Journal de Th´
eorie des Nombres
de Bordeaux
19
(2007), 41–58
Counting monic irreducible polynomials
P
in
Fq
[
X
] for which order of
X
(mod
P
) is odd
par
Christian BALLOT
R´esum´e. Hasse d´emontra que les nombres premiersp pour
les-quels l’ordre de 2 modulopest impair ont une densit´e de Dirich-let ´egale `a 7/24-i`eme. Dans cet article, nous parvenons `a imiter la m´ethode de Hasse afin d’obtenir la densit´e de Dirichletδq de l’ensemble des polynˆomes irr´eductibles et unitairesP de l’anneau
Fq[X] pour lesquels l’ordre deX (mod P) est impair. Puis nous pr´esentons une seconde preuve, nouvelle, ´el´ementaire et effective de ces densit´es. D’autres observations sont faites et des moyennes de densit´es sont calcul´ees, notamment la moyenne desδp lorsque pparcourt l’ensemble des nombres premiers.
Abstract. Hasse showed the existence and computed the
Dirich-let density of the set of primespfor which the order of 2 (modp) is odd; it is 7/24. Here we mimic successfully Hasse’s method to compute the densityδq of monic irreduciblesP inFq[X] for which the order ofX (modP) is odd. But on the way, we are also led to a new and elementary proof of these densities. More observations are made, and averages are considered, in particular, an average of theδp’s aspvaries through all rational primes.
ChristianBallot
D´epartement de Math´ematiques, Universit´e de Caen, Campus 2, 14032 Caen Cedex, France
E-mail:[email protected]
