aplikasi metode numerik dengan metode simpson

(1)

1.1

1.1 _{Latar Belakang}_{Latar Belakang}

Seiring pesatnya perkembangan teknologi dan kemajuan zaman, Seiring pesatnya perkembangan teknologi dan kemajuan zaman, maka diperlukan suatu produk dengan ketelitian dan akurasi tinggi, dan maka diperlukan suatu produk dengan ketelitian dan akurasi tinggi, dan waktu pengerjaan yang singkat. Begitu juga dengan permasalahan dalam waktu pengerjaan yang singkat. Begitu juga dengan permasalahan dalam bidang ilmu pengetahuan fisika murni maupun terapan, bidang rekayasa bidang ilmu pengetahuan fisika murni maupun terapan, bidang rekayasa teknik metalurgi, mesin, elektro, sipil dan lain-lain dituntut hal yang sama, teknik metalurgi, mesin, elektro, sipil dan lain-lain dituntut hal yang sama, dim

dimanana a daldalam am susuatu atu perperhithitungungan an dendengan gan datdata a numnumerierik k memmembutbutuhkuhkanan ketelitian dan akurasi yang cukup baik. Pada saat teknologi informasi ketelitian dan akurasi yang cukup baik. Pada saat teknologi informasi belum ada atau boleh dikatakan belum maju pesat, para praktisi dan belum ada atau boleh dikatakan belum maju pesat, para praktisi dan pr

profeofesiosionanal l di di bidbidang ang rekrekayayasa asa tekteknik nik dan dan saisain n menmengaganalnalisa isa dedengangann perhitungan manual. Simplifikasi digunakan dimana struktur yang sangat perhitungan manual. Simplifikasi digunakan dimana struktur yang sangat kompleks disederhanakan menjadi struktur yang lebih sederhana. Artinya kompleks disederhanakan menjadi struktur yang lebih sederhana. Artinya akan terjadi perbedaan dari suatu permodelan dengan kondisi aktual. Hal akan terjadi perbedaan dari suatu permodelan dengan kondisi aktual. Hal ini dilakukan untuk menghindari kesulitan dalam analisa.

ini dilakukan untuk menghindari kesulitan dalam analisa.

Adanya perkembangan teknologi informasi yang sangat pesat pada Adanya perkembangan teknologi informasi yang sangat pesat pada saat ini mendorong para praktisi untuk mengembangkan cara baru agar saat ini mendorong para praktisi untuk mengembangkan cara baru agar pekerjaan analisa dapat dilakukan dengan lebih baik dan lebih efektif. pekerjaan analisa dapat dilakukan dengan lebih baik dan lebih efektif.

Me

Metotode de kakalklkululasasi i dedengngan an mamatrtrikiks s dadapapat t didilalakukukakan n dedengngan an mumudadahh meng

menggunagunakan kan teknteknologologi i inforinformasi. Sudah masi. Sudah banybanyak ak perspersoalaoalan n di di bidanbidangg tek

teknik nik maumaupun pun saisain n yayang ng dapdapat at disdiseleelesaisaikakan n dendengan gan memenggnggunaunakakann perm

permodelodelan an matematematikmatika. a. SerinSering g kali kali permpermodelodelan an matematematikmatika a tersetersebutbut muncul dalam bentuk yang tidak ideal, sehingga tidak dapat diselesaikan muncul dalam bentuk yang tidak ideal, sehingga tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya dengan menggunakan metode analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution).

(exact solution).

1 1

(2)

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial

Cancel Anytime.

(3)

Jika persoalan-persoalan yang kita hadapi tidak dapat diselesaikan Jika persoalan-persoalan yang kita hadapi tidak dapat diselesaikan deng

dengan an metometode de permopermodeladelan n matematematika matika metometode de analanalitik itik mengmenggunagunakankan da

dalillil-dal-dalil il kalkalkulkulus, us, makmaka a solsolusiusinya nya dapdapat at dipdiperoeroleh leh dedengangan n metmetodeode num

numerierik. k. MetMetodode e numnumerierik k sesecarcara a harharfiafiah h berberartarti i suasuatu tu cacara ra berberhithitungung de

dengangan n menmengguggunanakan kan angangkaka-an-angkagka, , sedsedangangkakan n secsecara ara ististilailah h metmetodeode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmatika

matematik sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmatika biasa.biasa. Dengan menggunakan metode numerik, solusi exact dari persoalan Dengan menggunakan metode numerik, solusi exact dari persoalan ya

yang ng didihahadadapi pi titidadak k akakan an didipeperoroleleh. h. MeMetotode de nunumemeririk k hahanynya a bibisasa me

membemberikrikan an sosoluslusi i yanyang g menmendekdekati atau ati atau menmenghaghampimpiri ri sosoluslusi i sejsejatiati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran ( approximation sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran ( approximation solution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusi solution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Solusi tersebut disebut solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Solusi tersebut disebut solusi galat (error). Semakin kecil galat yang diperoleh berarti semakin dekat galat (error). Semakin kecil galat yang diperoleh berarti semakin dekat solusi hampiran yang diperoleh

solusi hampiran yang diperoleh dengan solusi sejatinya.dengan solusi sejatinya.

1.2

1.2 _Tujuan_Tujuan Tu

Tujuajuan n penpenyusyusunaunan n makmakalaalah h ini ini adaadalah lah untuntuk uk memmemperpermudmudahah pemahaman prinsip dasar mengenai integrasi numerik khususnya dengan pemahaman prinsip dasar mengenai integrasi numerik khususnya dengan

me

menggnggunaunakan kan AtuAturan ran SimSimpsopson n sehsehingingga ga daldalam am penpengapgapliklikasiasiannannya ya didi lapangan menjadi lebih mudah dan akurat.

(4)

Cancel Anytime.

(5)

BAB II BAB II

LANDASAN TEORI LANDASAN TEORI

2.1

2.1 Integrasi Integrasi Numerik Numerik

Gambar 1 Integral Suatu Fungsi Gambar 1 Integral Suatu Fungsi

In

Intteeggrraal l ssuuaattu u ffuunnggssi i aaddaallaah h ooppeerraattoor r mmaatetemmaatitik k yyaanngg dipresentasika

dipresentasikan n dalam bentuk:dalam bentuk:

d dxx x x f f I I ==∫ ∫ b b a a )) ((

dan merupakan integral suatu fungsi

dan merupakan integral suatu fungsi f f (( x x) terhadap variabel) terhadap variabel x x dengandengan

batas-batas integrasi adalah dari

batas-batas integrasi adalah dari x x == aa sampaisampai x x == bb. Seperti pada Gambar . Seperti pada Gambar

1 dan persamaan di atas yang dimaksud dengan integral adalah nilai total 1 dan persamaan di atas yang dimaksud dengan integral adalah nilai total atau luasan yang dibatasi oleh fungsi

(6)

Cancel Anytime.

(7)

[ [

(( ))

]]

(( )) (( )) )) (( bb_a_a b b a a a a F F b b F F x x F F dx dx x x f f == == −− ∫ ∫ dengan

dengan F F (( x x) adalah integral dari) adalah integral dari f f (( x x) sedemikian sehingga) sedemikian sehingga F F ' (' ( x x)) == f f (( x x).).

Sebagai contoh: Sebagai contoh: .. 9 9 )) 0 0 (( 3 3 1 1 )) 3 3 (( 3 3 1 1 3 3 1 1 33 33 3 3 0 0 3 3 3 3 0 0 2 2 ₌₌     ₋₋ = =     = = ∫ ∫ x x dxdx xx

Integral numerik dilakukan apabila: Integral numerik dilakukan apabila:

1)

1) IntegIntegral ral tidak tidak dapadapat (st (sukar) ukar) disediselesalesaikan ikan secasecara ra analanalisis.isis. 2)

2) Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitis,Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitis, tetapi secara numerik dalam bentuk angka (tabel).

tetapi secara numerik dalam bentuk angka (tabel). Me

Metotode de inintetegrgral al nunumemerik rik memerurupapakakan n inintetegrgral al tetertrtenentu tu yayangng di

didadasasarkrkan an papada da hihitutungngan an peperkrkiriraaaan. n. HiHitutungngan an peperkrkirairaan an tetersrsebebutut dilakukan dengan fungsi polinomial yang diperoleh berdasar data tersedia. dilakukan dengan fungsi polinomial yang diperoleh berdasar data tersedia. Bentuk paling sederhana adalah apabila tersedia dua titik data yang dapat Bentuk paling sederhana adalah apabila tersedia dua titik data yang dapat dibentuk fungsi polinomial order satu yang merupakan garis lurus (linier). dibentuk fungsi polinomial order satu yang merupakan garis lurus (linier). Seperti pada Gambar 2a, akan dihitung:

Seperti pada Gambar 2a, akan dihitung: d dxx x x f f I I ==∫ ∫ b b a a )) ((

yang merupakan luasan antara kurva

yang merupakan luasan antara kurva f f (( x x) dan sumbu-) dan sumbu- x x serta antaraserta antara x x == aa

dan

dan x x == bb, bila nilai, bila nilai f f ((aa) dan) dan f f ((bb) diketahui maka dapat dibentuk fungsi) diketahui maka dapat dibentuk fungsi

polinomial order satu

polinomial order satu f f 11(( x x).).

Dalam gambar tersebut fungsi

Dalam gambar tersebut fungsi f f (( x x) didekati oleh) didekati oleh f f 11(( x x), sehingga), sehingga

integralnya dalam luasan antara garis

integralnya dalam luasan antara garis f f 11(( x x) dan sumbu-) dan sumbu- x x serta antaraserta antara x x == aa

dan

(8)

Cancel Anytime.

(9)

2 2 )) (( )) (( )) ((bb aa f f aa f f bb I I == −− ++ Dal

Dalam am intintegregral al numnumerierik, k, penpendekdekataatan n tertersebsebut ut dikdikenenal al dendengangan metode trapesium. Dengan pendekatan ini integral suatu fungsi adalah metode trapesium. Dengan pendekatan ini integral suatu fungsi adalah sama dengan luasan bidang yang diarsir (Gambar 2), sedang kesalahannya sama dengan luasan bidang yang diarsir (Gambar 2), sedang kesalahannya adalah sama dengan luas bidang yang tidak diarsir.

adalah sama dengan luas bidang yang tidak diarsir. Apabila hanya terdapat dua data

Apabila hanya terdapat dua data f f ((aa) dan) dan f f ((bb), maka hanya bisa), maka hanya bisa

dibentuk satu trapesium dan cara ini

dibentuk satu trapesium dan cara ini dikenal dengan metode trapesium satudikenal dengan metode trapesium satu pias. Jika tersedia lebih dari dua data, maka dapat dilakukan pendekatan pias. Jika tersedia lebih dari dua data, maka dapat dilakukan pendekatan

de

dengngan an lelebibih h dadari ri sasatu tu tratrapepesisiumum, , dadan n luluas as tototatal l adadalalah ah jujumlmlah ah dadariri tra

trapespesiumium-tra-trapespesium ium yayang ng terterbebentuntuk. k. CarCara a ini ini dikdikenaenal l dendengan gan metmetododee trapesium banyak pias. Seperti pada Gambar 2b, dengan tiga data dapat trapesium banyak pias. Seperti pada Gambar 2b, dengan tiga data dapat dibentuk dua trapesium, dan luas kedua trapesium (bidang yang diarsir) dibentuk dua trapesium, dan luas kedua trapesium (bidang yang diarsir) adalah pendekata

adalah pendekatan dari integral fn dari integral fungsi. Hasil pendekatan ini lebih baik dariungsi. Hasil pendekatan ini lebih baik dari pa

pada da pependendekatkatan an dendengan gan satsatu u piapias. s. ApaApabilbila a digdigunaunakan kan leblebih ih babanyanyak k trapesium hasilnya akan lebih baik.

trapesium hasilnya akan lebih baik. Fu

Fungngsi si yayang ng didiinintetegrgralalkakan n dadapapat t pupula la dididedekakati ti ololeh eh fufungngsisi polinomial dengan order lebih tinggi, sehingga kurva yang terbentuk tidak polinomial dengan order lebih tinggi, sehingga kurva yang terbentuk tidak lagi linier, seperti dalam metode trapesium, tetapi kurva lengkung. Seperti lagi linier, seperti dalam metode trapesium, tetapi kurva lengkung. Seperti pada Gambar 2c, tiga data yang ada dapat digunakan untuk membentuk pada Gambar 2c, tiga data yang ada dapat digunakan untuk membentuk po

polinlinomiomial al ordorder er tigtiga. a. MetMetode ode SimSimpsopson n mermerupaupakakan n metmetode ode intintegregralal numerik yang menggunakan fungsi polinomial dengan order lebih tinggi. numerik yang menggunakan fungsi polinomial dengan order lebih tinggi.

(10)

Cancel Anytime.

(11)

Metod

Metode e SimpsSimpson on 1/3 menggun1/3 menggunakan tiga akan tiga titik titik data (polinodata (polinomial mial ordeorder r dua)dua) dan Simpson 3/8 menggunakan empat titik data (polinomial order tiga). dan Simpson 3/8 menggunakan empat titik data (polinomial order tiga). Jarak antara titik data

Jarak antara titik data tersebut adalah sama.tersebut adalah sama.

Gambar 2 Metode Integral Numerik Gambar 2 Metode Integral Numerik

Me

Metotode de nunummererik ik memeruruppaakakan n tetekkninik k yayanng g didiggununakakaan n uunntutuk k memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan ope

operasrasi i hithitungungan/an/ariaritmatmatiktika a biabiasasa. . SolSolusi usi anangka gka yanyang g diddidapaapatkatkan n dadariri me

metodtode e numnumerieric c adaadalah lah solsolusi usi yanyang g menmendekdekati ati nilnilai ai sebsebenaenarnyrnya/sa/soluolusisi pendekatan (approximation) dengan tingkat ketelitian yang kita inginkan. pendekatan (approximation) dengan tingkat ketelitian yang kita inginkan. Karena tidak tepat sama dengan solusi sebenarnya, ada selisih diantara Karena tidak tepat sama dengan solusi sebenarnya, ada selisih diantara ke

keduaduanya nya yayang ng kemkemudiudian an disdisebuebut t gagalatlat/er/errorror. . MetMetode ode numnumerieric c dapdapatat menyelesaikan persoalan didunia nyata yang seringkali non linier, dalam menyelesaikan persoalan didunia nyata yang seringkali non linier, dalam bentuk dan proses yang sulit diselesaikan dengan metode analitik.

bentuk dan proses yang sulit diselesaikan dengan metode analitik. Me

Metotode de nunumemeririk k jujuga ga memerurupapakakan n pipirarantnti i ututamama a yayang ng didipapakakaii ilmuwan dalam mencari pendekatan jawaban untuk integral tentu yang ilmuwan dalam mencari pendekatan jawaban untuk integral tentu yang tidak bisa diselesaikan secara analitik. Pada bidang statistika termodinamik, tidak bisa diselesaikan secara analitik. Pada bidang statistika termodinamik, model Debye untuk menghitung kapasitas panas dari benda memenuhi model Debye untuk menghitung kapasitas panas dari benda memenuhi fungsi:

fungsi:

saat tidak ada pernyataan analitik untuk Ô(x) , integrasi numerik harus saat tidak ada pernyataan analitik untuk Ô(x) , integrasi numerik harus digunakan untuk mencari nilai pendekatannya. Sebagai contoh, nilai Ô(5) digunakan untuk mencari nilai pendekatannya. Sebagai contoh, nilai Ô(5) adalah

(12)

Cancel Anytime.

(13)

Cancel Anytime.

Tujuan dari pembahasan materi ini adalah untuk memahami prinsip Tujuan dari pembahasan materi ini adalah untuk memahami prinsip –pri

–prinsip nsip dasadasar r integintegrasi rasi numenumerik. rik. SasaSasaran ran dasdasarnya arnya adaladalah ah pendpendekatekatanan integral tentu f(x) pada selang a_ x_b dengan sejumlah titik-titik sampel integral tentu f(x) pada selang a_ x_b dengan sejumlah titik-titik sampel (( sample nodes sample nodes), (x0,f0), (x1,f1), (x2,f2),…., (xM,fM) dengan f k=f(xk).), (x0,f0), (x1,f1), (x2,f2),…., (xM,fM) dengan f k=f(xk).

Rumus pendekatan berbentuk: Rumus pendekatan berbentuk:

Nilai-nilai

Nilai-nilai ù0, ù 1,…, ùM ù0, ù 1,…, ùM berupa konstanta atau bobot. Tergantung berupa konstanta atau bobot. Tergantung

pada penerapan yang diinginkan, simpul-simpul xk dipilih dalam berbagai pada penerapan yang diinginkan, simpul-simpul xk dipilih dalam berbagai cara. Untuk aturan Trapesium, Simpson, dan aturan Boole, simpul-simpul cara. Untuk aturan Trapesium, Simpson, dan aturan Boole, simpul-simpul

(14)

Cancel Anytime.

(15)

Cancel Anytime.

Berikut ini adalah beberapa metode integrasi numerik yang

Berikut ini adalah beberapa metode integrasi numerik yang popular popular digunakan:

digunakan:

a.

a. Trapezoidal Trapezoidal Rule Rule (Aturan (Aturan Trapesium)Trapesium) Simp

Simpliclicity, ity, OptOptimal imal for for improimprorer rer intintegraegrals, ls, NeedNeeds s a a larglargee number of sub intervals for good accuracy.

number of sub intervals for good accuracy.

b.

b. Simpson’s Simpson’s 1/3 1/3 RuleRule Sim

Simplplicicityity. . HigHigher her accaccurauracy cy thathan n trtrapeapezoizoidal dal rulrule, e, EvEvenen number of interval only.

number of interval only.

c.

c. Multiple Multiple -application -application Simpson’s Simpson’s 1/3 1/3 Rule.Rule. d.

d. Simpson’s Simpson’s 3/8 3/8 Rule.Rule. ee. . NNeewwttoon n CCootteess.. f.

f. Romberg Romberg Integration.Integration. g.

(16)

Cancel Anytime.

(17)

Cancel Anytime.

integral di bawah polinomial tersebut dikenal dengan metode (aturan) integral di bawah polinomial tersebut dikenal dengan metode (aturan) Simpson.

Simpson.

Gambar 3 Aturan Simpson Gambar 3 Aturan Simpson

2.

2.2.2.11 AtAtururanan-A-Atuturaran n SiSimpmpsosonn

2.2.1.1

(18)

Cancel Anytime.

(19)

Cancel Anytime.

Di dalam aturan Simpson 1/3 digunakan Di dalam aturan Simpson 1/3 digunakan polinomial order dua (persamaan parabola) yang polinomial order dua (persamaan parabola) yang

melalui titik

melalui titik f f (( x xii – – 11)) , , f f (( x xii) dan) dan f f (( x xi i + + 11) untuk ) untuk

m

meendndeekakati ti fufunngsgsi. i. RRumumus us SSimimppsoson n dadapapatt diturunkan berdasarkan deret Taylor. Untuk itu, diturunkan berdasarkan deret Taylor. Untuk itu, dipandang bentuk integral berikut ini.

dipandang bentuk integral berikut ini. d dxx x x f f x x I I ==∫ ∫ x x a a )) (( )) (( (persamaan 1) (persamaan 1) Apabi

Apabila la bentbentuk uk tersetersebut but didifedidiferensrensialkaialkann terhadap

terhadap x x, akan menjadi:, akan menjadi:

)) (( )) (( )) (( '' f f xx d dxx x x d dI I x x I I == == (persamaan 2) (persamaan 2)

Dengan memperhatikan Gambar 4 dan persamaan Dengan memperhatikan Gambar 4 dan persamaan (2) maka persamaan deret Taylor adalah:

(2) maka persamaan deret Taylor adalah:

(( '' '' !! 3 3 Δ Δ )) (( '' !! 2 2 Δ Δ )) (( Δ Δ )) (( )) Δ Δ (( )) (( ii 3 3 ii 2 2 ii ii ii 1 1 ii f f xx x x x x f f x x x x f f x x x x I I x x x x I I x x I I ₊₊ == ++ == ++ ++ ++

(20)

Cancel Anytime.

(21)

Cancel Anytime.

Pa

Pada da GaGambmbar ar 4, 4, ninilalaii I I (( x xii + + 11) ) adaadalah lah lualuasansan

diba

dibawah wah fungfungsisi f f (( x x) antara batas) antara batas aa dandan x xii + + 11..

Sedangkan nilai

Sedangkan nilai I I (( x xii−−11) adalah luasan antara batas) adalah luasan antara batas

a

a dandan I I (( x xii−−11). Dengan demikian luasan di bawah). Dengan demikian luasan di bawah

fungsi antara batas

fungsi antara batas x xii−−11 dandan x xii + 1+ 1 yaitu (yaitu ( A Aii), adalah), adalah

luasan

luasan I I (( x xii + + 11) dikurangi) dikurangi I I (( x xii −−11) atau persamaan) atau persamaan

(3) dikurangi persamaan (4). (3) dikurangi persamaan (4).

A

Aii== I I (( x xii + 1+ 1) – ) – I I (( x xii−−11))

Atau Atau )) Δ Δ (( )) (( '' '' 3 3 Δ Δ )) (( Δ Δ 2 2 ii 55 3 3 ii ii f f x x OO xx x x x x f f x x A A == ++ ++ (persamaan 5) (persamaan 5) Nilai

Nilai f f ''(''( x xii) ) ditdituliulis s dadalam lam bebentuntuk k difdifereerensinsialal

terpusat: terpusat: )) Δ Δ (( Δ Δ )) (( )) (( 2 2 )) (( )) (( '' '' _ii ii 11 ₂₂ii ii 11 OO xx22 x x x x f f x x f f x x f f x x f f == −− −− ++ ++ ++

(22)

Cancel Anytime.

(23)

Cancel Anytime.

Cancel Anytime. )) Δ Δ (( )) 4 4 (( 3 3 Δ Δ 55 1 1 ii ii 1 1 ii ii f f f f f f OO xx x x A A == ₋₋ ++ ++ ₊₊ ++ (persamaan 6) (persamaan 6) Persamaan 6 dikenal dengan metode Simpson 1/3. Persamaan 6 dikenal dengan metode Simpson 1/3. Dib

Diberi eri tamtambabahan han nanama ma 1/3 1/3 kakarenrenaa ∆∆ x x dibagidibagi

dengan 3. Pada pemakaian satu pias, dengan 3. Pada pemakaian satu pias,

2 2 a a b b x x == −− ∆ ∆ _,,

sehingga persamaan 6 dapat ditulis dalam bentuk: sehingga persamaan 6 dapat ditulis dalam bentuk:

[ [ (( )) 44 (( )) (( ))]] 6 6 ii f f aa f f cc f f bb a a b b A A == −− ++ ++ (persamaan 7) (persamaan 7) dengan titik

dengan titik ccadalah titik tengah antaraadalah titik tengah antara aa dandanbb..

Kesalahan pemotongan yang terjadi dari metode Kesalahan pemotongan yang terjadi dari metode Simpson 1/3 untuk satu pias

Simpson 1/3 untuk satu pias adalah:adalah: )) (( '' '' '' '' Δ Δ 1 1 55 ξ ξ f f

(24)

Cancel Anytime.

(25)

Cancel Anytime.

Den

Dengan mengan mengguggunaknakan persaan persamaamaan n 7 7 mamaka luaska luas bidang adalah: bidang adalah: [ [ ]] (( 44 )) 5566,,7766 6 6 0 0 4 4 )) (( )) (( 4 4 )) (( 6 6 4 4 2 2 0 0 ii ++ ++ == − − = = + + + + − − = = bb aa _f_f _a_a _f_f _c_c _f_f _b_b _e_e _e_e _e_e A A

Kesalahan terhadap nilai eksak: Kesalahan terhadap nilai eksak:

% %.. 9 91177 ,, 5 5 % % 1 10000 598150 598150 ,, 5 533 7696 7696 ,, 5 566 598150 598150 ,, 5 533 tt ×× ==−− − − = = ε ε 2.2.1.2

2.2.1.2 _{Aturan Simpson}_{Aturan Simpson 1/3}_{1/3 dengan banyak pias}_{dengan banyak pias}

Seperti dalam metode trapesium, metode Seperti dalam metode trapesium, metode Simpson dapat diperbaiki dengan membagi luasan Simpson dapat diperbaiki dengan membagi luasan dalam sejumlah pias dengan panjang interval dalam sejumlah pias dengan panjang interval yangyang sama (Gambar 5):

(26)

Cancel Anytime.

(27)

Cancel Anytime.

Luas total diperoleh dengan menjumlahkan semua Luas total diperoleh dengan menjumlahkan semua pias, seperti pada Gambar 5.

pias, seperti pada Gambar 5.

∫ ∫ == ++ ++ ++ −− b b a a 1 1 n n 3 3 1 1 ... ))

(( x x dxdx A A A A AA f

f

(persamaan 8) (persamaan 8)

Dalam metode Simpson ini jumlah interval adalah Dalam metode Simpson ini jumlah interval adalah gena

genap. p. ApaApabila bila persapersamaan 6 maan 6 disubdisubstitustitusikasikan n keke dalam pe

dalam persamaan 8 rsamaan 8 akan dipeakan diperoleh:roleh:

4 4 (( 3 3 Δ Δ ... ... )) 4 4 (( 3 3 Δ Δ )) 4 4 (( 3 3 Δ Δ )) (( _n_n ₂₂ _n_n ₁₁ b b a a 3 3 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 f f f f x x f f f f f f x x f f f f f f x x dx dx x x f f ++ ++ ++ ∫ ∫ == ++ ++ ++ ++ ++ ++ −− −− atau atau ∫ ∫ == _ ++ ++ ∑∑ ++ ∑∑ _ − − = = − − = = b b a a 2 2 n n 2 2 ii ii 1 1 n n 1 1 ii ii )) (( 2 2 )) (( 4 4 )) (( )) (( 3 3 Δ Δ )) (( x x dxdx x x f f aa f f bb f f x x f f xx f f (persamaan 9) (persamaan 9)

(28)

Cancel Anytime.

(29)

Cancel Anytime.

Hitung

Hitung I I ==∫ ∫ ee dxdx , ,

4 4 0 0 x x de

dengngan an memetotode de SiSimpmpsosonn dengan

dengan ∆∆ x x = 1.= 1. Penyelesaian: Penyelesaian:

Den

Dengan gan memenggnggunaunakan kan perpersamsamaaaan n 9 9 makmaka a lualuass bidang adalah: bidang adalah: .. 863846 863846 ,, 5 533 ]] 2 2 )) (( 4 4 [[ 3 3 1 1 00 44 11 33 22 = = + + + + + + + + = = ee ee ee ee ee I I

Kesalahan terhadap nilai eksak: Kesalahan terhadap nilai eksak:

.. % % 5 5 ,, 0 0 % % 1 10000 598150 598150 ,, 5 533 863846 863846 ,, 5 533 598150 598150 ,, 5 533 tt ×× == − − = = ε ε

(30)

Cancel Anytime.

(31)

Cancel Anytime.

Cancel Anytime. dengan: dengan: 3 3 a a b b x x == −− ∆ ∆ Pe

Persrsamamaaaan n 10 10 didisesebubut t dedengngan metan metododee Simp

Simpson son 3/8 3/8 karekarenana ∆∆ x x dikalikan dengan 3/8.dikalikan dengan 3/8.

Met

Metode ode SimSimpsopson n 3/8 3/8 dapdapat at jugjuga a ditdituliulis s daldalamam bentuk: bentuk:

[ [

]]

8 8 )) (( )) (( 3 3 )) (( 3 3 )) (( )) ((bb aa f f x x00 f f x x11 f f x x22 f f xx33 I I == −− ++ ++ ++ (persamaan 11) (persamaan 11) Me

Metotode de SiSimpmpsoson n 3/3/8 8 memempmpununyayai i kekesasalalahahann pemotongan sebesar: pemotongan sebesar: )) (( '' '' '' '' Δ Δ 8 800 3 3 ₃₃ tt ξ ξ ε ε ==−− x x f f (persamaan 12a) (persamaan 12a)

(32)

Cancel Anytime.

(33)

Cancel Anytime.

ke

kesalsalahaahan n yanyang g cukcukup up besbesar. ar. UntUntuk uk itu itu kedkeduaua metode dapat digabung, yaitu sejumlah

metode dapat digabung, yaitu sejumlah genap piasgenap pias dig

digunaunakakan n metmetode ode SimSimpsopson n 1/3 1/3 sedsedang ang 3 3 piapiass sisanya digunakan metode Simpson 3/8.

sisanya digunakan metode Simpson 3/8. Contoh soal:

Contoh soal:

Dengan aturan Simpson 3/8 hitung

Dengan aturan Simpson 3/8 hitung I I == ∫ ∫ ee dxdx

4 4 0 0 x x .. H

Hiittuunng g ppuulla a iinntteeggrraal l tteerrsseebbuut t ddeennggaann menggunakan gabungan dari metode Simpson 1/3 menggunakan gabungan dari metode Simpson 1/3 dan 3/8, apabila digunakan 5 pias dengan

(34)

(35)

Cancel Anytime.

b)

b) Apabila digunakan Apabila digunakan 55 piaspias, maka data untuk , maka data untuk

kelima pias tersebut adalah: kelima pias tersebut adalah:

f f (0) =(0) =ee00= 1= 1 f f (2,4) =(2,4) = ee2,42,4 == 11,02318. 11,02318. f f (0,8) =(0,8) =ee0,80,8= 2,22554= 2,22554 f f (3,2) =(3,2) = ee3,23,2 == 24,53253. 24,53253. f f (1,6) =(1,6) = ee1,61,6= 4,9530= 4,9530 f f ((44) ) == ee44 == 54,59815. 54,59815.

Integral untuk 2 pias

(36)

(37)

Cancel Anytime.

Cancel Anytime. % %.. 4 42277 ,, 0 0 % % 1 10000 59815 59815 ,, 5 533 826873 826873 ,, 5 533 598150 598150 ,, 5 533 tt ×× ==−− − − = = ε ε 2.2.2

2.2.2 Algoritma Algoritma Metode Metode Integrasi Integrasi SimpsonSimpson

(1) Definisikan y=f(x) (1) Definisikan y=f(x)

(2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) (2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) (3) Tentukan jumlah pembagi n

(3) Tentukan jumlah pembagi n (4) Hitung h=(b-a)/n

(38)

(39)

Cancel Anytime.

program akuisisi data. Tahap kedua meliputi pembuatan program program akuisisi data. Tahap kedua meliputi pembuatan program analisis pola percobaan untuk struktur sederhana dan percobaan analisis pola percobaan untuk struktur sederhana dan percobaan modus getar skala laboratorium bagi struktur sederhana tersebut. modus getar skala laboratorium bagi struktur sederhana tersebut. Pada kedua tahapan, struktur uji yang berupa pelat tipis dianggap Pada kedua tahapan, struktur uji yang berupa pelat tipis dianggap teta

tetap p beraberada da daladalam m keadkeadaan aan elaselastis. tis. SebaSebagian gian subrusubrutin-stin-subrutubrutinin p

proroggraram m ppaada da tatahhaap p aawawal l mmaaupupun un pproroggraram m aakukuisisisisi i ddaann pembacaa

pembacaannya digunakan untuk nnya digunakan untuk penelitian tahap kedua.penelitian tahap kedua.

Kajian tahap pertama memperlihatkan bahwa perpindahan Kajian tahap pertama memperlihatkan bahwa perpindahan da

dan n kekecepcepataatan n dadapat pat dipdiperherhituitungkngkan an dardari i perpercecepatpatannannya ya yayangng dipe

(40)

(41)

Cancel Anytime.

frekuensi masih lebih cepat bila dibandingkan dengan proses dalam frekuensi masih lebih cepat bila dibandingkan dengan proses dalam ranah waktu. Respons mekanik dapat mewakili perilaku mekanik ranah waktu. Respons mekanik dapat mewakili perilaku mekanik dari sebuah struktur yang terkena suatu eksitasi gaya. Respons dari sebuah struktur yang terkena suatu eksitasi gaya. Respons me

mekakaninik k tetersrsebebut ut sasangngat at didipepengngararuhuhi i ololeh eh papararamemeteter r sisiststemem dinamik struktur tersebut. Kajian tahun kedua meliputi penentuan dinamik struktur tersebut. Kajian tahun kedua meliputi penentuan pa

paramrameteeter r tertersebsebut, ut, yaiyaitu tu polpola a getgetar, ar, nilnilai-ai-nilnilai ai frefrekuekuensinsi, , dandan nisbah redaman yang ada pada

nisbah redaman yang ada pada suatu struktur sederhana. Parameter suatu struktur sederhana. Parameter dinamik ini dapat ditentukan melalui analisis pola percobaan pada dinamik ini dapat ditentukan melalui analisis pola percobaan pada struktur tersebut. Parameter tersebut ditentukan dalam 4 tahapan, struktur tersebut. Parameter tersebut ditentukan dalam 4 tahapan, yaitu pengujian data dan akuisisi data, penentuan fungsi respons yaitu pengujian data dan akuisisi data, penentuan fungsi respons frekuensi, penentuan parameter dinamik, dan penggambaran pola frekuensi, penentuan parameter dinamik, dan penggambaran pola

(42)

(43)

Cancel Anytime.

meliputi program analisis pola percobaan pada dek atau lantai meliputi program analisis pola percobaan pada dek atau lantai jem

jembatan batan konvkonvensiensionalonal. . KeruKerusakasakan n atau atau kelakelainan inan daya daya dukudukungng fondasi dalam pembangunan suatu gedung atau struktur lainnya fondasi dalam pembangunan suatu gedung atau struktur lainnya bia

biasanysanya a terjaterjadi di akibakibat at kelakelalaialaian n operaoperator tor atauataupun pun oleh oleh kondkondisiisi tanah. Program pendeteksian kerusakan struktural seperti program tanah. Program pendeteksian kerusakan struktural seperti program

(44)

Cancel Anytime.

PENUTUP PENUTUP

(45)

Cancel Anytime.

--

mat.um.ac.id/eLearning/numerik/Integrasi/Simpson2.htmmat.um.ac.id/eLearning/numerik/Integrasi/Simpson2.htm . Internet. Internet