Analisis Pemahaman Konsep Aljabar pada Mata Kuliah Aljabar Linear Elementer Mahasiswa Pendidikan Matematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016 - Repositori UIN Alauddin Makassar

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Meraih Gelar Sarjana Pendidikan (S.Pd) Jurusan/Prodi Pendidikan Matematika

Pada Fakultas Tarbiyah dan Keguruan UIN Alauddin Makassar

OLEH:

ADILA MUFIDAH B 20700113114

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN

limpahan rahmat dan hidayah-Nya yang senantiasa dicurahkan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini hingga selesai. Salam dan shalawat senantiasa penulis haturkan kepada Baginda Rasulullah Muhammad saw sebagai satu-satunya uswatun hasanah dalam menjalankan aktivitas keseharian kita.

Melalui tulisan ini pula, penulis menyampaikan ucapan terima kasih teristimewa kepada kedua orang tua tercinta, ayahanda Bachtiar Wangsa dan ibunda

St. Ni’mat serta saudara-saudaraku tersayang atas segala pengorbanan, pengertian,

kepercayaan, do’a dan dukungannya selalu menyertai sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan baik.

Penulis menyadari tanpa adanya bantuan dan partisipasi dari berbagai pihak skripsi ini tidak mungkin dapat terselesaikan seperti yang diharapkan. Oleh karena itu penulis patut menyampaikan terima kasih kepada:

1. Prof. Dr. Musafir Pababbari, M.Si. selaku Rektor UIN Alauddin Makassar beserta wakil rektor I, II, III, dan IV.

2. Dr. H. Muhammad Amri, Lc.,M.Ag. selaku Dekan Fakultas Tarbiyah dan Keguruan UIN Alauddin Makassar beserta seluruh stafnya atas segala pelayanan yang diberikan kepada penulis.

penyelesaian.

5. Para dosen, karyawan dan karyawati Fakultas Tarbiyah dan Keguruan yang secara kongkrit memberikan bantuannya baik langsung maupun tak langsung.

6. Terkhusus kepada Dr. Andi Halimah, M.Pd. terima kasih atas bantuan dan bimbingannya.

7. Saudara-saudara saya Elyda Munifah, Fadel Muhammad, dan Aulia Mufliha. Terima kasih atas dukungan dan motivasinya.

8. Andi Nur Sulfayani, Devinovita Sari, Devy Purnama, Fitria, Habiba Ulfahyana, Multazam Arif, Muh. Hidayatullah, Muh. Ridwan Adnan, Zainal Basri, Ismail. Sahabat-sahabat saya tercinta terima kasih untuk semuanya.

9. Rekan-rekan Jurusan Pendidikan Matematika angkatan 2013.

10. Adik-adik jurusan Pendidikan Matematika angkatan 2016 yang telah bersedia menjadi subyek penelitian.

Akhirnya hanya kepada Allah jualah penulis serahkan segalanya, semoga semua pihak yang membantu penyusun mendapat pahala di sisi Allah swt, serta semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua orang khususnya bagi penyusun sendiri.

Samata-Gowa, November 2017 Penulis,

PENGESAHAN SKRIPSI ... iv

B. Fokus Penelitian dan Deskripsi Fokus ... 8

C. Pertanyaan Penelitian ... 9

D. Tujuan Penelitian... 10

E. Manfaat Penelitian ... 10

BAB II TINJAUAN TEORETIK... 12

A.Kajian Teori ... 12

B. Kajian Penelitian yang Relevan ... 28

C. Kerangka Konseptual ... 33

BAB III METODE PENELITIAN... 35

A.Pendekatan dan Jenis Penelitian ... 35

B. Lokasi Penelitian ... 36

C. Subjek Penelitian ... 36

D.Teknik Pengumpulan Data ... 36

E. Instrumen Penelitian ... 37

F. Keabsahan Data ... 39

G.Teknik Analisis Data ... 39

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ... 42

Gambar 4.1 Hasil Kerja Mahasiswa S5 (soal nomor 1) 52

Gambar 4.2 Hasil Kerja Mahasiswa S5 (soal nomor 2) 53

Gambar 4.3 Hasil Kerja Mahasiswa S5 (soal nomor 4) 53

Gambar 4.4 Hasil Kerja Mahasiswa S5 (soal nomor 5) 53

Gambar 4.5 Hasil Kerja Mahasiswa S12 (soal nomor 1, 3, dan 5) 57

Gambar 4.6 Hasil Kerja Mahasiswa S12 (soal nomor 2) 57

Gambar 4.7 Hasil Kerja Mahasiswa S20 (soal nomor 1) 60

No Tabel Judul Hal.

Tabel 4.1 Deskripsi Kemampuan Pemahaman Mahasiswa pada Soal Nomor 1

42

Tabel 4.2 Deskripsi Kemampuan Pemahaman Mahasiswa pada Soal Nomor 2

45

Tabel 4.3 Deskripsi Kemampuan Pemahaman Mahasiswa pada

Soal Nomor 3 46

Tabel 4.4 Deskripsi Kemampuan Pemahaman Mahasiswa pada

Soal Nomor 4 49

Tabel 4.5 Deskripsi Kemampuan Pemahaman Mahasiswa pada Soal Nomor 5

51

Judul : Analisis Pemahaman Konsep Aljabar pada Mata Kuliah Aljabar Linear Elementer Mahasiswa Pendidikan Matematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016

Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui kemampuan pemahaman konsep mahasiswa berdasarkan indikator pemahaman matematis pada mata kuliah aljabar linear elementer materi ruang vektor, sub ruang vektor dan vektor EuclideanPenelitian ini menggunakan pendekatan deskriptif kualitatif. Subjek penelitian meliputi mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Tarbiyah dan Keguruan Angkatan 2016 UIN Alauddin Makassar yang diduga mengalami kesulitan dalam memahami konsep pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer. Instrumen penelitian yang digunakan adalah tes diagnostik dan wawancara. Teknik analisis data yaitu reduksi data, penyajian data dan penarikan kesimpulan.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa kemampuan pemahaman mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016 dalam menyelesaikan soal aljabar linear elementer ditinjau dari indikator kemampuan pemahaman matematis, mahasiswa tergolong cukup mampu pada indikator: (1) pemahaman mampu menyatakan ulang sebuah konsep, (2) menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematika, (3) menggunakan, memanfaatkan dan memilih prosedur tertentu, dan (4) mengaplikasikan konsep/algoritma ke pemecahan masalah. Namun, mahasiswa tergolong tidak mampu pada indikator kemampuan memberi contoh dan bukan contoh. Hal tersebut berdasarkan hasil analisis data yang dilakukan secara keseluruhan, sehingga persentase ketercapaian mahasiswa berada pada kategori cukup mampu.

BAB 1 PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Pendidikan adalah segala pengalaman belajar yang berlangsung dalam segala lingkungan baik yang khusus diciptakan untuk kepentingan pendidikan maupun yang ada dengan sendirinya dan berlangsung seumur hidup selama ada pengaruh lingkungan.Pendidikan berlangsung dalam berbagai bentuk, pola, dan lembaga yang dapat terjadi kapan dan di mana pun dalam hidup dan lebih berorientasi pada peserta didik.Pendidikan adalah segala situasi hidup yang memengaruhi pertumbuhan dan perkembangan hidup.1 Berdasarkan pengertian tersebut dapat disimpulkan bahwa pendidikan akan terus berlangsung dalam hidup seseorang selama masih ada pengaruh dari lingkungan untuk membantu dalam pertumbuhan dan perkembangan hidup.

Menurut Al-Tabany pendidikan merupakan salah satu bentuk perwujudan kebudayaan manusia yang dinamis dan sarat perkembangan.Oleh karena itu, perubahan atau perkembangan pendidikan adalah hal yang memang seharusnya terjadi sejalan dengan perubahan budaya kehidupan.2 Berdasarkan pengertian tersebut, dapat disimpulkan bahwa pendidikan merupakan suatu proses yang terjadi secara terus-menerus bagi seseorang untuk mengembangkan potensi diri untuk menjadi lebih baik.

Undang-undang RI Nomor 12 Tahun 2012 pasal 1 ayat 1 juga menerangkan bahwa pendidikan adalah usaha sadar dan terencana untuk menujudkan suasana

1

Abdul Kadir, dkk, Dasar-dasar Pendidikan (Jakarta: Kencana Prenada Media Group, 2012), h. 59.

belajar dan proses pembelajaran agar peserta didik secara aktif mengembangkan potensi dirinya untuk memiliki kekuatan spiritual keagamaan, pengendalian diri, kepribadian, kecerdasan, akhlak mulia, serta keterampilan yang diperlukan dirinya, masyarakat, bangsa dan negara.3_{Berdasarkan pengertian tersebut dapat diketahui} bahwa pendidikan bertujuan untuk mengembangkan potensi peserta didik agar menjadi manusia yang beriman dan menjadi warga Negara yang demokratis serta bertanggung jawab.Selain itu, pendi dikan juga merupakan salah satu gerbang utama untuk mendapat ilmu pengetahuan. Hal ini pun telah dijelaskan dalam firman Allah SWT dalam Al-Qur’an surah Al-‘Alaq/96:1-5.

{ َقَلَخ يا ذلَّا َكا بَر ا ْسْ ابِ ْأَرْقا

telahmenciptakan manusia dari segumpal darah.Bacalah, dan Tuhanmulah yangMaha Pemurah.Yang mengajar (manusia) dengan perantara kalam. Dia mengajarkan kepada manusia apa yang tidak diketahuinya”4

Ada dua pesan penting dari ayat tersebut; yakni perintah untuk berikhtiar untuk memperoleh ilmu dari Allah SWT dan adanya jalur perolehan ilmu yang disiapkan guna pencapaiannya yakni melalui proses pembelajaran dan melalui proses belajar sendiri.

Pendidikan merupakan salah satu usaha yang ditempuh dalam rangka mencerdaskan kehidupan bangsa. Dalam pelaksanaan pendidikan terdapat proses

3 _{Departemen Agama RI Direktorat Jenderal Pendidikan Islam, Undang-undang RI Nomor} 12 Tahun 2012 tentang Pendidikan Tinggi (Jakarta: Departemen Agama, 2015)

pembelajaran yang setiap jenjangnya, peserta didik dituntut untuk mengikuti mata pelajaran tertentu, termasuk mata pelajaran matematika.5_{Matematika timbul karena} pikiran-pikiran manusia yang berhubungan dengan ide, proses dan penalaran.

Matematika pada hakekatnya merupakan aktivitas mental yang tinggi untuk memahami arti struktur-struktur, hubungan-hubungan, simbol-simbol, keabstrakan, yang kemudian menerapkannya dalam situasi nyata. Jadi belajar matematika merupakan suatu proses aktif yang sengaja dilakukan untuk memperoleh pengetahuan yang dapat mengakibatkan terjadinya perubahan tingkah laku.6_Dengan demikian, untuk mencapai pemahaman tentang suatu materi matematika membutuhkan fondasi yang kuat, yaitu dengan memahami konsep yang merupakan prasyarat yang utama.Hal ini melingkupi penalaran, konsep pemahaman simbol, dan penguasaan konsep keabstrakan dan generalisasi.Walaupun pada kenyataannya, adanya perbedaan kemampuan dalam memahami materi matematika ini.

Pembelajaran matematika khususnya di dunia pendidikan sering ditemukan kendala dalam proses belajar mengajar. Fakta telah menunjukkan bahwa matematika adalah pelajaran yang menakutkan dan menegangkan sehingga sebagian besar siswa menganggapnya sebagai momok di sekolah. Prestasi belajar matematika cenderung lebih rendah bila dibandingkan dengan materi pembelajaran yang lain. Hal ini disebabkan karena sebagian siswa memiliki persepsi bahwa pelajaran matematika itu sulit dipelajari, kurang menyenangkan, dan sulit untuk menghafal rumus-rumus matematika.Hal ini dimungkinkan karena kurangnya pemahaman siswa tentang

5

Indah Nursuprianah dan Marati Sholikhah, “Analisis Kesulitan Mahasiswa Dalam

Memahami Mata Kuliah Aljabar Matriks (Studi Kasus Pada Semester IV Tadris Matematika Tahun

Akademik 2008/2009 Di STAIN Cirebon)” journal.

6_{Sanuartini, Pengaruh Kreativitas Belajar Matematika Terhadap Prestasi Belajar}

konsep matematika.7_{Berdasarkan pernyataan tersebut dapat disimpulkan bahwa} terdapat beberapa kendala dalam proses pembelajaran matematika sehingga prestasi belajar matematika cenderung lebih rendah jika dibandingkan dengan materi pembelajaran yang lain, salah satu kendalanya yaitu kurangnya pemahaman peserta didik mengenai konsep matematika.

Matematika merupakan pelajaran yang dipelajari mulai dari bangku sekolah dasar hingga bangku perguruan tinggi.Matematika di jenjang Perguruan Tinggi (PT) sangatlah berbeda dengan matematika pada jenjang lainnya.Karena menurut Ruseffendi bahwa matematika di PT mencakup 4 wawasan yang luas yaitu aritmatika, aljabar, geometri dan analisis.8_{Maka dari itu, pembelajaran matematika di} perguruan tinggi menuntut peserta didik untuk lebih berpikir rasional dibandingkan dengan pembelajaran matematika yang diperoleh sebelumnya di sekolah-sekolah.

Pemahaman pada dasarnya berasal dari kata “paham” yang mengandung

makna “benar-benar mengerti”.Pemahaman dalam Taksonomi Bloom merupakan

salah satu aspek dalam ranah kognitif. Bloom membagi aspek pemahaman menjadi tiga macam pemahaman yaitu: translation, interpretation, dan ekstrapolasi. Translation (pengubahan), adalah kemampuan memahami ide yang dinyatakan dengan cara lain dari pernyataan aslinya. Misalnya mampu mengubah (translation) soal cerita ke dalam kalimat matematis, pemberian arti (interpretation) misalnya mampu mengartikan suatu kesamaan, dan memperkirakan (extrapolation).9Dengan

7_{Rohmatuh mahmuda, ‘Upaya meningkatkan prestasi belajar siswa padajenjang sekolah}

menengah atas materi peluang menggunakan metode pemecahan masalah’, Jurnal Tadris Matematika institute agama islam negeri (IAIN)Tulungagung.

8_{Indah Nursuprianah dan Marati Sholikhah, “Analisis Kesulitan Mahasiswa Dalam} Memahami Mata Kuliah Aljabar Matriks (Studi Kasus Pada Semester IV Tadris Matematika Tahun

Akademik 2008/2009 Di STAIN Cirebon)” journal.

demikian dapat dikatakan bahwa pemahaman ditunjukkan oleh kemampuan menjelaskan atau mendefinisikan informasi secara verbal, di samping mampu melihat keterkaitan antara satu konsep dengan konsep lainnya.

Selain konsep pemahaman menurut Bloom, Skemp membagi pemahaman menjadi dua yaitu pemahaman instrumental dan pemahaman relasional.Pemahaman instrumental mengarahkan mahasiswa untuk menghasilkan jawaban yang benar karena jenis pemahaman ini menuntut mahasiswa untuk berpikir secara prosedural atau algoritmik.10_{Mahasiswa biasanya dihadapkan hanya pada persolan rutin} sehingga biasanya mahasiswa memiliki kemampuan koneksi yang sangat rendah dan terbatas. Pada umumnya mereka akan kesulitan mengadaptasi suatu permasalahan yang tidak rutin dengan skema yang sudah ada dalam struktur mentalnya. Pemahaman jenis relasional mengarahkan mahasiswa untuk mengaitkan konsep dalam satu topik maupun mengaitkan konsep antar topik.Mahasiswa yang memiliki kemampuan relasional dapat membangun koneksi yang lebih luas untuk membuat conceptual framework sehingga dapat membantu mereka dalam mengaplikasikan konsep matematis.Oleh karena itu, karena pentingnya kedua jenis kemampuan pemahaman tersebut, dalam penelitian ini kemampuan pemahaman matematis yang diteliti dibatasi pada kemampuan instrumental dan relasional.

Salah satu materi yang penting dan mendasar dalam matematika adalah aljabar. Hal ini dikarenakan aljabar merupakan cabang matematika yang dicirikan sebagai generalisasi dari bidang aritmetika, dan aritmatika merupakan salah satu pondasi dasar matematika..

10_{U. Sumarmo, Pembelajaran Keterampilan Membaca Matematika pada Siswa Menengah}

Pemahaman konsep aljabar merupakan salah satu kecakapan atau kemahiran aljabar yang diharapkan dapat tercapai dalam pembelajaran matematika melalui penunjukkan keterkaitan antarkonsep dan aplikasi konsep atau algoritma secara luwes, akurat, efisien, dan tepat dalam pemecahan masalah.Derajat pemahaman konsep ditentukan oleh tingkat keterkaitan antara gagasan, prosedur, dan pemecahan masalah. Sehubungan dengan hal tersebut, maka pemahaman konsep merupakan kompetensi yang dimiliki mahasiswa dengan beberapa indikator berikut: (1) menyatakan atau menjelaskan ulang sebuah konsep, (2) mengklasifikasikan sifat‐sifat tertentu, (3) memberi contoh, (4) merepresentasikan konsep, (5) menggunakan konsep untuk menyelesaikan masalah.11_{Dalam Aljabar memiliki} pokok permasalahan untuk dikembangkan lebih lanjut lagi, salah satunya yaitu Aljabar Linear.

Aljabar Linier Elementer merupakan salah satu mata kuliah dasar yang diberikan sebelum mengambil mata kuliah matematika tingkat lanjut dan setelah mahasiswa mengambil mata kuliah Kalkulus.Mata kuliah ini menuntut mahasiswa untuk berpikir cermat dan teliti. Beberapa materi yang dipelajari pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer antara lain adalah matriks, sistem persamaan linear dan determinan dengan masing-masing mempunyai kesulitan yang berbeda-beda dan saling berkaitan satu sama lain.12 Kompetensi yang harus dikuasai mahasiswa ketika belajar materi matriks, sistem persamaan linear dan determinan adalah mahasiswa dapat menguasai sistem persamaan linier beserta dengan cara memecahkannya serta sifat-sifatnya, memahami matriks dan operasi yang ada pada matriks dan mahasiswa

11 _{Bambang Priyo Darmito, ”Upaya Peningkatan Pemahaman Konsep Aljabar dan Sikap} Mahasiswa Calon Guru Matematika terhadap Pembelajaran Berbasis Komputer” journal.

mampu untuk mencari invers suatu matriks. Selain itu, mahasiswa juga dapat menguasai sifat-sifat fungsi determinan dan dapat mencari determinan suatu matriks bujur sangkar.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa kesalahpahaman konsep pada materi aljabar akan berdampak terhadap materi lainnya. Kesalahan konsep ini tidak hanya terjadi pada siswa tetapi juga sering ditemukan pada mahasiswa calon guru.Disadari bahwa kesalahan konsep terjadi salah satunya disebabkan kekeliruan dalam pemahaman terhadap konsep. Hal ini tentu akan mengakibatkan kesulitan dalam belajar yang berujung pada rendahnya hasil belajar.13_{Berdasarkan desnripsi tersebut} diketahui bahwa sangat penting bagi peserta didik untuk memahami konsep aljabar.

Berdasarkan observasi yang dilakukan pada tanggal 13 maret 2017 melalui wawancara dengan 5 mahasiswa pendidikan matematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016 yang telah mengikuti mata kuliah Aljabar Linear Elementer pada semester III,14 _{2 diantaranya berpendapat mata kuliah ini tidak terlalu sulit karena} sebagian materinya membahas SPL, matriks, determinan dan vektor yang telah dipelajari sebelumnya di bangku sekolah. Sedangkan 3 di antaranya berpendapat mata kuliah ini sulit karena mereka kurang memahami konsep-konsep dasar yang digunakan dalam materi kuliah ini sehingga cenderung mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal mata kuliah aljabar linear elementer.

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan oleh Cita Dwi Rosita dkk, yang

berjudul “Analisis Kemampuan Pemahaman Matematis Mahasiswa pada Mata

13 _{Ade Irfan dan Anzora, ”Analisis Pemahaman Konsep Aljabar Mahasiswa Calon Guru} Melalui Peta Konsep Pada Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Abulyatama

Aceh”,Jurnal Dedikasi PendidikanVolume 1, No. 1, Januari 2017.

14

Kuliah Aljabar Linear 1”15 _{menyimpulkan bahwa ketercapaian pada setiap indikator} soal TKPM, hanya 3 indikator mencapai lebih dari atau sama dengan 70%, sedangkan 4 indikator lainnya kurang dari 70% dengan terendah ketercapaian 50%, kemampuan pemahaman matematis mahasiswa secara klasikal tidak mencapai ketuntasan artinya nilai rata-rata semua mahasiswa berada di bawah KKM yang ditentukan yaitu 65. Ketuntasan kemampuan pemahaman matematis mahasiswa secara individual disimpulkan bahwa terdapat nilai TKPM mahasiswa yang mencapai lebih atau sama dengan 65 sebanyak 54,38% dari keseluruhan mahasiswa, adanya perbedaan ketuntasan pada kelompok mahasiswa berdasarkan tingkat kemampuan tinggi, sedang dan rendah di mana masing-masing memperoleh rata-rata 84,7714; 65,7500; 47,1395. Mahasiswa dengan tingkat kemampuan tinggi dan sedang mencapai ketuntasan lebih dari 65, sedangkan untuk yang berkemampuan rendah belum tuntas.

Berdasarkan pemikiran di atas maka peneliti berkeinginan untuk melakukan penelitian yang berjudul “Analisis Pemahaman Konsep Aljabar Pada Mata Kuliah Aljabar Linear Elementer MahasiswaPendidikan Matematika UIN

Alauddin Makassar Angkatan 2016.”

B. Fokus Penelitian dan Deskripsi Fokus

Fokus permasalahan dalam penelitian ini adalah kemampuanmahasiswa dalam memahami konsep Aljabar pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer. Hal ini dapat ditinjau dari segi pemahaman konsep dan algoritma penyelesaian masalah/soal. Menganalisis kemampuan mahasiswa dalam memahami konsep Aljabar maka penelitian ini memusatkan perhatian pada Kemampuan Pemahaman

15

Cita Dwi Rosita, Laelasari, dan M. Subali Noto, “Analisis Kemampuan Pemahaman

Matematis (KPM) pada konsep ruang vektor, subruang vektor, dan ruang vektor Euclidean. Adapun indikator pemahaman konsep matematika yang digunakan dalam penelitian ini, mengacu pada indikator yang dinyatakan oleh Kemendikbud sebagai berikut:

1. Kemampuan menyatakan ulang sebuah konsep. 2. Kemampuan memberi contoh dan bukan contoh.

3. Kemampuan menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematika.

4. Kemampuan menggunakan, memanfaatkan dan memilih prosedur tertentu. 5. Kemampuan mengaplikasikan konsep/algoritma ke pemecahan masalah.

Dalam penelitian ini, peneliti juga memusatkan perhatian pada faktor-faktor yang mempengaruhi pemahaman konsep mahasiswa dalam materi ruang vektor, sub ruang vektor, dan vektor Euclidean.

C. Pertanyaan Penelitian

Berdasarkan uraian latar belakang dan fokus penelitian di atas, maka yang menjadi pokok permasalahan dalam penelitian ini adalah:

1. Bagaimana pemahaman konsep aljabar pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer mahasiswa pendidikan matematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016 berdasarkan indikator kemampuan pemahaman matematis pada konsep ruang vektor, subruang vektor, dan ruang vektor Euclidean?

D. Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penelitian ini adalah untuk:

1. Menganalisis pemahaman konsep aljabar pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer mahasiswa pendidikan matematika UIN Alauddin Makassar angkatan 2016 berdasarkan indikator kemampuan pemahaman matematis pada ruang vektor, subruang vektor, dan ruang vektor Euclidean.

2. Untuk mengetahui faktor-faktor yang mempengaruhi pemahaman konsep mahasiswa dalam materi ruang vektor, sub ruang vektor, dan vektor Euclidean.

E. Manfaat Penelitian

Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai berikut:

1. Manfaat teoritis

Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan bagi pengembangan konsep di bidang pendidikan khususnya pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer.

2. Manfaat praktis a. Bagi mahasiswa

1) Dapat meningkatkan motivasi pentingnya memahami setiap konsep matematika.

2) Meningkatkan pemahaman konsep aljabar khususnya pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer.

b. Bagi dosen

2) Memberikan informasi atau gambaran mengenai pentingnya penyampaian materi konsep aljabar serta memperdalam pemahaman dan penguasaan konsep aljabar terhadap peserta didik.

3) Sebagai motivasi supaya dalam menyelesaikan soal Aljabar Linear Elementer dengan tepat dan benar.

c. Bagi kampus

Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan bagi pengembangan konsep di bidang pendidikan, khususnya mata kuliah Aljabar Linear Elementer.

d. Bagi peneliti

BAB II

TINJAUAN TEORETIK

A.Kajian Teori

1. Pemahaman Konsep a. Pemahaman Konsep

Pengertian pemahaman yang dikemukakan oleh para ahli seperti yang

dikemukakan oleh Winkel dan Mukhtar, mengemukakan bahwa: “Pemahaman yaitu

kemampuan seseorang untuk mengerti atau memahami sesuatu setelah sesuatu itu diketahui atau diingat; mencakup kemampuan untuk menangkap makna dari arti dari bahan yang dipelajari, yang dinyatakan dengan menguraikan isi pokok dari suatu bacaan, atau mengubah data yang disajikan dalam bentuk tertentu ke bentuk yang

lain”.

Dalam hal ini, peserta didik dituntut agar dapat memahami atau mengerti apa yang diajarkan, mengetahui apa yang sedang dikomunikasikan, dan dapat memanfaatkan isinya tanpa keharusan untuk menghubungkan dengan hal-hal yang lain. Kemampuan ini dapat dijabarkan ke dalam tiga bentuk, yaitu: menerjemahkan (translation), menginterpretasi (interpretation), dan mengekstrapolasi (extrapolation).16

Sementara Benjamin S. Bloom mengatakan bahwa: “Pemahaman (comprehension) adalah kemampuan seseorang untuk mengerti atau memahami

sesuatu setelah sesuatu itu diketahui dan diingat”. Dengan kata lain, memahami

adalah ketika kita mengetahui tentang sesuatu kemudian mengerti dan dapat melihatnya dari berbagai segi. Seorang peserta didik dikatakan memahami sesuatu

16 _{Sudaryono, Dasar-dasar Evaluasi Pembelajaran (Yogyakarta: Penerbit Graha Ilmu,}

apabila ia dapat memberikan penjelasan atau memberi uraian lebih rinci tentang hal itu dengan menggunakan kata-kata sendiri.17

Menurut Bloom, pemahaman (comprehension)umumnya mendapat penekanan dalam proses belajar mengajar. Siswa dituntuk untuk memahami atau mengerti apa yang diajarkan, mengetahui apa yang sedang dikomunikasikan dan dapat memanfaatkan isinya tanpa keharusan menghubungkannya dengan hal-hal lain. Bentuk soal yang sering digunakan untuk mengukur kemampuan ini adalah pilihan ganda dan uraian.

Kemampuan pemahaman dapat dijabarkan menjadi tiga, yaitu: 1) Menerjemahkan (translation)

Pengertian menerjemahkan di sini bukan saja pengalihan (translation) arti dari bahasa yang satu ke dalam bahasa yang lain. Dapat juga dari konsepsi abstrak menjadi suatu model, yaitu model simbolik untuk mempermudah orang mempelajarinya.

2) Menginterpretasi (interpretation)

Kemampuan ini lebih luas daripada menerjemahkan, ini adalah kemampuan untuk mengenal dan memahami.Ide utama suatu komunikasi.

3) Mengekstrapolasi (extrapolation)

Agak lain dari menerjemahkan dan menafsirkan, tetapi lebih tinggi sifatnya. Ia menuntut kemampuan intelektual yang lebih tinggi.18

Berdasarkan pendapat di atas, dapat disimpulkan pemahaman adalah kemampuan seseorang untuk mengerti atau memahami sesuatu setelah sesuatu itu diketahui dan diingat, memahami atau mengerti apa yang diajarkan, mengetahui apa

yang sedang dikomunikasikan dan dapat melihatnya dari berbagai segi. Seorang peserta didik dikatakan memahami sesuatu apabila ia dapat memberikan penjelasan atau memberi uraian yang lebih rinci tentang hal itu dengan menggunakan kata-kata sendiri. Kemampuan pemahaman dapat dijabarkan menjadi tiga, yaitu: menerjemahkan (translation), menginterpretasi (interpretation), mengekstrapolasi (extrapolation).

Allah Berfirman dalam Q.S Al-Mujadalah/58:11.

َنيِذَّلا َو ْمُكنِم اوُنَماَء َنيِذَّلا ُالله ِعَفْرَي تاَج َرَد َمْلِعْلا اوُتوُأ

. ...(11)

Terjemahnya :

”Allah akan meninggikan orang-orang yang beriman di antaramu dan

orang-orang yang diberi ilmu pengetahuan.”(Q.S.Al-Mujadalah/58:11)19

Ayat di atas menerangkan bahwa betapa Allah meninggikan derajat orang-orang yang beriman dan berpendidikan.Allah sangat menganjurkan setiap umatnya untuk menuntut ilmu setinggi-tingginya. Allah telah menjanjikan derajat yang tinggi bagi umatnya yang berilmu pengetahuan luas. Semakin luas pengetahuan seseorang, semakin tinggi derajatnya dimata Allah SWT.

b. Konsep

Pengertian konsep yang dikemukakan oleh S. Hamid Husen mengemukakan

bahwa: “Konsep adalah pengabstraksian dari sejumlah benda yang memiliki

karakteristik yang sama”. Selanjutnya More mengatakan bahwa “Konsep itu adalah

sesuatu yang tersimpan dalam benak atau pikiran manusia berupa sebuah idea tau

gagasan”. Dengan kata lain, konsep dapat dinyatakan dalam sejumlah bentuk konkrit

atau abstrak, luas atau sempit, satu kata frase.20

19_{Departemen Agama Republik Indonesia, Al-}Qur’an dan Terjemahan.Qur’an Surah Al

-Mujadalah ayat 11.

Menurut Bloom “Pemahaman konsep adalah kemampuan menangkap

pengertian-pengertian seperti mampu mengungkap suatu materi yang disajikan ke dalam bentuk yang lebih dipahami, mampu memberikan interpretasi dan mampu

mengaplikasikannya”.

Berdasarkan pengertian di atas dapat disimpulkan bahwa, pemahaman konsep adalah kemampuan menangkap pengertian-pengertian seperti mampu memahami atau mengerti apa yang diajarkan, mengetahui apa yang sedang dikomunikasikan, memberikan penjelasan atau memberi uraian yang lebih rinci dengan menggunakan kata-kata sendiri, mampu menyatakan ulang suatu konsep, mampu mengklasifikasikan suatu objek dan mampu mengungkapkan suatu materi yang disajikan ke dalam bentuk yang lebih dipahami.

2. Aljabar pada Mata Kuliah Aljabar Linear Elemenenter

Dasar aljabar berbeda dari aritmetika dalam penggunaan abstraksi, seperti menggunakan huruf untuk mewakili angka-angka yang tidak diketahui atau diperbolehkan untuk mengambil banyak nilai-nilai. Misalnya, dalam huruf tidak diketahui, tetapi hukum inversi dapat digunakan untuk menemukan nilai: Dalam E = mc2, huruf dan adalah variabel, dan huruf adalah konstanta, kecepatan cahaya dalam vakum. Aljabar memberikan metode untuk memecahkan persamaan dan mengekspresikan rumus yang lebih mudah (bagi mereka yang memahami konsepnya) daripada metode konvensional, yaitu menulis semuanya dalam kata-kata.

Kata aljabar juga digunakan dalam hal-hal yang lebih spesifik. Jenis khusus dari objek matematika dalam aljabar abstrak disebut "aljabar", kata ini digunakan, misalnya, dalam ungkapan aljabar linear dan topologi aljabar.21

Aljabar biasanya berkaitan dengan penyelesaian sistem persamaan, menemukan nilai dari suatu yang belum diketahui, menggunakan rumus kuadrat atau bekerja dengan sistem rumus, persamaan dan simbol huruf.Dalam mempelajari aljabar dibutuhkan kemampuan memahami simbol-simbol, operasi dan aturan-aturannya.Kemampuan yang demikian tereksplorasi dalam penalaran aljabar yang didalamnya memuat keterampilan memahami pola-pola dan membuat generalisasinya.

Pada bentuk aljabar dapat dilakukan operasi hitung, Operasi hitung pada bentuk Aljabar merupakan dasar dalam memahami bahasan-bahasan berikutnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan uraian berikut:

21 “Aljabar”, _{Wikipedia the Free Encyclopedia. https://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar (17}

a. Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar

Untuk menentukan hasil penjumlahan maupun hasil pengurangan pada bentuk aljabar, perlu diperhatikan hal-hal berikut:

1) Suku-suku yang sejenis

2) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan, yaitu: a) 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 = 𝑎(𝑏 + 𝑐)

b) 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 = 𝑎(𝑏 − 𝑐

3) Hasil perkalian dua bilangan bulat, yaitu:

a) Hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif b) Hasil perkalian dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif

c) Hasil perkalian bilangan bulat positif adalah bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif

Dengan menggunakan ketentuan-ketentuan di atas, maka hasil penjumlahan maupun hasil pengurangan pada bentuk aljabar dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana dengan memperhatikan suku-suku yang sejenis.22

Contoh:

(1) 16𝑥 + 3 + 3𝑥 + 4 = 16𝑥 + 3𝑥 + 3 + 4 = 19𝑥 + 7

(2) 6𝑚 + 3(𝑚2_{− 𝑛}2_{) − 2𝑚}2_{+ 3𝑛}2 _{= 6𝑚 + 3𝑚}2_{− 3𝑛}2_{− 2𝑚}2_{+ 3𝑛}2

= 6𝑚 + 3𝑚2_{− 2𝑚}2_{− 3𝑛}2_{+ 3𝑛}2

= 𝑚2_{+ 6𝑚}

22 _{M. Cholik Adinawan dan Sugijono, Matematika Untuk SMP Kelas VIII 2A Semester 1}

b. Perkalian bentuk aljabar

Operasi perkalian sangat bermanfaat saat kita mempelajari faktorisasi bentuk aljabar.Sekarang ingat kembali sifat distributive pada perkalian bilangan bulat.Jika 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 bilangan bulat maka berlaku 𝑎 × (𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 dan 𝑎 × (𝑏– 𝑐) = 𝑎𝑏– 𝑎𝑐.Sifat distributif ini digunakan untuk menyelesaikan operasi perkalian bentuk aljabar.

c. Perkalian antara kosntanta dengan bentuk aljabar

Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut:

𝑘 (𝑎𝑥) = 𝑘𝑎𝑥

𝑘 (𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑘𝑎𝑥 + 𝑘𝑏 Contoh:

Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah: 1) 4(𝑝 + 𝑞)

Penyelesaian:

4(𝑝 + 𝑞) = 4𝑝 + 4𝑞 2) 5(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)

Penyelesaian:

5(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦) = 5𝑎𝑥 + 5𝑏𝑦 3) 3(𝑥– 2) + 6(7𝑥 + 1)

Penyelesaian:

3(𝑥– 2) + 6(7𝑥 + 1) = 3𝑥– 6 + 42𝑥 + 6 = (3 + 42)𝑥– 6 + 6

4) −8(2𝑥– 𝑦 + 3𝑧)

Penyelesaian:

−8(2𝑥– 𝑦 + 3𝑧) = −16𝑥 + 8𝑦– 24

d. Perkalian antara dua bentuk aljabar

Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat dstributif perkalian terhadap pengurangan.

Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut:

Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan suku dua berikut: (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑) = 𝑎𝑥 . 𝑐𝑥 + 𝑎𝑥 . 𝑑 + 𝑏 . 𝑐𝑥 + 𝑏 . 𝑑

= 𝑎𝑐2 _{+ (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥 + 𝑏𝑑}

Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut:

(𝑎𝑥 + 𝑏) (𝑐𝑥 + 𝑑) =𝑎𝑥 (𝑐𝑥 + 𝑑) + 𝑏 (𝑐𝑥 + 𝑑)

=𝑎𝑥 . 𝑐𝑥 + 𝑎𝑥 . 𝑑 + 𝑏 . 𝑐𝑥 + 𝑏 . 𝑑

= 𝑎𝑐2 + 𝑎𝑑𝑥 + 𝑏𝑐𝑥 + 𝑏𝑑

= 𝑎𝑐2+ (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥 + 𝑏𝑑

Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku tiga berlaku

sebagai berikut:

(𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑 + 𝑒) = 𝑎𝑥 ∙ 𝑐𝑥2_{+ 𝑎𝑥 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑎𝑥 ∙ 𝑒 + 𝑏 ∙ 𝑐𝑥}2_{+ 𝑏 ∙ 𝑑𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑒}

= 𝑎𝑐𝑥3_{+ (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑥}2_{+ (𝑎𝑒 + 𝑏𝑑)𝑥 + 𝑏𝑒}23

1) Pembagian

Jika dua bentuk aljabar memiliki faktor-faktor yang sama, maka hasil pembagian kedua bentuk aljabar tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk yang sederhana dengan memperhatikan faktor-faktor yang sama.24

Contoh:

21𝑎2 _{∶ 3𝑎 =}21𝑎2

3𝑎 =( 21

3) ( 𝑎2

𝑎 ) = 7𝑎

Adapun konsep dan prinsip Aljabar pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer sebagai berikut:

e. Konsep Aljabar dalam Aljabar Linear Elementer

Aljabar secara garis besar dapat dibagi dalam kategori berikut ini:

1) Aljabar Elementer, yang dipelajari sifat-sifat operasi pada bilangan rill direkam dalam simbol sebagai konstanta dan variabel, dan aturan yang membangun ekspresi dan persamaan matematika yang melibatkan simbol-simbol.

2) Aljabar abstrak, kadang-kadang sisebut aljabar modern, yang mempelajari struktur aljabar semacam Grup, Ring, dan Medan (fields) yang didefinisikan dan diajarkan secara aksiomatis.

3) Aljabar linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus dari ruang vektor (termasuk matriks).

23 _{Dewi Nuharini dan Tri Wahyuni, Matematika Konsep dan Aplikasinya, (Jakarta: Pusat}

Pembukuan, 2008) h. 2h.84-85

24_{M. Cholik Adinawan dan Sugijono, Matematika Untuk SMP Kelas VIII 2A Semester 1,}

4) Aljabar universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua struktur aljabar.25

Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear.Matrik dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan mata kuliah aljabar linear. Secara garis besar, mata kuliah ini akan membicarakan tentang pengertian matriks, operasi dasar matriks, dan jenis-jenis matriks, determinan, operasi baris elementer (OBE), matrik ekivalen, matriks invers dan sifat-sifatnya, sistempersamaan linear, ruang vektor, basis dan dimensi, transformasi linear, eigen vektor dan eigenvalues.26

Adapun konsep aljabar dalam Aljabar Linear Elementer yaitu sebagai berikut: 1) Sistem Persamaan Linear

a) Persamaan dan Sistem Linear

Persamaan linear adalah dimana sebuah garis yang terletak pada bidang xy dapat dinyatakan secara aljabar dalam suatu persamaan berbentuk:

𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦 = 𝑏

di mana 𝑎₁, 𝑎₂, dan 𝑏 merupakan konstanta real, dan 𝑎₁ dan 𝑎₂ tidak keduanya nol. Persamaan semacam ini disebut persamaan linear dengan variabel x dan y. secara umum kita mendefinisikan persamaan linear (linear equation) dengan n variabel 𝑥₁,

𝑥2, … , 𝑥𝑛 sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk:

𝑎1𝑥1+ 𝑎2𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏

25

http://aby-matematika.blogspot.co.id/2011/08/sejarah-aljabar.html (diakses 25 Juli 2017)

26_{Zulhendri,“Pengembangan Bahan Ajar Mata Kuliah Aljabar Linear Berbantuan Matlab”,}

di mana 𝑎₁, 𝑎₂, …, 𝑎_𝑛 dan 𝑏merupakan konstanta real. Variabel-variabel dalam persamaan linear seringkali disebut sebagai faktor-faktor yang tidak diketahui (unknown).

Sistem linear, sejumlah tertentu persamaan linear dalam variabel 𝑥₁, 𝑥₂, …,

𝑥𝑛disebut sistem persamaan linear (system of linear equation) atau sistem linear. Urutan sejumlah bilangan 𝑠₁, 𝑠₂, …, 𝑠_𝑛merupakan solusi dari setiap persamaan di dalam sistem tersebut.

Suatu sistem yang persamaan yang tidak memiliki solusi disebut tidak konsisten (inconsistent), sedangkan jika terdapat paling tidak satu solusi dalam sistem disebut konsisten (consistent).

2) Sistem Linear Homogen

Suatu sistem linear disebut homogen (homogeneous) jika semua bentuk konstantanya adalah 0: yaitu, sistem ini memiliki bentuk

𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0

𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0

⋮ 𝑎𝑚1𝑥1

⋮

+ 𝑎𝑚2𝑥2 +

⋮

⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 0

Setiap sistem persamaan linear homogen adalah konsisten karena semua sistem semacam ini memiliki solusi 𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0, …, 𝑥_𝑛 = 0. Solusi ini disebut solusi trivial (trivial solution); jika terdapat solusi lain, maka solusi-solusi tersebut disebut solusi nontrivial (nontrivial solution).

3) Matriks dan Operasi Matriks

Dua matriks adalah setara (equal) jika keduanya memiliki ukuran yang sama dan entri-entri yang bersesuaian adalah sama.

Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusundalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom. a) Transpos suatu Matriks

Jika A adalah matriks 𝑚 × 𝑛, maka transpos dari A (transpose of A), dinyatakan dengan 𝐴𝑇, didefinisikan sebagi matriks 𝑛 × 𝑚 yang didapatkan dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari A; sehingga kolom dari 𝐴𝑇 adalah baris pertama dari kolom A, kolom kedua dari 𝐴𝑇adalah baris dari A, dan seterusnya.

Jika A adalah sebuah matriks bujursangkar, maka trace dari A (trace of A), yang dinyatakan sebagai tr(A), didefinisikan sebagai jumlah entri-entri pada diagonal utama A. Trace dari A tidak dapat didefinisikan jika A bukan matriks bujursangkar. b) Invers; Aturan Aritmatika Matriks

Matriks dengan bentuk seperti ini disebut matriks identitas (identity matrix) dan dinyatakan dengan I.

Jika A adalah matriks bujursangkar, dan jika terdapat matriks B yang ukurannya sama sedemikian rupa sehingga AB = BA = I, maka A disebut dapat dibalik (invertible) dan B disebut sebagai invers(inverse) dari A. Jika matriks B tidak dapat didefinisikan, maka A dinyatakan sebagai matriks singular.

c) Matriks Diagonal dan Matriks Segitiga.

Matriks diagonal.Suatu matriks bujursangkar yang semua entrinya yang tidak terletak pada diagonal utama adalah nol disebut matriks diagonal (diagonal matrix).

Matriks segitiga. Matriks bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utamanya adalah nol disebut matrks segitiga bawah (lower triangular) dan matriks bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utamanya adalah nol disebut matriks segitiga atas (upper triangular). Suatu matriks, baik segitiga bawah atau segitiga atas disebut matriks segitiga (triangular).

d) Determinan

Permutasi dari himpunan bilangan bulat atau integer {1, 2, 3, ….,n} adalah

susunan integer-integer ini menurut suatu aturaan tanpa adanya penghilangan atau pengulangan. Suatu inversi (inversion) atau pembalikan dikatakan terjadi dalam suatu permutasi (𝑗₁, 𝑗₂, … . , 𝑗_𝑛) jika integer yang lebih besar mendahului yang lebih kecil. Jumlah total inversi yang terjadi dalam permutasi dapat diperoleh sebagai berikut: (1) tentukan banyaknya integer yang lebih kecil dari 𝑗₁ dan yang mengikuti

Suatu permutasi dikatakan genap (even) jika total banyaknya inverse adalah integer genap dan dikatakan ganjil (odd) jika total inverse adalah integer ganjil.

Definisi determinan. Suatu hasilkali elementer (elementary product) dari suatu matriks A, n × n, adalah hasilkali dari n entri dari A, yang tidak satu pun berasal dari baris atau kolom yang sama. Hasilkali elementer bertanda dari A(signed elementary product from A) adalah hasilkali elementer 𝑎_1𝑗1, 𝑎_2𝑗2, … . , 𝑎_𝑛𝑗𝑛 dikalikan dengan +1 atau -1. Kita menggunakan tanda + jika (𝑗₁, 𝑗₂, … . , 𝑗_𝑛) adalah permutasi genap dan tanda – jika (𝑗₁, 𝑗₂, … . , 𝑗_𝑛) adalah permutasi ganjil.

Misalkan A adalah suatu matriks bujursangkar.Fungsi determinan (determinant function) dinotasikan dengan det dan kita mendefinisikan det(A) sebagai jumlah dari semua hasilkali elementer bertanda dari A. Angka det(A) disebut determinan dari A (determinant of A). Simbol |A| adalah notasi alternatif untuk det(A).

4) Ruang Vektor

a) Vektor pada Ruang berdimensi n.

Jika n adalah suatu integer positif, maka tupel n berurutan (ordered n-tuple) adalah suatu urutan dari n bilangan real (𝑎₁, 𝑎₂, … . , 𝑎_𝑛). Himpunan semua tupel n berurutan disebut ruang berdimensi n (n-space) dan dinyatakan sebagai 𝑅𝑛.

Dua vektor u = (𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛) dan v= (𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑛) pada 𝑅𝑛 disebut sama (equal) jika

𝑢1 = 𝑣1, 𝑢2= 𝑣2, … , 𝑢𝑛 = 𝑣𝑛 Jumlah (sum) u + v didefinisikan sebagai

dan jika k adalah suatu skalar sebarang, maka kelipatan skalar (scalar multiple) ku didefinisikan sebagai

𝑘𝐮 = (𝑘𝑢1, 𝑘𝑢2, … , 𝑘𝑢𝑛) b) Ruang berdimensi n Euclidean

Jika 𝐮 = (𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛) dan 𝐯 = (𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑛) adalah vektor-vektor sebarang pada 𝑅𝑛, maka hasilkali dalam Euclidean (Euclidean inner product) 𝐮 ⋅ 𝐯 didefinisikan sebagai

𝐮 ⋅ 𝐯 = 𝑢1𝑣1, 𝑢2𝑣2, … , 𝑢3𝑣3 c) Aksioma Ruang Vektor

Misalkan V adalah suatu himpunan tak kosong dari objek-objek sebarang, di mana dua operasinya didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan). Operasi penjumlahan (addition) dapat diartikan sebagai suatu aturan yang mengasosiasikan setiap pasang objek u dan v pada V dengan suatu objek u + v, yang disebut jumlah (sum) dari u dan v. Operas perkalian skalar (scalar multiplication), dapat diartikan sebagai suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada V dengan suku objek ku, yang disebut kelipatan skalar (scalar multiple) dari u oleh k. Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua objek u, v, w pada V dan semua skalar k dan l, maka kita menyebut V sebagai ruang vektor dan kita menyebut objek-objek pada V sebagai vektor.

(1) Jika 𝐮 dan 𝐯 adalah objek-objek pada V, maka 𝑢 + 𝑣 berada pada V. (2) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢

(3) 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) = (𝑢 + 𝑣) + 𝑤

(5) Untuk setiap u pada V, terdapat suatu objek –u pada V, yang disebut negatif dari u, sedemikian rupa sehingga 𝑢 + (−𝑢) = (−𝑢) + 𝑢 = 0

(6) Jika k adalah skalar sebarang dan u adalah objek sebarang pada V, maka ku terdapat pada V.

(7) 𝑘(u + v) = 𝑘u + 𝑘v

(8) (𝑘 + 𝑙)u = 𝑘u + 𝑙u

(9) 𝑘(𝑙u) = (𝑘𝑙)(u)

(10) 1 ⋅ u = u

Suatu subhimpunan W dari suatu ruang vektor V disebut subruang dari V dan W itu sendiri merupakan suatu ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.

3. Faktor-faktor yang Mempengaruhi Kemampuan Pemahaman

Keberhasilan Siswa dalam mempelajari matematika dipengaruhi oleh beberapa faktor. Ngalim Purwanto mengungkapkan bahwa berhasil atau tidaknya belajar itu tergantung pada bermacam-macam faktor. Adapun faktor-faktor itu dapat dibedakan menjadi dua golongan, yaitu:

a. Faktor yang ada pada organisme itu sendiri yang kita sebut faktor individu, yang termasuk dalam faktor individu antara lain kematangan atau pertumbuhan, kecerdasan latihan, motivasi dan faktor pribadi.

b. Faktor yang ada di luar individu yang kita sebut faktor sosial, yang termasuk faktor sosial ini antara lain keluarga atau keadaan rumah tangga, guru dan cara mengajarnya, alat-alat yang digunakan dalam belajar, lingkungan dan kesempatan yang tersedia serta motivasi sosial.27

27_{Ngalim Purwanto, Psikologi Pendidikan, (Bandung: PT Remaja Rosdakarya, 2007) hal.}

Selain faktor tersebut, pemahaman konsep dipengaruhi oleh psikologis peserta didik. Kurangnya pemahaman konsep terhadap materi matematika yang dipelajari karena tidak adanya usaha yang dilakukan oleh siswa dalam menyelesaikan soal-soal yang diberikan guru. Siswa lebih kepada mengharapkan penyelesaian dari guru, hal ini memperlihatkan bahwa pemahaman konsep siswa masih rendah.

B.Kajian Penelitian yang Relevan

Kajian relevan yang digunakan sebagai bahan pertimbangan baik mengenai kelebihan atau kekurangan yang ada sebelumnya.Selain itu kajian terdahulu juga mempunyai banyak pengaruh salah satunya yaitu untuk memperoleh informasi terkait dengan teori yang berkaitan dengan judul yang dapat digunakan sebagai landasan teori ilmiah.

Penelitian yang dilakukan oleh Indah Nursuprianah dan Marati Sholikhah yang berjudul “Analisis Kesulitan Mahasiswa Dalam Memahami Mata Kuliah Aljabar Matriks (Studi Kasus Pada Semester IV Tadris Matematika Tahun Akademi

2008/2009 Di STAIN Cirebon)” menyimpulkan bahwa Kesulitan mahasiswa dalam

pemahaman rumus sebesar 45.6%, penulisan simbol sebesar 39%, proses berhitung sebesar 37.4%, menentukan himpunan penyelesaian sebesar 33.8%, pemahaman konsep sebesar 33.6% dan memahami istilah sebesar 27.7%. Isi materi memiliki rata-rata paling kecil yaitu sebesar 61.938, kesulitan mahasiswa dalam mempengaruhi prestasi belajar aljabar matriks yang ditinjau dari evaluasi pengajaran yaitu sebesar 35.5% dengan kesulitan terbesarnya ialah kemampuan menumbuhkan peran mahasiswa sebesar 41%. Evaluasi pengajaran memiliki rata-rata sebesar 65.549.Penelitian tersebut mengkaji tentang kesulitan mahasiswa dalam memahami mata kuliah Aljabar Matriks ditinjau dari tujuan pengajaran, metode pengajaran dan isi materi.Pada penelitian ini yang diteliti hanya kemampuan pemahaman berdasarkan indikator pemahaman konsep dan prinsip aljabar mahasiswa dalam mata kuliah Aljabar Linear Elementer.

Penelitian oleh Yuni Suryaningsih dengan judul “Korelasi Hasil Belajar Mata

Kuliah Aljabar Linear Elementer Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika

Fkip Universitas Lambung Mangkurat Berdasarkan Mata Kuliah Prasyarat”

Matriks sebagai mata kuliah prasyarat sebelum terhadap hasil belajar mahasiswa pada mata kuliah Aljabar Linear Elementer.

Penelitian oleh Mia Fitria dkk dengan judul “Pengembangan Modul Aljabar

Linear Elementer Bernuansa Konstruktivisme Berbantuan Ict” menyimpulkan bahwa

berdasarkan pembahasan hasil penelitian dapat disimpulkan bahwa modul Aljabar Linear Elementer bernuansa konstruktivisme berbantuan ICT adalah sangat valid, praktis, dan efektif. Penggunaan modul dalam belajar dapat menarik perhatian mahasiswa, membuat mahasiswa aktif belajar dan membantu mahasiswa dalam meningkatkan hasil belajar.Berdasarkan penelitian tersebut, yang dikaji adalah tentang pengembangan modul Aljabar Linear Elementer sebagai perangkat belajar mahasiswa.

Berdasarkan penelitian relevan sebelumnya yang dilakukan oleh Ade Irfan

dan Anzora yang berjudul “Analisis Pemahaman Konsep Aljabar Mahasiswa Calon

Guru Melalui Peta Konsep Pada Program Studi Pendidikan Matematika Universitas

Abulyatama Aceh” menyimpulkan bahwa pemahaman konsep aljabar mahasiswa

calon guru melalui peta konsep pada program studi pendidikan matematika FKIP Universitas Abulyatama Aceh berada pada tingkatan miskonsepsi sebagian (MSG).

Adapun kesalahan konsep aljabar mahasiswa calon guru di prodi pendidikan matematika FKIP Universitas Abulyatama Aceh melalui peta konsep terjadi pada mengidentifikasi ide sekunder, dalam menentukan jenis peta konsep dan alasan memilihnya, serta dalam menjelaskan hubungan ide pokok dengan ide sekunder. Respon mahasiswa terhadap proses perkuliahan aljabar adalah positif (3,27). Penelitian tersebut mengkaji tentang bagaimana deskripsi pemahaman dan miskonsepsi mahasiswa calon guru dalam memahami konsep aljabar melalui peta

Penelitian oleh Iin Indrayani dengan judul "Analisis Eliminasi Gauss, Dekomposisi Crout, dan Metode Matriks Invers dalam Menyelesaikan Sistem

Persamaan Linier serta Aplikasinya dalam Bidang Ekonomi” menyimpulkan bahwa

metode eliminasi Gauss lebih efektif dan efisien dibandingkan dengan Dekomposisi Crout dan Metode matriks Invers. Perbandingan ini dapat dilihat dari jumlah operasi aritmatika, banyaknya langkah, kecepatan, dan ketepatan dalam penyelesaian.Selain itu ternyata ketiga metode tersebut dapat diaplikasikan dalam bidang ekonomi, terutama dalam analisis input-output.Penelitian tersebut mengkaji tentang analisis materi dalam menyelesaikan soal SPL serta bagaimana aplikasinya dalam bidang ekonomi.

Penelitian oleh Betty Love dkk yang berjudul “Student learning and

perceptions in a flipped linear algebra course” menyimpulkan bahwa Penelitian ini

melibatkan 55 siswa dalam 2 bagian dari kursus aljabar linear terapan, dengan

menggunakan format ceramah tradisional di satu bagian dan model kelas membalik

di lain. Pada akhirnya, siswa diharapkan untuk mempersiapkan kelas dengan cara

tertentu, seperti menonton screencasts yang disiapkan oleh instruktur, atau membaca

buku teks atau catatan instruktur. Pemahaman isi dan persepsi siswa dipelajari.

Pemahaman konten diukur dengan kinerja pada ujian mata kuliah, dan siswa di

lingkungan kelas yang membalik memiliki peningkatan yang lebih signifikan antara

ujian berurutan dibandingkan dengan siswa di bagian ceramah tradisional, saat

melakukan hal yang sama dalam ujian akhir. Persepsi kursus diwakili oleh survei

akhir semester yang menunjukkan bahwa siswa kelas yang membalik sangat positif

tentang pengalaman mereka dalam kursus, dan sangat menghargai kolaborasi siswa

dan komponen video instruksional. Penelitian tersebut membandingkan dua model

Penelitian oleh Sinan Aydin yang berjudul “Some analysis on a first course in

linear algebra” menyimpulkan bahwa penyederhanaan yang berlebihan untuk

berpikir bahwa ada cara yang unik untukmengajar kuliah ini. Meski banyak

matematikawan bisa menduga bahwa aljabar linear pertama seolah-olah sama di

mana-mana, kenyataannya berbeda dari ide ini. Edisi terbaru dari buku teks aljabar

linier biasanya bahan yang bagus untuk apa yang diajarkan di bukutingkat pengantar.

Tampaknya dengan hanya mengungkapkan dan menunjukkan, guru mungkin tidak

bisa secara signifikan meningkatkan pembelajaran mata kuliah abstrak. Dalam

beberapa tahun terakhir, peneliti aljabar linier telah merumuskan beberapa metode

pengajaran yang efisien untuk memudahkanbelajar bermakna. Perangkat lunak

memberikan visualisasi yang membantu dalamruang vektor dua atau tiga dimensi.

Dengan menciptakan lingkungan interaktif dari program komputer, siswadapat

mengeksplorasi matriks, transformasi linier dan representasi numerik. Dan akhirnya,

adahubungan yang jelas antara aljabar linier, kalkulus, persamaan diferensial, dan

statistik.Penelitian tersebut berkaitan dengan analisis materi yang terdapat dalam

mata kuliah aljabar linier berdasarkan isi materi, buku teks, profil pembelajaran

siswa dan metode pengajaran yang digunakan.

Berdasarkan kajian di atas peneliti memperoleh beberapa perbedaan ataupun persamaan terkait dengan variabel yang diteliti. Dalam penelitian ini hanya akan meneliti terkait dengan bagaimana kemampuan pemahaman konsep aljabar mahasiswa pendidikan matematika UIN Alauddin Makassar pada mata kuliah aljabar linear elementer.

Matematika adalah salah satu disiplin ilmu yang materinya tersusun secara hierarki dan sistematis serta penalarannya bersifat deduktif. Artinya suatu materi matematika tertentu dapat dipahami apabila materi lain yang menjadi prasyarat dari materi tersebut telah dikuasai atau telah dipahami. Permasalahan yang sering muncul dalam pembelajaran matematika adalah tentang penguasaan atau pemahaman konsep.Hal ini tidak hanya terjadi dari jenjang sekolah dasar hingga sekolah menengah atas tetapi di perguruan tinggi pun juga sering terjadi.Dalam pembelajaran matematika, semua materi yang ada mengandung aspek pemahaman konsep karena memang kemampuan mendasar dalam belajar matematika adalah penguasaan konsep.

Matematika tersusun secara hierarkis dan saling berkaitan unsur-unsurnya.Konsep lanjutan tidak mungkin dapat dipahami sebelum memahami dengan baik konsep yang menjadi prasyarat.Ini berarti dalam belajar dan pembelajaran Matematika diperlukan pemahaman konsep secara baik pada pendahuluan, yaitu sebelum mempelajari materi baru.

Berdasarkan penjelasan di atas dapat diambil kesimpulan bahwa semakin baik pemahaman konsep peserta didik tentang materi terdahulu, maka akan semakin memudahkan dalam pembelajaran materi sebelumnya. Begitu juga sebaliknya, jika kurang mampu memahami konsep materi terdahulu, maka akan mengalami kesulitan dalam materi selanjutnya.

BAB III

METODE PENELITIAN

A.Pendekatan dan Jenis Penelitian

1. Pendekatan Penelitian

Pendekatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah pendekatan kualitatif, karena dalam pendekatan kualitatif langsung dijelaskan dan diterangkan tentang semua permasalahan yang belum diketahui secara rinci, sehingga akan memberikan kemudahan bagi orang yang ingin mengetahui tentang semua pembahasan dalam penelitian tersebut.28Kirk dan Miller mendefinisikan bahwasanya penelitian kualitatif berhubungan dengan tradisi tertentu dalam ilmu pengetahuan sosial yang secara fundamental bergantung pada pengamatan terhadap manusia dan dalam kawasannya sendiri.29

Dalam penelitian kualitatif deskriptif bertujuan untuk menggambarkan, melukiskan, secara lebih rinci dengan maksud menerangkan, menjelaskan dan menjawab permasalahan peneliti.Dengan mempelajari semaksimal mungkin seorang individu, suatu kelompok, atau suatu kejadian, peneliti bertujuan memberikan pandangan yang lengkap dan mendalam mengenai subyek yang diteliti.30

2. Jenis Penelitian

Jenis penelitian yang digunakan adalah penelitian deskriptif kualitatif, dilakukan untuk menggambarkan keadaan dari suatu fenomena atau peristiwa secara

28_{Mohammad Nadzir, Metode Penelitian(Jakarta: Ghalia Indonesia, 1998), h. 14.}

29_{Lexy J. Moleong, Metode Penelitian Kualitatif (Bandung: PT. Remaja Rosda Karya, 2006),}

h. 4.

30_{Dedy Mulyana, Metode Penelitian Kualitatif(Bandung: PT. Remaja Rosdakarya, 2001), h.}

sistematis sesuai dengan apa adanya31_{, tanpa membuat perbandingan atau hubungan} dari suatu variabel dengan variabel lainnya.

Dengan penelitian ini peneliti mencoba mengungkapkan bagaimana ketercapaian pemahaman konsep matematika pada peserta didik. Adapun simpulan dari penelitian ini hanya berlaku bagi peserta didik di kelas yang diteliti dan tidak digeneralisasikan.

B.Lokasi Penelitian

Penelitian ini dilakukan di lokasi kampus II UIN Alauddin Makassar Jl. Sultan Alauddin No. 36 Samata Sungguminasa-Gowa, Sulawesi Selatan, Fakultas Tarbiyah dan Keguruan, sebagai tempat perkuliahaan mahasiswa jurusan Pendidikan Matematika Angkatan 2016.

C.Subjek Penelitian

Sumber data dalam penelitian merupakan subjek dari mana data dapat diperoleh.32Subjekdalam penelitian ini adalah mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika Angkatan 2016 UIN Alauddin Makassar berjumlah 42 orang yang kemudian diberi tes berupa soal aljabar linear elementer.

D.Teknik Pengumpulan Data

Teknik pengumpulan data yang dilakukan adalah tes tertulis dan wawancara. 1. Tes Diagnostik

Tes terdiri dari 7 soal uraian aljabar linear elementer yang disusun berdasarkan materi yaitu: ruang vektor, subruang vektor, dan ruang vektor

31_{Nyoman Dantes, Metode Penelitian (Yogyakarta: C.V Andi Offset, 2014), h. 51.} 32 _{Suharsimi Arikunto, Prosedur Penelitian: Suatu Pendekatan Praktik, Edisi Revisi VI (}

Euclidean. Data kemampuan pemahaman konsep matematika mahasiswa diperoleh dengan memeriksa lembar jawaban tes sesuai dengan rubrik penskoran. Kemudian data tersebut dianalisis secara deskriptif kuantitatif untuk melihat pencapaian kemampuan pemahaman konsep matematika mahasiswa dalam proses perkuliahan. Rata-rata nilai akhir yang diperoleh digunakan untuk melihat kategori kemampuan pemahaman konsep matematika mahasiswa.

2. Wawancara

Wawancara dilakukan secara lisan kepada mahasiswa dengan tingkat kemampuan matematika yang berbeda. Data hasil wawancara dianalisis secara deskriptif kualitatif dan digunakan sebagai data pendukung hasil tes kemampuan pemahaman konsep matematika mahasiswa.Wawancara dilakukan untuk mempelajari/menelusuri alasan subjek mengambil kesimpulan pada tes tertulis, pemahaman subjek penelitian dipelajari melalui interpretasi atau representative yang diberikan subjek dalam menjawab pertanyaan-pertanyaan pewawancara.Selain itu, wawancara juga bertujuan untuk mengetahui secara terperinci letak kesulitan mahasiswa dalam memahami konsep aljabar dalam mata kuliah aljabar linear.

E.Instrumen Penelitian

Instrumen penelitian adalah alat ukur yang digunakan dalam penelitian.33 Mengacu pada jenis penelitian kualitatif, maka instrumen utama dalam penelitian ini adalah peneliti sendiri. Alat bantu yang digunakan untuk menghimpun data dalam penelitian ini berupa tes diagnostik materi aljabar linear elementer dan pedoman wawancara.

1. Tes Diagnostik

Tes diagnostik adalah tes yang digunakan mengetahui kelemahan-kelemahan peserta didik sehingga berdasarkan hal tersebutdapat dilakukan penanganan yang tepat.Tes diagnostik juga diartikan sebagai tes yang dilaksanakan untuk menentukan secara tepat jenis kesukaranyang dihadapi oleh peserta didik dalam suatu pelajaran tertentu.

Fungsi tes diagnostik, yaitu: (1) menentukan apakah bahan prasyarat telah dikuasai atau belum, (2) Menentukan tingkat penguasaan peserta didik terhadap bahan yang dipelajari, (3) Memisah-misahkan peserta didik berdasarkan kemampuan dalam menerima pelajaran yang akan dipelajari dan (4) Menentukan kesulitan-kesulitan belajar yang dialami untuk menentukan cara yang khusus untuk mengatasi atau memberikan bimbingan.

2. Pedoman wawancara

Pedoman wawancara perlu disusun agar proses wawancara tidak menyimpang dari fokus penelitian. Pedoman wawancara disusun untuk mendukung hasil tes diagnostik.Penggalian data melalui wawancara dilakukan dengan wawancara tak terstruktur berbasis tes diagnostik. Wawancara tak terstruktur artinya pertanyaan yang diajukan disesuaikan dengan respon subjek. Jika respon subjek terhadap pertanyaan yang diajukan tidak sesuai dengan indikator penelitian, maka diajukan pertanyaan dengan kalimat yang berbeda namun tetap inti permasalahan.

jawaban subjek terhadap tes diagnostik yang peneliti berikan.

F. Keabsahan Data

Dalam penelitian kualitatif, instrumen utamanya adalah manusia, karena itu yang diperiksa adalah keabsahan datanya.34

Untuk menguji kredibilitas data penelitian peneliti menggunakan teknik Triangulasi.

Teknik triangulasi adalah menjaring data dengan berbagai metode dan cara dengan menyilangkan informasi yang diperoleh agar data yang didapatkan lebih lengkap dan sesuai dengan yang diharapkan. Setelah mendapatkan data yang jenuh yaitu keterangan yang didapatkan dari sumber-sumber data telah sama maka data yang didapatkan lebih kredibel.

Jadi setelah penulis melakukan penelitian dengan menggunakan metode wawancara dan tes tertulis kemudian data hasil dari penelitian itu di gabungkan sehingga saling melengkapi.

G.Teknik Analisis Data

Analisis data penelitian ini menggunakan tahap-tahap reduksi data, penyajian data, dan simpulan. Proses analisis tersebut sebagai berikut:

1. Reduksi data

Pada tahap ini, kegiatan yang dilakukan meliputi kegiatan dalam memilih, menyederhanakan, menggolongkan, dan menajamkan data yang diperoleh dari hasil tes dan wawancara subjek agar diperoleh data yang sesuai kebutuhan. Data berupa hasil tes akan ditabulasi berdasarkan kategori jawaban benar, salah, dan tidak

34_{Nusa Putra dan Ninin Dwilestari, “Penelitian Kualitatif ; Pendidikan Anak Usia Dini”,}

menjawab. Pada jawaban yang salah akan ditabulasi lagi berdasarkan indikatorkemampuan pemahaman matematis.

2. Penyajian data

Pada tahap ini, data tes atau hasil wawancara subjek sudah tersusun berdasarkan kategori jawaban dan jenis kesalahan sehingga memudahkan peneliti untuk mengambil suatu simpulan.

Untuk menganalisa data yang telah terkumpul digunakan analisa data non-statistik, karena jenis penelitian yang digunakan adalah deskriptif kualitatif. Data yang muncul berupa kata-kata yang menggambarkan hasil penelitian yang diperoleh, bukan dalam bentuk angka.

Data penelitian yang berupa jawaban responden atas soal yang diberikan pada mahasiswa, dianalisa kesalahan-kesalahannya untuk mengetahui tingkat penguasaannya.Selanjutnya kriteria yang digunakan untuk menentukan kategori skor penguasaan yang diadopsi dari kategori penguasaan matematika adalah skala tiga.Skala tiga adalah suatu pembagian tingkatan yang terbagi atas tiga kategori, yaitu:

1) 68%P100% dikategorikan mampu (tinggi) 2) 34%P67% dikategorikan cukup mampu (sedang) 3) 0%P33% dikategorikan tidak mampu (rendah)35

Untuk mengetahui persentase penguasaan indikator kemampuan pemahaman matematis yang telah dilakukan oleh mahasiswa digunakan rumus:

%

P Persentase tingkat penguasaan mahasiswa



S



Banyaknya skor indikator yang diperoleh mahasiswa





S



Total skor maksimal

3. Simpulan

Pada tahap ini, kegiatan yang dilakukan yakni membuat penarikan simpulan dari data tes dan wawancara yang sudah disajikan agar mendapatkan simpulan mengenai kemampuan pemahaman konsep mahasiswa dalam menyelesaikan soal aljabar linear elementer. Untuk memeriksa keabsahan data penelitian, peneliti menggunakan triangulasi teknik dengan cara memeriksa data kepada subjek yang sama dengan teknik berbeda yakni tes diagnostik dan wawancara.36

Teknik analisis data untuk hasil wawancara dilakukan secara interaktif dan

berlangsung secara terus menerus sampai tuntas, sehingga datanya sudah jenuh. Aktivitas dalam analisis data yaitu reduksi data, penyajian data dan penarikan kesimpulan.37Hasil tes mahasiswa dianalisis untuk mengetahui pemahaman konsep matematis mahasiswa. Data hasil wawancara dianalisis untuk mendukung hasil analisis dari hasil tes diagnostik mahasiswa.

36

Sugiyono, Metode penelitian pendidikan (pendekatan kuantitatif,kualitatif dan R&D), (Bandung: Alfabeta, 2013), h. 336.

37

BAB IV

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

A. Deskripsi Hasil Penelitian

Penelitian ini dilaksanakan pada mahasiswa jurusan Pendidikan Matematika UIN Alauddin Makassar Angkatan 2016. Subjek dalam penelitian ini berjumlah 42 orang mahasiswa.

Berdasarkan hasil final mahasiswa dalam mengerjakan soal aljabar linear elementer materi ruang vektor, sub ruang vektor dan ruang vektor Euclidean, ditemukan bagaimana kemampuan pemahaman konsep matematis mahasiswa yang disajikan sebagai berikut:

a. Soal nomor 1

Pada soal nomor 1, kemampuan pemahaman yang ditunjukkan adalah mampu menyatakan ulang sebuah konsep (P1) dan mampu menyajikan konsep dalam bentuk representasi matematis (P3). Adapun soal dan penyelesaiannya:

Tuliskan 2 vektor dalam R3 dengan norma Euclides 1 yang hasil kali dalam Euclides dengan (1, 4, -2) nya adalah nol!

Penyelesaian :

Misalkan 𝑢̅ = (𝑢₁, 𝑢₂, 𝑢₃) dan 𝑣̅ = (1, 4, −2)

dimana 𝑢̅ ⋅ 𝑣̅ = 0 …(P1)

⇒ 𝑢1+ 4𝑢2− 2𝑢3= 0

⇒ 𝑢12+ 𝑢22+ 𝑢32 = 1

Misalkan 𝑢₁ = 0, maka 𝑢₃ = 2𝑢₂

5𝑢22 = 1

𝑢22 =1₅

𝑢2 = ±_√51 …(P3)

𝑢2 =_√51, 𝑢3 =_√52, 𝑢1= 0

𝑢2 = −_√51, 𝑢3 = −_√52, 𝑢1 = 0

Tabel 4.1. Deskripsi Kemampuan Pemahaman Mahasiswa pada Soal Nomor 1

Indikator kemampuan menggunakan, memanfaatkan, dan memilih prosedur tertentu (P3). Adapun soal dan penyelesaiannya:

Buktikan bahwa himpunan semua matriks2 × 2 berbentuk [[ 𝑎 𝑎 + 𝑏