70 BAB IV
ALOGARITMA DALAM OPERASI ARITMATIKA PENDAHULUAN
Algoritma adalah suatu prosedur yang singkat dan sistematis untuk melakukan operasi aritmetika, misalnya penjumlahan dan perkalian. Jika kita melakukan operasi aritmetika dengan bilangan satu angka, maka kita dapat segera menuliskan jawabannya. Tetapi kalau operasi tersebut mengenai bilangan-bilangan yang besar, kita membutuhkan suatu prosedur yang sistematis.
Algoritma yang dikenal sekarang, merupakan penyempurnaan algoritma terdahulu dari masa ke masa dan dari generasi ke generasi. Sebenarnya sebagian besar algoritma yang kita gunakan, bukanlah satu-satunya, tetapi terdapat beberapa pola untuk rnelakukan bermacani-macam operasi aritmetika.
Dengan menggunakan sifat-sifat komutatif, asosiatif, dan distributif perkalian terhadap penjumlahan, kita dapat menguji algoritma yang biasa kita gunakan pada operasi penjumlahan dan pengurangan.
A. Algoritma Penjumlahan
Sederhanakan : 6(10) + 34. Untuk setiap langkah berilah penjelasan. (Tulislah sifat yang digunakan).
Jawab:
6 (10) + 34 = 6(10) + [3(10) + 4]
34 ditulis dalam bentuk panjang = [6(10) + 3(10)] + 4
sifat asosiatif pada penjumlahan = (6 + 3).(10) + 4
sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan = 9(10) + 4
penjuinlahan = 94
71
Sederhanakan: 28 + 7, dan tuliskan sifat yang dipakai. Jawab :
28 + 7 = [2(10) + 8] + 7
28 ditulis dalam bentuk panang = 2(10) + (8 + 7)
sifat asosiatif pada penjumlahan = 2(10) + 15
penjumlahan = 2(20) + [1(10) + 5]
15 ditulis dalam bentuk panjang = [2(10) + 1(10)] + 5
sifat asosiatif pada penjumlahan = (2 + 1)(10) + 5
sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan = 3(10) + 5
penjumlahan = 35
sistem numerasi desimal
Berikut mi adalah prosedur lain untuk penjumlahan bilangan 28 + 7
10 1(10) 1 20 + 8 2(10) + 8 28 7 atau 7 atau 7 --- + --- + --- + 30 + 5 3(10) + 5 35 35 35 Contoh : 3 Cari jumlahnya : 373 + 745 + 189 Jawab : 3(100) + 7(10) + 3(1) 7(100) + 4(10) + 5(1) 1(100) + 8(10) + 9(1) --- + 11(100) + 19(10) + 17(1)
72 11(100) + 20(10) + 7(1) 13(100) + 0(10) + 7(1) 1(1000) + 3(100) + 0(10) + 7(1) 1307 (a) atau 200 10 300 + 70 + 3 700 + 40 + 5 100 + 80 + 9 --- + 1000 + 300 + 0 + 7 1307 (b) atau 2(10)2 1(10) 3(10)2 + 7(10) + 3 7(10)2 + 4(10) + 5 1(10)2 + 8(10) + 9 --- + 1(10)3 + 3(10)2 + 0(10) + 7 1307 (c) atau 373 745 189 --- + 1307 (d) Penjelasan langkah demi langkah.
3(10)2 + 7(10) + 3 7(10)2 + 4(10) + 5 1(10)2 + 8(10) + 9 --- +
3 + 5 + 9 = (3 + 5) + 9 = 8 + 9 = 17 = 1(10) + 7 Jadi penjumlahan tersebut menjadi :
1(10)
3(10)2 + 7(10) + 3 7(10)2 + 4(10) + 5 1(10)2 + 8(10) + 9
73 --- +
1(10) + 7(10) + 4(10) + 8(10) = (1 + 7 + 4 + 8)(10) = 2(10)(10)
= 2 (10)2 + 0 (10)
Sehingga penjumlahan menjadi :
2(10)2 1(10) 3(10)2 + 7(10) + 3 7(10)2 + 4(10) + 5 1(10)2 + 8(10) + 9 --- + 0(10) + 7 2(10)2 + 3(10)2 + 7(10)2 + 1(10)2 = (2 + 3 + 7 + 1)(10)2 = 13(10)2 = (10 + 3)(10)2 = 10(10)2 + 3(10)2 = (10)3 + 3(10)2 = Akhirnya diperoleh : 2(10)2 1(10) 3(10)3 + 7(10) + 3 7(10)2 + 4(10) + 5 1(10)2 + 8(10) + 9 --- + 1(10)3 + 3(10)2 + 0(10) + 7 = 1307 LATIHAN
Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan!
1. Carilah jumlahnya dengan cara seperti contoh 3(b) : a) 123 b) 342 c) 32 245 297 64 --- + 324 18 --- + 79
---- +
74
3. Sederhanakan dan berilah penjelasan sifat yang digunakan pada setiap langkah.
a) 16(100) + 17
b) 4(10)3 + 25(10)2 + 5(10) + 17 c) 248 + 563
B. Algoritma Pengurangan
Karena pengurangan merupakan kebalikan (invers) dan penjumlahan, maka algoritma untuk pengurangan tidak berbeda jauh dengan algoritma penjumlahan. Contoh 1 : Carilah : 36 - 19 Jawab : 36 19 --- -
Dalam notasi bentuk panjang pengurangan di atas menjadi :
3(10) + 6 1(10) + 9 --- -
Karena 6 tak dapat dikurangi dengan 9 maka 3(10) + 6 harus ditulis dalam bentuk lain yaitu sebagai berikut :
3(10) + 6 = (2+l)(10) + 6 (ditulis dalam bentuk notasipanjang) = [2(20) + (10)] + 6 (distributif perkalian terhadap penjumlahan)
= 2(10) + (10 + 6) (asosiatif pada penjumlahan) = 2(10) + 16 (penjumlahan)
Jadi algoritma pengurangan di atas dapat ditulis sebagai berikut : 2(10) + 16
1(10) + 9 --- - 1(10) + 7
75 17
Cara yang lebih singkat adalah sebagai berikut :
2(10) + 16 3(10) + 6 1(10) + 9 --- - 1(10) + 7 17 atau 2 16 3 6 1 9 --- - 1 7 Contoh 2 : Carilah : 937 - 349 Jawab : 937 349 --- -
Dalam notasi bentuk panjang, pengurangan di atas dapat ditulis menjadi : 9(100) + 3(10) + 7
3(100) + 4(10) + 9 --- -
Karena 7 tak dapat dikurangi dengan 7, maka 3(10) + 7 harus ditulis dalam bentuk lain yaitu sebagai berikut :
3(10) + 7 = (2+1)(10) + 7 (3 ditulis dalam bentuk notasi panjang) = [2(10) + 1(10)] + 7 (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)
= 2(10) + (10+7) (sifat asosiatif penjumlahan) Sehingga prosedur pengurangan di atas dapat ditulis sebagai berikut:
9(100) + 2(10) + 17 3(100) + 4(10) + 9 --- -
76
Karena 4(10) tak dapat dikurangkan dari 2(10), maka dengan cara yang sama 9(100) + 2(10) diubah menjadi: 9(100) + 2(10) = (8+1)(100) + 2(10) = [8(100) + 1(100)] + 2(10) = [8(100) + 10(10)] + 2(10) = 8(100) + [10(10) + 2(10)] = 8(100) + (10+2)(10) = 8(100) + 12(10) Sehingga algoritma di atas dapat ditulis
8(100) + 12(10) + 17 3(100) + 4(10) + 9 --- - 5(100) + 8(10) + 8
588 Cara yang lebih singkat adalah :
8(100) + 12(10) 17 12(10) 2(10) 17 8(100) 12(10) 17 9(100) + 3(10) + 7 9(100) + 3(10) + 7 3(100) + 4(10) + 9 atau 3(100) + 4(10) + 9 --- - --- - 5(100) + 8(10) + 8 5(100) + 8(10) + 8 588 588 atau 12 12 8 2 17 8 7 17 9 3 7 atau 9 3 7 3 4 9 3 4 9 --- - --- - 5 8 8 5 8 8
Sampai sekarang telah dipelajari algoritma penjumlahan maupun pengurangan. Selanjutnya perhatikan proses apakah yang terjadi dalam perhitungan berikut.
77 Contoh 3:
Cari 925 - 679, kemudian diskusikan proses yang terjadi dalam pengurangan tersebut.
a) Karena 5 tak dapat dikurangi oleh 9, maka dibutuhkan Satuan yang lebih banyak. Satuan tersebut didapatkan dari puluhan 20.
2(10) + 5(1) = 1(10) + 15(1) Kurangkan bagian satuan-nya. 1 1 5
9 2 5 6 7 9 --- -
6
b) Ternyata dibutuhkan puluhan, karena 1 tak dapat dikurangi oleh yang diperoleh dari ratusan 7. Jadi :
9(100) + 1(10) = 8(100) + 11(10) Kurangkan sepuluhannya. 8 11 15 9 2 5 6 7 9 --- - 4 6
c) Akhirnya kurangkan ratusannya 8 11 15 9 2 5 6 7 9 --- - 2 4 6 LATIHAN
Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan!
1. Tuliskan setiap bilangan dalam notasi bentuk panjang, kemudian kerjakan operasi pengurangan berikut:
a) 136 - 29 b) 775 - 158 c) 1000 - 25
78
2. Isilah bagian-bagian yang kosong dari proses perhitungan berikut : a.) 1865 1(1000) + 8(100) + 6(10) + 5(1) 1328 atau 1(1000) + 3(100) + 2(10) + 8(1) --- - --- - . . . . . . . . . atau 1(1000) + 8(100) + ____ (10) + 15(1) 1(1000) + 3(100) + 2(10) + 8(1) --- - __(1000) + __ (100) + ___(10) + ___(1) = _______________ b) 852 8(10)2 + 5(10) + 2 327 atau 3(10)2 + 2(10) + 7 --- - --- - . . . . . . atau 8(10)2 + ___(10) + 12 3(10)2 + 2(10) + 7 --- - 5 = ___(10)2 + ___(10) + 5 = ____ ____ 5 C. Algoritma Perkalian
Misalkan kita akan menghitung 3 x 13. Untuk itu dibentuk jajaran seperti. a) 3 himpunan 13-an b) 3.13 = 3(10+3) = 3.10 + 3.3 = 30 + 9 = 39 3 himpunan 3 himpunan 10-an 3-an xxxxxxxxxx xxx xxxxxxxxxx xxx xxxxxxxxxx xxx
79 c) 13 d) 13 3 3 --- x ---- x 9 = 3.3 39 30 = 3.10 --- + 39 Contoh 1 : Hitunglah 5 x 18 ! a) 5 himpunan 18-an b) 5.18 = 5(10 + 8) = 5.10 + 5.8 = 50 + 40 = 90 5 himpunan 5 himpunan 10- an 8-an c) 18 d) 18 5 5 ---- x ---- x 40 = 5.8 90 50 = 10.5 ---- + 90 Contoh 2 : Carilah 14 x 32 xxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxx
80 b) 14.32 = (10 + 4).32 = 10.32 + 4.32 = 320 + 128 = 448 c) 14 d) 14 32 32 --- x --- x 28 = 2.14 28 420 = 30.14 42 --- + --- + 448 448 LATIHAN
Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan!
1. Susunlah sebuah jajaran (lihat contoh 1.a) untuk menggambarkan hasil kali : a) 4 x 15 b) 12 x 18 c) 23 x 11
2. Gunakan cara bentuk mendatar untuk mendapatkan hassil kali : a) 9 x 26 b) 23 x 37 c) 57 x 91
81
3. Gunakan cara bentuk perkalian bagian untuk mendapatkan hasil kali : a) 67 b) 173 c) 729 21 28 53 ---- x --- x ---- x 4. Algoritma perkalian dapat diperluas menjadi perkalian bagian, misalnya:
37.29 = (30 + 7).29 = (30.29) + (7.29) = 30(20 + 9) + 7(20 + 9)
= (30.20) + (30.9) + (7.20) + (7.9)
Dan uraian tersebut, terdapat 4 buah perkalian bagian. Uraian tersebut dapat juga ditulis : 37 29 --- x 63 = 9 x 7 270 = 9 x 30 140 = 20 x 7 600 = 20 x 30 --- 1073
Carilah hasil kalinya dengan menggunakan perkalian bagian. a) 57 b) 135 c) 674 73 34 38 ---- x --- x --- x
5. Terdapat sebuah teknik perkalian yang pernah digunakan oleh orang Rusia pada abad 20, yaitu Metode petani Rusia.
Misalnya kita ingin hasil kali 17 x 12. Bilangan 17 dan 12 diletakkan pada ujung atas dua buah kolom.
Pada kolom sebelah kin, dilakukan pembagian dengan 2, jika terdapat sisa maka sisanya diabaikan/dibuang sedangkan hassil baginya dicatat. Teruskan pembagian tersebut hingga hasil akhirnya 1.
Pada kolom sebelah kanan, dilakukan perkalian dengan 2 dan berhenti pada baris di mana kolom kiri memuat bilangan 1. Setelah itu coretlah
82
baris-baris yang kolom kirinya memuat bilangan genap (dalam hal ini baris 1, 2, dan 3).
Jumlah bilangan dari bilangan-bilangan yang tersisa pada kolom kanan merupakan hassil kali yang dicari.
Pada kasus ini, 17.12 = 204. 17 …….. 12 8 ……… 24 4 .……… 44 2 ………. 96 1 ……… ..192 --- + 204
a) Gunakan cara Rusia di atas untuk mencari hasil kali dari :
i) 29 x 37 ii) 17 x 86 iii) 43 x 123 b) Pada contoh di atas :
12 + 192 = 1 x 12 + 16 x 12 = (1 + 16) x 12 = 17 x 12
Diskusikan dengan teman-teman Anda : Apakah hal ini. juga dapat terjadi pada soal bagian a?
c) Mengapa dapat diperoleh hasil kali yang benar, jika baris-baris yang memuat bilangan genap pada kolom kiri dihapus/coret?
(Petunjuk : Tulislah setiap bilangan yang berada di kolom kiri atas, ke dalam basis 2).
6. Algoritma perkalian yang lain, yang dikenal dengan nnama Metode duplikasi, dapat Anda lihat sebagai berikut. Caranya: misalnya kita akan mencari hasil kali 37 x 29. Bentuklah 2 kolom, elemen teratas kolom kiri adalah 1 dan elemen teratas kolom kanan adalah 29. Setelah itu kedua bilangan dilipatduakan sampai pada saat, sebelum bilangan di kolom kiri melebihi 37.
Kemudian pilihlah beberapa bilangan dari kolom kiri sedemikian hingga jumlah bilangan-bilangan tersebut 37 (yaitu 1, 4, dan 32).
83
Jumlah bilangan pada kolom kanan yang bersesuaian dengan bilangan-bilangan terpilih pada kolom kiri, merupakan hasil kali. dan 37 dan 29.
(1).--- 29 2 --- 58 29 (4) --- 116 116 8 --- 232 928 + 16 --- 464 1073 (32) --- 928 64
Catatan : Pada kolom kiri, bilangan 1 dilipatduakan dan berhenti pada saat diperoleh bilangan 32 (karena 64 sudah melebihi 37). Pada kolom kanan bilangan 29 dilipatduakan dan berhenti pada baris yang memuat 32. Pada kolom kiri bilangan-bilangan 1, 4, dan 32 jurnlahnya 37. Maka 37 x 29 = 29 + 116 + 928 = 1073. (29, 116, 928 berpasangan dengan 1, 4, dan 32).
a) Dengan menggunakan metode duplikasi ini, canilah hasil kali : i) 27 x 32 ii) 58x46 iii.) 12 x 95
b) Mengapa prosedur di atas dapat menghasilkan jawaban yang benar? (Bandingkan dengan proses yang terjadi pada metode Rusia).
7. Dan cara-cara perkalian di atas, mana saja yang diajarkan di Sekolah Dasar? Selidiki pada buku Matematika Sekolah Dasar.
D. Algoritma Pembagian
Jika a dan b (b ≠ 0) bilangan cacah, maka terdapat tepat satu bilangan cacah q dan r sedemikian a = bq + r dengan 0 < r < b. Algoritma ini mempunyai arti bahwa bilangan yang dibagi = pembagi. dikalikan dengan hash bagi + sisa. Contoh :
Jika a = 57 dan b = 8, tulislah a dalam bentuk bq + r, dengan 0 < r < b.. Jawab :
57 = 8(7) + 1
84
Salah satu cara untuk mencari hasil bagi suatu pembagian adalah pembagian cara panjang, yaitu menentukan jawaban sementara, dengan cara menduga, kemudian dikalikan dengan pembagi dan kurangkan pada yang dibagi. Proses tersebut diulang sampai akhirnya didapat sisa pengurangan sama dengan 0 atau kurang dari pembagi.
Misalnya : 7835 : 25
Bilangan cacah manakah yang jika dikalikan dengan 25 dapat dikurangkan dari 7835. Jawabannya adalah bilangan cacah manapun juga asalkan hasil kalinya dengan 25 tidak lebih dan 7835. Biasanya bilangan cacah yang diambil sebagai jawaban sementara itu adalah 10, 100, 1000, dan seterusnya karena prosesnya akan lebih mudah.
25 7835 2500 100(25) 5335 2500 100(25) 2835 2500 100(25) 335 250 10(25) 85 25 1(25) 60 25 1(25) 35 25 1(25) 10 313 Berapa kalikah kita mengurangkan 25 dan 7835?
Jawabannya adalah :
100 + 100 + 100 + 10 + 1 + 1 + 1 = 313 Jadi : 7835 : 25 = 25(313) + 10
Bentuk lain cara menjawab pembagian 7835 : 25 adalah : 25 7835
7500 300(25) 335
85 250 10(25) 85 75 3(25) 10 313 Bandingkan proses berikut:
3(10)2 + 1(10) + 3 2(10) + 5 7(10)2 + 8(10)2 + 2(10) + 5 6(10)2 + 15(10)2 + 0(10) + 0 --- - 3(10)2 + 3(10) + 5 2(10)2 + 5(10) + 5 --- - 8(10) + 5 6(10) + 15 --- - 1(10) LATIHAN
Kerjakan soal-soal berikut sebagai latihan!
1. Jika a dan b diketahui, carilah q dan r (0 < r < b) sedemikian hingga a = bq + r.
a b
a) 72 11 b) 51 13
c) 25 39
d) 177 22
2. Selesaikan dengan 3 cara seperti pada contoh.
a) 17 1075 b) 411 37209 c) 923 75123
3. Pak Baim mempunyai 34 buah penmen Sugus. Ia ingin membagi permen tersebut kepada keenam anaknya secara sama rata. Penmen yang tersisa diberikan kepada Bu Baim. Berapa permen yang diterima masing-masing anak? Dan berapa permen yang diterima Bu Baim? Jika Pak Bam mempunyai permen dua kali lipat, apakah Bu Bram juga mendapat permen dua kali lipat?
86
4. Dengan cara menggunakan potongan-potongan lidi, tunjukkan cara memperoleh hasil pembagian 39 : 4.
a) Gunakan bentuk pengurangan berulang (terdapat berapa buah himpunan empat-an?)
b) Gunakan sifat distributif (bagilah potongan-potongan lidi tersebut ke dalam 4 kelompok).
5. Dari cara-cara pembagian di atas, mana saja yang diajarkan di Sekolah Dasar? Selidiki pada buku Matematika Sekolah Dasar.
