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(1)

Formules de Repr´

esentation Int´

egrale

pour les Domaines de Cartan

Atallah Affane

Received: May 31, 1999

Communicated by Joachim Cuntz

Abstract. For a bounded, symmetric and circled domain D in

Cn_,_{considered as the unit ball of some Jordan triple system} _V_{, we}

give Koppelman-Leray and Cauchy-Leray formulas. These formulas supply us integral operators for solving the equation ∂u = f when

f is a closed (0, q) form with coefficients inC0₍_D₎_._{These operators,}

constructed by the help of the generic norm of V, are invariant by some Lie subgroup in the group of biholomorphic transformations of

D and the solutions obtained satisfy an estimation of growth at the boundary.

2000 Mathematics Subject Classification: 32M15, 32F20.

Keywords and Phrases: ∂-problem, bounded symmetric domains.

1. introduction.

Nous appellerons domaine de Cartan tout ouvert bornéDdeCn_{qui soit} • symétrique, c’est à dire que pour toutzdeD, il existe une transformation

biholomorphe involutiveϕ∈Aut(D) dont zest un point fixe isol´e.

• cercl´e, c’est `a dire qu’il contient l’origine et qu’il est stable par les trans-formations du type z−→eit_{z, t}_∈_R_.

Un domaine de Cartan est dit irr´eductible s’il n’est pas produit de deux autres domaines. La classification de tels domaines fournit quatre classes d´enombrables et deux domaines exceptionnels, le premier dansC16_,_{le second}

dansC27_._{Pour la classe des boules de Lie et le premier domaine exceptionnel,}

(2)

type Cauchy-Leray. Ces formules, construites à l’aide de la norme générique de V, fournissent des opérateurs de résolutionf −→T f du ∂-problème avec une donnée dansC0₍_D_{) et vérifiant des estimations de la forme:}

sup

z∈D

|T f(z)d(z, ∂D)N _|≤_C_sup z∈D

|f(z)|

oùdest la distance usuelle etN un entier positif fonction de la dimension, du rang et du genre deV. Il s’avère queTest invariant par un certain sous groupe de LieH du groupe des automorphismes deV, c’est à dire:

T(h∗f) =h∗(T f) ∀h∈H.

Lorsque D est irréductible, H n’est autre que le stabilisateur de l’ origine dansAut(D).Dans la seconde section, nous rappellons certains éléments de la théorie des systèmes triples de Jordan qui permettent d’une part de prouver que les domaines de Cartan sont à pseudo-bord, de l’autre de construire de manière naturelle des sections de Leray. Dans les sections suivantes, nous donnons les formules annoncées et comme tous les éléments intervenant dans leur élaboration sont invariants par le stabilisateur de l’origine dans Aut(D), l’invariance des opérateurs de résolution sera assurée.

2. Les domaines de Cartan et les systèmes triples de Jordan. La référence pour toutes les notions introduites dans cette section est [4], [5] et [6]. Nous appellerons système triple de Jordan (en abrégéST J) un espace vectorielV de dimension finie surC_{muni d’ un triple produit}

V × V × V −→ V

x y z −→ { x y z }

C_{-bilinéaire et symétrique en (}_{x, y}_),C_{-antilinéaire en}_z _{et vérifiant l’identité}

{xy{uvz}} − {uv{xyz}}={x{yuv}z} − {{uvx}yz}.

Dans la suite, nous utiliserons les notations suivantes:

{xyz}=D(x, y)z=Q(x, z)y; Q(x) = 1 2Q(x, x)

B(x, y) = 1−D(x, y) +Q(x)Q(y)

et nous d´esignerons parAut(V) le groupe des isomorphismeshdeV tels que:

h({xyz}) ={h(x)h(y)h(z)} ∀x, y, z∈V.

Un sous-syst`eme deV est un sous espace-vectorielW tel que{W W W} ⊆W.

(3)

dirons que V est simple s’il ne possède pas d’idéal propre, semi simple s’il est somme d’idéaux simples. UnST Jest dit hermitien positif (en abrégéST JHP) si la forme hermitienne hu|vi = trD(u, v) est définie positive. En fait, tout

ST JHP est semi-simple. Pour tout ce qui suit, V d´esigne un ST JHP de dimensionneth.|.ison produit hermitien.

Un ´el´ementedeV est dit tripotent siQ(e)e=e. Lorsque deux tripotentseet

e′ _{vérifient l’une des propriétés équivalentes suivantes:}

D(e, e′) = 0 ; D(e′, e) = 0 ; {eee′}= 0 ; {e′e′e}= 0

nous dirons qu’ils sont fortement orthogonaux. A tout tripotent ecorrespond une décomposition deV dite de Pierce. De fait,D(e, e) est un endomorphisme deV auto-adjoint pour la forme hermitienneh.|.i et ne peut admettre comme valeurs propres que 0, 1 et 2. D’où la décomposition orthogonale

V =V0⊕V1⊕V2

Vi(e) étant le sous espace propre associé à la valeur propre i. Chacun des Vi(e) est un sous système deV et on a la formule:

{V0V2V}={V2V0V}= 0.

(1)

Un tripotent e6= 0 est dit minimal si V2(e) = Ce. Un rep`ere est une famille

maximale {ei}i=1,...,r de tripotents minimaux fortement orthogonaux deux `a

deux. Comme deux repères sont conjugués par Aut(V), tous les repères ont même cardinal que nous appellerons rang deV et noteronsr. La hauteur d’un tripotent e sera par définition le rang du sous systèmeV2(e) qui est aussi le

nombre d’éléments d’une décomposition deeen somme de tripotents minimaux fortement orthogonaux deux à deux. Voici maintenant trois résultats de la théorie desST J qui nous serons utiles.

Théorème2.1. Un élémentxde V s’écrit de manière unique

x=λ1e1+...+λses

o`u{ei}i=1,...,sest une famille de tripotents fortement orthogonaux deux `a deux

et0≤λ1_<_{· · ·}_{< λ}s _{des nombres réels. Cette écriture s’appelle décomposition}

spectrale de x. De plus, la fonction x−→| x|= λs _{est une norme que nous}

appellerons norme spectrale de V. La distance associée sera appellée distance spectrale et notée δ.

Théorème2.2. i) La boule unité pour la norme spectrale d’unST JHP est un domaine de Cartan, irréductible si et seulement siV est simple.

(4)

Pour tout tripotente le sous-systèmeV0(e) est un ST JHP et nous noterons De sa boule unité ouverte pour la norme spectrale. Comme conséquence de

l’unicit´e de la d´ecomposition spectrale, les sous ensemblese+Desont disjoints

deux `a deux.

Th´eor`eme2.3. Soit pourj= 1, ..., r Mj l’ensemble des tripotents de hauteur j, Dj = {e+y; e∈Mj et y∈De},

pj : Dj −→ Mj l’application qui `a x ∈ Dj associe l’unique e ∈ Mj tel que x∈De.

Alors

-LesMj et lesDjsont des sous variétés analytiques réelles localement fermées

de V et les pj :Dj −→Mj sont des fibrés analytiques localement triviaux. Les Mj sont compacts. La frontière∂D est la réunion des Dj.

-La codimension de Dj est la dimension complexe de V2(e), e ´etant un point

quelconque deMj.

-Mr est la fronti`ere de Shilov deD.

-Aut(V)est un groupe de Lie compact op´erant sur chaque Dj.

Lemme 2.1. Posons Dj ₌ _D

j ∪...∪Dr pour j = 1, ..., r. Alors Dj est un

ouvert dense deDj_.

Preuve:

i) Montrons queDj+1 _{est ferm´e dans}_Dj_._Soit_{s > j}_et_{x

l}l≥1une suite dans Dsconvergente versx∈Dj.PuisqueMsest compact, nous pouvons supposer

quexl=yl+el o`u leselconvergent versedansMs,yl∈V0(el) et|yl|<1.A

la limite, il vient x = y+e avec y ∈ V0(e) et | y |≤ 1. Si | y |< 1, alors x∈Ds.Sinon, le théorème 2.1 appliqué à y comme élément du sous-système V0(e) donne y =λ1ε1+...+λtεt+εt+1. Puisque εt+1 ∈ V0(e), on vérifie à

l’aide de la formule (1) que e+ εt+1 est un tripotent et que V2(e) ⊆ V2(e+ εt+1); alorsx∈Dτ, τ ≥s´etant la hauteur de e+εt+1.Ainsi, Dj est ouvert

dansDj_.

ii) Soit s > j, x∈Dset λ1ε1+· · ·+λtεt+εt+1sa d´ecomposition spectrale;

comme la hauteur deεt+1est aussi sa hauteur dans le sous-syst`emeV2(εt+1),il

poss`ede une d´ecompositionεt+1=σ1+· · ·+σsen tripotents minimaux

forte-ment orthogonaux deux `a deux choisis dansV2(εt+1).D’autre part, la formule

(1) entraine que lesεi et les σjsont fortement orthogonaux deux `a deux pour

1≤i≤tet 1≤j ≤s.Soitxl=λ1ε1+· · ·+λtεt+αl(σj+1+· · ·+σs)+σ1+· · ·+ σj o`u 0< αl <et lim αl = 1.Par construction,xl ∈Dj et lim xl =x.Ceci

prouve queDj_⊆_D j.

Ce lemme et le théorème 2.3 assurent que D est à pseudo-bord au sens de [8] et que la formule de Stokes y est donc valable.

Dans tout ce qui suit,V sera identifi´e `aCn_{par le choix d’une base orthonormale}

(5)

detB(x, y) = (volD)−1k(x, y)−1∀x∈D, ∀y∈D.

(2)

Rappellons aussi la formule de transformation:

k(x, y) =Jϕ(x)k(ϕ(x), ϕ(y))J ϕ(y) ∀ϕ∈Aut(D) (3)

(Ici Jϕ designe le jacobien de ϕ et Jϕ son conjugu´ ´e).

Une propriété particulière des domaines de Cartan est que:

k(0, z) =k(z,0) =k(0,0) ∀z∈D.

Par ailleurs, lorsqueV est simple, il existe un entier positifg et un polynome irr´eductibleN(x, y) tel que:

N(0,0) = 1 et detB(x, y) =N(x, y)g_.

N(x, y) s’appelle la norme générique etg le genre. Par construction, N(x, y) est holomorphe enx, antiholomorphe eny et vérifie:

N(x, y) =N(y, x) etN(x,0) =N(0, x) = 1 (4)

Si V = V1⊕...⊕Vm où chaque Vi est un idéal simple de norme générique Ni(xi, yi), nous poserons:

N((x1, ..., xm),(y1, ..., ym)) = Π

1≤i≤mNi(xi, yi),

L(x, y) =N(x, y)N(y, x)−N(x, x)N(y, y).

Nous introduisons aussi le groupe de Lie:

Aut′₍_V_{) =}_{h_{= (}_h

1, ..., hm); hi∈Aut(Vi)}.

Etant donn´e un rep`ere{ei}i=1,...,retxj =a1je1+...+arjerpourj = 1,2 nous

avons la formule:

N(x1, x2) = (1−a11a21)...(1−ar1ar2).

(5)

Proposition 2.1. i)N(x, y)6= 0 ∀x∈D, ∀y∈D. ii)N(y, y) = 0 ∀y∈∂D.

(6)

Preuve:

Il suffit de l’établir dans le cas où le systèmeV est simple.

i) On a d’apr`es la d´efinition deB(x, y), B(x,λy) =B(λx, y) pour toutλdans

R_{ce qui donne:}

N(x, λy) =N(λx, y)∀λ∈R_, _∀x_∈_V, _∀y_∈_V.

(6)

Soit x∈ D et y ∈D; puisque D est une boule centr´ee en l’origine, il existe

λ ∈ R_{, y}′ _∈ _D _{tels que} _λx _∈ _D _et _y ₌ _λy′_. _{Nous aurons donc} _N₍_{x, y}_{) =} N(x, λy′_{) =}_N₍_{λx, y}′₎_._{Or d’apr`es (2),}_N₍_{λx, y}′₎₆_{= 0}_.

ii) C’est une application de la formule (5) en observant que l’un des facteurs du terme de droite est nul.

iii) Soith., .ile produit hermitien usuel del2₍_N₎_, _{ϕ

p}p∈N une base hilberti-enne de l’espace des fonctions holomorphes de carré intégrables et Φ :D −→ l2₍_N_{) définie par Φ(}_x_{) =}_{ϕ

p(x)}p∈N.On sait que:

k(x, y) =hΦ(x),Φ(y)i ∀x∈D, ∀y∈D.

L’inégalité à établir n’est autre que celle de Cauchy-Schwartz et l’égalité n’a lieu que si Φ(x) et Φ(y) sont colinéaires, ce qui exigex=y.Enfin, pourx∈D

ety∈∂D, d’apr`es les points i) et ii), on aL(x, y)>0.

Lemme 2.2. On a l’in´egalit´e:

inf

y∈D|N(x, y)|≥δ(x, ∂D)

r_∀x_∈_D.

Preuve:

Soitx un point de D. Si x= 0,il suffit d’appliquer la formule (4). Soit donc

x6= 0 et consid´erons surD×D la fonction Ψ(u, y) =N(|x|u, y)−1_._{C’est une}

fonction holomorphe enu, antiholomorphe enyet continue surD×Dd’apr`es le i) de la proposition 2.1. Pourufix´e dansD,le principe du maximum donne un pointtdansMrtel que:

|Ψ(u, y)|≤|Ψ(u, t)| ∀y∈D.

Toujours, par le principe du maximum appliqu´e maintenant `a la fonction

w−→Ψ(w, t),il existe un points∈Mrtel que |Ψ(u, y)|≤|Ψ(s, t)|.Mais en

combinant la formule (6) et le iii) de la proposition 2.1, on obtient:

|Ψ(s, t)|≤(N(|x|12 s,|x|12 s)N(|x|12 t,|x|12 t))−12.

Or, d’après la formule (5), le terme de droite de cette inégalité vaut (1− |x|)−r_._{Pour conclure, il suffit de prendre}_u₌ x

|x| et de remarquer que D étant la boule unité, l’inégalité 1− |x|≥δ(x, ∂D) a lieu.

(7)

(u, v) = X

1≤j≤n

ujvj ; hu|vi= (u, v) pouruetv dansCn

et µd´esignera la forme de Cauchy-Leray:

µ(u, v) = (n−1)!

Nous terminerons cette section par le fait que toutes les notions qui y sont introduites1 _{sont invariantes par le groupe}_Aut′₍_V_).

3. La formule de Koppelman-Leray.

Dans cette section, nous adaptons aux domaines de Cartan qui en général ne sont ni strictement pseudo-convexes, ni de classeC1_{par morceaux la démarche}

de [3]. Le d´eveloppement de Taylor du polynome holomorpheu−→N(u, t) au pointu=vs’´ecrit i) et ii) de la proposition 2.1, ω est une section de Leray pour le domaineD

holomorphe enzc’est `a dire (ω(z, ξ), ξ−z)6= 0 pour toutz dansD etξdans

(8)

Ω =(n−1)!

Remarque 3.1. Pour une transformation h ∈ Aut′₍_V₎_, _{une section}

ρ(z, ξ) telle que ρ(h(z), h(ξ)) = h(ρ(z, ξ)) et une section ρ′₍_{z, ξ}₎ _v´erifiant

Etant donnée une (0, q) forme f à coefficients continus sur D,on définit par intégration partielle par rapport à ξles formes différentielles:

BDf(z) =

dans les int´egrales d´efinissant BDh∗f et Rω∂Dh∗f le changement de variable h(ξ) =τ pour retrouverh∗_B

Df eth∗Rω∂Df.

Théorème3.1. Etant donnée une(0, q)forme(q= 1, ..., n)f continue surD

(9)

f =T ∂f+∂T f.

En particulier, pour q = 1, ..., n et si ∂f = 0, T f est solution de l’´equation

∂u=f.De plus, cet opérateur de résolutionT vérifie:

T h∗f =h∗T f ∀h∈Aut′(V).

Enfin, il existe C >0tel que

sup

z∈D

|T f(z)δ(z, ∂D)r(n−1)|≤Csup

z∈D

|f(z)|.

Preuve:

Du moment que l’on a construit ci-dessus une section de Leray holomorphe en

z et que la formule de Stokes est applicable, il suffit de reprendre mutadis mu-tandis les paragraphes [1.6]-[1.12] de [3] pour avoir la formule de représentation intégrale annoncée.

La propriété d’invariance deT résulte directement du lemme 3.1.

Pour l’estimation de croissance au bord, toujours suivant [3], on n’a besoin de l’´etablir que pour l’op´erateur Rω

∂D. Or d’apr`es les calculs effectu´es dans le

paragraphe [2.2] de [3], les coefficients deRω

∂Df sont des combinaisons lin´eaires

d’ int´egrales de la forme:

E(z) =

Z

ξ∈∂D

fI(ξ)Γ(z, ξ)

N(z, ξ)n−s−1_hz₋_ξ_|_z₋_ξi(s+1)mΛ6=jdξ m

Λ

1≤k≤ndξ k

o`u 0≤s≤n−2, 1≤m≤n, fI est un coefficient def et Γ une expression ne

dépendant que de la sectionωet vérifiant une inégalité du type

|Γ(z, ξ)|≤C|z−ξ| ∀z∈D, ∀ξ∈D.

Appliquons le lemme 2.2, il vient:

δ(z, ∂D)r(n−1)|E(z)|≤Csup

z∈D |f(z)|

Z

ξ∈∂D

|z−ξ|−(2n−3) ∀z∈D.

Mais par la formule de Stokes, cette derni`ere int´egrale se majore par_R

ξ∈D

|z−ξ|−(2n−2)_{qui est born´ee en}_z_.

4. La formule de Cauchy-Leray.

(10)

N(z, ξ) =N(ξ, ξ) + (α(z, ξ, ξ), ξ−z) ; N(z, z) =N(ξ, z) + (α(z, ξ, z), ξ−z).

On aura alorsL(z, ξ) = (s(ξ, z), ξ−z) avec

s(ξ, z) =N(ξ, z)α(z, ξ, ξ)−N(ξ, ξ)α(z, ξ, z).

Il est ´evident ques(z, z) = 0 et donc il existeC >0 tel que:

|s(ξ, z)|≤C|ξ−z| ∀z, ξ∈D.

(9)

Sur l’ouvert{L(z, ξ)6= 0}, consid´erons la forme diff´erentielle:

K(ξ, z) = (n−1)! (2iπ)n

X

1≤j≤n

(−1)j+1 s

j₍_{ξ, z}₎

(s(ξ, z), ξ−z)n_mΛ₆_=jds

m _Λ

1≤k≤n(dξ

k₋_dzk₎_.

C’est l’image réciproque deµpar l’application qui à (z, ξ) associe (s(ξ, z), ξ−z); elle est donc fermée. Pour 1≤q ≤ n, on noteKq _{la composante de bidegré}

(n, n−q) enξet de bidegr´e (0, q−1) en z.

Lemme 4.1. Soit des ST JHP simples Vi, de boule unit´e ∆i pour i =

1, ..., m, V = ⊕ Vi et D la boule unit´e de V. Notons Aut′(D) = {ϕ =

(ϕ1, ..., ϕm); ϕi ∈ Aut(∆i) ∀i = 1, ..., m.}. Pour un point z de D et ϕ dans Aut′₍_D₎_telle_ϕ_{(0) =}_z,_{on a}

L(z, ξ) =|N(z, ξ)|2L(0, ϕ−1(ξ)) ∀ξ∈D.

Preuve:

Il s’agit d’appliquer plusieurs fois la formule (3) `a chacun des syst`emes simples

Vi.

Lemme 4.2. i) On a l’in´egalit´e

L(0, τ)≥|τ|2 ∀τ∈D.

ii) Pour tout point z∈D, il existe Cz>0et un voisinage Uztels que:

L(z, ξ)≥Cz|z−ξ|2 ∀ξ∈Uz.

Preuve:

i) Par la formule (4) on a L(0, τ) = 1−N(τ, τ) pour tout τ dansD. Or, la d´ecomposition spectrale d’un point τ ∈ D s’_´ecrit _τ ₌ _λ1_e

1+...+λrer o`u

les ei constituent un repère et | τ |= sup λi; d’après l’identité (5) on aura N(τ, τ)≤1− |τ |2ce qui suffit.

(11)

un voisinageW dezet une constanteC >0 tels que|ϕ−1₍_ξ₎_|≥_C_|_z_−ξ_|_pour

toutξdansW.On conclut alors en utilisant le lemme 4.1 et le point i).

Ainsi, pour z ∈ D fixé et tenant compte de l’inégalité (9), la fonction

s(ξ, z)/L(z, ξ)n _{est int´egrable sur} _D. _{On peut donc d´efinir pour toute forme}

diff´erentelle u de type (0, q−1), (2≤q≤n+ 1),la (0, q−2) forme:

T u(z) = (−1)q

Z

ξ∈D

u(ξ)ΛKq−1(ξ, z).

Lemme 4.3. i) ∂ξK1(ξ, z) = 0 et pour q ≥ 2, on a ∂ξKq(ξ, z) = −∂zKq−1(ξ, z).

ii) Pourq≥2,on aKq₍_{ξ, z}_{) = 0}_lorsque_z_∈_{D et ξ}_∈_∂D.

Preuve:

i) Provient du fait que la forme diff´erentielleK est ferm´ee.

ii) En reprenant l’expression deK, on constate que Kq _{provient de la somme:}

X

1≤j≤n

(−1)j+1 s

j₍_{ξ, z}₎

(s(ξ, z), ξ−z)n_mΛ₆_=j∂s

m _Λ

1≤k≤ndξ k_.

D’autre part, un calcul direct donne:

∂zsi(ξ, z)Λ∂zsj(ξ, z) = 0 ∀z∈D, ξ∈∂D et 1≤i, j≤n.

Ceci assure le lemme pour q ≥ 3. Pour q = 2, on constate apr`es calcul que

K2_{est multiple de}

X

i≺j

(−1)j+i(si_∂

zsj−sj∂zsi) Λ k6=i,j∂ξs

k

et on v´erifie que sur{z∈D, ξ∈∂D},on asi_∂

zsj−sj∂zsi= 0 ∀1≤i, j≤n.

Lemme 4.4. Il existe C >0 telle que:

|ϕ(τ)−ϕ(0)|≤C|τ | ∀ϕ∈Aut(D), ∀τ∈D

Preuve:

Comme D est la boule unit´e, on a|ϕ(τ)|≤1 pour toutτ dansD et ϕdans

Aut(D). D’apr`es la formule de Cauchy pour les polydisques, il existe C > 0 telle que:

sup

ϕ∈Aut(D),|τ|≤1 2

|Dτϕ|≤C.

Le th´eor`eme des accroissements finis donne alors le lemme sur{|τ |≤ 1 2}.Sur

le compl´ementaire{|τ |≥1

(12)

Th´eor`eme4.1. Soit pour 1≤q≤n+ 1une (0, q−1) forme ucontinue sur

D telle que ∂usoit aussi continue sur D, alors: i) siq≥2,on a u= (−1)q_{T ∂u}₊_∂

de Bergman, genres, rangs, distances spectrales et boules unit´e de chacun des STJHP simplesVi.Posons N(i) =ri(2n−gi);alors il existe C >0 telle que:

Grace au lemme 4.3, on peut reprendre le raisonnement du paragraphe 1 de[1] et obtenir ainsi les points i) et ii).

iii) Par ailleurs la formule (8) assure que la remarque 3.1 est applicable pour les sections ρ = s et ρ′₍_{z, ξ}_{) =} _ξ₋_z_{; on aura ainsi} _e_h∗_K ₌ _K _{pour tout} _h

dansAut′₍_V_{) et apr`es le changement de variables}_ξ′ ₌_h₍_ξ_{) dans l’int´egrale qui}

d´efinitT(h∗u),on retrouveh∗(T u).

iv) Les coefficients de T u(z)sont des combinaisons lin´eaires d’int´egrales de la forme:

Effectuons le changement de variableξ=ϕ(τ) puis utilisons le lemme 4.4 et la formule (9), cette int´egrale sera major´ee par:

Z

τ∈D

|Jϕ(τ)|2|τ|1−2n|N(z, ϕ(τ)|−2n.

Mais la formule (3) donne:

|Jϕi(τi)|2=ki(0,0)ki(zi, zi)|ki(zi, ϕi(τi))|−2

(13)

References

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[2] M. S. Hachaichi, Formules de représentation intégrale des formes différentielles et application à la résolution de l’équation de Cauchy-Riemann dans le disque généralisé de Mn(C). Thèse de Doctorat d’Etat,

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Atallah Affane

Institut de Math´ematiques U.S.T.H.B, B.P. 32 El Alia Bab Ezzouar

Algiers, Algeria.

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