Metode Resampled Efficient Frontier Mean Variance Simulasi Montecarlo Untuk Pemilihan Bobot Portofolio

19

METODE

RESAMPLED EFFICIENT FRONTIER

MEAN – VARIANCE

SIMULASI

MONTECARLO UNTUK PEMILIHAN BOBOT PORTOFOLIO

Anita Andriani

D3 Manajemen Informatika, Universitas Hasyim Asy’ari Tebuireng Jombang

Email: anita.unhasy@gmail.com

Abstrak

Optimisasi portofolio pertama kali dikemukakan oleh Markowitz dan dikenal dengan nama

Optimisasi Portofolio Mean – Variance (MVEP). Dalam optimisasi MVEP, estimasi

parameter mean dan matriks kovarians menghasilkan bobot portofolio yang berfluktuasi dari waktu ke waktu dan memberikan hasil portofolio yang kurang baik untuk jangka waktu yang

lama. Untuk menyelesaikan ketidakstabilan MVEP adalah dengan menggunakan metode

resampled efficient frontier (REF). Dalam penelitian ini metode REF Risk Taker lebih

menjanjikan daripada metode MVEP.

Kata kunci: Optimisasi, Portofolio, MVEP, Resampled

Abstract

Portfolio optimization was first proposed by Markowitz and known as Optimization Portfolio Mean - Variance (MVEP). In MVEP optimization, parameter estimation of mean and covariance matrices gives poor portfolio results for long periods of time and fluctuate. One of method to solve MVEP is resampled efficient frontier (REF). In this article, REF Risk Taker method is give the best result than MVEP.

Keywords: Optimization, Portfolio, MVEP, Resampled

1. LATAR BELAKANG

Portofolio adalah salah satu bentuk investasi di sektor finansial yang menjanjikan tingkat return yang lebih tinggi bila dibandingkan dengan investasi di sektor real aset. Namun dalam dunia investasi, tingkat return berbanding lurus dengan tingkat resiko, artinya makin tinggi return yang diharapkan maka makin tinggi pula resikonya. Untuk memperoleh return yang maksimal ada dua cara yang dapat dilakukan, yaitu memaksimalkan nilai expected return dan meminimalkan resiko.

Optimisasi portofolio pertama kali dikemukakan oleh Markowitz yang dikenal dengan dengan Optimisasi

Portofolio Mean – Variance (MVEP). Dalam optimisasi mean – variance dibutuhkan parameter mean dan matriks

kovarians yang diestimasi dari sampel data return. Estimasi parameter mean dan matriks kovarians menghasilkan bobot portofolio yang berfluktuasi dari waktu ke waktu. Selain itu, model mean – variance Markowitz juga memberikan hasil portofolio yang kurang baik untuk jangka waktu yang lama [2].

Salah satu alternatif untuk menyelesaikan ketidakstabilan mean – variance dalam model Markowitz adalah

dengan menggunakan metode resampled efficient frontier. Dalam metode ini data

bangkitkan dengan simulasi Monte Carlo akan menghasilkan efficient frontier yang berbeda yang kemudian diambil rata - ratanya untuk mendapatkan resampled efficient frontier (REF)[5].

2. METODE

2.1MEMINIMALKAN RESIKO PADA TINGKAT RETURN TERTENTU

Cara yang lebih mudah untuk mendapatkan expected return yang maksimal adalah dengan meminimalkan

resikonya. Bobot portofolio yang memberikan return maksimal diperoleh dengan dengan meminimumkan fungsi

1 2𝑤

𝑇_{Σw (2.1)}

20

𝑤: bobot masing – masing saham, dengan ukuran 𝑘 × 1.

Σ: matriks varian – kovarian antar return saham, dengan ukuran 𝑘 × 𝑘.

𝜇: vektor return masing – masing saham, dengan ukuran 𝑘 × 1.

𝑟̅: return yang diharapkan

𝑘: jumlah saham.

Fungsi (2.1) diselesaikan dengan metode Lagrange, diperoleh

𝑤𝑝= 1 𝑆[(𝑃Σ −1_{1̅ − 𝑄Σ}−1_{𝜇) + (𝑅Σ}−1_{𝜇 − 𝑄Σ}−1_{1̅)𝑟̅] (2.2)} dengan 𝑃 = 𝜇T_Σ−1_{𝜇; 𝑄 = 1̅}𝑇_Σ−1_𝜇 𝑅 = 1̅𝑇_Σ−1_{1̅; 𝑆 = 𝑃. 𝑅 − 𝑄}2

Bentuk lebih sederhana dari formula diatas adalah:

𝑤𝑝= 𝑔 + ℎ𝑟̅ dengan 𝑔 =1 𝑆(𝑃Σ −1_{1̅ − 𝑄Σ}−1_𝜇) ℎ =1 𝑆(𝑅Σ −1_{𝜇 − 𝑄Σ}−1_1̅)

Bobot portofolio MVEP diperoleh dengan memasukkan targer return (𝑟̅) pada persamaan (2.2) sehingga diperoleh portofolio dengan resiko minimal pada tingkat return yang diharapkan. Fungsi ℎ. 𝑟̅ disebut dengan bobot spekulasi untuk suatu tingkat return, sedangkan fungsi g disebut dengan bobot yang memiliki variansi minimum

atau Global Minimum Variance Portfolio (GMVP). Penyelesaian bobot portofolio GMVP dengan metode

Lagrange menghasilkan formula [4]:

𝑤𝑚𝑖𝑛= Σ−1_1̅

1̅𝑇_Σ−1_1̅ (2.3)

2.2PENDEKATAN MONTECARLO PADA OPTIMASI MEAN – VARIANCE

Selain bootstraping, teknik simulasi Monte Carlo sering digunakan untuk penarikan sampe secara random.

Berbeda dengan teknik bootstrap yang bebas dari asumsi distribusi normal dan distribusi statistika lainnya, Simulasi Monte Carlo berisi simulasi berulang proses random yang mengikuti distribusi tertentu, biasanya adalah distribusi normal atau distribusi uniform [3].

Dalam optimisasi portofolio, simulasi Monte Carlo dikaitkan dengan return dan resiko dari portofolio tersebut. Masing – masing simulasi menghasilkan nilai yang mungkin untuk portofolio yang ditargetkan. Makin banyak

simulasi yang dilakukan akan diperoleh bobot nilai yang makin stabil. Resampled efficient frontier menggunakan

simulasi Monte Carlo mengikuti distribusi normal dengan mean 𝜇 dan variansi 𝜎2 _{dari masing – masing saham}

[1].

2.3PROSEDUR PEMBENTUKAN PORTOFOLIO DENGAN METODE RESAMPLING

Berikut adalah langkah – langkah resampling untuk menentukan bobot portofolio efisien [1]:

1. Dari saham sebanyak A, diambil T data observasi. Masing – masing saham diestimasi nilai mean dan variansi yang akan digunakan dalam prosedur pembentukan MVEP.

𝜇̂0= [ 𝜇̂1 𝜇̂2 ⋮ 𝜇̂𝐴 ] dan Σ̂0= [ 𝜎̂12 𝜎̂12 ⋯ 𝜎̂1𝐴 𝜎̂21 𝜎̂22 ⋯ 𝜎̂2𝐴 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝜎̂𝐴1 𝜎̂𝐴2 … 𝜎̂𝐴2]

2. Berdasarkan return 𝑖𝐴 dibuat distribusi probabilitas return untuk setiap saham: 𝑅1, … , 𝑅𝐴 berdistribusi

21

3. Melakukan resampel return sebanyak Q dengan ukuran T menggunakan teknik Monte Carlo, dengan

parameter distribusi normal dari A saham, 𝑖𝑞,𝐴= {𝑟𝑞1, 𝑟𝑞2, … , 𝑟𝑞𝐴, },

𝑞 = 1,2, … , 𝑄.

Diperoleh kumpulan data input (𝜇̂1, Σ̂1), … , (𝜇̂𝑄, Σ̂𝑄).

4. Menentukan titik – titik efficient frontier:

a. Menghitung GMVP untuk setiap input optimasi:

𝑤𝑞𝑚𝑣=_𝑤𝑇𝑚𝑖𝑛_{1̅ = 1} 𝑤𝑇Σqw 𝑞 = 1,2, … , 𝑄.

b. Menghitung estimasi masing – masing nilai ekspektasi return portofolio dari GMVP:

𝑟̅𝑞= (𝑤𝑞𝑚𝑣) 𝑇

𝜇̂𝑄

c. Menghitung estimasi nilai return maksimum dari masing – masing saham: 𝑟̿𝑞

d. Membuat interval return mulai dari nilai return portofolio yang diperoleh dari GMVP sampai dengan

return maksimal, { 𝑟̅𝑞(1), 𝑟̅𝑞(2), … , 𝑟̅𝑞(𝐼)} , untuk setiap q dipunyai nilai return: 𝑟̅𝑞(1)= 𝑟̅𝑞 ⋮ 𝑟̅𝑞(𝑖)= 𝑟̅𝑞+ 𝑟̿𝑞− 𝑟̅𝑞 𝐼 − 1 (𝑖 − 1) ⋮ 𝑟̅𝑞(𝐼)= 𝑟̿𝑞

e. Membuat I titik – titik efisien frontier mean – variance pada persamaan (2.1) untuk seluruh Q simulasi Monte Carlo:

𝑤𝑞(𝑖)= 𝑚𝑖𝑛 𝑤𝑇Σqw 𝑤𝑇_{1̅ = 1} 𝑤𝑇_𝜇̂

𝑄 = 𝑟̅𝑞(𝑖)

5. Menentukan resampled efficient frontier pada masing – masing I titik sebagai rata – rata Q bobot portofolio:

𝑤𝑟𝑒𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒𝑑(𝑖)= 1 𝑄∑ 𝑤𝑞 (𝑖) 𝑄 𝑞=1 𝑖 = 1,2, … , 𝐼

3. Hasil dan Pembahasan

Pada paper ini ditampilkan analisis data perbandingan antara metode mean – variance dan resampled efficient

frontier untuk mencari bobot potofolio yang memberikan return yang besar. Data yang dipakai adalah data 4

perusahaan retail Indonesia yang diambil dari website finance.yahoo.com. Perusahaan – perusahaan tersebut adalah Ace Hardware Indonesia Tbk (ACES), Hero Supermarket Tbk (HERO), Matahari Department Store Tbk (LPPF), dan Electronic City Indonesia Tbk (ECII). Data merupakan data historis harga saham bulanan periode Juni 2014 – Juni 2015

Proses simulasi monte carlo dilakukan sebanyak 700 kali. Masing – masing simulasi dihitung 25 titik efisien frontier. Bobot portofolio dihitung dari masing – masing titik yang terbentuk. Panjang efficient frontier untuk setiap data tidak ada yang sama, tergantung besarnya rentang antara return terbesar dari saham anggota portofolio.

22

Gambar 5.1 Plot 700 Resampled pada 25 titik efficient frontier.

Gambar 5.1 memperlihatkan bahwa pada titik meminimalkan resiko sampai pada titik menengah lebih rapat daripada titik untuk memaksimalkan return.

Gambar 5.2 Efficient Frontier dari 700 Resample

Dari sebanyak 700 resampling efficient frontier diambil 1 efficient frontier yang terbaik. Gambar 5.2 merupakan plot efficient frontier yang terbaik dan menghasilkan return bernilai positif, kecuali untuk tipe investor

risk averter. Berdasarkan efficient frontier tersebut diperoleh bobot portofolio untuk keempat aset sesuai tipe

investor sebagai berikut.

Tabel 5.1 Persentase Bobot Portofolio 4 Saham Saham REF Risk Averter REF Risk Moderate REF Risk Taker ACES 0.2900 0.1580 0.0259 HERO 0.2375 0.2165 0.1955 LPPF 0.2248 0.3148 0.4048 ECII 0.2478 0.3107 0.3737 Return -7.0203e-004 2.7784e-004 0.0013 Risk 0.0123 0.0149 0.0207

Pada Tabel 5.1 dapat dilihat bahwa nilai return dan risiko naik seiring peningkatan jenis investor. Bobot portofolio investor yang tidak berani ambil risiki atau risk averter merupakan hasil bobot pada titik ke-1 dalam

0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 0.022 0.024 0.026 0.028 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6x 10 -3 Risiko Portofolio R e tu rn P o rt o fo li o

Resampling Efficient Frontier

0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 0.022 0.024 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10 -3 Risiko Portofolio R e tu rn P o rt o fo li o

Resampling Efficient Frontier

0.012 0.013 0.014 0.015 0.016 0.017 0.018 0.019-6 0.02 0.021 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12x 10 -4 Risiko Portofolio R e tu rn P o rt o fo li o

23

efficient frontier, bobot portofolio investor menengah atau risk moderate merupakan hasil bobot pada titik ke-10

dalam efficient frontier, dan bobot portofolio investor yang berani risiko tinggi atau risk taker merupakan hasil bobot pada titik ke-19 dalam efficient frontier. Berikut ini merupakan perbandingan bobot portofolio dari penghitungan metode REF dan metode MVEP.

Tabel 5.2 Perbandingan Bobot Portofolio Metode REF dan MVEP

Saham MVEP REF Risk Averter REF Risk Moderate REF Risk Taker ACES 0.2990 0.2900 0.1580 0.0259 HERO 0.2124 0.2375 0.2165 0.1955 LPPF 0.2389 0.2248 0.3148 0.4048 ECII 0.2497 0.2478 0.3107 0.3737

Berdasarkan Tabel 5.2 dapat diketahui bahwa menggunakan metode MVEP menghasilkan bobot yang nilainya tidak banyak berbeda antar saham. Hal yang sama juga terlihat untuk investor tipe risk averter, sedangkan investor dengan tipe risk taker, bobot saham LPPF nilainya paling besar dari pada saham ACES ataupun HERO. Uji performa masing – masing metode terlihat pada Tabel 5.3 berikut.

Tabel 5.3 Hasil Investasi Portofolio

Metode Return MVEP Rp2,600,118 REF Risk Averter Rp2,477,939 REF Risk Moderate Rp3,128,045 REF Risk Taker Rp 3.778.754

Saham dibeli pada tanggal 2 Februari 2017 dan di jual 5 hari kemudian, yaitu tanggal 8 Februari 2017. Modal awal keseluruhan adalah Rp 100jt rupiah dengan alokasi Rp 25jt untuk tiap saham.

Berdasarkan Tabel 5.3, terlihat bahwa return terbesar diberikan oleh metode REF Risk Taker, yang kemudian

disusul oleh metode REF Risk Moderate. Sedangkan return paling kecil diperoleh ketika investor menggunakan

metode REF Risk Averter.

4. KESIMPULAN

Metode Resampled Efficient Frontier dapat digunakan sebagai salah satu cara untuk mencari bobot yang

dapat memaksimalkan return portofolio. Dalam teori portofolio, jika semakin tinggi return yang diharapkan maka semakin tinggi pula resiko yang harus diterima.

5. DAFTAR PUSTAKA

Abdurakhman. 2008. Analisis Portofolio Resampled Efficient Frontier Berdasarkan Optimasi Mean-Variance. Majalah Ilmiah Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Vol 18(2), Mei 2008.

Kohli, Jasraj. 2005. An Empirical Analysis of Resample Efficiency. Thesis. Worcester Polytechnic Institute. Massachusett.

Raychaudhuri, Samik. 2008. Introduction to Monte Carlo Simulation. Proceedings of the 2008 Winter Simulation Conference (S. J. Mason, R. R. Hill, L. Mönch, O. Rose, T. Jefferson, J. W. Fowler eds). Diakses dari http://www.informs-sim.org/wsc08papers/012.pdf.

Roncalli, Thierry. 2010. Understanding the Impact of Weights Constraints in Portfolio Theory. Diakses dari https://pdfs.semanticscholar.org/7573/2f556c27f179e8d50e207926a0e2ce33f43f.pdf

Yu, Ching Chen. 2013. Portfolio Resampling on Various Financial Models. Thesis. University of California. Los