tugasan ini. Secara jujurnya, proses membuat tugasan ini merupakan pengalaman kali pertama saya semasa di dalam IPG Kampus Pulau Pinang. Saya akan membahagikan kelemahan dan kekuatan berasingan di mana saya akan menunjukkan secara terperinci mengenai kajian ini.

Kekuatan Semasa Membuat Tugasan

Dengan ini, saya juga telah dapat menemui dan mengenal pasti kekuatan-kekuatan saya. Kekuatan ataupun kelebihan pertama yang dapat saya kenal pasti adalah komunikasi yang mudah diwujudkan dengan pensyarah saya. Sebelum ini, saya telah mempunyai pengalaman dalam membuat kerja secara individu. Pembelajaran dalam IPG yang banyak memerlukan pembentukan individu dalam membuat sesuatu tugasan telah memberi saya peluang membuat kerja secara individu. Oleh itu, dalam tugasan ini, hampir semua tingkah laku ataupun kebiasaan setiap daripada saya telah dapat difahami. Ini banyak membantu saya dalam menyelesaikan tugasan dalam masa yang singkat.

Selain itu, kedudukan perpustakaan IPG juga menjadi salah datu kelebihan ataupun kekuatan saya. Sekiranya ada sesuatu permasalahan ataupun persoalan yang timbul dalam tugasan ini, saya mudah untuk merujuk bagi menyelesaikannya. Ia juga menjadi salah satu kelebihan ataupun kekuatan saya pada diri saya. Dengan menyempurnakan kerja kursus ini saya dapat memupuk nilai disiplin dalam diri saya. Apabila menerima kerja kursus matematik saya menumpukan sepenuh perhatian saya dalam membuat set soalan begini. Saya juga memupuk nilai semangat, toleransi, jitu, kemas, sistematik dan kerjasama semasa membuat kerja kursus ini. Saya juga mengenali kebolehan dan kemahiran diri semasa membuat kerja kursus ini. Saya berasa gembira semasa melihat hasil kerja saya iaitu folio kerja kursus matematik tambahan.

Kelemahan Semasa Menjalankan Tugasan

Sepanjang menjalankan tugasan, saya telah mendapat dan mengenal pasti kelemahan yang terdapat pada diri saya. Kelemahan yang paling utama adalah kurangnya kesedaran mengenai tanggungjawab terhadap kerja kursus ini. Kesedaran yang kurang mengenai tanggungjawab ini kebanyakannya adalah berpunca tentang kecuaian diri sendiri. Kecuaian diri sendiri yang dimaksudkan adalah mengenai kegagalan saya untuk menyesuaikan keadaan diri dengan semester ini. Saya tidak berbuat langkah yang sepatutnya dalam gerak kerja saya untuk melengkapkan buku lembaran dan kerja soalan-soalan pembezaan. Dengan ini, saya gagal untuk membuat kerja-kerja dengan kadar yang lebih pantas. Kebanyakan gerak kerja hanya dilakukan setelah mendapat desakan daripada pelajar guru lain ataupun setelah diingatkan oleh pensyarah semasa di dalam kelas. Kelemahan seterusnya yang dapat dikenal pasti adalah kekurangan pengetahuan tentang menyediakan soalan-soalan berkaitan pembezaan, khususnya dalam menerangkan aktiviti pengajaran.

Langkah-langkah dan cadangan penambahbaikan yang saya telah sepakat dan bersetuju bersama untuk dicadangkan adalah dengan melibatkan tugasan ini. Seperti yang telah dibincangkan dalam kelemahan semasa menjalankan tugasan membuat kajian, saya telah menjumpai dan mengenal pasti beberapa kelemahan saya. Saya telah berkongsi pendapat dan mengambil keputusan untuk meminta pertolongan daripada pelajar guru lain atau pensyarah saya. Ini secara langsung dapat membantu saya mengatasi kelemahan saya dalam kurangnya pengetahuan dalam tugasan ini.

Sebagai kesimpulan bagi refleksi saya, tugasan ini yang telah diberikan saya telah banyak membantu saya dalam melengkapkan diri sebagai seorang pelajar guru yang mampu untuk bekerja secara individu. Segala usaha dan penat lelah saya dalam menyelesaikan tugasan ini membuahkan hasil apabila ianya telah lengkap dan siap untuk dihantar. Di sini saya mengambil kesempatan untuk berterima kasih kepada pensyarah Matematik tambahan saya iaitu Puan Noor Adillah Binti Osman yang membantu saya dalam banyak aspek. Beliau tidak bermasam muka semasa saya bertemu beliau. Beliau meluangkan masa untuk membantu saya dalam menyelesaikan masalah . Dengan ini, saya berharap agar idea bernas yang dicungkil melalui kerja kursus ini dapat membantu mewujudkan suasana yang cemerlang dan terbilang untuk

melahirkan insan yang sihat wa afiat selaras dengan hasrat kerajaan yang menuju ke wawasan 2020.

(SIVASANTHIRAN A/L KANIAPPAN)

1.www.oocities.org/enotebvp/pembezaan.htm

2.spp.moe.edu.my/mod/scorm/view.php?id=593

3.spp.moe.edu.my/mod/scorm/view.php?id=593 4.spp.moe.edu.my/pluginfile.php/1056/mod_scorm/.../F4M33AP.html 5.spp.moe.edu.my/pluginfile.php/1056/mod_scorm/.../F4M33IK.html 6.www.oocities.org/enotebvp/.../bab_4_kamiran.htm 7.www.cikgusila.com/.../penutupan-akaun-dan-peny... 8.www.oocities.org/enotebvp/pembezaan.htm 43 | P a g e