PENYELESAIAN MASALAH OPTIMISASI NONLINEAR BERKENDALA DENGAN METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

(1)

PENYELESAIAN MASALAH

OPTIMISASI NONLINEAR BERKENDALA DENGAN METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh : Daniel Teguh Kurniawan

NIM : 013114027

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

(2)

THE SOLUTION

OF NONLINEAR CONSTRAINED OPTIMIZATION PROBLEMS WITH INTERIOR PENALTY FUNCTION METHODS

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Sarjana Sains Degree

in Mathematics

By :

Daniel Teguh Kurniawan Student Number : 013114027

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

2008

(3)

(4)

(5)

HALAMAN PERSEMBAHAN

” PERIHAL WAKTU ”

Selama-lamanya bukan berarti kekal, namun kekal adalah selama-lamanya.

Jangan biarkan waktu terbuang dengan sia-sia, karena waktu terus berlalu.

Waktu sangatlah mahal dan singkat, sekali berlalu tidak akan kembali.

MOTTO

”

Tetapi carilah dahulu Kerajaan Allah dan kebenarannya, maka

semuanya itu akan ditambahkan kepadamu.” (

Matius 6:33

)

Skripsi punika kawula aturaken :

Konjuk dhumateng Gusti Yesus ingkang tansah paring sih rahmat lan tentrem rahayu. Mekaten ugi Bapak lan Ibu ingkang tansah paring panggulowenthah dhumateng kula saha Mas Danang lan Mas Aris ingkang tansah paring daya panyengkuyung kagem mungkasi skripsi kula punika. Kula tansah tresna dhumateng sadaya ingkang sampun mbiyantu murih cekaping skripsi kula. Maturnuwun, Gusti berkahi.

(6)

ABSTRAK

Metode fungsi penalti interior merupakan metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala dengan mengubah masalah tersebut menjadi masalah optimisasi nonlinear tak berkendala. Dalam metode ini, pencarian penyelesaian optimalnya dimulai dari daerah layak

Bentuk umum dari fungsi penalti interior adalah

φ k= φ (x, μk) = f(x) + μk m

j=1

Σ B(x) dengan B(x) =

) ( 1

x j g

− , g (x) merupakan kendala dan parameter penalti . Dalam penulisan ini metode yang digunakan untuk meminimalkan

j μk >0

φ(x,μk) adalah Metode Newton. Penyelesaian optimal didapatkan jika nilai φ(x,μk) konvergen ke f(x) dengan μk ≥μk₊₁ danμk →0, k →∞.

(7)

ABSTRACT

Interior penalty function methods is a method which is used to solve the constrained nonlinear optimization problem by changing the problem become the unconstrained nonlinear optimization. In this method, the optimal solution searching is begun from the feasible region.

The general expression of the interior penalty function is

φ k= φ (x, μk) = f(x) + μk m

j=1

ΣB(x) where _B(x) =

) ( 1

x j g

− , g_j(x) is the constraints and penalty parameters μ_k >0. In this thesis, the method that is used for minimizing φ(x,μ_k) is a Newton methods. The optimal solution is obtained if φ(x,μ_k) converge to f(x) as

and

1 +

μ ≥

μk k μk →0, k →∞.

(8)

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan

dalam kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 12 Juni 2008

Penulis,

Daniel Teguh Kurniawan

(9)

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Daniel Teguh Kurniawan

Nomor : 013114027

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yamg berjudul:

“ Penyelesaian Masalah Optimasi Nonlinear Berkendala

Dengan Metode Fungsi Penalti Interior ”

Dengan demikian saya memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata

Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,

mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikannya secara terbatas

dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis

tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya

selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal 12 Juni 2008

Yang menyatakan,

( Daniel Teguh Kurniawan )

(10)

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur, penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus,

sang Juru Selamat. Karena kasih dan karunia-Nya maka skripsi ini dapat

terselesaikan dengan baik.

Dalam penyusunan skripsi ini penulis meminta bantuan dari berbagai

pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin

menyampaikan ucapan terima kasih kepada :

1. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing dan

Kaprodi Matematika FST-USD yang dengan rendah hati mau meluangkan

banyak waktu luang dan penuh kesabaran telah membimbing selama

penyusunan skripsi ini walaupun penulis sering terlambat bahkan kabur dari

jadwal bimbingan dengan waktu yang cukup lama.

2. Ir. Greg. Heliarko, S.J., S.S., B.S.T., M.Sc., M.A., selaku Dekan FST-USD.

3. Kakak-kakakku, Danang dan Aris, yang selalu mendorong untuk dapat

menyelesaikan skripsi tepat waktu tapi tidak bisa sesuai dengan yang

diharapkan. .

4. Teman-teman “ Penghuni Terakhir “ : Tedy “ Bear “, Rita “ poco-poco “,

Zefanya, Yuli, yang bersama-sama berjuang keluar dari “selingan hidup” ini

dan yang saling memberikan semangat, motivasi supaya lulus sama-sama.

5. Keluarga Besar Rakiman di Klaten atas dukungan doanya..

6. teman pemuda remaja GKJ Gondangwinangun Klaten dan

Teman-teman pemuda remaja GKJ Ketandan, terima kasih atas dukungan doanya.

(11)

7. Sahabat-sahabatku di Matematika Angkatan’01, Ariel, Ray, Andre, Indah,

Deta, Maria, Erika, Ajeng, Very, Yuli, Wiwit, Vrysca, April, Alam, Dani,

Tabitha, Upik. Tidak akan pernah ku lupakan semua waktu yang pernah kita

lewati.

8. Mas Nadi “ sebagai pembimbing skripsi di kos”, Ridwan ” Sahabat dan

saudaraku ” terima kasih atas tumpangan kostnya.

9. Teman-teman PMK “ OIKUMENE “ yang selalu berbagi suka duka dalam

hidup. Maxi dan Tata “ Maranatha Family “ atas dukungan doanya.

10.Teman-teman pemuda Karang Taruna “ Mekar Sari “ di desa tempat saya

tinggal, terima kasih atas dukungan doanya.

11.Teman-teman SMU 2 Klaten, Seka dan Okie terima kasih atas petuah bijaknya.

12.Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Tak ada gading yang tak retak, penulis menyadari kekurangan dalam

skripsi ini, untuk itu saran dan kritik sangat diharapkan dalam peningkatan

kualitas skripsi ini.Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat

bagi semua pihak.

Yogyakarta, 12 Juni 2008

Penulis,

Daniel Teguh Kurniawan

(12)

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL INDONESIA ... i

HALAMAN JUDUL INGGRIS... ... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii

HALAMAN PENGESAHAN ... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ... v

ABSTRAK ... vi

ABSTRACT ... vii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... viii

LEMBAR PERNYATAAN... ix

KATA PENGANTAR ... x

DAFTAR ISI ... xii

DAFTAR GAMBAR ... xiv

DAFTAR TABEL ... xv

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang Masalah ... 1

B. Perumusan Masalah ... 3

C. Batasan Masalah ... 3

D. Tujuan Penulisan ... 3

E. Manfaat Penulisan ... 4

F. Metode Penelitian ... 4

G. Sistematika Penulisan ... 4

(13)

BAB II DASAR TEORI ... 6

A. Ruang Vektor dan Ruang Euclid ... 6

B. Barisan Konvergen dan Barisan Monoton ... 7

C. Fungsi Kontinu ... 9

D. Turunan parsial ... 10

E. Metode newton ... 10

F. Optimisasi ... 12

1. Masalah Optimasi... 12

2. Penyelesaian Masalah Optimasi... 14

BAB III METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR... 15

A. Konsep Dasar Fungsi Penalti ... 15

B. Bentuk Umum Fungsi Penalti Interior ... 19

C. Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior ... 20

D. Konvergensi Metode Fungsi Penalti Interior ... 54

BAB IV PENUTUP ... 57

A. Kesimpulan ... 57

B. Saran ... 58

DAFTAR PUSTAKA ... 59

LAMPIRAN ... 60

(14)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Flowchart Algoritma Metode Newton... 11

Gambar 2.2 Peminimum f(x) sama dengan Pemaksimum -f(x)... 12

Gambar 3.1.1 Ilustrasi Metode Fungi Penalti Eksterior... 18

Gambar 3.1.2 Ilustrasi Metode Fungsi Penalti Interior... 18

Gambar 3.2 Flowchart Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior... 21

(15)

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.3.1 Output penyelesaian contoh 3.3.1... 40

(16)

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Optimisasi adalah tindakan yang dilakukan untuk mendapatkan hasil

terbaik dari kondisi-kondisi yang diberikan ( sebagai suatu masalah ). Optimisasi

sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari seperti pada bidang ekonomi

maupun manajemen. Sebagai contoh perusahaan pakaian yang ingin memberikan

harga yang terbaik supaya perusahaan itu mendapatkan keuntungan yang

terbanyak. Dalam berbagai macam situasi praktis tindakan tersebut dapat dibawa

ke dalam perumusan matematika sebagai suatu fungsi dari variabel-variabel

keputusan tertentu, dengan demikian optimisasi dapat didefinisikan sebagai proses

untuk menemukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi.

Bidang ilmu matematika yang secara umum mempelajari tentang

optimisasi adalah Riset Operasi. Riset Operasi sendiri terbagi menjadi 3 jenis

metode, yang secara khusus mempelajari tentang masalah optimisasi tersebut

yaitu : Pemrograman Matematika, Proses Stokhastik dan Metode Statistika.

Pemrograman Matematika digunakan untuk menemukan nilai fungsi dengan

beberapa variabel dari suatu himpunan yang sudah ditentukan dengan

kendala-kendalanya. Pemrograman Matematika terbagi lagi dalam beberapa bagian,

diantaranya adalah Program Linear dan Program Nonlinear.

Dalam Program Nonlinear masalah optimisasi dibedakan menjadi dua,

(17)

Masalah optimisasi dengan kendala merupakan masalah mengoptimalkan fungsi

sasaran dengan kendalanya, dimana fungsi sasaran dan

kendala-kendalanya tersebut adalah fungsi nonlinear. Ada beberapa metode yang

digunakan dalam menyelesaikan masalah optimisasi program nonlinear dengan

kendala yaitu ; Metode Primal, Metode Penalti, Metode Dual dan Metode

Pemotongan Kurva serta Metode Lagrange.

Pada skripsi ini akan dibahas pendekatan numeris untuk menyelesaikan

masalah optimisasi Program Nonlinear dengan kendala berupa persamaan dan

pertidaksamaan. Pendekatan yang digunakan adalah Metode Fungsi Penalti.

Metode Fungsi Penalti merupakan salah satu Metode Numerik yang digunakan

untuk mengubah masalah optimisasi dengan kendala menjadi masalah tanpa

kendala dengan menambahkan fungsi penalti pada fungsi sasaran. Istilah penalti

dipilih sedemikian hingga nilainya akan kecil untuk titik yang jauh dari batas

kendala, dimulai dari titik layak x , yaitu sembarang titik yang memenuhi semua kendala, titik subbarisan yang dibangun akan selalu terletak di daerah layak

karena batas kendala bertindak sebagai penghalang sepanjang proses minimasasi.

Inilah alasan mengapa Metode Fungsi Penalti juga dikenal sebagai metode

penghalang.

Pada dasarnya Metode Penalti terbagi menjadi 2 yaitu Metode Fungsi

Penalti Eksterior dan Metode Fungsi Penalti Interior. Akan tetapi, skripsi ini

hanya membahas Metode Fungsi Penalti Interior, dimana penalti ditambahkan

pada fungsi sasaran. Metode ini menghasilkan barisan titik-titik layak yang

(18)

B. Perumusan Masalah

Pokok masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini sebagai berikut :

1. Apa itu Metode Fungsi Penalti Interior ?

2. Bagaimana menyelesaikan masalah optimisasi dengan kendala berupa

pertidaksamaan dengan Metode Fungsi Penalti Interior ?

C. Batasan Masalah

Pada penulisan skripsi ini hanya akan dibahas tentang Metode Fungsi

Penalti Interior untuk menyelesaikan masalah optimisasi Program Nonlinear

dengan kendala-kendala berupa pertidaksamaan dan teknik yang digunakan dalam

menyelesaikan masalah optimisasi tak berkendala menggunakan metode newton.

D. Tujuan Penulisan

Penulisan ini bertujuan untuk memberi wawasan dan pengetahuan kepada

pembaca dengan pengertian dasar tentang bagaimana cara menyelesaikan masalah

optimisasi Program Nonlinear dengan kendala dengan Metode Fungsi Penalti

(19)

E. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan skripsi ini yang sangat diharapkan adalah penulis

dapat mengetahui dan memahami bagaimana bentuk Metode Fungsi Penalti

Interior dan bagaimana cara menyelesaikan masalah optimisasi dengan kendala

dengan Metode Fungsi Penalti Interior dengan kendala-kendala berupa

pertidaksamaan.

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah

metode studi literatur atau studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari

materi dari buku-buku acuan yang berkaitan dengan masalah ini. Jadi, dalam

skripsi ini tidak ada penemuan-penemuan yang baru.

G. Sistematika Penulisan

BAB I : PENDAHULUAN

Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang, perumusan

masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan,

(20)

BAB II : DASAR TEORI

Dalam bab ini akan dibahas konsep ruang vektor dan ruang Euclid,

fungsi kontinu dan fungsi terdiferensial, Barisan Konvergen dan

Barisan Monoton, turunan parsial, syarat optimalitas untuk masalah

berkendala, Metode Newton serta teori optimisasi yang nantinya

akan digunakan untuk memahami metode Fungsi Penalti Interior.

BAB III : METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR

Dalam bab III akan dibahas tentang konsep fungsi penalti,

interpretasi geometris fungsi penalti, pengertian metode Fungsi

Penalti Interior, bentuk umum Fungsi Penalti Interior dan algoritma

metode Fungsi Penalti Interior disertai beberapa contoh masalah

optimisasi nonlinear berkendala yang diselesaikan dengan metode

Fungsi Penalti Interior, implementasi dengan program matlab serta

konvergensi Metode Fungsi Penalti Interior.

BAB IV : PENUTUP

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

BAB III

METODE FUNGSI PENALTI INTERIOR

Pada bab ini akan dipaparkan tentang metode fungsi penalti interior

sebagai salah satu cara untuk menyelesaikan masalah program nonlinear, yakni

masalah optimisasi berkendala. Proses pencarian dalam menemukan penyelesaian

optimal dengan menggunakan metode fungsi penalti interior akan dimulai dari

daerah layak. Tetapi sebelum membahas lebih jauh tentang metode tersebut, akan

dibahas terlebih dahulu tentang konsep dasar metode tersebut.

A. Konsep Dasar Fungsi Penalti

Salah satu cara untuk mengubah masalah optimisasi berkendala menjadi

masalah optimisasi tak berkendala adalah dengan metode fungsi penalti. Dalam

kehidupan sehari-hari penalti yang berarti hukuman terjadi karena adanya

pelanggaran. Dengan demikian, dalam masalah optimisasi berkendala fungsi

penalti terjadi karena adanya pelanggaran, yaitu dengan menghilangkan kendala

pada masalah optimisasi tersebut.

Masalah optimisasi dasar dapat dinyatakan dalam bentuk

meminimalkan f (x)

dengan kendala g_j(x) ≤ 0 , j = 1, 2, Κ , m ( 3.1 )

(31)

dengan fungsi f, g_jmerupakan fungsi kontinu pada ℜn dan X himpunan tidak

kosong di ℜn. Perhatikan bahwa jika ada sembarang kendala yang diberikan

maka persamaan tersebut dipenuhi oleh x ∈ X . Masalah optimisasi berkendala

tersebut diubah ke dalam sebuah masalah minimisasi tak berkendala dengan

membangun sebuah fungsi yang berbentuk

φ _k= φ (x, μ_k) = f(x) + μ_k

m j=1

ΣB(x) ( 3.2 )

dimana _B(x) adalah suatu fungsi dari kendala g_j dan μ_k adalah konstanta positif yang dinamakan parameter penalti. Suku kedua pada ruas kanan dari persamaan

( 3.2 ) disebut syarat penalti. Jika minimisasi tak berkendala dari fungsi φ diulang

untuk suatu barisan dari nilai-nilai parameter penalti μ_k untuk k = 1, 2, Κ maka

penyelesaiannya akan konvergen ke masalah optimisasi dasar yang dinyatakan

dalam persamaan ( 3.1 ). Jadi, penalti dapat diartikan sebagai fungsi yang

ditambahkan pada fungsi obyektif dengan parameter penalti. Metode penambahan

fungsi penalti ini disebut sebagai Metode Fungsi Penalti.

Rumus Metode Fungsi Penalti untuk masalah berkendala dengan kendala

berbentuk pertidaksamaan dapat dibagi menjadi dua kategori yaitu metode fungsi

penalti interior dan metode fungsi penalti eksterior. Rumus metode fungsi penalti

interior yang sering digunakan berbentuk

B(x) =

Σ

=

m

j 1 -

) ( 1

x

j

g

atau B(x) =

Σ

=

m

j 1

(32)

Rumus metode fungsi penalti eksterior yang sering digunakan berbentuk

B(x) = max[0, g_j(x)] atau

B(x) =

{

max

[

0,g_j(x)

]

}

2

Di dalam metode fungsi penalti interior minimal tak berkendala dari φ _k

berada dalam daerah layak dan konvergen ke penyelesaian persamaan ( 3.1 )

dengan μ_k berbeda dalam aturan tertentu. Dalam metode fungsi penalti eksterior

titik yang membuat nilai minimum dari masalah tak berkendala φ _k berada dalam

daerah tak layak dan konvergen ke penyelesaian yang diinginkan dari luar dengan

k

μ berbeda dalam aturan khusus. Untuk masalah penalti interior dan eksterior,

konvergensi dari masalah optimisasi tak berkendala φ _k diilustrasikan pada

Gambar 2a dan Gambar 2b untuk masalah mencari nilai x yang

meminimalkan f(x) = α x₁

(33)

Gambar 3.1.1 Ilustrasi Metode Fungsi Penalti Eksterior

(34)

Untuk menggambarkan secara geometris metode fungsi penalti interior,

dibuat terlebih dahulu grafik fungsi f(x) = α x₁ dan kendala g₁(x) = β−x₁ ≤ 0. selanjutnya masalah optimasi berkendala tersebut dibawa ke dalam masalah

optimisasi tak berkendala dengan membentuk sebuah fungsi

β

1

μ α

=

1 1

x x

φ k dengan B(x) =

-1 1

x

−

β dan μk sebagai parameter penalti.

Pencarian optimum dimulai dari daerah layak x₁ yang berada di daerah layak dan

titik berikutnya yang dihasilkan selalu berada dalam daerah layak karena ada

batas-batasnya. Karena pemilihan μ_k yang besar maka mengakibatkan φ_k masih

jauh dari optimum. Dengan cara yang sama, jika minimasi tak berkendala dari

fungsi φ_kdiulang untuk suatu barisan nilai-nilai parameter penalti k = 1, 2, ....

dimana μ_k >μ_k₊₁ maka penyelesaian akan konvergen ke masalah optimisasi dasar

dan akan mendekati optimum.

B. Bentuk Umum Fungsi Penalti Interior

Dari Sub bab sebelumnya, dalam metode fungsi penalti interior sebuah

fungsi baru φ yang dibentuk dengan menambahkan syarat penalti ke fungsi

obyektif. Syarat penalti dipilih sedemikian hingga nilainya mengecil sehingga

nilai fungsi φ akan menuju optimum. Kejadian ini bisa dilihat pada Gambar

3.1.2. Minimisasi tak berkendala dari fungsi φ (x, μ_k) dimulai dari sembarang

titik layak

x

₁ dan titik berikutnya yang dihasilkan selalu pada daerah layak. Hal

(35)

selama proses minimisasi. Inilah alasan mengapa metode fungsi penalti interior

juga disebut sebagai metode barrier.

Fungsi φ (x, μ_k) didefinisikan sebagai

φ(x,μ_k) = f(x) - μ_k

Σ

=

m

j 1 ( )

1

x

j

g ( 3.3 )

Terlihat bahwa nilai fungsi φ (x, μ_k) akan selalu lebih besar dari f(x) ketika g_j(x) negatif untuk semua titik layak x. Jika semua kendala g_j(x)

dipenuhi dengan tanda persamaan maka nilai φ menuju tak hingga dan syarat

penalti di ( 3.3 ) tidak terdefinisi jika x tak layak. Karena persamaan ini tidak

diperbolehkannya adanya kendala yang dilanggar maka titik awal layak harus

dicari dalam proses pencarian menuju ke titik optimum. Sebagian besar masalah

optimisasi nonlinear berkendala tidaklah sulit untuk menemukan sebuah titik yang

memenuhi semua kendala g_j(x) ≤ 0 karena pemilihan titik x yang bebas.

C. Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior

Berikut akan diberikan algoritma dari metode fungsi penalti interior untuk

menyelesaikan masalah optimisasi dasar :

meminimalkan f (x)

kendala g_j(x) ≤ 0 , j = 1, 2, Κ , m

(36)

Algoritma metode fungsi penalti interior dapat diperlihatkan sebagai berikut :

Gambar 3.2 Flowchart Algoritma Metode Fungsi Penalti Interior Masukkan titik awalx1,ε > 0, μ1 > 0 , dan

skalar β >1

Mulai

Tentukan k= 1

x*

k penyelesaian layak, langkah

dihentikan

Bentuklah fungsi φ(x,μ) = f(x) + μ_k_B(x) dengan

B(x) =

m

jΣ=1 ₍ ₎

1

x

j

g

−

Menentukan penyelesaian optimum dari masalah tidak berkendala x*_k dari φ(x,μ)

Selesai

k

μ B(x*_k) < ε

1 +

k

μ = βμ_k dengan k = k +1

YA

(37)

Secara umum langkah-langkah penyelesaian dengan metode fungsi penalti interior

adalah :

Langkah 1

Menentukan nilai awal x₁, parameter penalti μ₁ > 0 dan skalar β∈(0,1) dan diberikan ε > 0 dan k = 1.

Langkah 2

Membentuk fungsi φ(x, μ_k) = f(x) + μ_k_B(x)

dengan B(x) =

Σ

=

m

j 1 -

) ( 1

x

j

g

Langkah 3

Mencari penyelesaian optimum x*_k dari masalah optimisasi tidak

berkendala φ(x, μ_k) = f(x) + μ_kB(x).

Langkah 4

Jika μ_kB(x_k) < ε langkah dihentikan, maka x_k₊₁ merupakan

penyelesaian layak. Sebaliknya jika μ_kB(x_k) > ε, maka tetapkan μ_k₊₁ = β μ_k, ganti k dengan k + 1 dan ulangi Langkah 2.

Ada hal-hal yang perlu dipertimbangkan dalam menerapkan metode ini :

1 Proses iterasi dimulai dengan titik awal x1 tetapi mungkin dalam beberapa kasus titik awal x1 ini tidak perlu dipersiapkan

Tidaklah sulit untuk menentukan titik awal x₁ dalam masalah optimisasi

(38)

kasus khusus titik awal tidak diperlukan dalam menyelesaikan masalah optimisasi berkendala yang dapat dilihat dari fungsi kendalanya yang hanya

terdapat satu variabel. Jika fungsi kendalanya terdapat beberapa variabel

maka titik awal perlu dipersiapkan. Tetapi, ada beberapa keadaan sedemikian

hingga titik layak tidak bisa ditemukan dengan mudah. Dalam kasus seperti

ini, titik layak awal yang diminta dapat ditemukan dengan menggunakan

metode fungsi penalti interior itu sendiri. Dengan memperhatikan hal-hal

sebagai berikut :

Langkah i

Pilih sembarang titik x₁ dan evaluasi g_j(x) di titik x₁. Karena titik x₁

sembarang maka tidak semua titik memenuhi semua kendala pertidaksamaan.

Jika ada r dari m kendala yang dilanggar, maka kendala-kendala tersebut

dikelompokkan kembali sedemikian hingga r kendala yang dilanggar akan

menjadi satu kelompok yang terakhir yaitu

g_j(x₁)<0, j =1,2, Κ ,m-r

dan g_j(x₁)≥0, j = m-r+1, m-r +2, Κ ,m ( 3.4 )

Langkah ii

Identifikasi kendala yang memiliki kesalahan terbesar di titik x₁ yaitu

dengan mencari bilangan bulat k sedemikian hingga

[

( )

]

)

(x₁ _j x₁

k maksg

(39)

Langkah iii

Selesaikan masalah optimasi yang dibuat dalam langkah 3 dengan

mengambil titik x₁ sebagai titik awal. Rumuskan masalah optimisasi yang

baru seperti mencari x yang meminimalkan g_k(x) dengan kendala

0 ) (x₁ ≤

j

g j =1,2, Κ ,m-r ( 3.6 )

dan g_j(x₁)−g_k(x₁)≤0, j = m-r+1, m-r +2, Κ ,k-1, k+1, Κ , m

Langkah iv

Selesaikan masalah optimisasi pada langkah (iii) dengan mengambil titik

x₁ sebagai titik awal menggunakan metode fungsi penalti interior. Metode

ini dapat diakhiri ketika nilai fungsi g_k(x) ≤0 . Jadi penyelesaian akan

menghasilkan x_k yang memenuhi sedikitnya satu kendala dari himpunan

kendala yang dilanggar oleh x₁.

Langkah v

Jika semua kendala tidak dipenuhi oleh titik x_k, ambil titik baru x₁ =x_k

dan kendala dikelompokkan kembali sedemikian hingga r pada kendala yang

terakhir tidak akan dipenuhi dan ulangi langkah ii.

Langkah ini dapat diulangi sampai semua kendala terpenuhi dan didapat

0 ) (x₁ <

j

g , j =1,2, ... ,m-r

(40)

2 Dengan mencari parameter penalti awal ( μ1) yang sesuai

Jika minimisasi tak berkendala φ(x,μ_k) dikerjakan untuk suatu barisan

turun μ_k, dengan memilih sebuah nilai μ₁ yang sangat kecil maka nilai

optimum dari fungsi φ akan konvergen ke penyelesaian masalah optimisasi

dasar. Namun dari segi penghitungan, untuk minimisasi fungsi φ akan lebih

mudah jika μ_k besar. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 3.1.2. Terlihat

bahwa jika nilai μ_k menjadi semakin kecil, nilai fungsi φ berubah dengan

lebih cepat di sekitar minimum φ_k∗. Pencarian minimum dari suatu fungsi

lebih mudah bila grafiknya lebih mulus karena fungsinya kontinu dan dapat

diturunkan. Jika μ_k besar maka minimisasi tak berkendala φ akan menjadi

lebih mudah dan minimum dari φ_k, *

k

x , akan menjadi lebih jauh dari

minimum x∗.

3 Nilai perkalian faktor β yang dipilih haruslah tepat

Jika nilai awal μ_k sudah dipilih maka nilai-nilai μ_k berikutnya harus

dipilih sedemikian hingga μ_k₊₁ < μ_k. Nilai μ_k dipilih dengan μ_k₊₁=β μ_k

dimana β < 1. Nilai β dapat diambil sebagai 0,1 atau 0,2 atau 0,5 dan

(41)

4 Kriteria kekonvergenan yang sesuai harus dipilih untuk menentukan nilai optimum

Karena minimisasi tak berkendala dari φ(x,μ_k) harus dikerjakan

menurut suatu barisan turun nilai μ_k maka perlu menggunakan kriteria

konvergensi yang sesuai untuk mengidentifikasikan titik optimum. Proses

dapat dihentikan pada saat syarat berikut dipenuhi.

a. Selisih relatif antara nilai fungsi obyektif yang dihasilkan pada akhir dari

sembarang dua minimisasi tak berkendala yang berurutan berada dibawah

sebuah bilangan yang kecil ε₁, yaitu

1 * * 1 -k * ) ( ) ( ) ( _ε ≤ − k k f f f x x x .

b. Selisih antara titik optimum x*_k - x*_k₋₁ menjadi sangat kecil. Ini dapat dinyatakan dalam beberapa cara. Yang biasa digunakan adalah

2

)

(Δx _i ≤ε .

Dengan Δx= *

k

x - * 1 −

k

x

(Δx)_i adalah anggota ke - i dari vektor Δx

Max |(Δx)_i| ≤ ε₃

|Δx| =

[

2 2

]

12

2 2

1 ( ) ( )

)

(42)

Nilai dari ε₁ sampai ε₄ harus dipilih bergantung pada karakteristik dari

masalah yang ditangani.

Berikut ini akan diberikan contoh masalah minimisasi yang tidak

menggunakan titik awal.

Contoh 3.1.1

Selesaikan masalah optimisasi berkendala berikut :

Minimalkan f ( x₁ , x₂ ) = 13 (x1 + 3 ) 3

+ x₂

Kendala g₁ ( x₁ , x₂ ) = - x₁ + 1 ≤ 0

g₂ ( x₁ , x₂ ) = - x₂ ≤ 0

Penyelesaiannya:

Dalam kasus di atas titik awal tidak diperlukan karena fungsi kendalanya

hanya terdapat satu variabel. Untuk mencari penyelesaian optimumnya maka

dibutuhkan parameter penalti awal ( μ₁) yang sesuai.

Langkah 1

Misalkan ε = 0,00001

β = 0,1 μ₁= 1000

(43)

Langkah 2

Membentuk fungsi φ(x,μ) = f(x) + μ_k_B(x)

B(x) dipilih dengan B(x) =

Σ

= 2

1

j ( )

1 x j g − = _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − ₂ 1 1 1 x x Sehingga diperoleh

φ(x,μ) = f(x) + μ_kB(x)

= 1₃₍_x 1 + 3 )

3

+ x₂- μ_k _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − ₂ 1 1 1 x x Langkah 3

Untuk mencari penyelesaian optimum dari masalah optimisasi tak berkendala,

dibutuhkan penurunan parsial φ terhadap x₁ dan x₂ :

Turunan parsial φ terhadap x₁ diperoleh :

1 x

∂ ∂φ

= (x₁ + 1 )2_-

2 1) 1 ( x k − μ = 0

atau (x₁ + 1 )2 =

2 1) 1 ( x k − μ

(x₁ + 1 )2 (1 - x₁)2 = μ_k

( x₁2+ 2x₁ +1 ) ( 1 - 2x₁ + x₁2) = μ_k

x₁4_{- 2}_x 1

2_{+ 1 =}

k

μ

(44)

x₁2- 1 = μ_k 2

1

x₁ = (μ_k 2

1

+1 ) 2

1

(3.1.1)

Turunan parsialφ terhadap x₂ diperoleh :

2 x

∂ ∂φ

= 1 - 2 2 x k μ = 0 x2 2= μk

atau x₂= μ_k 12 _(3.1.2)

Dari persamaan (3.1.1) dan (3.1.2) diperoleh penyelesaian optimum tak

berkendala dan

x*₁(μ_k) = (μ_k 2

1

+1 ) 2

1

x*

2(μk) = μk 2

1

Dalam masalah ini tidak diperlukan titik awal karena setelah melakukan

penghitungan secara kalkulus, titik x*_k bergantung pada parameter penalti (μ₁).

Apabila penyelesaian optimum tersebut disubstitusikan ke fungsi φ maka

didapatkan :

) ( min μk

φ = 1₃₍_x

1 + 3 ) 3

+ x₂- μ_k _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − ₂ 1 1 1 x x

= 13[(μk

2 1

+1 )12_{+ 1]}3₊

k μ 12_-

k μ { [ 1 ) 1 ( 1 2 1 2 1 + +

− μ_k ] – [ 12

1

k

(45)

= 1₃_[(

k

μ 12_{+1 )}12_{+ 1]}3₊

k μ 12_{+ [}

1 ) 1

( 12 + 12 +

− − k k μ μ ] + 2 1 k k μ μ

= 1₃_[(

k

μ 12_{+1 )}12_{+ 1]}3₊

k μ 12₊

) 1 )( ) 1 ( 1 ( ) 1 ( 2 1 2 1 k k k k μ μ μ μ + −

+ μ_k 12

= 1₃_[(

k

μ 12_{+1 )}12_{+ 1]}3_{+ 2}

k μ 12_-

2 1 2 1 ) 1 ( 1 1 1 + − _k k k μ μ μ

= 1₃_[(

k

μ 12_{+1 )}12_{+ 1]}3_{+ 2}

k μ 12_-

2 1 2 1

2 ( 1))

1 ( 1 1 + − _k k k μ μ μ ) ( min μk

φ = 1₃_[(

k

μ 12_{+1 )}12_{+ 1]}3_{+ 2}

k μ 12_-

2 1 2 3 ₂ 1 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − k k

k μ μ

μ

Untuk mendapatkan penyelesaian dari masalah optimasi dasar dicari melalui :

f _min = 0

lim

→ k

μ φmin(μk)

=

0

lim

→ k μ { 3

1 _[(

k

μ 12_{+1 )}12_{+ 1]}3_{+ 2}

k μ 12_-

2 1 2 3 ₂ 1 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − k k

k μ μ

μ } = 3 8 = 2,66667 Iterasi 1

Untuk k = 1

x*₁(μ₁) = (μ₁ 2

1

+1 ) 2

(46)

= ( 100012_{+ 1 )}12

= 5,71164

dan

x*₂(μ₁) = μ_k 12

= 100012

= 31,62278

Sehingga diperoleh :

) ( ₁

min μ

φ = 13[(μ1

2 1

+1 )12_{+ 1]}3_{+ 2}

1

μ 12_-

2 1 2 3 ₂ 1 1 1 1 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − μ μ μ

= 1₃_[(₁₀₀₀ 12_{+1 )}12_{+ 1]}3_{+ 2(}₁₀₀₀₎12_-

2 1 2 3 ₂ 1000 1 1000 1 1000 1 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ −

= 100,777761 + 63,245554 + 210,748156

= 374,77147

dan f(μ₁) = 13

(

)

3 1+1 x + x₂

= 1₃_{( 5,71164 + 1 )}3_{+ 31,62278}

= 100,777761 + 31,62278

= 132,400541

1

μ B(x*₁) = μ_k _⎥

(47)

= μ₁ 12_-

2 1

2

3 ₂

1 1 1

1

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ −

μ μ μ

= 31,62278 + 210,74816

= 242,37094 > ε

Penyelesaian belum optimal karena μ₁_B(x*₁) > ε maka langkah diteruskan.

Langkah 4

Tetapkan μ₂=β μ₁

= (0,1)1000 = 100

Iterasi 2

Untuk k = 2

Langkah 3

Berdasarkan iterasi sebelumnya, nilai φ minimum dicari jika

x*₁(μ₂) = (μ₂ 12_{+ 1 )}12

= ( 10012_{+ 1 )}12

= 3,31662

dan x*₂(μ₂) = μ₂ 12

= 10012_{= 10}

) ( ₂

min μ

φ = {1₃_[(

2

(48)

2

μ 12_-

2 1 2 3 ₂ 2 2 2 1 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − μ μ μ }

= 1₃_[(₁₀₀ 12_{+1 )}12_{+ 1]}3_{+ 2(}₁₀₀₎12_-

2 1 2 3 ₂ 100 1 100 1 100 1 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ −

= 89,9776

dan f(μ₂) = 1₃

(

)

3

1+1 x + x₂

= 1₃_[(₁₀₀ 12_{+1 )}12_{+ 1]}3_{+ 100}12

= 36, 8109

2

μ B(x*₂) = 10 + 43,16671

= 53,16671 > ε

Penyelesaian belum optimal karena μ₂B(x*₂) > ε maka langkah diteruskan.

Langkah 4

Tetapkan μ₃= β.μ₂

= (0,1).100

= 10

Iterasi 3

Untuk k = 3

(49)

x*

1(μ3) = (μ3

2 1

+ 1 )12

= ( 1012_{+1 )}12

= 2,04017

dan x*₂(μ₃) = μ₃ 12

= 1012

= 3,16228

)

( ₃

min μ

φ = {1₃_[(

3

μ 12_{+1 )}12_{+ 1]}3_{+ 2}

3

μ 12_-

2 1 2 3 ₂ 3 3 3 1 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − μ μ μ }

= 1₃_{[ 2,04017 + 1 ]}3_{+ 2 ( 3,16228 ) -}

2 1 2 3 ₂ 10 1 10 1 10 1 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₊ −

= 25,3048

dan f(μ₃) = 1₃

(

)

3

1+1 x + x₂

= 9, 36636 + 3,16228

= 12,5286

3

μ B(x*₃) = 3,16228 + 9, 61381

= 12,77609 > ε

(50)

Langkah 4

Tetapkan μ₄= β.μ₃

= (0,1).10 = 1

Iterasi 4

Untuk k = 4

x*₁(μ₄) = (μ₄ 12_{+ 1 )}12

= ( 2 )12

= 1,41421

dan x*₂(μ₄) = μ₄ 12_{= 1}

) ( ₄

min μ

φ = {1₃_[(

4

μ 12_{+1 )}12_{+ 1]}3_{+ 2}

4

μ 12_-

2 1 2 3 ₂ 4 4 4 1 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − μ μ μ }

= {13[(1 2

1

+1 )12_{+ 1]}3_{+ 2(}₁₎12_-

2 1 2 3 ₂ 1 1 1 1 1 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − }

= 1₃_{(1,41421 + 1)}3_{+ 2 + 2,41421}

= 4,69036+ 2 + 2,41421 = 9,10457

dan f(μ4) = 13

(

)

3 1+1 x + x₂

(51)

4

μ B(x*₄) = 1 + 2,41421

= 3,41421 > ε

Penyelesaian belum optimal karena μ₄B(x*₄) > ε maka langkah diteruskan.

Langkah 4

Tetapkan μ₅ = β.μ₄

= (0,1).1 = 0,1

Iterasi 5

Untuk k = 5

x*₁(μ₅) = (μ₅ 12_{+ 1 )}12

= (0,112_{+ 1 )}12

= 1,14727

dan x*₂(μ₅) = μ 12

= 0,112

= 0,31623

)

( ₅

min μ

φ = {1₃_[(

5

μ 12_{+1 )}12_{+ 1]}3_{+ 2}

5

μ 12_-

2 1

2

3 ₂

5 5

5

1 1 1

1

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎜ ⎝ ⎛

+ −

μ μ μ

(52)

= {1₃_[(₀_,₁12_{+1 )}12_{+ 1]}3_{+ 2(}₀_,₁₎12_-

2 1

2

3 ₂

1 , 0

1 1

, 0

1 1 , 0

1

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ −

}

= 3,300188 + 0,632456 + 0,06899

= 4,00163

dan f(μ₅) = 13

(

)

3 1+1 x + x₂

= 3,300188 + 0,31623

= 3,61642

5

μ B(x*₅) = 0,31623 + 0,06899

= 0,38522 > ε

Penyelesaian belum optimal karena μ₅_B(x*₅) > ε maka langkah diteruskan.

Langkah 4

Tetapkanμ₆= β.μ₅

= (0,1).(0,1) = 0,01

Iterasi 6

Untuk k = 6

x*₁(μ₆) = (μ₆ 12_{+ 1 )}12

(53)

dan x*₂(μ₆) = μ₆ 12_{= 0,1} Sehingga diperoleh :

)

( ₆

min μ

φ = {1₃_[(

6

μ 12_{+1 )}12_{+ 1]}3_{+ 2}

6

μ 12_-

2 1 2 3 ₂ 6 6 6 1 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − μ μ μ }

= {13[(0,01 2

1

+1 )12_{+ 1]}3_{+ 2(}₀_,₀₁₎12_-

2 1 2 3 ₂ 01 , 0 1 01 , 0 1 01 , 0 1 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − }

= 2,86671 + 0,2 + 0,20488

= 3,27159

dan f(μ₆) = 1₃

(

)

3 1+1 x + x₂

= 2,86671 + 0,1

= 2,96671

6

μ B(x*

6) = 0,1 + 0,20488

= 0,30488 > ε

Penyelesaian belum optimal karena μ₆B(x*₆) > ε maka langkah diteruskan. Analog dengan langkah-langkah sebelumnya, titik optimal yang merupakan

penyelesaian optimal didapatkan pada iterasi yang ke-15, yakni

Langkah 4

15

μ = β.μ₁₄

(54)

Iterasi 15

Untuk k = 15

x*₁(μ₁₅) = (μ₁₅ 12_{+ 1 )}12

= 1,00000

dan x*₂(μ₁₅) = μ₁₅ 12

= 0,00000

) ( ₁₅ min μ

φ = {13[(μ15

2 1

+1 )12_{+ 1]}3_{+ 2}

15

μ 12_-

2 1 2 3 ₂ 15 15 15 1 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − μ μ μ }

= 2,66669

dan

f(μ₁₅) = 1₃

(

)

3 1+1 x + x₂

= 2,66668

15

μ B(x*₁₅) = 0,000009

Karena μ₁₅B(x₁₅* ) = 0,000009 < ε maka langkah dihentikan.

Maka diperoleh penyelesaian dari masalah di atas dengan x*

1 = 1, x * 2= 0.

Pada iterasi ke-15 penyelesaian sudah optimum karena sudah memenuhi

(55)

Berikut akan diberikan penyelesaian dengan menggunakan program

MATLAB. ( lampiran 1 )

Tabel 3.1.1 Output penyelesaian Contoh 3.1.1 dengan Matlab

Taksiran awal miu : 1000.00000

==============================================================

Iterasi miu x1 x2 min(miu) f(miu) miu_Bx

==============================================================

1 1000.00000 5.71164 31.62278 376.26364 132.40032 243.86332

2 100.00000 3.31662 10.00000 89.97716 36.81092 53.16625

3 10.00000 2.04017 3.16228 25.30476 12.52863 12.77613

4 1.00000 1.41421 1.00000 9.10457 5.69036 3.41421

5 0.10000 1.14727 0.31623 4.61167 3.61641 0.99525

6 0.01000 1.04881 0.10000 3.27159 2.96671 0.30488

7 0.00100 1.01569 0.03162 2.85690 2.76154 0.09536

8 0.00010 1.00499 0.01000 2.72672 2.69667 0.03005

9 0.00001 1.00158 0.00316 2.68565 2.67615 0.00949

10 0.00000 1.00050 0.00100 2.67267 2.66967 0.00300

11 0.00000 1.00016 0.00032 2.66856 2.66762 0.00095

12 0.00000 1.00005 0.00010 2.66727 2.66697 0.00030

13 0.00000 1.00002 0.00003 2.66686 2.66676 0.00009

14 0.00000 1.00000 0.00001 2.66673 2.66670 0.00003

15 0.00000 1.00000 0.00000 2.66669 2.66668 0.00001

==============================================================

Pada saat iterasi ke -15,miu_Bx<0.00001.

Jadi nilai miu yang meminimalkan min(miu) adalah :

(56)

Berikut akan diberikan contoh masalah optimisasi nonlinear berkendala

yang menggunakan titik awal.

Contoh 3.1.2

Selesaikan masalah kendala berikut :

Minimalkan f ( x₁ , x₂ ) =

(

x₁−5

) (

2 + x₂ −3

)

2

Kendala g₁ ( x₁ , x₂ ) = - x₁ + x₂- 3 ≤ 0

g₂ ( x₁ , x₂ ) = - x₁ + 2x₂- 4 ≤ 0

Langkah 1

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = 0 0 0 x

β = 0,1 μ₁= 1

Ditentukan k = 1

Langkah 2

Membentuk fungsi φ(x,μ) = f(x) + μ_kB(x)

B(x) dipilih dengan _B(x) =

Σ

= 2

1

i ( )

1 x i g − = - _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − +

− 2 4

1 3 1 2 1 2

1 x x x

x

Sehingga diperoleh

(57)

=

(

x₁−5

) (

2 + x₂ −3

)

2- μ_k _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − +

− 2 4

1 3 1 2 1 2

1 x x x

x

Langkah 3

Untuk mencari penyelesaian optimum dari masalah tak berkendala

dibutuhkan suatu titik awal sehingga diperlukan metode yang sesuai. Untuk

memudahkan penghitungan dalam mencari penyelesaian optimum akan digunakan

program Matlab.

Iterasi 1

Untuk k = 1

x₁(1)= 0 dan x( )₂1 = 0

Dari perhitungan dengan menggunakan Program Matlab diperoleh

) ( ₁

min μ

φ = f(x) + μ₁B(x)

=

(

x₁ −5

) (

2 + x₂ −3

)

2- ( 1 ) _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − +

− 2 4

1 3 1 2 1 2

1 x x x

x

= 34,583333

f(μ₁) =

(

x₁ −5

) (

2 + x₂ −3

)

2

= 34

1

μ B(x*₁) = - 1 _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − +

− 2 4

1 3 1 2 1 2

1 x x x

x

= 0,583333 > ε

(58)

Langkah 4

Tetapkan μ₂ =β μ₁

= (0,1).1 = 0,1

Iterasi 2

Untuk k = 2

Langkah 3

( )2 1

x = 5,180705

( )2 2

x = 2,942802

) ( ₂

min μ

φ = f(x) + μ₂_B(x)

=

(

x₁ −5

) (

2 + x₂ −3

)

2- (0,1) _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − +

− 2 4

1 3 1 2 1 2

1 x x x

x

= 0,085366

f(μ₂) =

(

x₁ −5

) (

2 + x₂ −3

)

2

= 0,035926

2

μ B(x*

2) = - (0,1) ⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − +

− 2 4

1 3 1 2 1 2

1 x x x

x

= 0,049440 > ε

(59)

Langkah 4

Tetapkan μ₃ = β μ₂

= (0,1) (0,1) = 0,01

Iterasi 3

Untuk k = 3

Langkah 3

( )3 1

x = 5,007010

( )3 2

x = 2,987347

)

( ₃

min μ

φ = f(x) + μ₃_B(x)

=

(

x₁ −5

) (

2 + x₂ −3

)

2- (0,01) _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − +

− 2 4

1 3 1 2 1 2

1 x x x

x

= 0,005499

f(μ₃) =

(

x₁ −5

) (

2 + x₂ −3

)

2

= 0,000209

3

μ B(x*₃) = - (0,01) _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − +

− 2 4

1 3 1 2 1 2

1 x x x

x

= 0,005290 > ε

(60)

Langkah 4

Tetapkan μ₄ = β μ₃

= 0,1 (0,01) = 0,001

Iterasi 4

Untuk k = 4

Langkah 3

( )4 1

x = 5,000751

( )4 2

x = 2,998692

) ( ₄

min μ

φ = f(x) + μ₄_B(x)

=

(

x₁ −5

) (

2 + x₂ −3

)

2- (0,001) _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − +

− 2 4

1 3 1 2 1 2

1 x x x

x

= 0,000535

f(μ₄) =

(

x₁ −5

) (

2 + x₂ −3

)

2

= 0,000002

4

μ B(x*₄) = - (0,001) _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − +

− 2 4

1 3 1 2 1 2

1 x x x

x

= 0,000533

(61)

Langkah 4

Tetapkan μ₅ = β μ₄

= 0,1 (0,001) = 0,0001

Iterasi 5

Untuk k = 5

Langkah 3

( )5 1

x = 5,000076

( )5 2

x = 2,999869

)

( ₅

min μ

φ = f(x) + μ₅B(x)

=

(

x₁ −5

) (

2 + x₂ −3

)

2- (0,0001) _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − +

− 2 4

1 3 1 2 1 2

1 x x x

x

= 0,000053

f(μ₅) =

(

x₁ −5

) (

2 + x₂ −3

)

2

= 0,000000

5

μ B(x*₅) = - (0,0001) _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − +

− 2 4

1 3 1 2 1 2

1 x x x

x

= - (0,0001) (-0,53333)

= 0,000053

(62)

Langkah 4

Tetapkan μ₆ = β μ₅

= 0,1 (0,0001) = 0,00001

Iterasi 6

Untuk k = 6

Langkah 3

( )6 1

x = 5,000008

( )6 2

x = 2,999987

)

( ₆

min μ

φ = f(x) + μ₆B(x)

=

(

x₁ −5

) (

2 + x₂ −3

)

2- (0,00001) _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − +

− 2 4

1 3 1 2 1 2

1 x x x

x

= 0,000005

f(μ₆) =

(

x₁ −5

) (

2 + x₂ −3

)

2

= 0,000000

6

μ B(x*₆) = - (0,00001) _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − + − +

− 2 4

1 3 1 2 1 2

1 x x x

x

= 0,000005 < ε

Penyelesaian sudah optimal karena μ₆_B(x*

(63)

Dari permasalahan di atas maka diperoleh penyelesaian dengan x*₁= 5,00000 dan *

2

x = 2,99999. Pada iterasi ke-6 penyelesaian sudah optimum karena sudah

memenuhi syarat bahwa μ_kB(x*_k) < ε.

Berikut akan diberikan penyelesaian dengan menggunakan program

Matlab pada contoh 3.1.2 di atas.

Tabel 3.1.2 Output penyelesaian contoh 3.1.2 dengan Matlab

Masukkan data yang dibutuhkan

x1 = [0 0]

Taksiran awal mu : 1

Toleransi error = 0.00001

Max.iterasi newton = 10

===============================================================

Iterasi Nilai mu x1 x2 f z mu_Bx

===============================================================

0 1.000000 0.000000 0.000000 34.000000 34.583333 0.583333

1 0.100000 5.180705 2.942802 0.035926 0.085366 0.049440

2 0.010000 5.007010 2.987347 0.000209 0.005499 0.005290

3 0.001000 5.000751 2.998692 0.000002 0.000535 0.000533

4 0.000100 5.000076 2.999869 0.000000 0.000053 0.000053

(64)

Metode fungsi penalti interior dapat juga diterapkan ke dalam masalah

optimasi berkendala linear. Berikut contohnya :

Contoh 3.1.3

Selesaikan masalah optimisasi berkendala berikut :

Minimalkan f ( x₁ , x₂ ) = x₁ + 2x₂+1

Kendala g₁ ( x₁ , x₂ ) = - x₁ + 1 ≤ 0

g₂ ( x₁ , x₂ ) = - x₂ ≤ 0

Langkah 1

β = 0,1 μ₁= 1000

Ditentukan k = 1

Langkah 2

Membentuk fungsi φ(x,μ) = f(x) + μ_kB(x)

B(x) dipilih dengan B(x) =

Σ

= 2

1

j ( )

1

x

j

g

−

= _⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− + − ₂

1 1 1

(65)

Sehingga diperoleh

φ(x,μ) = f(x) + μ_kB(x)

= x₁ +2 x₂+1 - μ_k _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − ₂ 1 1 1 x x Langkah 3

Untuk mencari penyelesaian optimum dari masalah optimisasi tak berkendala,

dibutuhkan penurunan parsial φ terhadap x₁ dan x₂ :

Turunan parsial φ terhadap x₁ diperoleh :

1 x

∂ ∂φ

= 1 -

2 1) 1 ( x k − μ = 0

atau (x₁ + 1 )2₌

k

μ

x₁ = μ_k 2

1

-1 (3.3.1)

Turunan parsialφ terhadap x₂ diperoleh :

2 x

∂ ∂φ

= 2 - 2 2 x k μ = 0

x2₂=

2

μk

atau x₂= ₎12

2

μ

( k (3.3.2)

Dari persamaan (3.3.1) dan (3.3.2) diperoleh penyelesaian optimum tak

berkendala dan

x*₁(μ_k) = μ_k 2

1

-1 dan x*₂(μ_k) = ₎12

2

μ

(66)

Iterasi 1

Untuk k = 1

x*₁(μ_k) = μ_k 2

1

-1

= 30,62278

x*₂(μ_k) = ₎12

2

μ

( k

= 22,36068

) ( min μk

φ = x₁ +2x₂+1 - μ_k _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − ₂ 1 1 1 x x

= (μ_k 2

1

+1 ) 2

1

+2 ₎12

2

μ

( k +1 -μ_k[

2 1 2 1 ) ( 1 -2 + ) μ ( -1 2 μ k ] = 1,88103

dan f(μ₁) =

(

x₁+2x₂

)

+ 1

= {μ_k 2

1

-1}+2 ₎12

2

μ

( k +1

= 10563,28621

1

μ B(x*₁) = - μ_k _⎥

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − ₂ 1 1 1 x x = 74,46310

(67)

Analog dengan langkah-langkah sebelumnya, titik optimal yang merupakan

penyelesaian optimal didapatkan pada iterasi yang ke-15, yakni

Langkah 4

15

μ = β.μ₁₄

= (0,1).(10−10) = 10−11

Iterasi 15

Untuk k = 15

x*₁(μ₁₅) = μ₁₅ 2

1

-1

= -1,00000

dan x*₂(μ₁₅) = ₎12

2

μ

( 15

= 0,00000

) ( ₁₅ min μ

φ = x₁ +2x₂+1 - μ₁₅ _⎥

⎦ ⎤ ⎢

⎣ ⎡

− + − ₂

1 1 1

x x

= 0,00000

dan f(μ₁₅) =

(

x₁+2x₂

)

+ 1

= 0,00000

15

μ B(x*₁₅) = 0,00000

(68)

Maka diperoleh penyelesaian dari masalah di atas dengan x*₁ = -1, x*₂= 0.

Pada iterasi ke-15 penyelesaian sudah optimum karena sudah memenuhi

syaratμ₁₅_B(x*

15) < ε.

Berikut akan diberikan penyelesaian dengan menggunakan program MATLAB.

Tabel 3.1.3 Output penyelesaian contoh 3.1.3 dengan Matlab

Taksiran awal miu : 1000.00000

==============================================================

Iterasi miu x1 x2 min(miu) f(miu) miu_Bx

==============================================================

1 1000.00000 30.62278 22.36068 1.88103 10563.28621 74.46310

2 100.00000 9.00000 7.07107 1.66667 340.40440 22.47547

3 10.00000 2.16228 2.23607 1.22515 12.77699 6.40927

4 1.00000 0.00000 0.70711 0.66667 1.04044 1.74755

5 0.10000 -0.68377 0.22361 0.27305 0.23415 0.49039

6 0.01000 -0.90000 0.07071 0.09524 0.07104 0.14618

7 0.00100 -0.96838 0.02236 0.03113 0.02237 0.04521

8 0.00010 -0.99000 0.00707 0.00995 0.00707 0.01419

9 0.00001 -0.99684 0.00224 0.00316 0.00224 0.00448

10 0.00000 -0.99900 0.00071 0.00100 0.00071 0.00141

11 0.00000 -0.99968 0.00022 0.00032 0.00022 0.00045

12 0.00000 -0.99990 0.00007 0.00010 0.00007 0.00014

13 0.00000 -0.99997 0.00002 0.00003 0.00002 0.00004

14 0.00000 -0.99999 0.00001 0.00001 0.00001 0.00001

15 0.00000 -1.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000

=============================================================

Pada saat iterasi ke -15,miu_Bx<0.00001.

(69)

D. Konvergensi Metode Fungsi Penalti Interior

Teorema 3.2 Teorema Konvergensi Metode Fungsi Penalti Interior

Jika fungsi φ( x,μ_k) = f(x) - μ_k

Σ

=

m

j 1 ( )

1

x

j

g (3.2.1)

suatu barisan turun terhadapμ_k, maka penyelesaian dari masalah minimisasi tak

berkendala akan konvergen ke penyelesaian optimal dari masalah berkendala

Minimumkan f(x)

Kendala g_j( x) ≤ 0

dengan g_j( x) ≤ 0 , j =1,2,Κ , m untuk μ_k →0

Bukti :

Jika x* adalah penyelesaian optimum dari masalah berkendala maka akan

dibuktikan bahwa 0

lim

→ k

μ [min φ( x,μk) ] = φ( x

*

k,μk) = f (x

*

)

karena f(x) kontinu dan f (x*) ≤ f(x) untuk setiap titik layak x maka dapat dipilih titik layak x~ sedemikian hingga f (x~ ) < f (x*) +

2

ε

,∀ε>0 (3.2.2)

Perhatikan untuk titik layak x~ didapatkan

φ(x~ ,μ_k) = f(~ ) - x μ_k

Σ

=

m

j 1 (~)

1

x

j

g

= f(~ ) + x μ_k

Σ

=

m

j 1 (~)

1

x

j

g

−

f(x~ ) + μ_k

Σ

=

m

j 1 (~)

1

x

j

g

− _≤

f (x*_{) +} 2

ε

(70)

Pilih k yang sesuai, misalnya K sedemikian hingga

K

μ

Σ

=

m

j 1 (~)

1 x j g − _≤ 2 ε

Jadi μ ≤_K

∑

=

− m

j 1 gj(~)

1 2

x

ε

(3.2.3)

Dari (3.2.1) didapat f (x*) ≤ min φ( x,μ_k) = φ( x*_k,μ_k) (3.2.4)

dimana x*_k adalah penyelesaian minimum masalah tak berkendala φ( x,μ_k)

Selanjutnya φ( x*_k,μ_k) ≤ φ( x*_K,μ_k) (3.2.5)

Karena x*_k minimum dari φ( x,μ_k) dan ada x lain dari x*_ksebagai petunjuk suatu nilai dari φ ≥ φ( x*_k,μ_k).

Pilih μ_k < μ_K dan didapatkan